北京大学2001年研究生入学考试试题数学分析
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北京大学2001年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一、（10分）求极限：2
2lim
1n
n
na
a
→∞+。
二、（10分）设()fx
在点a
可导，()0fa≠
，求极限：1
()
lim
()n
nfa
n
fa
→∞
+
。
三、（10
分）证明函数()lnfxxx=
在[1,)+∞
上一致连续。
四、（10分）设D
是包含原点的平面凸区域，(,)fxy
在D上可微，0ff
xy
xy∂∂
+=
∂∂，证
明：(,)fxy
在D
上恒为常数。
五、（10分）计算第一型曲面积分dxS
Σ∫∫
，其中Σ
是锥面22
zxy=
+
被柱面22
xyax+=
(0)a>
割下的部分。
六、（10
分）求极限
2222222
4
01
lim()ddd
t
xyztfxyzxyz
t
→+
++≤++∫∫∫
，其中f
在[0,1]
上连续，
(0)0,(0)1ff′==
。
七、（10分）求常数λ，使得曲线积分2
2dd0
Lxx
rxry
yyλλ
−
=∫22
()rxy=
+
对上半平面
的任何光滑闭曲线L成立。
八、（10分）证明函数
11
()
x
nfx
n∞
==∑
在(1,)∞上无穷次可微。
九、（10分）求广义积分22
0arctan()arctan()
dbxax
x
x∞−
∫
，0ba>>
。
十、（10分）设()fx
是以2π
为周期的周期函数，且(),fxxxππ=−≤<
，求()fx
与|()|fx
的Fourier
级数，它们的Fourier
级数是否一致收敛（给出证明）？
