2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理2
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1 专题03 导数
一．基础题组
1. 【2014新课标，理8】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】因为'11yax，所以切线的斜率为12a，解得3a，故选D。
2.【2017课标II，理11】若2x是函数21()(1)exfxxax的极值点，则()fx的极小值为
A．1 B．32e C．35e D．1
【答案】A
【考点】 函数的极值、函数的单调性
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
3. 【2005全国2，理22】(本小题满分12分)
已知0a，函数2()(2)exfxxax．
(Ⅰ) 当为何值时，()fx取得最小值？证明你的结论；
(Ⅱ) 设()fx在[1,1]上是单调函数，求的取值范围．
【解析】：（I）对函数()fx求导数得xeaaxxxxf)222()(2
令,0)(xf得2x+2(1－)－2］xe=0从而2x+2(1－)－2=0
解得 11,112221aaxaax
当变化时，()fx、'()fx的变化如下表
),(1x 1x ),(21xx 2x ),(2x 2
)(xf + 0 － 0 +
)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴()fx在=1x处取得极大值，在=2x处取得极小值。
当≥0时，1x<－1,2x)(,0xf在21,xx上为减函数，在),(2x上为增函数
而当0x时)(xf=0)2(xeaxx，当x=0时，0)(xf
所以当112aax时，)(xf取得最小值
二．能力题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，理10】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
【答案】：C
【解析】：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
2. 【2012全国，理10】已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1
【答案】 A
【解析】y′＝3x2－3＝3(x＋1) (x－1)．
当y′＞0时，x＜－1或x＞1； 3 当y′＜0时，－1＜x＜1.
∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．
∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．
要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：
f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.
3. 【2013课标全国Ⅱ，理21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.
当m＝2时，函数f′ (x)＝1e2xx在(－2，＋∞)单调递增．
又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得0ex＝012x，ln(x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝012x＋x0＝20012xx＞0.
综上，当m≤2时，f(x)＞0.
4. 【2011新课标，理21】已知函数ln()1axbfxxx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. 4 (1)求a，b的值；
(2)如果当x＞0，且x≠1时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围．
(ⅰ)设k≤0.由222(1)(1)()kxxhxx知，当x≠1时，h′(x)＜0.而h(1)＝0，故当x∈(0，1)时，h(x)＞0，可得21()01hxx；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得21()01hxx.
从而当x＞0，且x≠1时，ln()()01xkfxxx，
即ln()1xkfxxx.
(ⅱ)设0＜k＜1.由于当x∈(1，11k)时，(k－1)(x2＋1)＋2x＞0，故h′(x)＞0.而h(1)＝0，故当x∈(1，11k)时，h(x)＞0，可得21()01hxx，与题设矛盾．
(ⅲ)设k≥1.此时h′(x)＞0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，可得21()01hxx.与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为(－∞，0]．
5. 【2005全国3，理22】（本小题满分12分）
已知函数].1,0[,274)(2xxxxf 5 （Ⅰ）求)(xf的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1a，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123xxxaxaxxg总存在若对于任意
使得)()(10xfxg成立，求a的取值范围.
当变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：
0 （0，21） 21 （21，1） 1
)(xf － 0 +
)(xf 27 －4 －3
所以，当)21,0(x时，)(xf是减函数；当)1,21(x时，)(xf是增函数.
当]1,0[x时，)(xf的值域为－4，－3].
（II）对函数)(xg求导，得).(3)(22axxg
因为1a，当)1,0(x时，.0)1(3)(2axg
因此当)1,0(x时，)(xg为减函数，从而当]1,0[x时有)].0(),1([)(ggxg
又,2)0(,321)1(2agaag即]1,0[x时有].2,321[)(2aaaxg
任给]1,0[1x，]3,4[)(1xf，存在]1,0[0x使得)()(10xfxg，
则].3,4[]2,321[2aa即.32,43212aaa
解①式得 351aa或；解②式得.23a
又1a，故a的取值范围为.231a
6.【2016高考新课标2理数】若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= .
【答案】1ln2 ①
② 6 【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′(x0)(x−x0)．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
三．拔高题组
1. 【2014新课标，理12】设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足22200xfxm，则m的取值范围是（ ）
A. ,66, B. ,44, C. ,22,
D.,11,
【答案】C
【解析】由题意知：fx的极值为3，所以203fx，因为'00()3cos0xfxmm，
所以0,2xkkzm，所以01,2xkkzm即011||||22xkm，所以0||||2mx，即
2200[()]xfx24m3，而已知22200xfxm，所以224mm3，故2334m，解得2m或2m，故选C. 7 2. 【2010全国2，理10】若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】：A
3. 【2014全国2，理20】
已知函数fx=2xxeex.
（Ⅰ）讨论fx的单调性；
（Ⅱ）设24gxfxbfx，当0x时，0gx,求的最大值；
（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【解析】（Ⅰ）因为'1()20xxfxee，当且仅当0x时等号成立，所以函数()fx在R上是增函数；
（Ⅱ）因为()gx(2)4()fxbfx=224()(84)xxxxeebeebx，
所以'()gx222[2()(42)]xxxxeebeeb=2(2)(22)xxxxeeeeb.
(1)当2b时, '()0gx,等号仅当0x时成立，所以()gx在R上单调递增，而(0)0g，所以对任意0x，()0gx；
（2）当2b时，若满足222xxeeb，即20ln(12)xbbb时，'()0gx，而(0)0g，
因此当20ln(12)xbbb时，()0gx，
综上，的最大值为2.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3(ln2)222(21)ln22gbb，
当2b时，3(ln2)426ln202g，823ln20.692812；
当3214b时，2ln(12)ln2bbb，3(ln2)22(322)ln22g0，
