高考数学 专题03 导数与应用分项试题(含解析)理

1 专题 导数与应用

一、选择题

1．【2018河南省南阳一中三模】关于函数，下列说法错误的是（ ）

A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点

C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则

【答案】C

∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；

f（x）＞kx，可得k＜ + ，

令g（x）= +

则g′（x）

令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，

∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，

∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）= +在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；

对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1， 2 （0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，

若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．

故选：C．

2．【2018河南省洛阳市尖子生联考】已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．

即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，

a==，令μ=，

则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，

μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，

对于μ=，μ′=

则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．

画其简图， 3

点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．

3．【2018浙江省温州市一模】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）

4 A. B. C.

D.

【答案】C

4．【2018吉林省百校联盟九月联考】已知当1,x时，关于x的方程ln11xxkxk有唯一实数解，则距离k最近的整数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】由ln11xxkxk可得： ln1xxxkx，

令ln1xxxgxx，则2ln2'1xxgxx，

令ln2hxxx，则1'1hxx，

由1,x可得'0hx，函数h(x)单调递增，

函数h(x)的最小值为31ln30,42ln40,3.51.5ln3.50hhh，

则存在03,3.5x满足h(x)=0，

据此可得：距离k最近的整数为3.

本题选择B选项. 5 点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

5．【2018辽宁省大连八中模拟】设函数fx在R上存在导函数fx，对任意的实数x都有24fxxfx，当,0x时， 142fxx.若3132fmfmm，则实数m的取值范围是( )

A. 1,2 B. 3,2 C. 1, D. 2,

【答案】A

6．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知函数fx在R上满足22288fxfxxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程是（ ）

A. 23yx B. yx C. 32yx D. 21yx

【答案】D

【解析】由22288fxfxxx可得222288fxfxxx，即22244fxfxxx代入22288fxfxxx可得22488288fxfxxxxx，即2fxx，故2fxx，则切线的斜率2k，因为11f，所以切线方程为121yx，即21yx，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是求出函数的解析表达式，求解时充分利用题设中提供 的函数解析6 式方程22288fxfxxx，巧妙运用变量替换得到方程222288fxfxxx，即22244fxfxxx，然后代入22288fxfxxx解得22488288fxfxxxxx，即2fxx，然后再运用导数的几何意义从而使得问题巧妙获解。

7．【2018江西省红色七校联考】已知函数ln2xfxx，关于x的不等式20fxafx只有两个整数解，则实数a的取值范围是

A. 1,ln23 B. 1ln2,ln63 C. 1ln2,ln63 D. 1ln6,ln23

【答案】C

【解析】

即当x=e2时,函数f(x)取得极大值,同时也是最大值f(e2)=lne2e=2e，

即当0e2时,0

若a=0,则2fx+af(x)>0得2fx>0，此时有无数个整数解，不满足条件。

若a>0，

则由2fx+af(x)>0得f(x)>0或f(x)<−a，

当f(x)>0时，不等式由无数个整数解，不满足条件。

当a<0时,由2fx+af(x)>0得f(x)>−a或f(x)<0，

当f(x)<0时，没有整数解，

则要使当f(x)>−a有两个整数解，

∵f(1)=ln2,f(2)= ln42=ln2,f(3)= ln63，

∴当f(x)⩾ln2时,函数有两个整数点1,2,当f(x)⩾ ln63时，函数有3个整数点1，2，3

∴要使f(x)>−a有两个整数解，

则ln63⩽−a

即−ln2

故选C.

点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的取值范围，把f(x)看做整体，利用数形结合结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．

8．【2018海南省八校联考】已知函数213ln2fxxxax在区间1,3上有最大值，则实数a的取值范围是( )

A. 1,52 B. 111,22 C. 111,22 D. 1,52

【答案】B

【解析】因为3122fxxax，所以由题设3122fxxax在1,3只有一个零点且单调递减，则问题转化为10{ 30ff，即101112{ 112202aaa，应选答8 案B。

点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组10{ 30ff，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。

9．【2018陕西西工大附中六模】若存在两个正实数,xy，使得等式324lnln0xayexyx成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是( )

A. ,0 B. 30,2e C. 3,2e D. 3,0,2e

【答案】D

设g(t)=(t−2e)lnt，

2'ln1egttt为增函数，

∵2'ln11120egeee，

∴当t>e时,g′(t)>0，

当0

即当t=e时,函数g(t)取得极小值为：g(e)=(e−2e)lne=−e，

即g(t)⩾g(e)=−e，

若32ln2teta有解，

则32ea…,即32ea„， 9 则a<0或32ae…，

实数a的取值范围是3,0,2e

本题选择D选项.

10．【2018陕西西工大附中六模】已知函数yfx的定义域为R，当0x时， 1fx，且对任意的实数,xyR，等式fxfyfxy成立，若数列na满足*1111nnfafnNa，且10af，则下列结论成立的是（

）

A. 20132016fafa B. 20142017fafa

C. 20162015fafa D. 20132015fafa

【答案】D

设12xx ，则211212211,fxxfxfxxfxfxfx,因此(yfx）为单调减函数，从而11101nnfaffa

123110,,1nnnnnnnaaaaaaa , 20132016fafa,

20142017fafa, 2016322015122fafafffafa,

2013322015122fafafffafa,选D.

点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可