多边形的外角和定义

第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

初中数学——（47）多边形的有关概念一、多边形（一）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形（二）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角（三）外角：多边形的边与邻边的延长线组成的角叫多边形的外角（四）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段二、多边形的性质（一）多边形的内角和：n 边形的内角和等于(n－2)×180°（二）多边形的外角和：任意多边形的外角和等于360°（三）多边形对角线的条数：1、从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线2、从n边形的一个顶点出发可以把多边形分（n-2）个三角形2、n边形共有23)-n(n条对角线三、镶嵌（一）同一种正三边形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌（二）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形、正四边形与正八边形、正三角形与正十二边形可以进行平面镶嵌（三）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌四、练习题（一）正方形每个内角都是_____，每个外角都是 ____（二）多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条（三）将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和（四）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A、三角形B、六边形B、五边形 D、四边形（五）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（）A、 6B、 7C、 8D、 9（六）若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( )A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形（七）下列正多边中，能铺满地面的是（）A、正方形B、正五边形C、等边三角形D、正六边形（八）下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( )A、正六边形和正三角形B、正三角形和正方形C、正八边形和正方形D、正五边形和正八边形。

1、多边形的内角和等于（n-2）180˚，n是多边形的边数。

2、多边形的外角和等于360˚。

这两个结论的证明也比较简单，在这里简单说明一下。

1、一个多边形，边数为n，将一个顶点与其它顶点相连，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是360˚，所以多边形的内角和就是（n-2）180˚。

2、一个多边形，边数为n，每一个内角和它相邻的外角构成一个平角，n条边就构成n 个平角。

外角和就等于n个平角减去多边形的内角和，也就是360˚。

这两个知识在考查时，主要有四种类型，我们来看一下。

1、考查多边形边数和内角和的关系。

这类型题主要是知道边数求出内角和，或者知道内角和求出边数。

第（1）题，知道边数，求内角和。

第（2）题，知道内角和，求边数。

第（3）题，稍微复杂，两个多边形，知道边数之比和内角和之比，列方程求出边数。

第（4）、（5）、（6）题，稍为复杂，知道边数，先求出内角和，再去求多边形中的某个内角。

这些题型都比较简单。

这里还有一道题比较复杂一点，同学们可以尝试做一下。

2、外角和与内角和相结合这类型的关键点是，要知道多边形的内角和是隐藏的已知量，它等于360˚。

这类题型都是根据多边形内角和与外角和的关系，列一个方程，求出边数。

3、多边形，少一个角，其余内角和是一定值。

这种题型，运用到了不等式，是一个难点和重点。

它的运用的知识是，多边形的一个内角，它的取值范围是大于0，小于180。

除去的这个角的度数等于内角和减去其余内角和，据此，可以列一个不等式组，进行求解。

下面有练习，大家可以试一下。

4、正多数形正多边形的内角相等，边相等。

考查类型，1、知道边数，求内角；2、知道内角，求边数；3、知道外角，求边数。

在考试中，经常考察的方式是这样的。

多边形的内角和外角性质多边形是几何学中的重要概念，它由一系列直线段所组成，形状各异。

本文将探讨多边形的内角和外角性质，以帮助读者更好地理解多边形的特点和性质。

一、多边形的定义和基本性质多边形是平面上由若干条线段组成的封闭图形。

多边形的性质如下：1. 多边形的每条边都是线段，相邻两条边之间的夹角称为内角；2. 多边形的每个内角都与它的相邻两个内角互补，即它们的和为180度；3. 多边形的所有内角的和等于180度乘以（n-2），其中n表示多边形的边数。

这是多边形内角和定理的重要推论。

二、多边形的内角性质1. 三角形是最简单的多边形，它的内角和为180度。

2. 四边形的内角和为360度。

四边形可以分为矩形、正方形、平行四边形等多种类型，它们的内角和都是360度。

3. 五边形的内角和为540度。

五边形可以分为等边五边形、正五边形等类型，它们的内角和都是540度。

4. 六边形的内角和为720度。

六边形可以分为正六边形、六边形等类型，它们的内角和都是720度。

5. 对于n边形，它的内角和为180度乘以（n-2）。

三、多边形的外角性质多边形的外角是指从多边形某一内角的延长线上取得的角，其性质如下：1. 多边形的外角与其对应的内角互补，即它们的和为180度。

2. 多边形的每个外角都与它的相邻两个外角互补，即它们的和为180度。

3. 多边形的外角和等于360度，即外角和定理成立。

四、多边形内角和外角性质的应用多边形的内角和外角性质在解决各类问题时具有重要应用价值，其中一些常见的应用包括：1. 判断多边形的类型：通过计算多边形的内角和，可以判断其类型是三角形、四边形、五边形还是其他类型的多边形。

2. 计算未知角度：通过已知角度和多边形的内角和外角性质，可以计算出未知角度的数值。

3. 解决几何问题：多边形的内角和外角性质在证明和解决各类几何问题中起着重要的作用，如证明各类定理、计算各类图形的角度等。

综上所述，多边形的内角和外角性质是几何学中的基本概念和重要性质。

什么是多边形的内角和外角和？
多边形是指由多个线段连接而成的封闭图形。

每个多边形都由一系列顶点和边组成。

在多边形中，内角和外角是两个重要的概念。

下面将分别介绍多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法。

1. 多边形的内角：
多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所夹的角度。

在一个n边形中，内角的总和等于(n-2) * 180°。

具体地，每个内角的度数可以通过以下公式计算：
内角度数= (n-2) * 180° / n
多边形的内角性质：
-内角和定理：在一个n边形中，内角的和等于(n-2) * 180°。

-内角的平均值：在一个n边形中，每个内角的平均值等于(n-2) * 180° / n。

2. 多边形的外角：
多边形的外角是指多边形内部一条边的延长线与另一条边所夹的角度。

在一个n边形中，外角的总和等于360°。

具体地，每个外角的度数可以通过以下公式计算：
外角度数= 360° / n
多边形的外角性质：
-外角和定理：在一个n边形中，外角的和等于360°。

-外角与内角关系：在一个n边形中，外角和对应的内角之和等于180°。

多边形的内角和外角计算方法：
-已知内角求外角：通过内角和定理，可以根据内角的个数计算外角的度数。

-已知外角求内角：通过外角和定理，可以根据外角的个数计算内角的度数。

通过掌握多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法，我们可以在几何中计算多边形的内角和外角，并在实际问题中应用这些概念进行推导和解题。

第3节多边形的内角和与外角和一，多边形（1）定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形（2）分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形，我们研究的是凸多边形（3）其中内角相等，边也相等的多边形叫正多边形（4）多边形的内角和与外角和性质1：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.推导：2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为（n－2）·180°n，外角的度数为n360.【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，探究点二：多边形的外角和定理【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定4.多边形对角线的条数N 边形对角线的条数公式 21N(N-3) 例1：一个凸多边形的每个内角都是140°，求这个多边形对角线的条数例2：一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求它对角线的条数。

正多边形的内角和外角关系正多边形是指所有边长相等、所有内角相等的多边形。

在研究正多边形的性质时，其中一个重要的关系就是内角和外角的关系。

本文将探讨正多边形内角和外角的特性及其相互关系。

一、内角和外角的定义首先，我们来定义正多边形的内角和外角。

内角：正多边形的内角是指多边形内部两条边所围成的角。

对于任意一个正多边形而言，它的内角是相等的。

外角：正多边形的外角是指多边形的一条边的延长线与相邻边之间所形成的角。

同样地，正多边形的外角也是相等的。

二、内角和外角的关系在正多边形中，内角和外角之间存在着一定的关系，我们通过推导可以得到这个关系。

以正n边形为例，其中的内角和外角分别表示为∠A和∠B。

在正n 边形中，每个内角的度数可以表示为：内角度数 = (n-2) × 180° / n而每个外角的度数可以表示为：外角度数 = 360° / n由于正多边形中的内角和外角是相等的，所以我们可以得到以下的关系：∠A = ∠B = 内角度数∠B = 外角度数三、内角和外角的具体示例为了更好地理解内角和外角的关系，我们以正六边形为例进行具体的示例。

正六边形的内角度数可以通过公式计算得到：内角度数 = (6-2) × 180° / 6 = 120°而每个外角的度数可以得到：外角度数 = 360° / 6 = 60°由此可见，在正六边形中，每个内角的度数都是120°，每个外角的度数都是60°。

这符合我们在前面推导得到的结论。

四、内角和外角的应用内角和外角的关系在几何学中有广泛的应用。

其中一个重要的应用是通过内角和外角的关系来计算正多边形的边数。

假设我们知道一个正多边形的其中一个内角的度数为x°，那么我们可以通过以下公式来计算正多边形的边数：n = 360° / (180° - x°)通过这个公式，我们可以根据已知的内角度数来确定正多边形的边数。

多边形的内角和外角性质多边形是几何学中的重要概念，它是由若干条边和相应的顶点组成的平面图形。

在多边形中，内角和外角是讨论和研究的重点之一。

本文将深入探讨多边形的内角和外角的性质。

一、内角的性质多边形的内角是指多边形内部的角度。

对于任意n边形来说，我们可以得出以下结论：1. 内角和公式：n边形的内角和等于(n-2) × 180度。

这个公式可以通过将n边形分割成n-2个三角形来推导得到。

以三角形为例，三角形的内角和为180度，当我们将n边形分割成n-2个三角形时，每个三角形的内角和都是180度，因此整个多边形的内角和是(n-2) × 180度。

2. 内角的性质：多边形的每个内角都小于180度。

这是由内角和公式可得，当n>2时，(n-2) ×180度大于0，因此每个内角都小于180度。

3. 正多边形的内角：正多边形的每个内角都相等。

正多边形是指所有边和角都相等的多边形，因此每个内角的度数都是相同的。

二、外角的性质多边形的外角是指多边形内部一条边的延长线与相邻边之间的角度。

对于任意n边形来说，我们可以得出以下结论：1. 外角和公式：n边形的外角和等于360度。

这个结论可以通过绘制多边形的所有外角，然后计算其角度之和来推导得到。

2. 外角的性质：多边形的每个外角都大于180度。

这是由外角和公式可得，当n>2时，外角和为360度，因此每个外角都大于180度。

3. 内角与外角的关系：多边形的内角和外角之间存在一定的关系，即内角和外角相加等于180度。

这一性质可以通过考虑多边形内部的三角形来证明。

以三角形为例，三角形的内角和为180度，而三角形的外角和为360度。

因此，三角形中的内角和外角之和等于180度。

综上所述，多边形的内角和外角具有一些重要的性质。

了解这些性质有助于我们研究和理解多边形的特性和属性。

同时，内角和外角的性质也是解决相关几何问题的基础。

在实际应用中，准确理解和运用多边形的内角和外角性质将有助于我们更好地解决问题，提升几何学的应用能力。

正多边形的外角和正多边形是一种特殊的多边形，它的边长和内角都相等。

然而，除了边长和内角的特点，正多边形还有一个重要的性质，那就是它的外角。

在正多边形中，每个内角的度数都是360度除以边数。

例如，一个正三角形的内角度数是60度（360/3=60），一个正四边形的内角度数是90度（360/4=90），以此类推。

而正多边形的外角则是内角的补角。

也就是说，正多边形的外角等于180度减去内角度数。

举个例子，对于一个正三角形来说，内角的度数是60度，那么它的外角就是180-60=120度。

这个规律同样适用于其他正多边形。

例如，正五边形的内角度数是108度（360/5=72），那么它的外角就是180-108=72度。

同理，正六边形的内角度数是120度（360/6=60），那么它的外角也是60度。

通过这个规律，我们可以得出结论：正多边形的外角度数总是相等的。

无论是正三角形、正四边形，还是正五边形、正六边形，它们的外角都是固定的。

这个性质在计算和解题过程中非常有用。

很多几何问题中，需要求解或者利用正多边形的外角。

例如，我们可以通过已知的外角度数，结合这个规律，计算出正多边形的边数。

同样，我们也可以通过已知的内角度数，求解出正多边形的外角度数。

除了计算问题，正多边形的外角性质还可以用于证明定理。

例如，我们可以利用正多边形的外角和内角的关系，证明正多边形的对角线数目等于边数减去3。

这个证明过程可以通过运用外角和内角的度数关系，推导出对角线的数目与边数之间的关系。

正多边形的外角性质是几何学中的一个重要概念。

它不仅帮助我们计算和解决实际问题，还可以用于推导和证明几何学中的定理。

通过深入理解和应用这个性质，我们可以更好地掌握正多边形的特点和性质，提高几何学的应用能力。

综上所述，正多边形的外角等于180度减去内角度数。

这个性质在计算和解题中非常有用，也可以用于推导和证明几何学中的定理。

通过熟练掌握和应用这个性质，我们可以更好地理解和应用正多边形的特点和性质。

多边形的概念及特征一、多边形的定义多边形是由多条线段组成封闭平面图形，其中每条线段称为边，相邻两边之间的夹角称为内角，多边形的每个内角都大于0度而小于180度。

二、多边形的边和角1.边：多边形有若干条边，边数称为多边形的边数，用n表示，n≥3。

2.角：多边形有n个内角，每个内角都大于0度而小于180度，多边形的外角和为360度。

三、多边形的分类1.根据边数不同，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形等。

2.根据边是否相等，多边形可分为不等边多边形和等边多边形。

3.根据角是否相等，多边形可分为不等角多边形和等角多边形。

四、多边形的面积1.面积公式：多边形的面积=（边长1×边长2×……×边长n）/（n×（n-2）×π）。

2.特殊多边形面积公式：三角形面积=底×高/2；平行四边形面积=底×高；矩形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长。

五、多边形的对角线1.对角线：多边形的一条线段，连接两个非相邻顶点。

2.对角线数量：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2。

3.对角线长度：对于任意多边形，对角线长度小于等于边长，且对角线将多边形分成两个面积相等的三角形。

六、多边形的性质1.多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180度。

2.多边形外角和定理：n边形的外角和为360度。

3.多边形对角线定理：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2，且对角线将多边形分成n-2个三角形。

七、多边形与圆的关系1.圆内接多边形：多边形的所有顶点都在圆上。

2.圆外切多边形：多边形的所有边都与圆相切。

3.圆的内接与外切多边形，其边数、内角和等性质均有所不同。

八、多边形的应用1.平面几何中的多边形问题，如计算面积、周长、对角线长度等。

2.实际生活中的多边形应用，如设计图形、计算土地面积等。

以上是对多边形的概念及特征的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。

DB OC A ② C O A BD ③ 多边形的内角和及外角和知识体系：1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°．3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有(3)2n n 条对角线． 6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．题型体系：例1.正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式．例2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题：已知：在平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。

已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图②）求证：_________________。