高考概率论真题及答案解析

高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。

已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。

现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。

2.一批产品某种型号有20%的不合格品。

现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。

首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。

而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。

因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。

假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。

因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。

3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。

现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。

高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。

在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。

题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。

题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。

解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。

题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。

解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。

通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。

希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。

概率学高考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X>0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，求P(X=3)的值：A. 0.03B. 0.06C. 0.09D. 0.12答案：C3. 两个独立事件A和B，P(A)=0.6，P(B)=0.7，求P(A∩B)的值：A. 0.42B. 0.36C. 0.21D. 0.12答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其期望值E(X)=λ，若λ=2，则P(X=1)的值为：A. 0.135B. 0.270C. 0.540D. 0.270/e答案：D5. 已知随机变量X服从均匀分布U(a, b)，求其方差Var(X)的表达式：A. (b-a)^2/12B. (b-a)^2/4C. (b-a)^2/3D. (b-a)^2/6答案：A6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若μ=3，σ^2=4，则P(X<2)的值为：A. 0.1587B. 0.3413C. 0.5D. 0.8413答案：A7. 随机变量X和Y独立同分布，且都服从标准正态分布，求P(X+Y<0)的值：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.125答案：A8. 已知随机变量X服从几何分布，其成功概率p=0.4，求P(X>3)的值：A. 0.064B. 0.096C. 0.192D. 0.064/(1-p)答案：D9. 随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.1，求E(X)的值：A. 10B. 5C. 1/0.1D. 1/0.01答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，总体大小N=100，成功状态的个体数M=30，抽取样本大小n=10，求P(X=5)的值：A. 0.03B. 0.06C. 0.09D. 0.12答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 若随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=5，p=0.5，则P(X=2)的值为________。

专题17 概率目录一览2023真题展现考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列真题考查解读近年真题对比考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列考向三正太分布命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一概率1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（ ）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C23β(2−β)2+(1−β)3，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=C23α(1−α)2+(1−α)3，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，P2−P1=(1−α)−C23α(1−α)2−（1﹣α）3=(1−α)[1−C23α(1−α)−(1−α)2]＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正确．考向二离散型随机变量及其分布列2．（2023•新高考Ⅰ•第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，⋯，n，则E（ni=1X i）=ni=1q i．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由题意设P n为第n次投篮的是甲，则P n+1＝0.6P n+0.2（1﹣P n）＝0.4P n+0.2，∴P n+1−13=0.4（P n−13），又P1−13=12−13=16≠0，则{P n−13}是首项为16，公比为0.4的等比数列，∴P n−13=16×（25）n﹣1，即P n=13+16×（25）n﹣1，∴第i次投篮的人是甲的概率为P i=13+16×（25）i﹣1；（3）由（2）得P i=13+16×（25）i﹣1，由题意得甲第i次投篮次数Y i服从两点分布，且P（Y i＝1）＝1﹣P（Y i＝0）＝P i，∴E（ni=1Y i）＝E（Y）=ni=1P i，∴当n≥1时，E（Y）=ni=1P i=1(25)i−1+n3=16[1−(25)n]1−25+n3=518[1﹣（25）n]+n3；当n ＝0时，E （Y ）＝0=518[1﹣（25）0]+03，综上所述，E （Y ）=518[1﹣（25）n ]+n3，n ∈N ．【命题意图】概率、随机变量的分布列与数学期望．【考查要点】概率多为小题。

高考概率论真题答案解析在高考数学概率论部分，学生通常会遇到一些涉及概率计算和分析的问题。

这些问题需要深入理解概率概念和方法，才能给出准确的答案。

本文将对几道高考概率论的真题进行答案解析，并辅以示例和说明，帮助学生更好地理解这一知识点。

1. 题目：某城市有1000名居民，其中800人订阅了汇金日报，600人订阅了国际日报，400人既订阅了汇金日报又订阅了国际日报。

现从这1000人中随机选取一人，问他只订阅了一份报纸的概率是多少？解析：首先，我们可以利用概率的计算方法来解答这道题目。

题目给出了订阅汇金日报和国际日报的人数，以及既订阅了汇金日报又订阅了国际日报的人数。

订阅汇金日报的人数为800人，订阅国际日报的人数为600人，既订阅了两份报纸的人数为400人。

我们可以根据集合的概念来解答这个问题。

设A为订阅汇金日报的事件，B为订阅国际日报的事件，则只订阅了一份报纸的事件为A或B但不同时为A和B的事件（即A∪B - A∩B）。

根据概率的定义，我们可以得到只订阅了一份报纸的概率为P(A∪B - A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)。

代入已知的值，我们有P(A∪B - A∩B) = 800/1000 + 600/1000 - 2 * 400/1000 = 1.4 - 0.8 = 0.6。

因此，只订阅了一份报纸的概率为0.6。

2. 题目：某医院一天普通门诊接诊病人为150人，每当一名病人到达急诊科采用如下方法确定是否需要留院，先随机取三张标有“留院”的纸条、47张标有“回家”的纸条，第一名来到急诊科的病人取一张纸条，如果得到的纸条是“留院”，则需留院观察；如果得到的纸条是“回家”，则需回家。

已知第一名病人未留院，求第二名病人需要留院的概率是多少？解析：这道题目涉及到条件概率的计算。

我们知道，第一名病人未留院是已知条件。

设A为第一名病人不留院的事件，B为第二名病人需要留院的事件。

我们需要求解的是P(B|A)，即在第一名病人不留院的条件下，第二名病人需要留院的概率。

高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。

1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。

2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。

现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。

求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。

2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。

根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。

以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。

高考数学概率统计历年真题全解2024一、概率统计概述概率统计是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律以及对这些规律进行推断和分析的方法。

在高考中，概率统计是一个重要的考点，占据了相当的比重。

为此，我们整理了2024年高考数学概率统计部分的历年真题，并进行全面解析，以便同学们更好地复习备考。

二、选择题1. (2024年高考数学试题第一题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第一题内容省略)2. (2024年高考数学试题第二题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第二题内容省略)三、填空题1. (2024年高考数学试题第三题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第三题内容省略)2. (2024年高考数学试题第四题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第四题内容省略)四、解答题1. (2024年高考数学试题第五题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第五题内容省略)2. (2024年高考数学试题第六题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第六题内容省略)五、综合题(2024年高考数学试题第七题内容省略)解析：(根据2024年高考数学试题第七题内容省略)六、总结通过对2024年高考数学概率统计部分的历年真题全面解析，我们可以发现在这一部分考题中，题目类型多样，涉及了选择题、填空题、解答题以及综合题等。

因此，考生在备考过程中需要对每种题型进行充分的练习和掌握，掌握基础知识的同时，也要注重解题技巧的积累和应用。

在准备概率统计部分考试的过程中，同学们还需要注重对知识点的理解和记忆，同时进行大量的习题练习，做到理论联系实际。

此外，注意解题过程中科学合理地运用公式和数学方法，同时要善于归纳总结，使得问题的解决更加精准和高效。

最后，祝愿同学们在高考中取得优异的成绩，实现自己的梦想！。

高考数学-概率与统计（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】>70%,所以A错；讲座前中位数为70%+75%2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.2．【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3 ,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为615=25.故选：C.3．【2022年全国乙卷】分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】=7.4，A选项结论正确.对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1=8.50625>8，16B选项结论正确.=0.375<0.4，对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616C选项结论错误.=0.8125>0.6，对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316D选项结论正确.故选：C4．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率p丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲则p甲=2(1−p2)p1p3+2p2p1(1−p3)=2p1(p2+p3)−4p1p2p3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙则p乙=2(1−p1)p2p3+2p1p2(1−p3)=2p2(p1+p3)−4p1p2p3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则p丙=2(1−p1)p3p2+2p1p3(1−p2)=2p3(p1+p2)−4p1p2p3则p甲−p乙=2p1(p2+p3)−4p1p2p3−[2p2(p1+p3)−4p1p2p3]=2(p1−p2)p3<0p 乙−p丙=2p2(p1+p3)−4p1p2p3−[2p3(p1+p2)−4p1p2p3]=2(p2−p3)p1<0即p甲<p乙，p乙<p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D5．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率P=21−721=23.故选：D.6．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率P=mn =1270=635．故答案为：635．7．【2022年全国乙卷】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310故答案为：3108．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为X∼N(2,σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X ≤2.5)=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．9．【2022年浙江】现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=__________，E(ξ)=_________．【答案】 1635， 127##157 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求P(ξ=2)，由条件求ξ分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C 73种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C 41+C 21C 42种，所以P(ξ=2)=C 41+C 21C 42C 73=1635，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4， P(ξ=1)=C 62C 73=1535，P(ξ=2)=1635，，P(ξ=3)=C 32C 73=335，P(ξ=4)=1C 73=135所以E(ξ)=1×1535+2×1635+3×335+4×135=127,故答案为：1635，127.10．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， P (K 2⩾k )0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K 2，再利用临界值表比较即可得结论. (1)根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ， 则P(M)=240260=1213；B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则P(N)=210240=78.A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78. (2)列联表K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500×(240×30−210×20)2260×240×450×50≈3.205>2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.11．【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，E(X)=13.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(A BC)+P(AB̅C)+P(ABC)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.12．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2）和材积量（单位：3），得到如下数据：并计算得∑x i 210i=1=0.038,∑y i 210i=1=1.6158,∑x i y i10i=1=0.2474． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(x i−x̅)n i=1(y i −y̅)√∑(x i −x̅)2ni=1∑(y i−y ̅)2ni=1√1.896≈1.377．【答案】(1)0.06m 2；0.39m 3 (2)0.97 (3)1209m 3 【解析】 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值． (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x̅=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y̅=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m 2， 平均一棵的材积量为0.39m 3 (2)r =∑(x i −x)10i=1(y i −y)√∑10i=1(x i −x)2∑10i=1(y i −y)2=∑10i=1i i 10xy√(∑10i=1x i 2−10x2)(∑10i=1y i 2−10y 2)=0.2474−10×0.06×0.39√(0.038−10×0.062)(1.6158−10×0.392)=0.0134√0.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r ≈0.97 (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m 3， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.060.39=186Y，解之得Y =1209m 3． 则该林区这种树木的总材积量估计为1209m 313．【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B ̅|A)与P(B|A )P(B ̅|A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：R =P(A|B)P(A |B)⋅P(A |B ̅)P(A|B ̅)；（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̅)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)R =6； 【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求R.(1)由已知K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(40×90−60×10)250×150×100×100=24，又P(K2≥6.635)=0.01，24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为R=P(B|A)P(B̅|A)⋅P(B̅|A)P(B|A)=P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB̅)⋅P(A B̅)P(A)⋅P(A)P(A B)，所以R=P(AB)P(B)⋅P(B)P(A B)⋅P(A B̅)P(B̅)⋅P(B̅)P(AB̅)所以R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B̅) P(A|B̅)，(ii)由已知P(A|B)=40100，P(A|B̅)=10100，又P(A|B)=60100，P(A|B̅)=90100，所以R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B̅)P(A|B̅)=614．【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】(1)44.65岁；(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P (A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．(1)平均年龄x̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023 +55×0.020+65×0.012+75×0.006+85×0.002)×10=44.65（岁）．(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89．(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014．15．【2022年北京】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)75(3)丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3P(X=0)=P(A1̅̅̅A2̅̅̅A3̅̅̅)=0.6×0.5×0.5=3，20P(X=1)=P(A1A2̅̅̅A3̅̅̅)+P(A1̅̅̅A2A3̅̅̅)+P(A1̅̅̅A2̅̅̅A3)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=8，20P(X=2)=P(A1A2A3̅̅̅)+P(A1A2̅̅̅A3)+P(A1̅̅̅A2A3)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=7，20P(X=3)=P(A1A2A3)=0.4×0.5×0.5=2.20∴X的分布列为∴E(X)=0×320+1×820+2×720+3×220=75 (3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.1．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差【答案】B 【解析】 【分析】中位数恰好是第6名，比中位数成绩高即可确认自己能否进入省田径赛． 【详解】因为11名选手成绩的中位数恰好是第6名，知道了第6名的成绩，小强就可以判断自己是否能参加省举办的田径赛了，其余数字特征不能反映名次． 故选：B ．2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接．如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（ ） A ．67B ．910 C ．25D ．415【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事件M ，则()333336C C 91C 10P M ==+-.故选：B.3．（2022·全国·模拟预测（文））如图是一组实验数据的散点图，拟合方程()0by c x x=+>，令1t x=，则y 关于t 的回归直线过点()2,5，()12,25，则当()1.01,1.02y ∈时，x 的取值范围是（ ）A ．()0.01,0.02B ．()50,100C ．()0.02,0.04D ．()100,200【答案】D 【解析】 【分析】 先令1t x =可得()0y bt c t =+>，由y 关于t 的回归直线过点()2,5，()12,25可得522512b c b c=+⎧⎨=+⎩从而求得21y t =+，再由y 的范围求得t 的范围，进而求得x 的范围. 【详解】根据题意可得()0y bt c t =+>，由y 关于t 的回归直线过点()2,5，()12,25可得：522512b cb c =+⎧⎨=+⎩，所以2,1b c ==， 所以21y t =+，由()1.01,1.02y ∈可得1.0121 1.02t <+<， 所以0.0050.01t <<， 所以10.0050.01x<<，所以100200x <<， 故选：D4．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（ ） A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】 【分析】由对立事件的概率公式计算． 【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==， 所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=． 故选：D ．5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物不能构成摄食关系的概率（ ）A ．35B ．25C ．23D ．13【解析】 【分析】用列举法写出构成的摄食关系，计数后可求得概率． 【详解】从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，共有10种选法：鹰麻雀，鹰兔，鹰田鼠，鹰蝗虫，麻雀兔，麻雀田鼠，麻雀蝗虫，兔田鼠，兔蝗虫，田鼠蝗虫．其中田鼠鹰，兔鹰，麻雀鹰，蝗虫麻雀共四种可构成摄食关系，不能构成摄食关系的有6种，所以概率为63105P ==． 故选：A ．6．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson 分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson 分布的概率分布列为()()e 0,1,2,!kP X K k k λλ-===⋅⋅⋅，其中e 为自然对数的底数，λ是Poisson 分布的均值．当二项分布的n 很大()20n ≥而p 很小()0.05p ≤时，Poisson 分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用20.05/J m 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ） A ．31e -- B ．3e - C ．313e -- D ．314e --【答案】A 【解析】 【分析】结合题意1000020n =≥，0.00030.05p =≤，此时Poisson 分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson 分布的均值λ，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可 【详解】由题， 1000020n =≥，0.00030.05p =≤，此时Poisson 分布满足二项分布的近似的条件，此时100000.00033λ=⨯=，故不致死的概率为()03330e e 0!P X --===，故致死的概率为()3101e P X --==-7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量(20,4)X N ，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．A ．254人B ．127人C ．18人D ．36人【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出()22P X ≥，从而估计出人数； 【详解】 解：因为(20,4)X N ，所以20μ=，2σ=，所以()1()10.6827220.1586522P X P X μσμσ--<≤+-≥===所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有8000.15865127⨯≈（人）； 故选：B8．（2022·河南·模拟预测）某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A ，B ，C ，D 四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：根据以上信息：下列推断合理的是（ ） A ．改进生产工艺后，A 级产品的数量没有变化B．改进生产工艺后，D级产品的数量减少C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少D．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍【答案】C【解析】【分析】由题可得改进生产工艺前后四个等级的生产量，逐项分析即得.【详解】设原生产总量为1，则改进生产工艺后生产总量为2，所以原A，B，C，D等级的生产量为0.3，0.37，0.28，0.05，改进生产工艺后四个等级的生产量为0.6，1.2，0.12，0.08，故改进生产工艺后，A级产品的数量增加，故A错误；改进生产工艺后，D级产品的数量增加，故B错误；改进生产工艺后，C级产品的数量减少，故C正确；改进生产工艺后，B级产品的数量增加超过2倍，故D错误.故选：C.9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A．12B．23C．34D．1316【答案】D【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C+=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C =种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P =-=， 故选：D10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量X 和任意的正数a ，都有()()(),P X a f E X a ≥≤，其中()(),f E X a 是关于数学期望()E X 和a 的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定()(),f E X a 的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（ ） A ．()aE X B ．()1aE XC ．()a E XD ．()E X a【答案】D 【解析】 【分析】根据期望的计算公式,以及m x a ≥即可求解. 【详解】设非负随机变量X 的所有可能取值按从小到大依次为0,i x i N *>∈,对应的概率分别为,0i i p p >设满足i x a ≥的有,,,m a a x k m n m N k N **≤≤∈∈,()ani i k P X a p =≥=∑,()111a ai nk i iii n i ii k i ax pE ax p x pX a -===+==∑∑∑,因为m x a ≥,所以1mx a≥()()()1111a a aaannniiiiiik k i k i k i k ii i i i x px px px p p P X a P X a E aa aaaX --=====⎛⎫+≥+=+≥≥≥ ⎪⎝⎭=∑∑∑∑∑故选：D11．（2022·吉林·三模（理））为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分x 和方差2s （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本成绩平均分x ，2σ近似为样本成缋方差2s ，若2μσμσ-<≤+X ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若2μσ>+X ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”． 附：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．【答案】(1)75x =，2100s = (2)①2456 ；②能 【解析】 【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数； ②利用正态分布的知识求出2μσ>+X ，即95>X ，进而可得结果. (1)100名居民本次竞赛成绩平均分24224028445556575859575100100100100100100=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ， 100名居民本次竞赛成绩方差22222422(4575)(5575)(6575)100100100=-⨯+-⨯+-⨯s 22240284(7575)(8575)(9575)100100100100+-⨯+-⨯+-⨯=， (2)①由于μ近似为样本成绩平均分x ，2σ近似为样本成绩方差2s ， 所以，275,100μσ==，可知，10σ=，由于竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率 (2)P X μσμσ-<≤+11()(22)22μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+P X P X 110.68270.95450.818622≈⨯+⨯= 30000.81862455.82456⨯=≈估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；②当2μσ>+X 时，即95>X 时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”， 所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．12．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖､水库､湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,2,,20,i i x y i =其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021-)120,i i x x ==∑（2021-)9000,i i y ==∑（y 201-)-)1000.i iix x y ==∑（（y (1)求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）； (2)求样本()(),1,2,,20i i x y i =的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数-)-) 1.732.niix y x r =≈∑（（y【答案】(1)6000 (2)0.96(3)采用分层抽样的方法，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可； （2）根据相关系数的公式求解即可；（3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可 (1)样区水生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为100606000⨯=. (2)样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数为()()20,0.96.iix x y y r -===≈∑ (3)由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.13．（2022·河南开封·模拟预测（理））大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照[)100,150，[)150,200，[]200,250进行分组，得到如下表格：。

概率高考题及答案详解14．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则能够获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；投保人应交纳的最低保费（单位：元）．15．（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221332，，，且各人回答准确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这个事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这个事件，求()P AB ．16．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数很多于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 17（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(18)(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家实行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家实行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有ABCD 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题ABCD 分别加1分2分3分6分，打错任一题减2分; ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数不足14分时，答题结束，淘汰出局。

概率高考真题试题及答案1. 某次数学考试中，共有10道选择题，每道题有4个选项。

假设每道题正确的概率都是0.25，且各题之间相互独立。

求至少答对3道题的概率。

答案：首先计算答对0道、1道、2道题的概率，然后用1减去这些概率的和，得到至少答对3道题的概率。

具体计算如下：答对0道题的概率为：(3/4)^10答对1道题的概率为：C(10,1) * (1/4) * (3/4)^9答对2道题的概率为：C(10,2) * (1/4)^2 * (3/4)^8至少答对3道题的概率为：1 - [(3/4)^10 + C(10,1) * (1/4) *(3/4)^9 + C(10,2) * (1/4)^2 * (3/4)^8]2. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？答案：一副去掉大小王的扑克牌共有52张，其中红桃有13张。

因此，抽到红桃的概率为：P(红桃) = 13/52 = 1/43. 一个袋子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取3个球。

求至少抽到1个红球的概率。

答案：首先计算没有抽到红球的概率，然后用1减去这个概率，得到至少抽到1个红球的概率。

具体计算如下：没有抽到红球的概率为：(3/8) * (2/7) * (1/6)至少抽到1个红球的概率为：1 - [(3/8) * (2/7) * (1/6)]4. 某工厂生产一批零件，其中正品率为95%。

现从这批零件中随机抽取100个，求至少有90个正品的概率。

答案：设X为抽取的100个零件中正品的数量，则X服从二项分布B(100, 0.95)。

要求至少有90个正品的概率，即求P(X≥90)。

具体计算如下：P(X≥90) = Σ[C(100,k) * (0.95)^k * (0.05)^(100-k)]，其中k从90到100。

5. 一个射手射击10次，每次击中目标的概率为0.6。

求至少击中6次的概率。

答案：设Y为射手击中目标的次数，则Y服从二项分布B(10, 0.6)。

1(A )三、解答题1•一颗骰子抛两次，以 X表示两次中所得的最小点数(1) 试求X 的分布律； (2)写出X 的分布函数.解：(1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C 2 6-1 (这里C 2指任选某次点 数为1, 6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C ； 6多1 1算了一次)或C 2 5 1种，故P X 1 C 26-1C25 1耳，其他结果类似36 3636可得•0, X1P{X 1} ,1X 2P{X 1} P{X 2} ,2X3F(x)P{X 1} P{X 2} P{X 3}， 3 x 4P{X 1} P{X 2} P{X3}P{X 4}, 4 x 5 P{X1} P{X2} P{X 3} P{X4} P{X5}, 5 x 61 ,x 622 •某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖,以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律.解:注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然P X 99k3.设随机变量 X 的分布律为P{X k} a ,k 0,1,2, k!k解：因为 a ae 1，所以a e k 0 k!4.设随机变量X 的分布律为X -1 2 3 p1/41/21/4(1)求X 的分布函数;1 3 512627，3 翌,4 3635,5 36x 2 x 3x 4 x 5x 6 62 1 C ；0 1260为常数，试求常数 a .3⑵求P{X 丄}，P{- X 5}，P{2 x 3}.2 2 2解:40, x -1布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率. 解：(1) X ~ P 0.5t P 1.5 P X 0 e 1.5. (2) 0.5t2.50, x -1P{X 1}， 1 x2(1) F (x)P{X 1} P{X 2}1, x 3⑵P 1XX1 124P 2 X 3 P X 2X 3 5.设随机变量X 的分布律为 P{X k}(1) P{X =偶数｝(2) P{ X 5}(3) P{ X=3的倍数｝2 x 33 ， ,2x341, x 33 51 P — X P X2 —222P X2 3 P X 3.4扌,k 1,2, 求：解：(1) P X 偶数丄1丄 22 221 lim i1(2) P X 51 P X 4115 1 16 16⑶P X 3的倍数23236.某公安局在长度为i123ilim123t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分2.5丄，1x2 45 7.某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概6解：设射击的次数为 X ，由题意知X ~ B 400,0.2i k k 400 kP X 2 1 P X 11 C 4000.02 0.98k 0查表泊松分布函数表得:P{X 2} 1 0.28 0.99728.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信(1)系数a ;(2) X 落在区间(0,[)内的概率.号•现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,则指示灯发出信号的概率 X ~ B 5,0.3 p P X 3 1 P X 3 1 (C 00.3°0.75 C 50.310.74 C ；0.320.73) 1 0.8369 0.1631. 9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X (以分钟计) 在窗口等待服务，若超过 务而离开窗口的次数.写出 服从参数为 5 10分钟，他就离开.他一个月要到银行 5次，以 Y 的分布律，并求P{Y 1}.指数分布•某顾客 Y 表示他未等到服 x 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则F(x) 1 e T , P X 10 Y~ B5, e 2 , 1 F(10) e 2 ,则 P{Y k} C5 (e 2)k (1 e 2)5k,k 0,1, 5 P{Y 1} 1- P{Y 0} 1 (1 e 2)5 0.5167 a cosx. 10.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)0,|x|~2，试求:|x |2解：(1)由归一性知：1 f (x)dx2a cosxdx 2a ，所以 a2由于上面二项分布的概率计算比较麻烦, 所以而且X 近似服P{X 2}18k ek 0k!7⑵-11.2.P{0 X —} ； cosxdx sin x |(424 .0,x011 . 设连续随机变量X的分布函数为F(x)Ax,0x 11,x1⑶X的概率密度.试求:(1) 解系数(1)A；由⑵X落在区间(0.3, 0.7)内的概率；的连续性可得lim F(x)F(x )在x=1 lim F(x) F(1)，即A=1.x 1(2) 0.3 X 0.7 F(0.7) F(0.3) 0.4.(3) X的概率密度 f (x) F (x)2x,00,12.设随机变量X服从(0, 5)上的均匀分布，求的概率.x的方程4x2 4Xx X 0有实根解：因为X服从(0, 5)上的均匀分布，所以1f(x) 50x5其他2 2方程4x 4Xx X(x 2)( X2(4X) 16X1，所以有实根的概率为0有实根，则32 51dx2510dxX〜N(3, 4)13.设求P{2 X 5}, P{(1) X 10}, P{ X 2}, P{X解: 确定c使得P{X c}设d满足P{X d} 0.9，问d至多为多少？(1)因为X ~ N(3,4)所以P{X c};2 3P{2 X 5} P{〒穿}P{1}(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 0.5328P 4 X 108F(2)(2.5)经查表得1 (0)，即2专)故斗214.设随机变量1.29，解：P XF(所以(k)15.设随机变量如何变化的？(3.5)2 0.999810 3 4 3(^)2 2(3.5) 2 (3.5)1 0.99962) 1(0.5)0.1，解：X ~ N(,(0.5)0.3023F(3)，则P X2X2(2.5)0.6977(0)得c 3 ；由概率密度关于即(-d 3)20.42.X服从正态分布2 2 (k)0.95 , p XN(0,1 0.5 0.5.c 3 1F(c)(〒)-，x=3对称也容易看出。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则__(|)P B A 等于 （A ）0； （B ）1/3； （C ）2/3； （D ）2/5.答：（ B ） 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数,则下列选项正确的是 （A ）()f x 连续； （B ）()(),P X a f a a R ==∀∈； （C ）()f x 的值域为[0,1]； （D ）()f x 非负。

答：（ D ） 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。

答：（ A ） 4、已知连续型随机变量X Y 、相互独立,且具有相同的概率密度函数()f x ，设随机变量min{,}Z X Y =，则Z 的概率密度函数为（A ）2)]([z f ； （B ）2()()z f u du f z -∞⎰； （C ）2)](1[1z f --； （D ）2(1())()zf u du f z -∞-⎰.答:（ D ）5、设12+1,,,,,,m m n X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的容量为n 的简单样本，则统计量2121()mi i ni i m n m X m X ==+-∑∑服从的分布是（A ）(,)F n m m - （B ）(1,1)F n m m --- （C ）(,)F m n m - （D ）(1,1)F m n m ---答:（ C ）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、某人投篮，每次命中的概率为23，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,x Ae x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A =12. 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其它，则概率(1)P Y ≤=2. 9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则)(Y X D -=1.8.10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X （单位：cm ）服从正态分布2(,0.3)N μ，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值_x ＝1.12，则μ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).（已知0.025 1.96z =，0.05 1.65z =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =） 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

概率学高考试题分析及答案概率学是数学的一门重要分支，也是高考数学考试中的一个重要内容。

在高考试题中，概率学往往占据一定比重，要求考生具备深厚的概率学知识和解题能力。

本文将对一些典型的概率学高考试题进行分析，并给出详细的解答过程。

1. 试题一A、B两名学生随机选取一本书进行阅读。

已知A学生在书架上有4本数学书、3本物理书和2本化学书可供选择；B学生在书架上有3本数学书、2本物理书和4本化学书可供选择。

求以下事件的概率：事件一：A和B选取的是同一科目的书；事件二：A和B选取的是不同科目的书。

解答：事件一的概率：首先计算A和B都选择数学书的概率：A选择数学书的概率为4/9，B选择数学书的概率为3/9，则A和B都选择数学书的概率为(4/9)×(3/9) = 4/27；同理，计算A和B都选择物理书的概率为(3/9)×(2/9) = 2/27，选择化学书的概率为(2/9)×(4/9) = 8/81。

所以事件一的概率为(4/27)+(2/27)+(8/81) = 62/81。

事件二的概率：由于事件二与事件一互为对立事件，所以事件二的概率为1-62/81 = 19/81。

2. 试题二某班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。

从该班级中随机抽取3名学生，求以下事件的概率：事件一：抽取的3名学生中至少有2名男生；事件二：抽取的3名学生中2名男生和1名女生。

解答：事件一的概率：计算抽取的3名学生全为男生的概率为(20/40)×(19/39)×(18/38) = 247/494；计算抽取的3名学生中有2名男生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×3 = 570/988。

所以事件一的概率为(247/494)+(570/988) = 89/197。

事件二的概率：计算抽取的3名学生中2名男生和1名女生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×[(20/40)×(20/39)×(19/38)]×3 = 190/658。

高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．【解答】解：由题可知，总的取法有72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为=1−42+121=23．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题．【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有223321=24种．【命题意图】第1题考察计数原理，考察排列组合的应用，考察古典概型的计算，考察应用排列组合计算古典概型问题的概率。

第2题考察排列组合的捆绑法、插空法等计算方法。

试题通过设计优化情境，应用型、创新性的考察。

【命题方向】排列组合与概率是高考必考的知识点之一，其中概率是相对容易排列组合则时难时易。

主要考察分类、分布计算原理的应用，考察古典概型及几何概型，突出考察分类讨论思想，考察转化化归数学思想应用，试题在问题情境的设置上越来越接近生活，把实际问题合理、正确的转化为排列组合概率问题，以此来考察思想、应用、创新等能力。

排列、组合与概率常以现实生活、社会热点为载体【得分要点】涉及到排列组合的综合问题，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，对各种情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.古典概率中的“人坐座位模型基础”：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。

为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。

1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。

以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。

求事件A发生且事件B不发生的概率。

解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。

因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。

题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。

求事件C或事件D发生的概率。

解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。

因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。

2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。

以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。

现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。

解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。

即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。

因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。

概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题（经典例题）（例1）（2021湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1-2 1121 B ． - C ． D ．π2πππ（答案）A（解析）令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=形OAC 面积和2π 1 2 1 1 1 π-2 S 1-××=．在扇形OAD 中为扇形面积减去三角2222282S S 1 1 2 1 S 2 π-2 π-2 π，=π×1--=，S 1+S2=，扇形OAB 面积S=，选A ． 228821644（例2）（2021湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX＝A.12661687 B. C. D. 12551255（答案）B275436827（解析）X 的取值为0，1，2，3且PX＝0 ＝，PX＝1 ＝PX＝2 ＝，PX＝3 ＝，故EX[***********]686＋1×，选B.1251251255（例3）（2021四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1137A. B. C. D. 4248（答案）C0≤x≤4，（解析）设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意?满足条件的关系式?0≤y≤4，?为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度面积为16平方单位，而满足条件的事件测度阴影部分面积为12平方单位，123故概率为164（例4）（2021江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. （答案）0.2（解析）从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 （例5）（2021江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，nm≤7，n≤9可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 2063（解析）基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9. 所以m ，n 都取到奇数共有2021种，故所求概率为63（例6）（2021山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________． 13（解析）当x2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞ . 在[－3，3]3－11上使不等式有解的区间为[1，3]，由几何概型的概率公式得P ＝.3－（－3）3（例7）（2021北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明 212；3月5日1313（解析）设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”i＝1，2，…，13 ．1根据题意，PAi＝，且Ai∩Aj＝i≠j．13（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2所以PB＝PA5∪A8＝PA5＋PA813（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且PX＝1 ＝PA3∪A6∪A7∪A11 4＝PA3＋PA6＋PA7＋PA11＝，13PX＝2 ＝PA1∪A2∪A12∪A13 4＝PA1＋PA2＋PA12＋PA13＝，135PX＝0 ＝1－PX＝1 －PX＝2 ＝13所以X 的分布列为54412故X 的期望EX＋2×＝13131313（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．2（例8）（2021福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以32获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？11（答案）1522（解析）方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这235人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，22411因为PX＝5 ＝×，所以PA＝1－PX＝5 ＝，35151511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E2X1，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E3X2．?2?2?由已知可得，X1～B 2，，X2～B 2，?， ?35?2424所以EX1＝2×＝EX23355812从而E2X1＝2EX1E3X2＝3EX2＝.35因为E2X1>E3X2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，2?22?22?1?222因为PX＝0 ＝ 1－?× 1－?，PX＝2 ＝× 1－＝PX＝3 ＝ 1－，5?5335?5?3?51511所以PA＝PX＝0 ＋PX＝2 ＋PX＝3 ＝1511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：1448所以EX1＋4×＝，9993912412EX2＝0×＋3×＋6×2525255因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（例9）（2021浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取有放回，且每球取到的机会均等2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； 55（2）从该袋子中任取每球取到的机会均等1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝求a ∶b ∶c.39（答案）3∶2∶1（解析）（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.3×31Pξ＝2 ＝，6×642×3×21Pξ＝3 ＝，6×632×3×1＋2×25Pξ＝4 ＝.6×6182×2×11Pξ＝5 ＝，6×691×11Pξ＝6 ＝，6×636所以ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为a 2b 3c 5所以Eη＝＋a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c 35a 5b 5c 5Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 92a －b －4c ＝0，化简得?解得a ＝3c ，b ＝2c ，?a ＋4b －11c ＝0，?故a∶b∶c＝3∶2∶1.（例10）（2021北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. （答案）43； 278（解析）本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二?11?14P A =个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为 1- 1-=.?33?327（2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“ξ=2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），4?12?∴P ξ=2k =C k? 33?k4-kk =0,1,2,3,4，∴即ξ的分布列是+2?+4?+6?+8?=. ∴ξ的期望是E ξ=0?[1**********]（课堂练习）1. （2021广东）已知离散型随机变量则X 的数学期望EX＝35A. B ．2 C. D ．3 222. （2021陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．ππππA ．1－B ．－1 B ．2－ D ．42243．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为4323A ． B ． C ． D ．777144．（2021安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．?F ?E?A5. （2021江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．1234 B ． C ． D ． 75757575?B31334850B ．C ．D ． . 818181816. （2021辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为π817. （2021上海理）若事件E 与F 相互独立，且P E =P F =，则P E I F 的值等于4111A ．0B ．C ．D ．4216A ．B ．1-D ．1-π4ππ C ． 48x 2y 28．（2021广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ＋1表示焦点在x 轴上且离心率小a b3于 21151731A ． B C ． D ．23232329．已知数列{an }满足a n ＝a n －1＋n －1n≥2，n ∈N ，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a，b ，c}＝{a1，a 2，a 3}1≤ai ≤6，i ＝1，2，3 的概率是1111A ． B ． C ． D ．7236241210. （2021湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

高考真题数学概率题解析在高考中，数学概率题是必不可少的一部分，通常会出现在选择题或计算题中。

概率题主要考察考生对概率相关知识的理解和运用能力，解答这类题目需要考生具备严密的逻辑思维和计算能力。

下面将结合几道高考真题，对数学概率题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这一考点。

1. **【高考真题一】**已知事件A的概率为P(A) = 0.6，事件B的概率为P(B) = 0.5，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B同时发生的概率。

**解析：**由题意可知，事件A与事件B相互独立，即P(A∩B)= P(A) ×P(B)。

所以，P(A∩B) = 0.6 × 0.5 = 0.3。

因此，事件A与事件B同时发生的概率为0.3。

2. **【高考真题二】**某班有60名学生，其中物理成绩在80分及以上的有40人，化学成绩在80分及以上的有30人，已知物理与化学成绩均在80分及以上的有20人，求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率。

**解析：**设事件A表示物理成绩在80分及以上，事件B表示化学成绩在80分及以上。

题目要求求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率，即P(A∪B)。

由全概率公式可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

其中，P(A) = 40/60 = 2/3，P(B) = 30/60 = 1/2，P(A∩B) = 20/60 = 1/3。

代入计算可得，P(A∪B) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6。

因此，任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率为5/6。

3. **【高考真题三】**设随机变量X的概率密度函数为 f(x) = a(1-x²)，x∈[-1,1]，已知E(X) = 0，求a的值。

**解析：**由概率密度函数的性质可知，积分∫f(x)dx在定义域内等于1。

因此，∫a(1-x²)dx = 1，化简得∫a -a(x²)dx = 1。

高考概率试题及答案1. 某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取100件产品进行检查，问其中合格产品数量在90到95件之间的概率是多少？答案：设合格产品数量为X，则X服从二项分布B(100,0.95)。

根据二项分布的概率公式，P(90≤X≤95) =C_{100}^{90}(0.95)^{90}(0.05)^{10} +C_{100}^{91}(0.95)^{91}(0.05)^{9} + ... +C_{100}^{95}(0.95)^{95}(0.05)^{5}。

2. 一袋中有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少抽到一个红球的概率。

答案：设至少抽到一个红球的事件为A，那么对立事件为A'，即抽到的3个球都是蓝球。

P(A') = C_{20}^{3}/C_{30}^{3}，所以P(A) = 1 - P(A') = 1 - C_{20}^{3}/C_{30}^{3}。

3. 某射击运动员射击10次，每次击中目标的概率为0.4，求至少击中3次的概率。

答案：设击中次数为X，则X服从二项分布B(10,0.4)。

至少击中3次的概率为P(X≥3) = 1 - P(X<3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = 1 - [(0.6)^{10} + C_{10}^{1}(0.4)(0.6)^{9} +C_{10}^{2}(0.4)^{2}(0.6)^{8}]。

4. 甲乙两人进行乒乓球单打比赛，每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率。

答案：甲获胜的情况有三种：3:0，3:1，3:2。

P(3:0) = (0.6)^{3}，P(3:1) = C_{3}^{2}(0.6)^{3}(0.4)，P(3:2) =C_{4}^{2}(0.6)^{3}(0.4)^{2}。

所以甲获胜的总概率为P(3:0) +P(3:1) + P(3:2)。

概率学高考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 某次考试中，甲、乙、丙三人参加，已知甲通过的概率为0.5，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.7，且三人是否通过互不影响。

则三人中至少有一人通过的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.9答案：D2. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/13答案：A3. 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机抽取两个球，两个球颜色不同的概率是：A. 1/4B. 2/5C. 3/8D. 5/14答案：C4. 某次射击比赛中，甲选手射击10次，每次击中目标的概率为0.3，且每次射击是否击中目标是相互独立的。

则甲选手至少击中目标3次的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.7D. 0.9答案：B5. 某学校有5名男生和3名女生，随机选出3名学生参加校运会，选出的3名学生中至少有1名女生的概率是：A. 1/2B. 2/3C. 5/6D. 3/4答案：C6. 抛掷一枚均匀的硬币3次，3次都是正面朝上的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：C7. 某工厂生产的零件中，合格品的概率为0.95，不合格品的概率为0.05。

从这批产品中随机抽取3件，至少有1件是不合格品的概率是：B. 0.025C. 0.05D. 0.1答案：B8. 某班有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选出5名学生参加校运会，选出的5名学生中至少有2名女生的概率是：A. 3/4B. 5/6C. 2/3D. 1/2答案：A9. 某次考试中，甲、乙、丙三人参加，已知甲通过的概率为0.5，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.7，且三人是否通过互不影响。

则三人中至少有一人通过的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.9答案：D10. 某次射击比赛中，甲选手射击10次，每次击中目标的概率为0.3，且每次射击是否击中目标是相互独立的。