(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc

高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。

已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。

现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。

2.一批产品某种型号有20%的不合格品。

现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。

首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。

而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。

因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。

假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。

因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。

3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。

现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。

高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。

在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。

题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。

题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。

解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。

题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。

解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。

通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。

希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。

高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。

答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。

根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。

2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。

其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。

根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。

3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。

答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。

然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。

根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。

二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。

今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。

答案：首先确定次品数为10、11、...、20。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。

计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。

2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。

随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。

答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。

然后根据概率公式计算概率。

3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。

答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。

三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(事件与概率)汇编考点01 古典概率一、单选题1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2023∙全国乙卷∙高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．56B．23C．12D．133．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．16B．13C．12D．234．（2022∙全国甲卷∙高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．235．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．236．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.87．（2019∙全国∙高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A．16B．14C．13D．128．（2019∙全国∙高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23 B．35C．25D．15二、填空题21．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 ．23．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．24．（2023∙天津∙高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 25．（2022∙浙江∙高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ== ，()E ξ= ．26．（2022∙全国甲卷∙高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 27．（2022∙全国乙卷∙高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．28．（2021∙浙江∙高考真题）袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= ，()E ξ= .29．（2020∙江苏∙高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .30．（2019∙江苏∙高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点02 条件概率1．（2024∙天津∙高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.43．（2022∙天津∙高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为考点03 全概率公式与贝叶斯公式1．（2024∙上海∙高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．2．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．考点04 正态分布指定区间的概率1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><2．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >= ．3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ） A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等参考答案考点01 古典概率一、单选题 1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）6323【答案】A【详细分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【答案详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：甲 1234 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(1,5) (1,6) 2 (2,1)(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3)(3,4) (3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3)(5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366P ==. 故选：A3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）5353【答案】C【详细分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【答案详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=. [方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为122305=. 故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；5．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D.6．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.5C ．0.6D ．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610， 故选：C.7．（2019∙全国∙高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14 C ．13D ．12【答案】D【解析】男女生人数相同可利用整体发详细分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【答案详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【名师点评】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．8．（2019∙全国∙高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B【详细分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【答案详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63105，选B ． 【名师点评】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．二、填空题 21．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】12/0.5 【详细分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后详细分析其和随机变量即可. 【答案详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==. 从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==. 而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==. 所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=. 故答案为：12.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 ． 【答案】715【详细分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【答案详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤， 故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤， 故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种， 若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种， 当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种， 当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种， 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=， 故所求概率为56712015=. 故答案为：71523．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．【答案】 24 112【详细分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【答案详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，ab c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；112【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.24．（2023∙天津∙高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 0.0535/0.6 【详细分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【答案详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ； 乙盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ； 丙盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个， 所以，()93155n P B n ==． 故答案为：0.05；35．25．（2022∙浙江∙高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ== ，()E ξ= ． 【答案】1635，127/517【详细分析】利用古典概型概率公式求(2)P ξ=，由条件求ξ分布列，再由期望公式求其期望.【答案详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===， 由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, 故答案为：1635，127. 26．（2022∙全国甲卷∙高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【答案】635. 【详细分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【答案详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===． 故答案为：635． 27．（2022∙全国乙卷∙高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 【答案】310/0.3 【详细分析】根据古典概型计算即可【答案详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率310P =. 故答案为：310. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31028．（2021∙浙江∙高考真题）袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= ，()E ξ= .【答案】 189【详细分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量ξ的分布列即可求出()E ξ． 【答案详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C CCξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为：1；89．29．（2020∙江苏∙高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 【答案】19【详细分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【答案详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19.【名师点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 30．（2019∙江苏∙高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710. 【详细分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【答案详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C=种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C=种情况，所以所求的概率为617 1010 +=.【名师点评】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.考点02 条件概率1．（2024∙天津∙高考真题）,,,,A B C D E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为．【答案】 3512【详细分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率.【答案详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE,共10种情况，其中甲选到A有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE，则甲选到A得概率为：63105P==；乙选A活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE， 其中再选则B有3种可能性：,,ABC ABD ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31 = 62.解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为()2435C3 C5P M==；乙选了A活动，他再选择B活动的概率为()()()133524351C2CCP MN CP N MP M===故答案为：35；122．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8 B ．0.6C ．0.5D ．0.4【答案】A【详细分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【答案详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+-=， 记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P B A P A ===∣. 故选:A .3．（2022∙天津∙高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为 【答案】1221 117【详细分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.【答案详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B ,第二次抽到A 的事件为C ,则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BC P BC P B P C B P B P =⨯======. 故答案为：1221；117.考点03 全概率公式与贝叶斯公式1．（2024∙上海∙高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．【答案】0.85【详细分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【答案详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=．故答案为：0.85．（附加）2．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 【答案】(1)0.6(2)1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭(3)52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详细分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设()i i P A p =，由题意可得10.40.2i i p p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【答案详解】（1）记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ， 所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+ ()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.（2）设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+， 构造等比数列{}i p λ+， 设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【名师点评】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．考点04 正态分布指定区间的概率1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【答案】BC【详细分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出. 【答案详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误； 因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<， 而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误， 故选：BC ．2．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >= ．【答案】0.14/750． 【详细分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【答案详解】因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ） A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【详细分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【答案详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.。

高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：海洋学院医学院经济学院学院机械工程学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为ξ345P数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设该小组中有n 个女生，根据题意，得解得n=6，n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=3）=P（ξ=2）=1﹣∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ=1×12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学海洋学院医学院经济学院院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0123P所以13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X012P．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：ξ10﹣1pEξ=﹣=．…（6分）（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的可能取值为2，﹣2，P（η=2）=α，P（η=﹣2）=β，η的分布列为η2﹣2pαβ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X12345P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：X800840880920P…..（13分）17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为X0123P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：。

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计解答题）汇编考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==∑，2011200iiy==∑，202180iixx=-=∑（，2021)9000iiy y=-=∑（，201)800iiix yx y=--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r)ni ix yx y--∑（（≈1．414．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．6352．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．8283 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．8285．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．8286．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 【答案解析】：(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲.分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；(2)选甲分厂，理由见答案解析．【答案解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=；(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：的记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)． 【答案】【答案解析】：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩， 解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)． 【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【答案解析】：(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁)． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据： 样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积量i y0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑．【答案】(1)20.06m ；30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】：【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ， 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ． 则该林区这种树木总材积量估计为31209m2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，202180i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．的附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1．414．【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有 【答案解析】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013P M ==； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则210()28074P N ==． A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78． (2)列联表准点班次数未准点班次数 合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 2．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．828【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 3 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)75%；60%；的(2)能．答案解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=．(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400] (400，600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见答案解析．【答案解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．6．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。

概率高考题及答案详解14．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则能够获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；投保人应交纳的最低保费（单位：元）．15．（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221332，，，且各人回答准确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这个事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这个事件，求()P AB ．16．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数很多于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 17（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(18)(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家实行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家实行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有ABCD 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题ABCD 分别加1分2分3分6分，打错任一题减2分; ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数不足14分时，答题结束，淘汰出局。

概率学高考试题及答案概率学是高中数学课程中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。

以下是一套概率学高考试题及答案，供考生练习。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 某班有30名学生，其中男生20人，女生10人。

从这30名学生中随机抽取一人，抽到男生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/5答案：B2. 一个袋子里装有3个红球和2个蓝球，随机取出2个球，至少有一个红球的概率是多少？A. 1/3B. 3/5C. 2/3D. 4/5答案：C3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.4答案：B4. 抛一枚硬币两次，出现正面朝上的次数X服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 几何分布答案：B5. 一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于多少？A. λ^k * e^(-λ) / k!B. k * λ^(k-1) * e^(-λ)C. λ * e^(-λ) / kD. e^(-λ) * (λ/k)答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个盒子里有5个白球和3个黑球，随机取出2个球，两个都是白球的概率是______。

答案：5/147. 某次考试的及格率为70%，如果随机抽取10名学生，至少有7名学生及格的概率是______。

答案：[计算略]8. 一个骰子连续掷两次，点数之和为7的概率是______。

答案：5/369. 某工厂生产的产品中有2%是次品，如果随机抽取100件产品，期望的次品数是______。

答案：210. 一个随机变量X服从标准正态分布，那么P(-1 < X < 1) ≈______。

答案：0.6827三、解答题（共25分）11. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求以下事件的概率：- 事件A：取出的3个球都是红球。

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

概率学高考试题分析及答案概率学是数学的一门重要分支，也是高考数学考试中的一个重要内容。

在高考试题中，概率学往往占据一定比重，要求考生具备深厚的概率学知识和解题能力。

本文将对一些典型的概率学高考试题进行分析，并给出详细的解答过程。

1. 试题一A、B两名学生随机选取一本书进行阅读。

已知A学生在书架上有4本数学书、3本物理书和2本化学书可供选择；B学生在书架上有3本数学书、2本物理书和4本化学书可供选择。

求以下事件的概率：事件一：A和B选取的是同一科目的书；事件二：A和B选取的是不同科目的书。

解答：事件一的概率：首先计算A和B都选择数学书的概率：A选择数学书的概率为4/9，B选择数学书的概率为3/9，则A和B都选择数学书的概率为(4/9)×(3/9) = 4/27；同理，计算A和B都选择物理书的概率为(3/9)×(2/9) = 2/27，选择化学书的概率为(2/9)×(4/9) = 8/81。

所以事件一的概率为(4/27)+(2/27)+(8/81) = 62/81。

事件二的概率：由于事件二与事件一互为对立事件，所以事件二的概率为1-62/81 = 19/81。

2. 试题二某班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。

从该班级中随机抽取3名学生，求以下事件的概率：事件一：抽取的3名学生中至少有2名男生；事件二：抽取的3名学生中2名男生和1名女生。

解答：事件一的概率：计算抽取的3名学生全为男生的概率为(20/40)×(19/39)×(18/38) = 247/494；计算抽取的3名学生中有2名男生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×3 = 570/988。

所以事件一的概率为(247/494)+(570/988) = 89/197。

事件二的概率：计算抽取的3名学生中2名男生和1名女生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×[(20/40)×(20/39)×(19/38)]×3 = 190/658。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 从一副52张的扑克牌中（去掉大小王），随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 4/132. 一个袋子里装有5个红球和7个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 5/12B. 7/12C. 1/2D. 5/73. 一枚均匀的硬币连续抛掷两次，至少出现一次正面的概率是多少？A. 3/4B. 1/2C. 1/4D. 1/34. 一个班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。

随机选择一名学生，这名学生是女生的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1D. 05. 一批产品中有10个正品和5个次品，随机抽取3个产品，至少抽取到2个正品的概率是多少？A. 21/55B. 36/55C. 45/55D. 54/55二、填空题（每题5分，共50分）6. 从1到10这10个数字中随机抽取一个数字，抽到偶数的概率是______。

7. 一批产品中有30%是次品，随机抽取5个产品，其中至少有1个次品的概率是______。

8. 抛掷两个均匀的正方体，两个正方体上点数之和为7的概率是______。

9. 一个密码锁由3位数字组成，每个数字可以是0到9中的任意一个，随机输入一个密码，输入正确的概率是______。

10. 一个班级有30名学生，其中有10名喜欢数学，15名喜欢物理，5名两者都喜欢。

随机选择一名学生，这名学生既喜欢数学又喜欢物理的概率是______。

三、解答题（每题20分，共40分）11. 甲、乙两人进行一场比赛，甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4。

如果比赛进行到一半时，甲领先2分，请问此时甲最终获胜的概率是多少？12. 一个袋子里装有10个球，其中有3个红球、4个蓝球和3个绿球。

随机取出3个球，求以下事件的概率：（1）取出3个球都是同一种颜色的概率；（2）取出3个球中有2个红球和1个蓝球的概率。

答案一、选择题1. A2. A3. A4. A5. B二、填空题6. 1/27. 0.7298. 6/36 = 1/69. 1/100010. 5/30 = 1/6三、解答题11. 由于甲领先2分，且甲获胜的概率为0.6，所以甲最终获胜的概率仍然是0.6。

概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。

以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。

练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。

求取出红球的概率。

解答：总共有8个球，其中5个是红球。

取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。

现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。

从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。

因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。

现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。

解答：这是一个二项分布问题。

次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。

使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。

练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。

投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。

每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。

高考真题数学概率题解析在高考中，数学概率题是必不可少的一部分，通常会出现在选择题或计算题中。

概率题主要考察考生对概率相关知识的理解和运用能力，解答这类题目需要考生具备严密的逻辑思维和计算能力。

下面将结合几道高考真题，对数学概率题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这一考点。

1. **【高考真题一】**已知事件A的概率为P(A) = 0.6，事件B的概率为P(B) = 0.5，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B同时发生的概率。

**解析：**由题意可知，事件A与事件B相互独立，即P(A∩B)= P(A) ×P(B)。

所以，P(A∩B) = 0.6 × 0.5 = 0.3。

因此，事件A与事件B同时发生的概率为0.3。

2. **【高考真题二】**某班有60名学生，其中物理成绩在80分及以上的有40人，化学成绩在80分及以上的有30人，已知物理与化学成绩均在80分及以上的有20人，求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率。

**解析：**设事件A表示物理成绩在80分及以上，事件B表示化学成绩在80分及以上。

题目要求求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率，即P(A∪B)。

由全概率公式可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

其中，P(A) = 40/60 = 2/3，P(B) = 30/60 = 1/2，P(A∩B) = 20/60 = 1/3。

代入计算可得，P(A∪B) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6。

因此，任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率为5/6。

3. **【高考真题三】**设随机变量X的概率密度函数为 f(x) = a(1-x²)，x∈[-1,1]，已知E(X) = 0，求a的值。

**解析：**由概率密度函数的性质可知，积分∫f(x)dx在定义域内等于1。

因此，∫a(1-x²)dx = 1，化简得∫a -a(x²)dx = 1。

第一章习题1.1（P6）1、写出下列随机试验的样本空间（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和{3,4,5,6,7,….16,17,18}（2）单位圆内任取一点，记录其坐标{(x,y)|x²+y²＜1}（3）生产新产品直至有10件合格品为止，记录生产的总件数{x|x≥10且x∈N}3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件A i表示第i次射击时击中目标（i=1,2,3）。

试用文字叙述下列事件：（1）A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）A=“第二次未击中目标”;2（3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;（4）A1⋃A2⋃A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;（6）A32A=“第三次击中但第二次未击中”;（7）A A=“前两次均未击中”;12（8）12A A=“前两次均未击中”;（9）(A1A2)⋃(A2A3)⋃(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”. 4、设A,B,C表示三个事件，利用A,B,C表示下列事件。

（1）A发生，B,C都不发生ABC（2）A,B 发生，C 不发生ABC（3）三个事件，A,B,C 均发生ABC（4）三个事件，A,B,C 至少有一个发生A ∪B ∪C（5）三个事件，A,B,C 都不发生ABC（6）三个事件中不多于一个事件发生AB BC AC（7）三个事件中不多于两个事件发生AB C（8）三个事件中至少有两个发生AB+AC+BC习题1.2（P 11）6、一口袋中有5个白球，3个黑球。

求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。

设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C7、一批产品由37件正品，3件次品组成，从中任取3件，求(1)3件中恰有意见次品的概率组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)3件全为次品的概率组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001 (3)3件全为正品的概率组成事件(3)所包含的样本点数为237C ，所以P 3=237340C C ≈0.7864 （4）3件中至少有一件次品的概率事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136（5）3件中至少有两件次品的概率组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340C C C C ⋅+ ≈0.01134 8、从0至9这10个数字钟，不重复地任取4个，求（1）能组成一个4位奇数的概率； （2）能组成一个4位偶数的概率。

概率学高考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 某次考试中，甲、乙、丙三人参加，已知甲通过的概率为0.5，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.7，且三人是否通过互不影响。

则三人中至少有一人通过的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.9答案：D2. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/13答案：A3. 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机抽取两个球，两个球颜色不同的概率是：A. 1/4B. 2/5C. 3/8D. 5/14答案：C4. 某次射击比赛中，甲选手射击10次，每次击中目标的概率为0.3，且每次射击是否击中目标是相互独立的。

则甲选手至少击中目标3次的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.7D. 0.9答案：B5. 某学校有5名男生和3名女生，随机选出3名学生参加校运会，选出的3名学生中至少有1名女生的概率是：A. 1/2B. 2/3C. 5/6D. 3/4答案：C6. 抛掷一枚均匀的硬币3次，3次都是正面朝上的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：C7. 某工厂生产的零件中，合格品的概率为0.95，不合格品的概率为0.05。

从这批产品中随机抽取3件，至少有1件是不合格品的概率是：B. 0.025C. 0.05D. 0.1答案：B8. 某班有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选出5名学生参加校运会，选出的5名学生中至少有2名女生的概率是：A. 3/4B. 5/6C. 2/3D. 1/2答案：A9. 某次考试中，甲、乙、丙三人参加，已知甲通过的概率为0.5，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.7，且三人是否通过互不影响。

则三人中至少有一人通过的概率为：A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.9答案：D10. 某次射击比赛中，甲选手射击10次，每次击中目标的概率为0.3，且每次射击是否击中目标是相互独立的。

【经典例题】【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1-2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π【答案】A【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12为扇形面积减去三角形OAC 面积和S 22， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )A. 126125B. 65C. 168125D. 75 【答案】B【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A. 14B. 12C. 34D. 78【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，0≤y≤4，满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34.【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 【答案】2063【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 【答案】13【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】213；1213；3月5日【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝113，且Ai∩Aj＝．（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且P(X ＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X ＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝513.所以X 的分布列为故X 的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P(X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； （2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.【答案】3∶2∶1 【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518.P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136，所以ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，Dη＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a∶b∶c＝3∶2∶1.【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. 【答案】427；38【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkkP k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即ξ的分布列是∴ξ的期望是0246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【课堂练习】1.（2013广东）已知离散型随机变量则X 的数学期望E(X)＝( )A. 32 B ．2 C. 52D ．3 2.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( ) A ．1－π4 B ．π2－1 B ．2－π2 D ．π43．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )A ．47B ．37C ．27D ．3144．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．175 B ． 275 C ．375 D ．4755.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181 B ．3381 C ．4881 D ．5081. 6.（2009辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为A ．4πB ．14π-C ．8π D ．18π-7.（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F I 的值等于A ．0B ．116C ．14D ．12∙A ∙∙∙∙∙BC D EF8．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A ．12 B ．1532 C ．1732 D ．31329．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n －1(n≥2，n∈N )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a ，b ，c}＝{a 1，a 2，a 3}(1≤a i ≤6，i ＝1，2，3)的概率是( )A ．172B ．136C ．124D ．11210.（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。