不等式解法及线性规划

线性不等式与线性规划的解法线性不等式和线性规划是数学中常见的问题类型，它们在日常生活和各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍线性不等式与线性规划的定义、解法和一些应用示例。

一、线性不等式的定义和解法线性不等式是指一个或多个变量的线性函数与一个常数之间的不等关系。

其表达形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b其中，a₁, a₂, ..., aₙ是系数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量，b是常数。

要解决线性不等式，我们需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。

常用的解法有以下几种：1. 图形法：将线性不等式转化为几何图形，通过观察图形与坐标轴的交点来确定解集。

2. 代入法：将线性不等式转化为等式，找到其中一个变量的解，代入到不等式中求解其他变量。

重复此过程直至得到所有解。

3. 增减法：通过增减变量值来确定解集的上下界，进而找到满足不等式的解集。

二、线性规划的定义和解法线性规划是指在一定约束条件下，通过线性函数的优化求解最大值或最小值的问题。

其表达形式为：Maximize (or Minimize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙsubject to:a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b₁d₁x₁ + d₂x₂ + ... + dₙxₙ ≤ b₂e₁x₁ + e₂x₂ + ... + eₙxₙ ≥ b₃...x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)是目标函数，表示需要最大化或最小化的线性函数；约束条件由不等式给出，b₁, b₂, b₃是常数。

线性规划的解法主要有以下两种：1. 几何法：将约束条件转化为几何图形，通过观察图形与目标函数的相对位置关系，找到最优解。

2. 单纯形法：通过转化为标准形式，并利用单纯形表来进行迭代计算，逐步逼近最优解。

三、线性不等式和线性规划的应用示例线性不等式和线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

第3讲不等式及线性规划本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享「考情研析」 1.对不等式的性质及不等式解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质等相结合命题，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中． 2.基本不等式主要渗透在其他知识点中求最值． 3.简单的线性规划常以选填题形式呈现，一般难度不大.核心知识回顾1．不等式的一些常用性质(1)a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒.(2)a>b，c>d⇒a＋＋d.(3)a>b>0，c>d>0⇒.(4)a>b>0，n∈N*⇒a n.(5)a>b>0n∈N，n≥2)．(6)a>b，ab>0a<0<b a>b>0，d>c>02．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法f(x) g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．基本不等式ab≤a＋b 2(1)(2) 4．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2a ，b ∈R )；(2)b a ＋ab ≥a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，x ＋y 2P .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值P ，xy 大值是P 24.(简记：和定积最大)6．二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 中，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线哪一侧的平面区域．说明：直线同侧同号，异侧异号.热点考向探究考向1 不等式的性质及解法例1 (1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1b B ．若0<a <1，则a 3<a C ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2 答案 BC解析 A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立；B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，因此正确；C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，正确；D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0，而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不正确．故选BC ．(2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，若对于任意实数k ，不等式|k a ＋t b |>1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞C ．(3，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞答案 B解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝7，∴a ·b ＝－1，又|k a ＋t b |>1，∴(k a ＋t b )2>1，即k 2a 2＋t 2b 2＋2kt a ·b ＝k 2＋4t 2－2kt >1对于任意实数k 恒成立，∴k 2－2kt ＋4t 2－1>0对于任意实数k 恒成立，∴Δ＝(－2t )2－4(4t 2－1)<0，∴t <－33或t >33，故选B ．(3)(2020·四川省成都模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.答案 (－3,0)∪(3，＋∞)解析 设x <0，则－x >0，由题意可得f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝－x 2－2x ，故当x <0时，f (x )＝－x 2－2x . 由不等式f (x )>x ，可得⎩⎨⎧ x >0，x 2－2x >x 或⎩⎨⎧x <0，－x 2－2x >x ，求得x >3或－3<x <0.即不等式f (x )>x 的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．(1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函数图象得到其解集．1．(多选)(2020·海南省高三三模)设a ，b ，c 为实数且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a >1b B ．2020a －b >1 C ．ln a >ln b D ．a (c 2＋1)>b (c 2＋1)答案 BD解析 对于A ，若a >b >0，则1a <1b ，所以A 错误；对于B ，因为a －b >0，所以2020a －b >1，故B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为c 2＋1>0，所以a (c 2＋1)>b (c 2＋1)，所以D正确．故选BD．2．(多选)(2020·山东省淄博模拟)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A．10 B．3C．－4.5 D．－5答案BC解析不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)·([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3，又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以满足不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为B，C．故选BC．3．定义：区间[a，b]，(a，b]，(a，b)，[a，b)的长度均为b－a，若不等式1x－1＋2x－2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A．当m>0时，l＝m2＋2m＋9mB．当m>0时，l＝3 mC．当m<0时，l＝－m2＋2m＋9mD．当m<0时，l＝－3 m答案 B解析①当m＞0时，∵1x－1＋2x－2≥m⇔mx2－(3＋3m)x＋2m＋4(x－1)(x－2)≤0，令f(x)＝mx2－(3＋3m)x＋2m＋4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则m(x－x1)(x－x2) (x－1)(x－2)≤0，且x1＋x2＝3＋3mm＝3＋3m.∵f(1)＝m－3－3m＋2m＋4＝1＞0，f(2)＝4m－6－6m＋2m＋4＝－2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，∴不等式的解集为(1，x 1]∪(2，x 2]， ∴l ＝x 1－1＋x 2－2＝x 1＋x 2－3＝3＋3m －3＝3m . ②当m <0时，由(1)知f (1)>0，f (2)<0， 可得x 1<1<x 2<2.∴不等式的解集为(－∞，x 1]∪(1，x 2]∪(2，＋∞)． ∴解集中所有区间的长度之和无穷大． 综上，故选B ．考向2 基本不等式的应用例2 (1)(2020·四川省内江市、广安市等九市二诊)在△ABC 中，点P 为BC的中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC→(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为( ) A ．54 B ．2 C ．3 D ．72答案 B解析 如图，连接AP ，∵P 为BC 的中点，AM→＝λAB →，AN →＝μAC →，且λ>0，μ>0，∴AP→＝12AB →＋12AC →＝12λAM →＋12μAN →，且M ，P ，N 三点共线，∴12λ＋12μ＝1，∴λ＋μ＝(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋12μ＝12＋λ2μ＋μ2λ＋12≥1＋2λ2μ·μ2λ＝2，当且仅当λ2μ＝μ2λ，即λ＝μ＝1时取等号，∴λ＋μ的最小值为2.故选B ．(2)若曲线y ＝x 3－2x 2＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m >0，n >0)上，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．6＋4 2D ．8 2答案 C解析 设A (x 0，y 0)，则y ′＝3x 2－4x ⇒3x 20－4x 0＝4，∴x 0＝2或x 0＝－23，分别将x 0的值代入方程y ＝x 3－2x 2＋2，得⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2227.因为A (x 0，y 0)在y ＝4x －6上，所以⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2，即2m ＋2n －1＝0，m ＋n ＝12，从而1m ＋2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥2⎝⎛⎭⎪⎫3＋2n m ·2m n ＝6＋42，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－12，n ＝2－22时取等号，即1m ＋2n 的最小值为6＋42，故选C ．(3)(2020·江苏省七市高三第三次调研)已知x >1，y >1，xy ＝10，则1lg x ＋4lg y 的最小值是________.答案 9解析 因为x >1，y >1，xy ＝10，所以lg x ＋lg y ＝1，则1lg x ＋4lg y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg x ＋4lg y (lg x ＋lg y )＝5＋lg y lg x ＋4lg xlg y ≥5＋2lg y lg x ·4lg x lg y ＝9，当且仅当lg y lg x ＝4lg xlg y ，即lg y＝2lg x 且xy ＝10，即x ＝310，y ＝3100时取等号．利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值．(2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．1．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( )A ．最大值27B ．最小值27C ．最大值54D ．最小值54答案 D解析 因为x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝236＝54，当且仅当x ＝32，y ＝3时，9x ＋3y 有最小值54.2．(2020·湖南省郴州市高三一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，则3a a －1＋4b b －2的最小值为( )A ．7B ．7＋4 3C ．5＋4 3D ．7＋2 3答案 B解析 ∵f (x )＝x ＋sin x ，∴f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，∵正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，∴1a ＋2b ＝1，∴b ＝2a a －1>0，∴a >1，则3a a －1＋4b b －2＝7＋3a －1＋8b －2＝7＋3a －1＋82a a －1－2＝7＋3a －1＋4(a －1)≥7＋43，当且仅当4(a －1)＝3a －1，即a ＝1＋32时取等号，所以3a a －1＋4bb －2的最小值为7＋4 3.故选B ．3．(2020·山东威海模拟)若∀x ∈(0，＋∞)，4x 2＋1x ≥m ，则实数m 的取值范围为__________.答案 (－∞，4]解析 因为x >0，则4x 2＋1x ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ，即x ＝12时取等号，因为4x 2＋1x ≥m ，所以4≥m ，即实数m 的取值范围为(－∞，4]．考向3 线性规划问题例3 (1)(2020·安徽六安一中3月模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y ＋2x的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103B ．(－∞，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞答案 D解析原不等式组可以等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≥0，x －y －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <0，x ＋y ＋1≥0.画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中点A (－1,0)，点B (3,2)，而z ＝2x ＋y ＋2x ＝2＋y ＋2x 的几何意义为区域内的点(x ，y )与点M (0，－2)连线的斜率k 加上2，结合图形可知k ≥43或k ≤－2，因此z ≥43＋2＝103或z ≤－2＋2＝0.即z 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞，故选D ．(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.答案 －5解析 解法一：(图解法)由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．平移直线3x －2y ＝0可知，目标函数z ＝3x －2y 在A 点处取最小值， 由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，即A (－1,1)，所以z min ＝3×(－1)－2×1＝－5. 解法二：(界点定值法)由题意知，约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域为三角形及其内部，三角形的顶点分别为(－1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.将三点的坐标分别代入z ＝3x －2y ，得z min ＝－5.(3)(2020·广州市综合检测)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y ＋2≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－2.故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，所以－m ≥－32，解得m ≤32.作出直线x －2y ＝2，由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－53，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－53，因为存在点P (x 0，y 0)，使得x 0－2y 0－2＝0，即直线x －2y －2＝0与平面区域有交点，则需满足－m ≥－43，所以m ≤43，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43.二元一次不等式表示的平面区域的判断方法方法一：特殊点法只需在直线的某一侧任取一点(x 0，y 0)，根据Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示直线的哪一侧区域．若直线不过原点(即C ≠0)，常把原点(0,0)作为特殊点．若直线经过原点(即C ＝0)，常选(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)等特殊点代入判断．方法二：一般式(A >0)，大为右，小为左当A >0时，Ax ＋By ＋C >0表示直线右方区域；Ax ＋By ＋C <0表示直线左方区域．方法三：一般式，“同”为上，“异”为下观察B 的符号与不等式的符号，若B 的符号与不等式的符号“相同”，则表示直线上方的区域；若B 的符号与不等式的符号“相异”，则表示直线下方的区域．1．(2020·湖南长郡中学第二次适应性考试)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则点(x ，y )构成平面区域的面积是( )A ．3B ．52 C ．2D ．32答案 A解析 根据题意作出不等式组所表示的平面区域，分别求得A (2,2)，B (4，－2)，C (1,1)，求出点B 到直线y ＝x 的距离d ＝|4－(－2)|12＋(－1)2＝32，AC ＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，∴S △ABC ＝12AC ·d ＝12×2×32＝3.故选A ．2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2，且z ＝ax －y 的最小值为－1，则实数a 的值为________.答案 2解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a ≥3，则直线z ＝ax －y 经过点B (1,2)时，z 取得最小值，由a －2＝－1，得a ＝1，与a ≥3矛盾；若0<a <3，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)时，z 取得最小值，由2a －5＝－1，解得a ＝2；若a ≤0，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)或C (3,2)时，z 取得最小值，此时2a －5＝－1或3a －2＝－1，解得a ＝2或a ＝13，与a ≤0矛盾．综上可知，实数a 的值为2.3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时，生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案216000解析设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，设生产产品A、产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图中阴影区域内的整点)，易知最优解为⎩⎨⎧x＝60，y＝100(满足x∈N，y∈N)，则E max ＝216000.真题押题『真题检验』1．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤ 2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD ．2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0,1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜1(lg 5)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c ，∴5c ＞4，可得c＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A ．3．(2020·浙江高考)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x －a )·(x －b )(x －2a －b )≥0在x ≥0上恒成立，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0答案 C解析 因为ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0，设f (x )＝(x －a )·(x －b )(x －2a －b )，则f (x )的零点为x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝2a ＋b .当a ＞0时，x 2＜x 3，x 1＞0，要使f (x )≥0，必有2a ＋b ＝a ，且b ＜0，即b ＝－a ，且b ＜0，所以b ＜0；当a ＜0时，x 2＞x 3，x 1＜0，要使f (x )≥0，必有b ＜0.综上可得b ＜0.故选C ．4．(2020·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________.答案 1解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z ，平移直线y ＝－17x ，由图可得当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时，目标函数z ＝x ＋7y 取得最大值．联立直线方程，得⎩⎨⎧2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得A (1,0)，所以z max＝1＋7×0＝1.5．(2020·江苏高考)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________.答案 45解析 ∵5x 2y 2＋y 4＝1，∴y ≠0且x 2＝1－y 45y 2.∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．∴x 2＋y 2的最小值为45.6．(2020·天津高考)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，又ab ＝1，∴12a ＋12b ＋8a ＋b ＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b ＝4，即a ＝2－3，b ＝2＋3，或a ＝2＋3，b ＝2－3时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.『金版押题』7．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|，若1<a <b 且f (a )＝f (b )，则实数2a ＋b 的取值范围是( )A ．[3＋22，＋∞)B ．(3＋22，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)答案 A解析 作出函数f (x )＝|lg (x －1)|的图象如图所示．∵1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b ＞2,1＜a ＜2，∴－lg (a －1)＝lg (b －1)，即1a －1＝b －1， 可得ab －a －b ＝0，则a ＝b b －1. 2a ＋b ＝2b b －1＋b ＝(2b －2)＋2b －1＋b －1＋1＝(b －1)＋2b －1＋3≥22＋3，当且仅当b ＝2＋1时取等号．满足b ＞2，故选A ．8．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数y ＝2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A ．2－ 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．2＋ 2答案 B解析 作出函数y ＝2x 的图象，它的图象在[1,2]上的两个端点分别为A (1,2)，B (2,1)．所以直线AB 的方程为x ＋y －3＝0， 设M (x ，y )是曲线y ＝2x 上的一点，x ∈[1,2]， 其中x ＝λ×1＋(1－λ)×2＝2－λ， 故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，22－λ.由ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，可知A ，B ，N 三点共线， 所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x ＋y －3＝0，又OA→＝(1,2)，OB →＝(2,1)，则ON →＝(λ＋2(1－λ)，2λ＋(1－λ))， 故N 点的坐标为(2－λ，λ＋1)． M ，N 两点的横坐标相等， 故|MN |＝|22－λ－(λ＋1)|，结合图象， 知|MN |＝λ＋1－22－λ. 因为1≤2－λ≤2，所以0≤λ≤1. 故|MN |＝λ＋1－22－λ＝－(2－λ)－22－λ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－λ)＋22－λ＋3≤－22＋3. 故当且仅当2－λ＝22－λ，即λ＝2－2时等号成立． 故|MN |≤3－22恒成立．所以该函数的线性近似阈值是3－2 2.故选B ．专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．(2020·四川省凉山州高三第三次诊断检测)若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a －b )24>0，即⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ；若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a －b )24>0，则a －b >0或a －b <0，所以若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的充分不必要条件．故选A ． 3．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．4 B ．92 C ．5 D ．112答案 A解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0，当且仅当x ＝2y 时取等号．设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)·(t －4)≥0，∴t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4.故选A ．4．(2020·陕西省汉中二模)已知直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．4D ．6 答案 B解析 由题意，得圆的圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)上，∴－2a －2b ＋2＝0(a >0，b >0)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.故选B ．5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)答案 C解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.6．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a ，且目标函数z ＝ax －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( )A ．2－1B ．1C ．2＋1D ．3答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (0,1)，B (a,1－a )，C (a,1＋a )．对z ＝ax －2y 变形，得y ＝a 2x －z2，由图知a >0，当直线y ＝a 2x －z 2经过点B 时，z 取得最大值，所以a 2－2(1－a )＝1，解得a ＝－3(舍去)或a ＝1，故选B ．7．(2020·山东济南模拟)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为( )A ．1B ．2C ．3D ． 3答案 D解析 由题意，可得P A ＝PB ＝AB ＝4，故圆锥的高PO ＝23，∠APO ＝30°，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则PD ＝23－h ，故r 23－h ＝13，所以h ＝23－3r ，圆柱侧面积S ＝2πrh ＝2πr ·(23－3r )＝23πr ·(2－r )≤23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋2－r 22＝23π，当且仅当r ＝2－r ，即r ＝1时取得最大值，此时h ＝ 3.故选D ．8．(2020·杭州期末)已知不等式2ax 2＋ax －3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ，不等式mx 2＋(m －1)x －m >0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ，则有( )A ．A ⊆∁R BB ．A ⊆BC ．B ⊆∁R AD ．B ⊆A 答案 D解析 令f (a )＝(2x 2＋x )a －3，则关于a 的一次函数必单调，则⎩⎨⎧f (3)>0，f (1)>0，解得x <－32或x >1，即A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)．m (x 2＋x －1)>x 对任意的x ∈[1,3]恒成立⇒m >x x 2＋x －1对任意的x ∈[1,3]恒成立，又y ＝x x 2＋x －1＝1x －1x ＋1(1≤x ≤3)单调递减，故y max ＝1，故m >1，即B ＝(1，＋∞)．综上B ⊆A ，故选D ．二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．若1a <1b <0，则下列不等式正确的是( )A ．1a ＋b<1ab B ．|a |＋b >0 C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析 由1a <1b <0，可知b <a <0.A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<1ab ，故A 正确；B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故C 正确；D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．故选AC ．10．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是( )A．由图1和图2面积相等可得d＝a＋b abB．由AE≥AF可得a2＋b22≥a＋b2C．由AD≥AE可得a2＋b22≥21a＋1bD．由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab答案BCD解析由题图1和题图2面积相等，得ab＝(a＋b)d，则d＝aba＋b，A错误；由题意知题图3面积为12ab＝12a2＋b2·AF，AF＝aba2＋b2，AD＝12BC＝12a2＋b2，设题图3中正方形的边长为x，由三角形相似，得a－xx＝xb－x，解得x＝ab a＋b ，则AE＝2aba＋b，可以化简判断B，C，D正确．故选BCD．11．(2020·武汉部分学校联考)若0<a<b<c，且abc＝1，则()A．2a＋2b>4 B．lg a＋lg b<0C．a＋c2>2 D．a2＋c>2答案BC解析解法一：因为0<a<b<c，abc＝1，所以0<a<1，c>1，a＋b>0,0<ab<1，对于A,2a＋2b≥22a＋b>2×1＝2，所以A错误；对于B，lg a＋lg b＝lg ab<0，所以B正确；对于C，a＋c2≥2ac2>2abc＝2，所以C正确；对于D，因为0<a<b<c，abc ＝1，所以0<a b <1，c ＝1ab ，所以a 2＋c ≥2a 2c ＝2a b ，因为2a b <2，所以D错误．故选BC ． 解法二：(特殊值法)因为0<a <b <c ，abc ＝1，令a ＝12，b ＝1，c ＝2，则212＋21＝2＋2<4，A 错误；令a ＝23，b ＝1，c ＝32，则⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋32＝3518<2，D 错误．故选BC ．12．(2020·山东部分重点中学联考)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln (b －a )>0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c >⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c 答案 BD解析 解法一：对于A ，设函数g (x )＝x －1x ，x ∈(－∞，－1)，则g ′(x )＝1＋1x 2>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，故A 错误；对于B ，设函数f (x )＝x ＋1x ，x ∈(－∞，－1)，则f ′(x )＝1－1x 2，因为x ∈(－∞，－1)，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，故B 正确；对于C ，因为a <b ，所以b －a >0，但不能确定b －a 与1的大小关系，故ln (b －a )与0的大小关系不能确定，故C 错误；对于D ，由a <b <－1可知a b >1,0<b a <1，而c >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c >1>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c >0，故D 正确．故选BD ．解法二：(利用取特殊值法)令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为B ，D ．三、填空题13．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________.答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0，∴－3<α－|β|<3.14．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝(x －1)(x ＋1)＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)，即函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是23＋2.15．设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 a ≤－2解析 令t ＝cos x ∈[－1,1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1,1]恒成立，因此⎩⎨⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 16．已知A (－2,1)，B (2,2)，C (1,4)．若点P (x ，y )在△ABC 区域(包含边界)内运动，则x 2＋y 2＋2x 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤817，19 解析 点P 所在平面区域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，其中(x ＋1)2＋y 2＝[x －(－1)]2＋(y －0)2，表示点P (x ，y )到点Q (－1,0)的距离的平方．令t ＝x 2＋y 2＋2x ，则t ＝|PQ |2－1.由图可知|PQ |max ＝|QC |＝(1＋1)2＋42＝2 5.由A (－2,1)，B (2,2)知直线AB 的方程为x －4y＋6＝0，所以|PQ |min ＝d ＝517，其中d 表示点Q 到直线AB 的距离，所以t max ＝(25)2－1＝19，t min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5172－1＝817，所以x 2＋y 2＋2x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤817，19.。

线性不等式的求解方法总结线性不等式是数学中常见的一种类型，它由不等号连接的两个线性表达式组成。

对于解决线性不等式，我们需要了解一些求解方法和规则。

本文将对线性不等式的求解方法进行总结。

一、一元线性不等式的求解方法在解决一元线性不等式时，可以运用以下几种方法：1. 直观图解法对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元线性不等式，可以通过图像法直观地获得不等式的解。

首先，将不等式转化为等式ax+b=0，求出一次函数的零点x0=-b/a作为界限点。

接下来，根据函数图像的走势判断不等式的解集。

2. 区间判断法当不等式左端或右端是一个区间时，可以运用区间判断法求解。

首先，将不等式两端都化简为不等于零的表达式，并确定其正负性。

然后，根据不等式类型，确定解集是开区间、闭区间，还是无解。

3. 等效变形法等效变形法是一种常用的求解不等式的方法。

通过适当的变形和等价的代换，将原始的不等式转化为更简单的形式。

例如，对于不等式3x-6≤4x-7，可以通过移项、合并同类项等步骤得到解x≥1。

二、多元线性不等式的求解方法针对多元线性不等式，我们可以运用以下方法来求解：1. 图形法对于二元线性不等式ax+by+c>0或ax+by+c<0，可以通过图形法求解。

首先，将不等式转化为等式ax+by+c=0，得到一条直线。

然后，根据直线在平面上的位置和不等式的符号，确定解的范围。

2. 消元法多元线性不等式的求解过程中，常常会使用消元法解决其中一个变量。

例如，对于不等式2x+3y≤12，我们可以通过消去y的方式得到解集{(x,y)|0≤x≤6,0≤y≤4}。

3. 线性规划法线性规划法是一种通过线性代数和图形法求解多元线性不等式的方法。

它可以有效地确定多元线性不等式的最优解，将不等式约束条件与线性目标函数相结合，找到满足条件的最大或最小值。

总结：对于线性不等式的求解，我们可以根据不同的情况选择适合的方法，包括直观图解法、区间判断法、等效变形法、图形法、消元法和线性规划法等。

回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.12.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94C.1D.47.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.38.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.3810.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0. 3.分式不等式f xg x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0≤0，g x ≠0.4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； ②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立).③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >bc；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b.A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >bc不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A. 3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案 C解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝ 5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1).9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m＋2n)(2m ＋n )＝n m＋4mn＋4≥2n m ·4m n＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 则11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2 ＝23(14a －1＋24－4a)[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋24a －14－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1 解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案 －2 解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z 2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________.答案 [－1，92] 解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k PA ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

第4讲 不等式及线性规划【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2](2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. (2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)C (2)2105解析 (1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值为2105.方法三 化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( )A ．1 B.32C ．2D.52答案 B 解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y－z 的最大值为 ( )A ．0 B.98 C ．2D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 所以当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 考点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 (1)C (2)C解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4答案 C解析 依题意得，(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )， 则t 2－2t ＝2×2x×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t 22；即t 22－2t ≤0，解得0≤t ≤4； 又t 2－2t ＝2×2x ×2y >0，且t >0， 因此有t >2，故2<t ≤4，故选C.2．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是( )A ．[－22，22) B ．(－22，22) C ．(－22，22]D ．[－22，22] 答案 D解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几 何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点 C 重合时投影最小． 又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析 由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a >b >1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )>log b (b －c )， 又由对数的换底公式可知log b (b －c )>log a (b －c )， 所以log b (a －c )>log a (b －c )，故选项D 正确．3．设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7答案 D解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． 所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4， 于是a ＋b ＝－7.故选D.4．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和b ， 则全程的平均时速为v ＝2s(s a ＋s b )＝2aba ＋b ， 又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立．5．(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12C ．1D ．2答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12，故选B.6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎝⎛⎭⎫13，1答案 B解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a >12.二、填空题7．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x ≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m ≤0恒成立， 即m ≥4x ＋2x 恒成立，只需m ≥(4x ＋2x )max ，而(4x ＋2x )max ＝6，∴m ≥6.8．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________． 答案 4解析 定点A (1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n＝2＋n m ＋m n≥4. 当且仅当m ＝n ＝12时取等号． 9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.三、解答题11．求解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a <0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0，又因为1a<1， 所以此时不等式的解集为{x |x >1或x <1a}． 若a >0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a >1时， 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1； ②当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； ③当1a>1，即0<a <1时， 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a . 综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1. 12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8. (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．13．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)．。

不等式及线性规划问题（讲义）知识点睛一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔< 性质2：a b b c a c >>⇒>， 性质3：a b a c b c >⇒+>+性质4：a b >，0c >ac bc ⇒>；a b >，0c <ac bc ⇒< 性质5：a b c d a c b d >>⇒+>+， 性质6：00a b c d ac bd >>>>⇒>，性质7：0(2)n n a b a b n n >>⇒>∈≥，N 性质8：0(2)a b n n >>⇒>∈≥，N 二、 一元二次不等式及其解法一般地，对于解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，通常步骤如下： （1）解方程20(0)ax bx c a ++=≠常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法. （2）解不等式 考虑两种解法：函数法：借助函数图象求解①画出对应函数2y ax bx c =++的图象； ②依据图象得出不等式的解集．代数法：借助实数乘法法则，解不等式组. 三、 绝对值不等式的解法1. 解绝对值不等式的核心：去绝对值去绝对值方法：以||x a -为例 （1）绝对值的几何意义：①||x a -表示数轴上x a -，0对应两点之间的距离②||x a -表示数轴上 x a ，对应两点之间的距离 （2）绝对值法则： ||0x a x a x a x a x a x a ->⎧⎪-==⎨⎪-+<⎩，，，（3）偶次方：221||() ( )n n x a x a n n -=-∈≥，N2. 解绝对值不等式常见题型（1）单个绝对值型不等式：如||ax b c +≤或||ax b c +≥ 思路一：依据绝对值的几何意义①||ax b c +≤转化为c ax b c -+≤≤ ②||ax b c +≥转化为c c ax b ax b ++-≥或≤思路二：依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式 思路三：由相应函数()||f x ax b c =+-，利用数形结合思想，依据图象处理． （2）多个绝对值型不等式：如||||x a x b c -+-≥ 思路一：依据绝对值的几何意义数轴上到a 、b 对应两点的距离之和不小于c 的点的集合； 思路二：依据绝对值的“零点”依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式； 思路三：依据函数图象由相应函数()||||f x x a x b c =-+--，利用数形结合思想，依据图象处理． （3）常见函数图象 ①()|1|f x x =-②()|1|f x x =+结论推广：①||||||x a x b a b -+--≥；②||||||||a b x a x b a b ------≤≤．四、 二元一次不等式（组）及线性规划 1. 二元一次不等式与平面区域若方程0Ax By C ++=表示直线l ，则 不等式0Ax By C ++>表示直线l 某一侧所有点组成的平面区域，将该侧任一点坐标00()x y ，代入Ax By C ++，000Ax By C ++> 恒成立．同理，不等式0Ax By C ++<表示直线l 的另一侧． 2. 由二元一次不等式组判断平面区域（1）直线定界（注意虚线与实线）；（2）特殊点定域（如：原点，(0 1)，，(1 0)，等）； （3）不等式组找公共区域. 3. 线性规划相关概念 约束条件： 关于x ，y 的不等式（或方程） 线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式（或方程） 目标函数： 要求的关于变量x ，y 的函数 线性目标函数：目标函数为关于变量x ，y 的一次函数可行解： 满足约束条件的解(x ，y ) 可行域： 所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 4. 求目标函数z =ax +by 的最值利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）根据约束条件画出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，令z =0，画出直线l 0； （3）在可行域内平行移动直线l 0，从而确定最优解； （4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．精讲精练1. 下列命题中正确的是（ ） A ． a b c d a c b d >>⇒->-，B ．a ba b c c>⇒>C ．ac bc a b <⇒<D ．22ac bc a b >⇒>2. 若01a b <<<，则（ ）A ．11b a> B ．11()()22a b <C ．n n a b >D ．11lg lg a b>3. 当0a b >>，0c d <<时，给出以下结论：①ad bc <；②22a c b d +>+；③b c a d ->-； ④3330c d a <<<． 其中正确结论的序号是______________．4. 设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12 x x ，，且12x x <． （1）若0a <，则20ax bx c ++<的解集为____________； （2）若0a >，则20ax bx c ++≥的解集为____________．5. 已知不等式230x x t -+<的解集为{}|1 x x m x <<∈，R ．（1）t =_________，m =_________；（2）若函数2()4f x x ax =-++在区间( 1]-∞，上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集．6.解下列不等式．（1）|21||21|6++-≤x x（2）|21||4|2x x+-->7.已知函数()|4||3|=-+-．f x x x（1）若()<有解，则实数a的取值范围为_________．f x a（2）若()<无解，则实数a的取值范围为___________．f x a（3）若()f x a>对一切实数x均成立，则实数a的取值范围为_______________．（4）若()2|3|af x x--≥有解，则实数a的取值范围为_______________．8.写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．（1）____________________；（2）___________________．（1）9.(21)(4)0x y x y++-+≤表示的平面区域为下图中的（）A．B．C．D．10.不等式组3434xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于（）A．32B．23C．43D．3411.设变量x，y满足约束条件53151053x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≤，则目标函数z=3x+5y的最大值为__________，最小值为_________．12.设变量x，y满足约束条件3602030x yx yy+-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数z=2x-y的最小值为（）A．7 B．-4 C．-1 D．413. 设变量x ，y 满足3010350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，设y k x =，则k 的取值范围是（ ）A ．14[]23，B ．4[2]3，C ．1[2]2，D ．1[)2+∞，14. 给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z =ax +y(a >0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则a 的值为 __________________．15. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为3 000元、2 000元.甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上进行加工．在每台A 、B 设备上加工1件甲，设备所需工时分别为1 h 、2 h ；加工1件乙，设备所需工时分别为2 h 、1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ． 问：如何安排生产可使收入最高？回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1. D2. D3. ①②④4. （1）12( )( )x x -∞+∞，，； （2）12( ][ )x x -∞+∞，， 5. （1）22t m ==；；（2）13(0 )(1 )22，， 6. （1）33[ ]22-，；（2）5( 7)( )3-∞-+∞，， 7. （1）(1 )+∞，；（2）( 1]-∞，；（3）( 1)-∞，；（4）( 1]-∞，8.（1）4150220x yx yx y->⎧⎪+-<⎨⎪+-⎩≥；（2）36020yx yx y⎧⎪-+⎨⎪-+<⎩≥≥9. B10.C11.17-1112.C13.C14.3 515.每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.。

不等式法解线性规划问题有些线性规划问题，可以避开用作出可行域的解题方法，而可借助待定系数法，使问题转化为求不等式中变量组合的范围问题．下面介绍几例．例1 某企业生产A B ，两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为 80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需要经过0.8h 和2.4h ，每件B 产品在两个车间都需要经过1.6h ．在一定时期中，加工车间最大加工时间为240h ，装配车间最大生产时间为288h ．已知销售没有问题，在此时期中应如何搭配生产A 产品和B 产品，企业可获得最大利润？解：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，企业获得的利润为z ．依题意有0.8 1.62402.4 1.6288x y x y x y **+⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，，≤≤，且6080z x y =+． 要求z 的最大值，不妨设6080(0.8 1.6)(2.4 1.6)x y x y k x y λ+=+++， 得75600.8 2.4280 1.6 1.625.2k k k λλλ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，，，75256080(0.8 1.6)(2.4 1.6)22z x y x y x y ∴=+=+++ 75252402881260022⨯+⨯=≤． 当且仅当0.8 1.62402.4 1.6288x y x y +=⎧⎨+=⎩，，即30135x y =⎧⎨=⎩，时取等号，此时max 12600z =．故应生产A 产品30件，B 产品135件，可使企业获得最大利润，最大利润为12600元． 例2 某厂使用两种零件A B ，装配两种产品X Y ，，该厂的生产能力是月产X 最多 2500件，月产Y 最多1200件，而组装一件X 需要4个A ，2个B ，组装一件Y 需6个A ，8个B ．某个月该厂能用A 最多14000个，B 最多12000个，已知产品X 每件利润1000元，产品Y 每件利润2000元，欲使该月利润最高，需组装产品X Y ，各多少件，最高利润为多少万元？解：设月生产产品X Y ，分别为x 件，y 件，该月产品利润为z ，则025000250001200012004614000237000281200046000.x x y y x y x y x y x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨++⎪⎪⎪⎪++⎩⎩，①，，　②，，③，　④≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 目标函数10002000z x y =+，即1000(2)z x y =+．设2(23)(4)x y x y k x y λ+=+++，易得2155k λ==，． 212(23)(4)55x y x y x y ∴+=+++2170006000400055⨯+⨯=≤． 10004000400z ∴=⨯=（万元）． 等号成立的条件是23700046000x y x y +=⎧⎨+=⎩，， 即20001000x y =⎧⎨=⎩，符合条件①，②．∴最优解为(20001000)，，即组装产品2000X 件，产品1000Y 件时，月利润最高，最高利润400万元．用不等式法解线性规划问题的一般步骤是：（1）列出线性约束条件及目标函数；（2）用待定系数法构造变量组合；（3）解出“＝”成立的条件．。

线性不等式与线性规划教案主题：线性不等式与线性规划一、引言线性不等式与线性规划是高中数学中的重要内容，也是应用数学中的基础知识。

通过学习本节课，学生能够掌握线性不等式的基本概念和性质，理解线性规划的意义和应用，并能运用所学知识解决实际问题。

二、线性不等式的理解1. 概念与示例线性不等式是形如ax + by + c > 0的不等式，其中a、b是常数，x、y是变量。

通过举例，引导学生理解线性不等式的基本形式和意义。

2. 解集的表示方法介绍解集的表示方法，包括数轴上的表示方法、集合表示法和区间表示法。

通过练习，让学生掌握不同表示方法的应用技巧。

三、线性不等式的性质与解法1. 不等式的性质介绍线性不等式的加法性、乘法性和符号性质，以及在解不等式时的应用方法。

通过实际例题，帮助学生理解不等式的性质对解集的影响。

2. 解不等式的方法分别介绍图像法、代入法和区间判别法三种解不等式的常用方法，并通过例题演示各种方法的具体步骤和应用场景。

四、线性规划的概念与模型建立1. 概念与应用场景引导学生理解线性规划的概念和应用场景，如最大化利润、最小化成本等。

2. 线性规划模型的建立介绍线性规划模型的建立步骤，包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件，并通过实例讲解模型建立的具体过程。

五、线性规划的图像法解法1. 图形解法的思路讲解线性规划图形解法的思路和步骤，包括画出可行域和目标函数的等值线，并找出最优解的方法。

2. 图形解法的实例演练通过具体案例，引导学生熟悉和掌握线性规划图形解法的具体步骤，并注重解释每一步的原理和意义。

六、线性规划的单纯形法解法1. 单纯形法的基本思路介绍单纯形法的基本思路和步骤，包括建立初始单纯形表、进行迭代计算和判断最优解。

2. 单纯形法的具体操作通过实例，引导学生熟悉和掌握单纯形法的具体操作步骤，包括初等行变换、主元列选择和计算新单纯形表。

七、线性规划在实际问题中的应用1. 实际问题的建模引导学生了解线性规划在实际问题中的应用，如产销问题、资源优化问题等，并指导学生进行合理建模。

阜宁县第一高级中学迎接期末考试复习教案（1）不等式的解法及线性规划出题人：孙永 审核人：张梁一. 教学内容：不等式解法及应用；线性规划二. 教学重点：不等式解法及应用；线性规划三【教学过程】基本知识回顾：1. 一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪⎩⎪分()()()102030情况分别解之。

2. 一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 24三种情况，即∆>0或∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。

3. 分式不等式 分式不等式的等价变形：)()(x g x f ＞0⇔f （x ）·g （x ）＞0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 。

4. 简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离等都涉及到绝对值不等式。

解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|＜a ⇔x 2＜a 2⇔－a ＜x ＜a （a ＞0），|x|＞a ⇔x 2＞a 2⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）。

一般地有：|f （x ）|＜g （x ）⇔－g （x ）＜f （x ）＜g （x ）（0)x (g >），|f （x ）|＞g （x ）⇔f （x ）＞g （x ）或f （x ）＜)0)x (g )(x (g >-。

6. 指数不等式a a f x g x ()()>⇒()()()11当时，a f x g x >>；()()()201当时，<<<a f x g x ；7. 对数不等式log ()log ()a a f x g x >⇒（1）当a >1时，g x f x g x ()()()>>⎧⎨⎪⎩⎪0；（2）当01<<a 时，f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0。

线性规划与线性不等式线性规划和线性不等式是运筹学中的重要概念和工具。

线性规划是一种数学方法，用于在一组线性约束条件下，寻找使目标函数最大或最小化的最佳解决方案。

而线性不等式则是用于描述一个或多个变量之间的约束关系，其形式为线性不等式表达式。

一、线性规划线性规划的基本形式可以表示为：$max\{c^Tx|Ax≤b, x≥0\}$其中，$c$是一个n维列向量，$A$是一个m×n矩阵，$b$是一个m维列向量。

这个问题的目标是找到一个n维向量$x$，使得目标函数$c^Tx$最大化，同时满足$Ax≤b$和$x≥0$。

线性规划的解可以通过各种算法获得，例如单纯形法和内点法等。

这些算法通过迭代的方式逐步逼近最优解，并且可以应用于许多实际问题，如资源分配、生产优化和投资组合等。

二、线性不等式线性不等式是一种形式为$Ax≤b$的约束条件，其中$A$是一个m×n矩阵，$b$是一个m维列向量。

线性不等式描述了变量$x$的取值范围，满足不等式条件的解集称为不等式的可行域。

线性不等式在很多领域都有广泛的应用，例如经济学中的供需关系、运输领域中的货物流动以及生产过程中的资源分配等。

通过分析线性不等式的解集，可以得到问题的可行解范围，为实际问题的决策提供参考。

三、线性规划与线性不等式的关系线性规划问题可以通过引入线性不等式约束来求解。

在线性规划中，约束条件$Ax≤b$可以包含各种不等式，如大于等于（≥）、小于等于（≤）和等于（=）等。

线性规划的最优解可以通过与约束条件$Ax≤b$的可行域相交，找到目标函数$c^Tx$最大化或最小化的解。

这意味着线性规划的最优解必须满足线性不等式约束条件。

例如，考虑一个线性规划问题：求解最大化目标函数$4x_1+3x_2$的最优解，同时满足以下约束条件：$2x_1+x_2≤8$$x_1+2x_2≤6$$x_1,x_2≥0$可以通过绘制不等式约束的可行域，并找到与目标函数相交的最优解。

不等式组的解法与线性规划不等式组是数学中常常出现的问题，在各个领域都有广泛应用。

解决不等式组的关键是找到满足所有不等式的解集。

本文将介绍不等式组的解法以及与之相关的线性规划问题。

一、不等式组的解法不等式组由多个不等式组成，解不等式组的目标是找到满足所有不等式的解集。

以下介绍几种常见的解法。

1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过将不等式表示的区域绘制在坐标系中，观察交集部分即可得到解集。

以二元不等式组为例，将每个不等式表示的区域绘制在平面直角坐标系中，然后观察交集部分即为解集。

2. 代入法代入法是一种常见的解不等式组的方法。

通过将某个或几个不等式中的变量表示为其他变量的函数形式，然后代入到其他不等式中，可以简化不等式组，使得解集更容易得到。

3. 消元法消元法是应用代数运算，通过不等式的运算性质来简化不等式组，从而得到解集。

常见的消元法包括加法消元法和乘法消元法。

加法消元法通过将不等式相加来得到新的不等式，进而简化不等式组。

乘法消元法则通过将不等式相乘来得到新的不等式，从而简化不等式组。

二、线性规划与不等式组线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型中常包含不等式组。

线性规划的目标是在一系列线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

线性规划中的约束条件通常由不等式组表示，这些不等式描述了变量的取值范围。

通过将目标函数与约束条件构建成一个线性规划模型，可以使用各种数学方法求解最优解。

例如，一个简单的线性规划问题可以表示为：```Maximize C = 3x + 2ySubject to2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 0```其中，C为目标函数，x和y为变量，不等式组为约束条件。

通过解这个线性规划问题，可以得到使目标函数C取得最大值的x和y的取值。

三、实例分析为了更好地理解不等式组的解法与线性规划的关系，我们来看一个简单的实例。

假设某公司生产两种产品，A和B。

一元二次不等式一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）例、若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是______________；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是______________。

（-4,0）, (][)+∞-∞-,26,几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b.2a b +（当仅当a=b 时取等号）一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若常用不等式（12211a b +≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -==-≥++--1)n ==≥利用函数的单调性简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的 系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

不等式的求解方法一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。

如何求解不等式是我们需要掌握的数学技能之一。

本文将介绍不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元一次不等式的求解方法1. 消元法：对于一元一次不等式，我们可以通过消元法将其转化为一个简单的形式。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以通过减去3，得到2x>4，再除以2，最终得到x>2。

这就是消元法的基本思路。

2. 分类讨论法：对于一元一次不等式，我们可以通过分类讨论的方法求解。

首先，我们将不等式中的x的系数分为正数和负数两种情况，然后再进一步讨论x的取值范围。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其分为x>2和x<2两种情况，然后再根据实际情况确定x的取值范围。

三、一元二次不等式的求解方法1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其转化为函数y=x^2-4x+3，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 因式分解法：对于一元二次不等式，我们可以通过因式分解的方法求解。

首先，将不等式进行因式分解，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其进行因式分解，得到(x-3)(x-1)>0，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

四、多元不等式的求解方法1. 图像法：对于多元不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式2x+3y>7，我们可以将其转化为函数z=2x+3y-7，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 线性规划法：对于多元不等式，我们可以通过线性规划的方法求解。

不等式解法与线性规划看一看【知识回忆】1．一元二次不等式求解：特例①一元一次不等式ax>b解讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解讨论．>∆=∆0 <∆二次函数cbxaxy++=2〔0>a〕图象一元二次方程有两相异实根)(,2121xxxx<有两相等实根无实根{}21xxxxx><或R{}21xxxx<<∅∅对于a<0不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

2．确定不等式组所表示区域步骤：①画线：画出不等式所对应方程所表示直线②定测：由上面〔一〕〔二〕来确定③求交：取出满足各个不等式所表示区域公共局部。

3．根本概念：线性约束条件：由x，y不等式〔或方程〕组成不等式组，是x，y线性约束条件．目标函数：欲到达最大值或最小值所涉及变量x，y解析式．线性目标函数：目标函数为x，y一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件解(),x y．可行域：所有可行解组成集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值可行解．不等式性质有哪些？1．x y z>>，0++=，那么以下不等式中成立是〔〕x y zA．xy yz>D．||||>C．xy xz>B．xz yz>x y z y 2．不等式2620--+≤解集是x xA．B．C．D．3．不等式0--x解集是〔〕4|≤35|A．B．或}3≥xC．D．4．原点与点()1,1在直线0=-+a y x 两侧，那么a 取值范围是〔 〕 A ．20><a a 或 B ．20==a a 或 C ．20<<a D ．20≤≤a5．不等式组表示平面区域面积为〔 〕A ．7B ．5C ．3D ．14 6．假设正实数,x y 满足不等式24x y +<，那么x y -取值范围是〔 〕 A ．[]4,2- B ．(4,2)- C ．(]2,2- D ．[)2,2- 7．点P 〔﹣1，2〕在不等式2x+3y ﹣b ＞0表示区域内，那么实数b 范围是 ．8．不等式解集为9．点()b a M ,在由不等式确定平面区域内，那么点()b a b a N +-,所在平面区域面积是 ．10．不等式2364ax x -+>解集为{}1x x x b <>或． 〔1〕求,a b ；〔2〕解不等式()()0x c ax b -->．11．假设,x y 满足条件求35z x y =+最大值与最小值． 12．〔本小题总分值14分〕某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周〔按40个工时计算〕生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台． 生产这些家电产品每台所需工时与每台产值如下表：产值是多少？〔以千元为单位〕 【参考答案】不等式解法与线性规划不等式性质： ① a b b a ；② a b , b c a c ；③ a b a c b c ；④ a b , c 0 ac bc ， a b , c 0 ac bc ；⑤ a b , c d a c b d ；⑥ a b 0, c d 0 ac bd ；⑦ a b 0 a nbnn , n1 ；⑧ a b0 nn n, n 1．ab 1．C【解析】试题分析：x y z , x y z 0x 0,z 0 y z xy xz考点：不等式性质2．B【解析】试题分析：6 x2x 2 0 6 x2x 2 0 (2 x 1)(3 x 2) 0。

八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。

【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。

建议从数形结合角度理解。

【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。

【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。

【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。

【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。