高中数学 第二章 平面向量 第四节 平面向量的数量积(第二课时)示范教案 新人教A版必修4-新人教A

第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

教案：平面向量的数量积第二课时教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b|cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为C负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b|4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a= a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或||a =4︒cos θ =||||a ba b ⋅；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |6．判断下列各题正确与否：1︒若a = 0 ，则对任一向量b ，有a ⋅b= 0 ( √ )2︒若a ≠ 0 ，则对任一非零向量b ，有a ⋅b≠ 0 ( ³ )3︒若a≠ 0 ，a ⋅b = 0，则b =0 ( ³ )4︒若a ⋅b = 0，则a、b 至少有一个为零 ( ³ )5︒若a ≠ 0 ，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c( ³ )6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c当且仅当a ≠ 0 时成立 ( ³ )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c) ( ³ )8︒对任意向量a ，有a 2 = |a| ( √ )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a= |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a⋅(λb )=λ|a ||b|cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b|cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b|cos θ3．分配律：(a + b )⋅c = a⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a , = b ，=c，∵a + b （即OB ）在c方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a| cos θ1 + |b | cos θ2 ∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b| cos θ2 ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b即：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c说明：（1）一般地，(a ²b )c ≠a （b ²c）（2）a ²c ＝b ²c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：a ２＝｜a ｜２，（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ²c ＋a ²d ＋b ²c ＋b ²d (a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a- 2b 垂直，求a 与b的夹角解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b-15b 2 = 0 ① (a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b+ 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a ⋅b= b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =2212||||2||a b b a b b ⋅== ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图： ABCD 中，AB DC = ，AD BC = ，AC =AB AD +∴|AC |2=222||2AB AD AB AD AB AD +=++⋅而BD =AB AD -∴|BD |2=222||2AB AD AB AD AB AD -=+-⋅∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AB AD + = 2222||||||||AB BC DC AD +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，且a ²b＝b ²c ＝c ²d ＝d ²a，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d＝0，∴a ＋b ＝－（c ＋d ），∴(a ＋b )２＝（c ＋d ）２即｜a ｜２＋２a ²b ＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋２c ²d＋｜d ｜２由于a ²b ＝c ²d ，∴｜a ｜２＋｜b ｜２＝｜c ｜２＋｜d ｜２① 同理有｜a ｜２＋｜d ｜２＝｜c ｜２＋｜b ｜２②由①②可得｜a ｜＝｜c｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ²b ＝b ²c，有b （a －c ）＝０，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c，代入上式得b ²(2a )＝０即a ²b ＝０，∴a ⊥b也即AB ⊥BC综上所述，四边形ABCD 是矩形评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0 ，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习：1 ）A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D ²b是一个实数|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )²(a -3b)等于（ ）A 72B -72C 36D -363a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b的位置关系为（ ）A 平行B 垂直C 夹角为3D 不平行也不垂直4|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝5|a |=2,|b |=5,a ²b =-3,则|a +b |=______,|a -b|= 6|a |=3,|b |=5,且a+λb 与a －λb 垂直，则λ＝参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2335 653五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 六、课后作业1|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b的夹角是（ ）A 60°B 30°C ° D2|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m ＝a -4b的模为（）A 2B 23C 6D 123a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b)垂直的（ ）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |²|a -b |=5a +b =2i -8j ,a -b=-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ²b= a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,| c|=3,则(a +2b -c )２＝______7|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ²b ;(2)若a 、b的夹角为６０°，求|a +b |； (3)若a -b 与a 垂直，求a 与b的夹角8m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角9a 、b ，求使|a +t b|最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角参考答案：1D 2B 3C 45 –636 1172 (2)23 (3)45° 8 120° 9 90°七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ²b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ²b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b｜解：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ²b ＋b ２＝２２＋２³（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ²b ＋b２＝2２－2³（－3）³５２＝35，∴｜a －b｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b的夹角θ(精确到１°)解：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ²b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜²｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２∴１６２＝８２＋２³８³１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°。

课题：平面向量的数量积（1）二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念；2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3.掌握两向量共线及垂直的充要条件；4.掌握向量数量积的性质。

三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四．教学过程： （一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解： 1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

Aa b）Bb1B O1 1()B【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．（3）数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1．已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362=⨯⨯-⨯=-．例2．已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =， ∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五．课后练习：课本119P 练习第2，3，4．补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。

第二章第四节平面向量的数量积第二课时教学过程情境1问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？图3设计意图以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．师生互动生：W＝|F||s|cosθ(其中θ是F和s的夹角)．师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念．情境21．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？设计意图使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．师生互动1．仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(其中θ是a与b的夹角)．|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．图42．规定：零向量与任何向量的数量积为0.3．(1)数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ(θ∈[0，π])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；(3)符号a·b不能写成ab或a×b的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．4．探究其性质：(1)a⊥b⇔a·b＝0(a与b都是非零向量)；设置情境：若a·b＝0，则向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，若ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．(2)当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a＝a2(与二次根式性质：a2＝|a|进行类比)．这是求向量长度的又一重要方法．情境3由学生自主学习来完成书本例题1.设计意图通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．师生互动从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．情境4给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．设计意图培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．师生互动学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．情境5运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．设计意图通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．师生互动1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．已知向量a、b、c和实数λ，则(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．对向量数量积的运算律进一步研究．(1)a(b·c)＝(a·b)c成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a 与c不一定共线，因此结论不一定成立；(2)由a·b＝b·c能否推出a＝c？(反例：当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c ＝0)．结合实数a，b，c(b≠0)，有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．情境6例2、例3、例4的教学．设计意图1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化．师生互动1．老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比．2．让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用．情境7课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．设计意图让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力．教学反思本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算．使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。

θab数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第七学时～第八学时:第二方案2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节 教学内容师生互动 设计意图 引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成 问题：给θ一个精确定义 问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向； （2）当θ＝π时，a 与b 反向；教师引导学生， 注意： 1.两向量必须同起点； 2.θ的取值范围； 3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）0与任何向量的数量积为向量定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1、e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2、a ⊥b ⇔a ⋅b = 03、 a ⋅a = |a |2或||a a a =4、cos θ =||||a ba b5、|a ⋅b | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。

《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。

3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。

二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。

2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。

2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。

4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。

五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。

2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。

3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。

4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。

5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。

七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。

2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。

3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。

八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。

2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。

3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。

4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。

九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。

高中数学新人教A版必修4教案第二章平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c 不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c 表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥b⇔a·b=0.3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.a∙.特别地a·a=|a|2或|a|=a4°cosθ=||||b a b a . 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD 是平行四边形. 故AB =CD ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若AB =a ,CB =b ,则CA =a +b ,DB =a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙ 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2.由c=m a-4b,得a·c=m a2-4a·b,∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①再由c=m a-4b,得b·c=m a·b-4b2.∴m a·b-16=-4,即m a·b=12.②联立①②得2m2=12,即m2=6.∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

§2.4 平面向量的数量积（2）教学目标：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两向量共线、垂直的几何判断，会证明两量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、问题情境1．情境引入：平面向量数量积（内积）的定义,θcos ||||=⋅.2．提出问题：平面向量数量积有怎样的一些运算性质呢?与实数积的性质是否相同?二、学生活动问题1：实数积的运算率有哪些？交换律，结合律，分配律.问题２：向量数量积也有交换律、结合律、分配律吗？三、建构数学１.向量的交换律：a b b a ⋅=⋅ 证：设a ，b 夹角为θ，则θcos ||||=⋅，θcos ||||=⋅ ∴a b b a ⋅=⋅ ２.数乘结合律：b a b a b a b a ⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(若0>λ,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅； 若0<λ，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(b a b a b a b a =--=-=⋅θλλcos ||||)(b a b a =⋅，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(=--=-=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴λλλλ)()()(3．向量的分配律：⋅+⋅=⋅+)( 设向量c b a ,,和实数λ，则向量的数量积满足下列运算率：（1）⋅=⋅（2）⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(（3）⋅+⋅=⋅+)(4.回顾反思：（１）向量的数量积运算满足结合率吗？在实数中，有)()(bc a c ab =，但是)()(c b a c b a ⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. （２）有如下常用性质：⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+)()(2222)(a +⋅+=+五、数学运用1.例题例1．已知4||,6||==b a ，，的夹角为060，求)3()2(b a b a -⋅+的值. 例2．已知5||,3||==，且λ+与λ-垂直，求λ.例3．已知2||,1||==，（1）若//，求⋅；（2）若，的夹角为060，求||+； （3）若-与垂直，求，的夹角.例4．设n m ,是两个单位向量，夹角为060，求向量n m a +=2与m n b 32-=的夹角.２．练习：可以讨论课本P80练习第1、2、3题.六、总结反思。

向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。

平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。

教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。

过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想； 情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律.难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论，学生成果展示教学用品: 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一）课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos规定：0与任一向量的数量积为0，即=⋅练习:判断正误，并简要说明理由：（1）a ⋅b 是向量吗？ （ ）（2）a ⋅b 一定是非负实数吗？ （ ）（3）00=⋅a ,00=a . ( )（4）若a =0或b = 0，有a ⋅b = 0 ( )（5）若a ⋅b = 0，则a = 0或b = 0 ( )（6）若a 0且b 0，则a ⋅b 0 3.向量数量积的性质： 小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?（1）两个非零向量a 与b ，a b a ⋅b = 0；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |；（3）cos =||||a b a b ⋅； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |.4.向量数量积的运算律： （１）交换律：_________________________________________ （２）对实数的结合律：__________________________________（３）分配律：__________________________________________思考：)()(⋅=⋅对吗？（二）课堂讲练互动例1.已知向量a 与b 的夹角为θ，（132== ，分别在下列条件下求a ⋅b ：① θ=135° ② b a ⊥ ③ a ∥b(2) 2||=，3||=, 3=⋅, 求θ.(3) 3||=, 3-=⋅, θ=120°,求||.思考:如何由数量积求夹角及模? cos =||||a b a b ⋅ , a b a b cos ⋅=θ.例2.32== ，a 与b 的夹角为π32，求： （1）)3()2(+⋅- (2) |a +b | (3) |a -b |.例3.△ABC 中， ||3AB =，||4BC = ，||5AC =，求：(1) BC BA ⋅ (2) ()AB BC CA +⋅ (3) AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.变：△ABC 中，若0>⋅，判断三角形的形状.（三）反馈练习 1设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝2.若||||a b a b +=-，则a b ⋅=_____________.3. 2145=+==，求向量a 与b 的夹角.（四）课堂小结问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？问题二：说出向量数量积的性质及运算律。

§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5．a∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b | 三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= .5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ；2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |二、讲解新课：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ① (a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a ⋅b = b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =21222==⋅||||||b bb a b a ∴θ = 60︒例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +∴|AC |2=AD AB ADAB AD AB ⋅++=+2||222而BD =AD AB - ， ∴|BD |2=AD AB ADAB AD AB ⋅-+=-2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB+= 2222||||||||AD DC BC AB +++例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ）A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= .6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||yx a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x 三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=四、 讲解范例：五、 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o)例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .解：设x = (t ， s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a ba 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(- 例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133±六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ）A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.4.a ，则(a +b5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = .6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .七、 小结（略）八、 课后作业（略）九、 板书设计（略）十、 课后记：。

θav br 数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第七学时～第八学时:第二方案2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节 教学内容师生互动 设计意图 引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成 问题：给θ一个精确定义 问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a r 与b r ，作OA ＝a r ，OB ＝b r，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a r 与b r的夹角说明：（1）当θ＝０时，a r 与b r同向； （2）当θ＝π时，a r 与b r反向；教师引导学生， 注意： 1.两向量必须同起点； 2.θ的取值范围； 3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性（3）当θ＝2π时，a r 与b r 垂直，记a r ⊥b r ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角是θ，则数量|a r ||b r |cos θ叫a r 与b r 的数量积，记作a r ⋅b r ，即有a r ⋅b r = |a r ||b r |cos θ，（０≤θ≤π）0r 与任何向量的数量积为向量定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a r 、b r 为两个非零向量，e r 是与b r同向的单位向量1、e r ⋅a r = a r ⋅e r =|a r|cos θ 2、a r ⊥b r ⇔a r ⋅b r= 03、 a r ⋅a r = |a r |2或||a a a =r r r g4、cos θ =||||a ba b r rg r r5、|a r ⋅b r | ≤ |a r ||b r |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。