曲线积分曲面积分公式

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的： 教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。

求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。

例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。

§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。

/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。

则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。

x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。

V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。

例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。

二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。

第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的第二类曲面积分的计算公式是基于第一类曲面积分推导出来的。

第一类曲面积分计算公式为：∮(Pdx+Qdy+Rdz) = ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS其中，α，β，γ分别为与x，y，z轴正向的夹角。

当曲面为z = f(x, y)时，第二类曲面积分计算公式为：∬(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS其中，α，β分别为与x，y轴正向的夹角。

根据上述公式，我们可以推导出第二类曲面积分计算公式。

首先，我们考虑一个曲面z = f(x, y)在xOy平面上的投影。

投影是一个平面图形，其面积为：A = ∫∫dS其中，dS为面积微元。

根据投影的面积公式和第一类曲面积分计算公式，我们有：∮(Pdx+Qdy) = ∬(Pcosα+Qcosβ)dS= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(f_x)^2+(f_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+f_x^2+f_y^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy= ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]dxdy = ∫∫[Pcosα+Qcosβ]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^2dxdy= ∫∫[P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3dxdy= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl其中，dl为曲线弧长微元。

根据第二类曲线积分的计算公式和上述推导结果，我们有：∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]dl = ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^3]√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)dl= ∮[(P^2+2PQcosα+Q^2cos^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P^2-2PQsinα+Q^2sin^2α)√[1+(z_x)^2+(z_y)^2]^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)^(-1)]dl= ∮[(P-Qsinα)]dl其中，P和Q分别为曲面上的点在x和y轴上的投影坐标。

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。

- -第十一章 曲线积分与曲面积分一 、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法 ： 即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式： 参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标 把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义 ： 设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算 即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如， （定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算 主要使用两个重要定理.格林定理 设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意 ： 如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理 设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧 若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意： 这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性 第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。

复习四 曲线积分与曲面积分1．能识别对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分, 计算曲线积分, 会利用格林公式, 会利用积分与路径无关(闭曲线积分为零)的条件. 例1．()d Lx y s +⎰= , 其中L 为线段AB , A (1, 0), B (0, 1).解: 由截距式方程得L 的方程为111yx +=, 即x +y =1. 因此()d d 2L Lx y s s +==⎰⎰例2．计算曲线积分d Lx s ⎰, 其中L 为抛物线x 2=4y 从点(0, 0)到点(2, 1)的一段弧.解: 1100d L x s x x ==⎰⎰⎰242)1)43x =+=⎰.例3．设L 为A (1, 1), B (-1, 1)和C (1, -1)为顶点的三角形的周边, 逆时针方向为正, 计算下列曲线积分22d d Ly x x y -⎰.解: 设L 所围成的闭区域为D , 根据格林公式, 有11221d d (22)d d 2d ()d L xDy x x y x y x y x x y y ---=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰1122101182()d 2(1)d 223x x x x x -=-++=-+=-⎰⎰. 例4．L 是从A (1, 6)沿xy =6至点B (3, 2)的曲线段, 则e (d d )xy Ly x x y +=⎰ .解: P =ye xy , Q =xe xy . 因为e e xy xy Q Pxy x y∂∂=+=∂∂, 所以积分所路径无关. 取积分路线为从(1, 6)到(3, 6)再到(3, 2), 则(3,2)3263(1,6)16e (d d )e (d d )e 6d e 3d 0xy xy x y L y x x y y x x y x y +=+=+=⎰⎰⎰⎰.例5．计算43224(4)d (65)d cx xy x x y y y ++-⎰, 其中c 为沿曲线22149y x +=从A (-2, 0)到B (0, 3)的一段曲线.解: 这里P =x 4+4xy 3, Q =6x 2y 2-5y 4.212Q Pxy x y∂∂==∂∂, 所以积分与路径无关. 取积分路径为从A (-2, 0)到O (0, 0)再到B (0, 3), 则50343224445202(4)d (65)d d (5)d 35cx xy x x y y y x x y y -++-=+-=-⎰⎰⎰.例6．计算曲线积分(e sin 21)d (e cos 3)d x x Ly y x y y y -+++⎰, 其中L 是由点A (2, 0)到点O (0, 0)的上半圆周x 2+y 2=2x .解: 这里P =e x sin y -2y +1, Q =e x cos y +3y ,2Q P x y∂∂-=∂∂. 取L 1为从O (0, 0)到A (2, 0)的直线段, D 是由L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式, 有1d d ()d d 2d d L L D DQ PP x Q y x y x y x y π+∂∂+=-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰,12d d d d d 2L L P x Q y P x Q y x πππ+=-+=-=-⎰⎰⎰.2．能识别对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分, 会计算曲面积分, 会利用高斯公式.例1．设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2,则曲面积分∑⎰⎰ = .解: 因为在球面∑R =, 所以、211d 44S R R R R ππ∑∑==⋅=⎰⎰⎰⎰ . 例2．∑为上半单位球面221y x z --=, 曲面积分222()d x y z S ∑++⎰⎰的值等于( ).(A)2π; (B)π ; (C )23π; (D)13π.解:在上半单位球面z =上, x 2+y 2+z 2=1, 所以22221()d d 4122x y z S S ππ∑∑++==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰. 例3．计算曲面积分d z S ∑⎰⎰, 其中∑为锥面z =x 2+y 2≤x 内的部分.解:由z =d d d S x y x y ==, 于是d d xyD z S x y ∑=⎰⎰2c o s2d dr r rπθπθ-=⋅⎰32c o s d2πθθ==⎰例4．设∑是球面x2+y2+z2=2z, cos α, cos β, cos γ是∑上点的外法向量的方向余弦,则积分(cos cos cos)dx y z Sαβγ∑++⎰⎰ =.解:设Ω为曲面∑所围成的空间区域,则由高斯公式得34(c o s c o s c o s)d3d3143x y z S vαβγππ∑Ω++==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.例5．设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧,求333d d d d d dI x y z y x z z x y∑=++⎰⎰ .解:设Ω是由∑所围成的空间闭区域,由高斯公式,有333222d d d d d d(333)dI x y z y x z z x y x y z v∑Ω=++=++⎰⎰⎰⎰⎰21122400000123d d s i n d6s i n d d5r r r r rπππθϕϕπϕϕπ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.例6．计算d d d d d dx y z y z x z x y∑++⎰⎰,其中∑为上半球面x2+y2+z2=R2(z≥0),取下侧.解:设∑1是平面z=0上由x2+y2=R2所围成的一块平面(上侧),Ω是由∑与∑1所围成的空间闭区域,则由高斯公式,有1d d d d d d(111)dx y z y z x z x y v∑+∑Ω++=-++⎰⎰⎰⎰⎰33143223R Rππ=-⋅⋅=-,而1d d d d d d0x y z y z x z x y∑++=⎰⎰所以13d d d d d d2d d d d d dx y z y z x z x y R x y z y z x z x yπ∑∑++=--++⎰⎰⎰⎰32Rπ=-.练习四1. 设平面曲线L 为下半圆周21x y --=, 则⎰+Lds y x )(22=______.2. 设L 是取正向的圆周x 2+y 2=9, 则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2 .3. 计算曲线积分⎰-++L y dy ye x dx x x xy )()sin 32(2, 其中L 是摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 上从点O (0, 0)到A (π, 2)的一段. 4. 验证曲线积分dy xe dx ye xy xy )1()1()1,1()0,0(+++⎰在整个xOy 面内与路径无关,并计算其值. 5. 计算曲线积分ds z y x l ⎰++2221，其中l 为曲线x =a cos t , y =a sin t , z =at 上从t =0到t =1的一段.6. 计算曲线积分ds zx yz xy l ⎰++)(, 其中l 为圆周⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x .7. 计算曲线积分⎰+++=Ldy y x dx y x I 222)()(, 其中L 是以点O (0, 0), A (2,1), B (2, 4)为顶点的三角形周界的正向.8. 设L 是xOy 平面上顺时针方向绕行的简单闭曲线, 并且⎰-=++-L dy y x dx y x 9)34()2(, 求L 所围成的图形的面积.9. ⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I )9()1(2322, 其中∑为曲面z =x 2+y 2+1(1≤z ≤2)取下侧.10. 求⎰⎰∑dydz x 2, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1在第二卦限部分的外侧.11. 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧.12. 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑是上半单位球面的上侧.。

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。