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北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题（含答案）一、选择题1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则tanA 的值为( )图1A ．3B.13C.1010D.3 10102．如图2，已知山坡AB 的坡度为1∶2，坡高BC ＝1 m ，则坡长AB 为( )图2A. 3 mB. 5 mC ．2 mD ．4 m3．如图3，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )图3A ．1B ．1.5C ．2D ．34．如图4，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC 的值为( )图4A.12B.55C.53D.2 555．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )图5A ．3B ．4C ．6D ．86．如图6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( )图6A.45B.35C.34D.437．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图7中所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )图7A.247B.73C.724D.13二、填空题8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA 的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)9．如图8，一座公路桥离地面的高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是________．图8三、解答题10．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，求tan ∠BCD 的值．图911．如图10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，求AC的长．图1012．如图11所示，全全和品品分别将两根木棒AB，CD斜立在竖直的墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．图11附加题1.如图12，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为________．图122．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝13，tanβ＝12，求α＋β的度数．甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图13①和②. (1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝23时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，并求出α－β的度数．图13参考答案1．[答案] A2．[解析] B ∵山坡AB 的坡度为i ＝1∶2，坡高BC ＝1 m ，∴BC AC ＝12，∴AC ＝2 m ．根据勾股定理，得AB＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝5(m)．故选B.3．[解析] C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B . ∵点A (t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t . 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.4．[答案] A5．[解析] D 因为tan A ＝34＝BCAC，所以设BC ＝3x ，AC ＝4x (x >0)．由勾股定理，得BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝100，解得x ＝2，所以AC ＝4x ＝4×2＝8.故选D.6．[解析] C ∵CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8， ∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C.7．[解析] C 设CE ＝x ，根据折叠的性质，得BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理列出关于x 的方程，得x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74(负值已舍去)，即可计算出tan ∠CBE ＝724.8．[答案] 不变 9．[答案] 12米10．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3， ∴AC ＝52－32＝4. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.11．解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .依题意可求得AD ＝60 cm ，BD ＝54 cm.因为斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，所以BD CD ＝15，所以CD ＝270 cm ，故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．12．解：能．品品的木棒CD 更陡．理由：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ，∠AEB ＝90°， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm ， ∴tan B ＝AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，∠CED ＝90°， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm ， ∴tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵43＜2 2，即tan B <tan D ， ∴品品的木棒CD 更陡． 附加题 1．[答案] 5[解析] 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 则∠BDO ＝∠ACO ＝90°.∵顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x >0)与y ＝－5x (x <0)的图象上，∴S △BDO ＝52，S △OCA ＝12.∵∠BDO ＝∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＋∠DBO ＝∠BOD ＋∠AOC ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴S BDO S △OCA ＝(OBOA)2＝5212＝5，∴OB OA ＝5，∴tan ∠BAO ＝OBOA＝ 5. 故答案为 5. 2．解：(1)如图①. 在△AMC 和△CNB 中，∵AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝NB ， ∴△AMC ≌△CNB ， ∴AC ＝CB ，∠ACM ＝∠CBN . ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，即α＋β＝45°.如图②，连接BE.设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝2，∴CEBE＝12＝22，BEAE＝22，∴CEBE＝BEAE.又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠BAE＝α，∴∠BED＝∠CBE＋∠ECB＝α＋β.∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO＝90°，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.。
第一章 直角三角形的边角关系1．1 锐角三角函数 第1课时 正切基础题知识点1 正切(tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边)1．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tanA 的值为( ) A ．2 B.12 C.55 D.2552．(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA( ) A.35 B.45 C.34 D.433．(湖州中考)已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．454．(义乌中考)如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12 cm ，AB ＝20 cm ，求tanA 和tanB 的值．知识点2 坡度(坡度i ＝铅直高度h水平长度l)6．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道的坡度是( ) A.14 B ．4 C.117 D.4177．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m8．如图，表示甲，乙两山坡的情况，则____________坡更陡(填“甲”或“乙”)．中档题9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA 的值( ) A ．扩大为原来的三倍 B ．不变 C ．缩小为原来的13D ．不确定10．如图，一座公路桥离地面高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是( )A ．36米B ．24米C ．12米D ．6米11．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan ∠DBC 的值是( ) A.45 B.35 C.43 D.3412．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若c ＝4a ，则tanA ＝____________. 13．已知∠B 是Rt △ABC 的一个锐角，且AB ＝5，AC ＝3，则tanB 的值为____________． 14．(苏州中考改编)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC.15．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯．如果主楼梯的坡度为1∶3，且楼梯的竖直高度为3 m.(1)至少需要多长的地毯？(结果精确到0.1 m) (2)若所铺设的地毯每平方米售价为30元，主楼梯的宽度为2 m ，你作为经理要给采购员至少多少元钱去购买地毯？综合题16．(日照中考)如图，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连接AC ，若tanB ＝53，则tan ∠CAD的值( ) A.33 B.35 C.13 D.15参考答案1．B 2.D 3.A 4.C5．∵∠C ＝90°，BC ＝12 cm ，AB ＝20 cm ， ∴AC ＝AB 2－CB 2＝16 cm.∴tanA ＝BC AC ＝1216＝34，tanB ＝AC BC ＝1612＝43.6．A 7.B 8.乙 9.B 10.C 11.D 12.151513.34或3514．过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝AB2－BE2＝52－42＝3，∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝BEAE＝43.15．(1)∵楼梯的坡度为1∶3，即BCAB＝13，又BC＝3 m，∴AB＝3 3 m．∴所铺地毯的长为AB＋BC＝33＋3≈8.2(m)．(2)30×8.2×2＝492(元)．16．D。
北师大版九年级数学下册1.1.1正切 同步练习卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ＝( )A.BC ACB.AC BCC.BC ABD.AC AB2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.453．在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( ) A ．都没有变化 B ．都扩大为原来的2倍 C ．都缩小为原来的一半 D ．不能确定是否发生变化4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( ) A.13 B ．3 C.24D ．22 5．一斜坡的水平距离为3米，高为1米，那么此斜坡的坡度为( ) A ．3∶1 B ．1∶3 C ．1∶10 D.10∶36. 如图，梯子AB 和EF 中，更陡的是( )A ．一样陡B ．ABC ．EFD ．不能确定7．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB 的长为( )A ．12米B ．43米C ．53米D ．63米8．已知甲、乙两坡的坡角分别为α，β，若乙坡比甲坡更陡些，下列结论正确的是( ) A ．tanβ＞tanα B ．tanβ＝tanα C ．tanβ＜tanα D ．都有可能9．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )A ．3 mB ．3 5 mC ．12 mD ．6 m10．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE ＝( )A.12 B ．2 C.33D.3 二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan ∠B ＝_______.12. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则tan ∠ABC ＝____.13．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是____.15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为________.16．如图，点E 在矩形ABCD 的边CD 上，AB ＝2BC ，则tan ∠CBE ＋tan ∠DAE 的值是_______.17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，使点D 正好落在AB 边上，则tan ∠AFE ＝_____.18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象交于二、四象限的A ，B 两点，与x 轴交于C 点．已知A(－2，m)，B(n ，－2)，tan ∠BOC ＝25，则此一次函数的表达式为____________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(4分) 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝14，求tan B.20．(6分) 如图，欢欢和盈盈将两根木棒AB ＝10 cm ，CD ＝6 cm 分别斜立在墙上，其中BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由．21．(6分) 如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，AB ＝13. (1)若BC ＝5，求tanA 和tanB 的值； (2)若tanA ＝512，求BC 和AC 的长．22．(6分) 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求tanA 的值．23．(8分) 如图，梯子AB1架在墙C1B1上，已知梯子的坡度为1∶2，AC1＝1.2 m，C2C1＝0.8 m，求梯子AB1的长及B2C2的长．24．(8分) 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝5米，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡DC的坡度i＝1∶1.5，已知该拦水坝的高为6米．(结果保留根号)(1)求斜坡AB的长；(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长．25．(8分) 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1∶2.5，坝顶宽BC＝2.8米，坝高BE＝4.2米，斜坡CD＝7.5米．(1)斜坡AB和CD哪一个比较陡？(2)求坝底AD的长．(结果精确到0.1米)参考答案1-5 AAADB 6-10CAABD11. 34 12. 12 13. 2 14. 34 15.13 16. 2 17. 3418. y ＝－x ＋319. 解：作AD ⊥BC 于点D(图略)，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝7，由勾股定理，得AD ＝24，∴tan B ＝24720. 解：木棒CD 更陡，理由如下：在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8(cm)，∴tan ∠ABE ＝AE BE ＝86＝43.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝62－22＝42(cm)，∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝422＝2 2.∵tan ∠CDE>tan ∠ABE ，∴木棒CD 更陡21. 解：(1)由勾股定理知：AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴tanA ＝BC AC ＝512，tanB ＝AC BC ＝125(2)由tanA ＝512可设BC ＝5x ，则AC ＝12x ，在Rt △ABC 中，BC 2＋AC 2＝AB 2，∴(5x)2＋(12x)2＝132，解得x ＝1，∴BC ＝5x ＝5，AC ＝12x ＝12解：作DH ⊥CD ，交BC 于点H ，在Rt △DCH 中，tan ∠BCD ＝13＝DHCD ，设DH ＝k ，则CD ＝3k ，∵DC ⊥AC ，DH ⊥CD ，∴AC ∥DH ，∴DH AC ＝DB BA ，又∵D 为AB 的中点，∴DB BA ＝12，∴DH AC ＝12，则AC＝2k ，∴tanA ＝CD AC ＝3k 2k ＝3223. 解：在Rt △AB 1C 1中，∵AC 1＝1.2 m ，坡度i ＝1∶2，∴tan A ＝i ＝B 1C 1AC 1，∴B 1C 1＝12AC 1＝12×1.2＝0.6 (m)．由勾股定理，得AB 1＝AC 12＋B 1C 12＝355(m)．在Rt △AB 2C 2中，易知B 2C 2＝12AC 2＝12(AC 1－C 2C 1)＝12×(1.2－0.8)＝0.2(m)解：(1)斜坡AB 的长为610米(2)过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∴四边形AEFD 是矩形．∴EF ＝AD ，∵AD ＝5，∴EF ＝5，又∵DFCF ＝i ＝11.5＝23，DF ＝AE ＝6，∴CF ＝32DF ＝9，又∵AE BE ＝13，AE ＝6，∴BE ＝18，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝18＋5＋9＝32.在Rt △DCF 中，根据勾股定理得DC ＝DF 2＋CF 2＝313.∴梯形ABCD 的周长为AB ＋BC ＋DC ＋DA ＝610＋32＋313＋5＝(37＋610＋313)米25. 解：(1)过点C 作CF ⊥AD 于点F ，图略，则CF ＝BE ＝4.2米．在Rt △CFD 中，FD 2＋CF 2＝CD 2，∴FD ＝7.52－4.22≈6.21(米)，∴tan D≈4.26.21≈0.7.∵tan A ＝1∶2.5＝0.4，∴tan D>tan A ，∴斜坡CD 比较陡(2)∵BEAE＝4.2AE＝12.5，∴AE＝10.5米，∴AD＝AE＋EF＋FD≈10.5＋2.8＋6.21≈19.5(米)，即坝底AD的长约为19.5米。
1.1正切1、如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB ’的值为（ ）A.21 B.31 C.41D.42ABCB ’C ’AB CABC2、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.53、如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tanA 的值是（ ）A.56 B.65C.3102D.201034、如图是拦水坝的横断图，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）A.34米B.56米C.512米D.24米ABC DE i=1:2ABCDEF5、如图， 点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把△ADE 沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，已知折痕AE=105㎝，则tan ∠EFC=43，那么该矩形的周长为（ ） A.72㎝ B.36㎝ C.20㎝ D.16㎝6、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan ∠C 等于（ ）A.43B.34C.53 D.54 7、某人沿坡i=3:4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米。
AB CDMBDEABC8、如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点关于对角线AC 对称，若DM=1，则tan ∠ADN= 。
9、如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12,5），则tan α等于 。
10、如图，在CD 上取一点B ，作AB ⊥BE 于B ，AC ⊥CD 于C ，ED ⊥CD 于D ，若DE=6，BD=8，则tanA= 。
11、已知△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 边上的中线，若AB=13，BC=10，试求tan ∠DBC 的值。
