线性时滞系统的状态反馈H∞控制

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线性离散不确定时滞系统滞后相关H∞鲁棒控制

ｌ
（＝（）），一ｄ ≤ ≤ Ｏ．
（）３
其中为待求的控制器增益矩阵．在给出主要结果之前，先给出以下引理．首
引理１７［３对于任意适当维数的矩阵和Ｙ，有
ｌ，＋ ≤ ＸＰＸ＋ＵＰＹ。Ｐ＞０Ｖ
式中，） ∈ Ｒ为系统状态向量，（（ｋ） ∈ Ｒ为系统控制输入向量，后） ∈ Ｒ系 ∞（为
统干扰输入向量，（） ∈ Ｒｐ系统控制输出向量，＞０为系统的滞后常数，（） ∈ Ｒｋ为ｄ忌为系统的初始向量函数，，，Ｂ，Ｂ：Ｃ分别为具有适当维数的已知常数矩阵，，，，厶，，厶为
道．
本文以具有状态时滞的线性离散时滞不确定系统为研究对象，于适当的Ｌａｕｏ基ｙｐｎｖ泛函，出了滞后相关型日。状态反馈控制器设计方案，过求解一个线性矩阵不等式即给通可求得满足设计要求的控制器．
引理２［Ｓｈｒ补引理］对于定义在Ｒ“ 的矩阵，（）＝Ｑ（ｃｕ上口），（Ｒ）＝Ｒ（）以
及．（），性矩阵不等式（ｓ线ＬＭＩ）
『（（１（）＞ｏＱＱ）＞ｏ，（）一ｓＲ（（（）））＞ｏ・
系统的不确定矩阵，满足：且

反馈鲁棒H∞控制器的存在条件

反馈鲁棒H∞控制器的存在条件【摘要】针对状态和输入带时滞的不确定性线性系统，利用线性矩阵不等式LMI （Linear matrix inequality），给出了反馈鲁棒H∞控制器的存在条件。

【关键词】不确定性；时滞；鲁棒H∞控制；LMIThe Condition for the Existence of RobustH∞ Controller FeedbackLI Jing-jing（Shandong University of Science and Technology，Qingdao Shandong，266590）【Abstract】According to the state and input time delay linear uncertain systems，linear matrix inequality LMI（Linear matrix inequality ），given the conditions for the existence of robust H∞ controller feedback.【Key words】Uncertainty；Time delay；Robust H∞；Control；LMI1 简述（Simple Description ）时滞现象是自然界中普遍存在的现象，在控制系统的设计和分析中如不考虑时滞的影响，有可能导致闭环系统的不稳定。

因此近年来时滞系统的研究已经成为控制领域一个非常热门的研究方向[1-3]，H∞控制是一种重要的鲁棒控制方法，它要求在系统存在不能精确测量的外部干扰情况下，设计控制器有效抵消外来干扰的影响在一定水平之下。

H∞控制无论在理论研究还是工程应用方面都取得了巨大的进展。

纵观现有文献，当系统方程中含不确定项，状态和控制同时有时滞情形，其相关的H∞控制研究几乎还是个空白。

本文对状态和输入带时滞的不确定性线性系统，利用线性矩阵不等式LMI（Linear Matrix Inequality）[4]的处理方法，给出了状态反馈鲁棒H∞控制器存在的条件。

线性系统时滞相关鲁棒H∞控制

ＨｕｎｎＸｉｎｆｎａｇＹａｇｅＹｏｇａｇ
（ｃｏｌｏｎｏｍａｉｎＳｉｎｅ＆Ｅｎｉｅｒｎｎｒｌｏｔｉ．ＳｈｏｆＩｆｒｔｃｅｃｏｇｎｅｉｇ。ＣｅｔａｕｈＵｎｖ，Ｃｈｎｓａ４０８Ｓａｇｈ０３，Ｃｈｎ）１ｉａ
关键词：态时滞；时滞相关；鲁棒控制；Ｈ状控制；线性矩阵不等式中图分类号：Ｐ３Ｔ１文献标识码：Ａ文章编号：６２９８２Ｏ）６０４－４１７ —４Ｘ（Ｏ６０ —５１０
Ｄｅａ－ｅｎｄｎｂｕｔＨＣｏｒｌｆｒＬｉｅｒＴｉｅＤｅａｌｙｄｐｅｅｔＲｏｓｎｔｏｏｎａｍｌｙＵｎｃｒａｎＳｓｅｓｅｔｉｙｔｍ
应用于线性时滞系统的控制综合，用Ｌａｕｏ — ａｏｓｉ泛函方法，利ｙｐｎｖＫｒｓｖｋｉ通过牛顿一布尼茨公式中莱
各项相互关系引入“ ” 获得了一种的经无记忆状态反馈控制后可鲁棒镇定，而且具有给定的０阵，Ｈ性能指标的时滞相关，时滞导数相关的充分条件，出了一种矩阵分解的次优算法．提最后用实例表明了所得结论的有效性．
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第２８卷
第６期
三峡大学学报（自然科学版）
ＪｏｉａＴｈｅｒｅｉ．ＮａｕａｃｅｃｓｆＣｈｎｒｅＧｏｇｓＵｎｖ（ｔｒｌｉｎｅ）Ｓ

时滞独立的网络控制系统H∞控制器设计

式中
Ｘｔ一系统的状态向量，（）∈Ｒ；ｔ一有（）ＸｔＷ（）
限能量的外部扰动，ｔＷ（）∈ Ｒ；（）系统的控制ｎｔ一
输入，（）∈Ｒ；（）被调输出，（）∈Ｒ；Ｂ，ｎｔＺｔ一ＺｔＡ，
Ｃ，Ｅ已知的实常数矩阵。Ｄ，一现设计Ｈ状态反馈
互联网数据传输中产生的不确定延时问题。从传感器读出数据到控制信号抵达被控系统，这段时间是不确定的。尽管针对固定延时问题已经有很多有效的方法，但
是随机延时问题依然是一个开放的课题。而这种不确定延时很有可能使系统性能减弱，至崩溃。甚本研究主要讨论网络控制系统中的时滞独立系
ＩＴＬ — ｈｎ，ＪＡＮＧｉｇｐｎＪｉｃｕＩＪｎ — ｉｇ，ＹＵａ — ｎＸｉｏｍｉｇ
（ｏｅｅｏｌｔｃｌｎｉｅｉｇｈｉｇＵｉｒｔ，ａｇｈｕ３０２，ｈｎ）ＣｌｇｌｆＥｅｒａＥｇｎｅｎ，ＺｅａｎｖｓｙＨｎｚｏ１０７Ｃｉｃｉｒｊｎｅｉａ
李丽春，蒋静坪，于晓明
（江大学电气工程学院，江杭州３０２）浙浙１０７
摘要：绍了网络控制系统中的时滞独立系统。利用Ｌａｕｏ介ｙｐｎｖ稳定性定理和线性矩阵不等式（ＭＩＬ）
工具给出了Ｈ控制器存在的时滞独立网络控制系统的充分条件。通过求解一个具有线性矩阵不等式的凸优化问题，出最小的Ｈ得控制率。仿真实验结果显示，整个系统对干扰信号有较好的抑制作用。

线性广义时滞系统的状态反馈H∞控制

以下两式：
定义２若方程（）４的零解关于｛（ｘ，，）ｑｆ）Ｏ＋），【是稳定的，且
ｖｏ【＋）Ａｔ＞， ∈ （Ａｔ），（，∞ ，有Ｉ，（ｆ）＝ｔ∈０ ∞，（）０，３ｏＶＢ０（）ｆ＋），。ｎ。Ｉ，ｆ。）０ｑ，（
ＰＥｐ０Ｅ：ｒｒ尸（～一；暖量一一ｕｒ，ｕ＜
（Ｏ１）（） ¨
则称方程（）的零解关于｛（ｘ，，）４ｑｆ）Ｏ＋），【渐近稳定。引理１给定矩阵 ∈ …，ＲＱ＝Ｒ：Ｒ，Ｗ，Ｗ≠ ，若０且０则ｐｐ＋＋Ｐｒ０＜（）可行当且仅当ｗｒｒ＋ｏ６）Ｑ一Ｘ）＜，若（）可行，（ｗｏ６
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＂
ｖ／（，）Ａｏ，＇Ｂ０８ＮＳｔ）方程（）ｑ，４通过初始条件（），的解ｘ，ｏ（ｔ），，
ＰＦ＝ＥＰ ≥ ０
满足，（）￡，ｔｔ，则方程（）的零解关于｛ｆ），，和Ｖ ∈【ｋｘ）Ｏ）４ｇ，，（｝
记旷：Ｆｔ～＋＞，＞，则（）的所有可行解为ｗ＋ —，）００（Ｆ６
Ｐ；（１一一ｐ）５ｊ一一旷～ｕｕｊ．＜，再 ‘ ，中
一
其中，一＝
满秩分解。证明
），一豆＝ｊ
：
＋＋Ｆ，一ＷＷ）ｊ（ｊ＋一（，１１，ｊ）１
ＰＥ：Ｅｒｐ０
＋
＋４ＰＱ＋ｒ４＜０Ｑ一

不确定切换时滞线性系统的状态反馈鲁棒H∞控制

Ｖｏ．ＮＯ．１２９４Ａｕｇ．
２ｏ８０
文章编号：６２—６７（０８Ｏ０６Ｏ１７８１２０）４— ０９一４
不确定切换时滞线性系统的状态反馈鲁棒
刘洪刚付主木高爱云，，
控制
（．湖市供电公司，北洪湖４３０；．河南科技大学电子信息工程学院，南洛阳４１０；，河南科技大学车辆１洪湖３２０２河７０３３
中图分类号：Ｐ７Ｔ２３文献标识码：Ａ
Ｕ
刖吾
时滞系统的分析和综合一直是控制理论与控制工程领域中研究的一个热点问题
，年来，近针对
线性时滞系统的研究已经取得了较多成果，而针对切换时滞系统的研究尚不多见。文献［］用共然３使
Ｂ（＋Ｂ（＋Ｂｚ）“）－）［ △ （］（・＿ｔ： “ （）
，
（１）
（）＝ｃ（ｔｔ））＋Ｄ（ “ ｔ（）（）
（）＝（）Ｖｔ∈ ［，］，一ｄ０
其中 ∈Ｒ表示系统状态； ∈Ｒ表示外部干扰且 ∈Ｌ［，］ ∈Ｒｏ９：０Ｔ，表示受控输出；ｄ是已知常数的
与动力工程学院，南洛阳４１０）河７０３
摘要：研究一类由任意有限多个具有参数不确定性和状态时滞的线性子系统组成的切换系统的状态反馈鲁棒日控制问题，用Ｌａｕｏ利ｙｐｎｖ函数方法和凸组合技术，出由矩阵不等式表示的控制器存在的充分条件，给并设计了相应的子控制器和切换规则。采用变量替代方法，该矩阵不等式转化为一组线性矩阵不等式将（ＭＩ）最后给出一个求解状态反馈控制器增益矩阵的仿真算例。Ｌｓ，关键词：换系统；棒日控制；态反馈；态时滞；性矩阵不等式切鲁状状线

时滞倒立摆的H∞反馈控制

究具有重要的理论意义和实际应用价值口．］
在倒立摆运动过程中，由于控制器需要一定的响应时间，立摆系统各部件之间存在摩擦力和其他非倒线性因素，将不可避免地引起系统控制的时滞，时滞的存在是导致系统不稳定和影响系统性能的重要原
式中：Ｅ，为具有适当维数的常数矩阵；￡ＥＲ为未知时变不确定矩阵，Ｄ，。Ｆ（） ” 且满足Ｆ（）￡ ≤ＪＩ￡Ｆ（），为适当维数的单位矩阵．
收稿日期：０１— ９—１；辑：兆虹２１０５编张
时变结构不确定性；（）反馈输入，（）Ｕ￡为Ｕ￡一Ｋｘ￡；为控制器增益；￡为系统在［（）Ｋ（）一，］的初始条０上
件．
假设１系统（）１中参数不确定性满足范数有界性，即［Ａ（）Ａ２ｆ］一Ｄ￡［Ｅ］ △ Ｂ（）Ｆ（）Ｅ，（）２
基金项目：黑龙江省博士后科研启动基金项目（ＢＬＨ—Ｑ０１９８５）
作者简介：克勇（９Ｏ）男，士，授，要从事鲁棒控制、能控制方面的研究邵１７一，博教主智
东
北
石
油
大
学
学
报
第３６卷
２１０２年
文中定理证明将用到引理：
自由权矩阵，小了问题的复杂性．时考虑系统不确定性．论可由ＭＡＴＬ减同结ＡＢ软件直接求解，便易行．真结果证实方仿

切换时滞线性系统的状态反馈H∞控制

ＳａｅＦｅｄａｋＨ ∞ ＣｏｔｏｏｗｉｃｅｎａｙｔｍｓｗｉｈＤｅａｔｔｅｂｃｎｒｌｒＳｔｈｄＬｉｅｒＳｓｅｔｌｙｆ
Ｆｈ－ＱＩＬａ．ｕＧＡＡｉｕＦＩｈ．ｉＵＺｕｍｕ，Ｕｉｎｋｉ，Ｏ．ｎ，ＥｕｒｎｙＳｎ
，
Байду номын сангаас
３ＳｈｏｆｔｍａｉｎＳｕｈａｔｉｅｓｙＮａｊｎ１０６．ｃｏｌＡｕｏｔ，ｏｔｅｓＵｎｖｒｉ，ｎｉｇ２０９）ｏｏｔ
［ｂｔｃ］ＴｉｐｐｒｎｅｔａｓｈｔｅｆｄａｋＡｓａｔｈｓａｅｉｓｇｔｅｓｔｅｂｃｒｖｉｅｔａｅ
，
２・ｈｃｅ＆ＭｏｉｅＰｗｅｇｉｅｒｎｌｅｅＨｅｎＵｎｖｒｉｆＳｃｅｃｄＴｃｎｏｏｙＬｕｙａｇ４０３；ＶｅｉｌｔｖｏｒＥｎｎｅｉｇＣｏｌｇ．ｎａｉｅｓｔｏｉｎｅａｅｈｌｇｙｎｏｎ７１０
ｉｅｆｒｆｍａｘｉｅａｉｉｓｎｔｍｏｍｎｑｕｌｔ．ＢｏｈｓｂｃｎｏｌｒｄｓｔｈｎｓａｅｙａｅｄｓｇｅＢｙｕｉｇｖａｉｂｅｓｂｔｕｔｎｍｅｏｈｅｍａｘｈｏｅｔｕ — ｏｔｌｓａｗｉｃｉｇｔｔｇｅｉｎｄｒｅｎｒｒｓｎｒａｌｕｓｔｉｔｄ，ｔｒｉｏｈ
时滞的大量存在以及时滞系统分析和控制的困难性使得时滞

时滞网络控制系统的H∞控制器设计

网络控制系统（Ｃ）ＮＳ是指信息传输通过一个实时网络的闭环控制系统．与传统的控制系统相比，网络控制系统具有可实现资源共享、远程操作、本低和容易维护等优点，成已广泛应用于大型工业过程控制及小型局域系统（如航天器、船舶和新型高性能汽车等）因而具有广泛的应用前景… 将网络作为信，１．
“ｔ（）＝ “ （ — ｒ）＝Ｋ（ —ｒ一ｒｔ。ｘｔ。）＝Ｋ（ — ｒ， ∈ Ｒｚｔ）Ｋ．
收稿日期：０５０．２０．５２９
（）２
作者简介：天成（９７）男．教授．士，要从事控制理论与应用的研究．Ｅ—ｍａ）ｕｔ王１６一，副博主（ｉｃｒｌｅ
一
个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，利用Ｍｔｂ软件中的ＬＩａａｌＭ工具箱求解，给出日。最优控制器的
设计方法．
关键词：网络控制系统；时滞相关；性矩阵不等式（Ｉ；控制线 Ⅲ ）Ｈ。
中图分类号：Ｐ７Ｔ２３文献标识码：Ａ文章编号：６３８２（ｏ６ｏ —１４０１７—ｏｏ２ｏ）３６—４０
—
ｍｃ１３．ｏ＠６ｃｒｎ
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第制系统的 Ⅳ 控制器设计等时
ｌ５６
其中ｒ：ｒ＋ｒ０＜ｒ≤ ｄ即对给定的正常数）在状态反馈（），，．，，２下系统（）足下面两个条件．１满

具有时滞依赖系统的H∞动态输出反馈控制

文章编号：１７ —１６２０）４０８ —３６３５９（０６０－０７０
具有时滞依赖系统的Ｈ∞ 动态输出反馈控制
付兴建，童朝南，李迎春。
（＿１北京信息科技大学计算机与自动化系，北京
工程系，北京１０８）００３
１０８；．００５２北京科技大学信息工程学院，北京
ｒｓｒｉｔＦｎｌ，ａｓｌｔｎｍｅｈｄＯｈａａｅｅｓ０ｈｓｃｎｒｌｒｗａｉｅ．ｅｔａｎ．ｉａｌｙｏｕｉｔｏｆｔｅｐｒｍｔｒｆｔｉｏｔｏｌｓｇｖｎｏｅ
Ｋｅｒｓ：ｔｍｅｌｇｓｓｅ；ｏｔｕｅｄａｋ；ｌｅｒｍａｒｘｉｅｕｌｙ；Ｈቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｏｔｏｙｗｏｄｉ－ａｙｔｍｕｐｔｆｅｂｃｉａｔｉｑａｉｎｎｔ。ｃｎｒｌ
ＦＸｉｇｊｎ，Ｕｎ－ａＴＯＮＧＣａ — ａＩｎ－ｈｎｉｈｏｎｎ，Ｌｇｃｕ。Ｙｉ
（．Ｄｐ．ｏｏｕｅｎｔｍａｉｎＢｅｉｇＵｎｖｒｉｆｎｏｍａｉｎＳｉｃｎｃｎｌｇ，ｉｎ１０８，Ｃｉａ．Ｓｈｏｆｎ１ｅｔｆｍｐｔｒａｄＡｕｏｔ，ｉｎｉｅｓｔｏｆｒｔｃｅｅａｄＴｅｈｏｏｙＢｅｉｇ００５ｈｎ；２ｃｏｌ — ＣｏｊｙＩｏｎｊｏＩ
１０８；．中国矿业大学北京校区机电００３３
摘要：对于一类具有时滞依赖的线性系统，究了其动态输出反馈Ｈ控制器的设计．于线性矩阵不等式，研基通过构造Ｌａｕｏ函，出了一种动态输出反馈Ｈｙｐｎｖ泛给控制器的设计方法，并证明了该控制器在使闭环系统渐近稳定的同时，能保证闭环系统满足一定的也的求解方法．关键词：时滞系统；输出反馈；线性矩阵不等式；Ｈｏ控制，

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２００８年６月
湖南鲜报一彝学
ＪｕｎｌｏｎｎＦｒｔＮｏｍａｏｌｇｏｒａｆＨｕａｉｒｌＣｌｅｓｅ
Ｊｎ２ｏｕ。ｏ８
Ｖ０．Ｎｏ２１８．
第８卷第２期
线性时滞系统的状态反馈Ｈ∞控制
林敏
（湖南第一师范学院数理系，湖南长沙４００）１２５
摘要：基于Ｌａｕｏ —Ｋａｏｓｉ泛函方法，Ｌ（ｙｐｎｖｒｓｖｋｉ以ＭＩ线性矩阵不等式）的形式，出了一般的状态滞后自治系统内稳给
定且具有范数界的一个充分条件和一般的状态滞后系统问题有解的一个充分条件，并通过ＬＩＭ获得控制器的解。数值例
成立
收稿日期：０８０ —２２０— ２５
作者简介：林
敏（９Ｏ）女，１８一，湖北随州人，湖南第一师范学院数理系助教，主要从事鲁棒控制方面的研究。
１６７
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２闭环系统具有Ｈ范数约ｙ即Ｉ（ｌ＜ｌ（）束，ｌ￡ｌｙｌ）２ ∞ ）
引理１［对任意常数矩阵， ∈Ｒ，＝Ｗｒ，：４一＞０某一
ｖｘ＝（）￡＋一（）喀＋一（一＋（Ｐ（』＾Ｑ（）』＾＾ｔ））
一
ｙ０（＋）ｘｔ喀』￡Ｗ（＋）＿
控制理论是鲁棒控制的一个重要分支。在许多实际系统中，由予测量的不灵敏性、件的老化、械传输等元机原因，系统中出现时滞现象极为普遍。因此，滞系统的时
日控制问题一直是人们最感兴趣的课题之一。ｌ但是儿儿
均具有时滞的一般线性时滞系统的控制问题。
２．问题描述
对于系统（）当ｕｔ０时便得到如下时滞系统１，（）＝
ｒ
（）Ａ（）Ａｔ）＋ ∞ ｔ，ｔ＝ｘｔ＋ｌ（ —ｈ曰（）
Ｊ（＝ｘｔ＋ｌ（— ）Ｄ（）ｔＣ（）ｃｔｈ＋ｗｔ，）
【（）（）ｔ一，］ｔ＝￡，∈［＾０
（）４
定理１对某个给定的Ｙ＞０和＾， ≥Ｏ如果存在实数矩
考虑如下具有状态时滞的线性系统：
ｒ（）＝ｘＡｔｈ曰ｔｘｔＡ（）＋ｌ（～）＋ ∞（）＋Ｂ（）ｌｔ，
阵Ｐ＝＞，ＰＯＱ＝Ｑ＞ＯＲ＝Ｏ满足下列不等式，Ｒ＞
）（（Ｒ）筵）ｈ（）其中Ｐ，Ｒ是未知的正定矩阵，Ｑ，则
Ｖｘ）ｘ（）ｘｔ＋（Ｐ（）（）ｘｔ一ｒ — ）ｘｔｈ（＝ｔ（ｔｘｔ＋ｔ（ｘ（ｈＱ（— ）ｒＰ））Ｑ）ｔ
给定标量，Ｏ和向量函数 Ⅳ ［，］Ｒ，下列不等式，＞：－０一则ｙ
ｒｃ）】）（卜）Ｗｙ￡ｙ－【）】㈤
３。主要结果３１．性能分析
出于时滞系统的复杂性，时滞系统的控制问题研究仍然
处在发展阶段。大多数文献都是研究某种特殊的时滞系统的控制问题。２本文考虑状态方程和控制输出方程ｎ
子说明了方法的正确性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关键词：线性时滞系统；制；控线性矩阵不等式（ＭＩＬ）中图分类号：Ｐ７Ｔ２１文献标识码：Ａ文章编号：６１－３９２０００６０１７４６（０８）２－１７— ３
１ｉ。弓言
ＰＲ＋
Ｃ
— －ＱＲ
０Ｃ１
一
１０ｈＢＤ —１０
加０一Ｒ
Ｍ
Ｍ１
阵；≤＾是时滞常数，Ｏ ≤＾向量值初始函数，ｔ ∈ ［一，（）ｃｈ
０，ｔ ∈Ｌ［，．］∞（）２０ ∞）本文研究的目的是：于某一给定的常数Ｙ＞０如何对，
ＡｐＰ＋ — Ａ＋ｒ＋ＡＱＲＰ１Ｒ
Ａｒ
ｘ
咫０
Ｃｃ
ｈＡｈＡ
｛（＝ｔ＋ｌｔｈ＋ ∞ ｔ＋ｌｔ，（）ｔｃ（ｃ（— ）Ｄ（Ｄｕ））））（１
【ｔ＝ｔ，∈［一＾０（）（），］其中－（）＇ｔ ∈Ｒ是系统状态向量，ｔＸ ∞（）∈Ｒ是干扰输入向量，（）∈ 是控制输出向量，（）∈ 是控制输入Ｚｔｕｔ向量；Ａ，口，ｃ，Ｄ是具有相应维数的实常数矩Ａ，ｌ口，ｌｃ，ｌＤ，ｌ
ｙｌｔｌ． ∞（）ｌｌ２
使得系统（）１同时满足下列两个条件：
Ｉ闭环系统是渐近稳定的，）
令Ｌ＝』（）（）一 ∞ （）ｔ］ｔ０【￡￡￡∞（）ｄ选取以下的ＬａｕｏＫａｏｓｉ函数：ｙｐｎｖ— ｒｓｖｋｉ
设计一个状态反馈控制器（）＝Ｉ（）ｉｔｘ（）２
则系统（）４是渐近稳定的，且满足以范数约束Ｙ即ｉ，ｉ
（）ｌ＜ ∞（）ｌ。ｔｌｙＩｔｌ２ｉ２
证明：先证系统（）４具有范数约束Ｙ即ｌｔｌ＜，ｌ）ｌ（