七宝中学高三下学期摸底考试数学试卷

2019届上海市七宝中学高三下第三次模拟考试数学试题一、单选题1．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.非充要条件【答案】A【解析】根据方程没有实数根，求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根，则判别式△240p =-<，解得22p -<<．由充分条件和必要条件的定义可知，“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的必要不充分条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出方程没有实数根的等价条件是解决本题的关键．2．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A.()f x 是偶函数 B.()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C.()f x 是周期函数 D.()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x ，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法．3．已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B满足PA 、PB 的中点均在C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（ ）A.22000280y y y x y -+-=B.22000280y x y x y -+-= C.22000280y y y y x -+-=D.22000280y x y x y ++-=【答案】A【解析】设出A ，B 的坐标，用中点公式求出PA ，PB 的中点坐标后代入抛物线方程，再由根与方程的关系即可得出． 【详解】设211,4y A y ，222,4y B y ， 则PA 的中点210014,22y x y y M ⎛⎫+ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，PB 的中点200224,22y x y y N ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 2120014422y x y y ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即2210100280y y y x y -+-=， 同理得2220200280y y y x y -+-=，因此12,y y 是方程22000280y y y x y -+-=的两根．故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及中点公式的应用，意在考查学生的数学运算能力． 4．已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，223x y x y ω+=+的取值范围是（ ）A.(3,2]B.[1,2]C.(0,2]D.3(,1]2【答案】B【解析】构造直线30x y +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM ，则2232sin x y POM x y+=∠+，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线30x +=的距离32x PM +=，P 到原点的距离22OP x y =+ 22322sin x y PMPOM OPx y +==∠+． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =211k =+，解得3k =POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠，12sin 2POM ∴∠． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=所代表的几何意义，意在考查学生的数形结合能力和数学运算能力．二、填空题5．已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =______．【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解． 【详解】 解：()12z i +=，()()()()2121211112i i z i i i i --∴====-++-，则z ==【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． 6．不等式1021x x -≤+的解集是____． 【答案】1,12⎛⎤-⎥⎝⎦【解析】将分式型不等式转化为二次不等式求解，结合定义域将在分式中无意义的值去除. 【详解】由题意知：原不等式可化为：()()1210x x -+≤且12x ⎛⎫≠-⎪⎝⎭. 解得：112x -<≤. 【点睛】本题考查分式型不等式的求法，可将分式不等式化为二次不等式求解，但要注意分式不等式与二次不等式的定义域上的区别，注意将无意义的值去除.7．函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为________【答案】[2,2]-【解析】根据平移的相关知识知，函数()y f x =与函数(1)y f x =+的值域相同，而函数2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不变，y 值变为原来的2倍得到，即可求出． 【详解】因为函数()y f x =的值域是[1,1]-，将函数()y f x =图象向左平移一个单位，得到函数(1)y f x =+，其值域仍是[1,1]-，而函数2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不变，y 值变为原来的2倍得到，所以其值域为[2,2]-． 故答案为：[2,2]-． 【点睛】本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域．8．求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-=________【答案】1-【解析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出． 【详解】1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-()()()()012201902019120182201720190201920192019201912121212C C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-()2019121=-=-．故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．9．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________【答案】3【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出r ，由题意得出2l =，再由勾股定理得出h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则2l =， 由题意可知，2l r ππ=，12lr ∴==，由勾股定理得h =因此，该圆锥的体积为22111333r h ππ=⨯=，故答案为：3. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.10．若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元素之积的值为________ 【答案】0【解析】根据两集合仅有一个公共元素,所以有31565403x xy y =⎧⎨≠⎩或31403655x y xy =⎧⎨≠⎩或31565403x xy y ≠⎧⎨=⎩或31403655x y xy≠⎧⎨=⎩，解出,x y 的值,即可求出集合A B 中所有元素之积． 【详解】 依据题意得， 31565403x xy y =⎧⎨≠⎩或31403655x y xy =⎧⎨≠⎩或31565403x xy y ≠⎧⎨=⎩或31403655x y xy ≠⎧⎨=⎩，解得40365x y =⎧⎪⎨≠⎪⎩或130x y ≠⎧⎨=⎩，所以集合A B 中所有元素之积的值为0．故答案为：0． 【点睛】本题主要考查集合的交集．并集的定义以及其运算．11．已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1()y f x -=在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为________【答案】6【解析】先求出函数1()2x f x a -=-的反函数1()f x -，由单调性即可求出其在[0,1]上的最大值和最小值，列出方程，即可求出．【详解】设12x y a -=-，解得()log 21a x y =++，则()1()log 21a f x x -=++，由于其在[0,1]上单调，所以其最大值和最小值之和为()()1101ff --+，即有()()1101log 21log 310a a f f --+=+++=，解得a =．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查反函数以及其最值的求法．12．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88【解析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=， 故答案为：0.88． 【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用．13．已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -⋅+的值为________ 【答案】1【解析】由平面向量的线性运算以及数量积的运算即可计算得出． 【详解】2()()()()1OD OA BA BC AD BA BC BC BA BC BC -⋅+=⋅+=⋅+==．故答案为：1． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算．14．已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，不等式221n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为________【答案】2t ≥或2t ≤-【解析】先求出数列{}n a 的通项公式，再求出其最大值，然后求出2()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上的最小值，即可解不等式组求出．【详解】由1(1)30n n n a na ++--=得，1(1)3n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以()13132n n n n a =+-=-，即233n na =-<， 因为2()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上单调，所以()(){}min min 2,2g g g =-，因此可得()()2323g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩即2222132213t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-． 故答案为：2t ≥或2t ≤-． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法、数列最大项的求法，不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．15．如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长(,)l M G ，则(,)l M G 的最大值为________5【解析】在表面展开图中利用勾股定理计算MA 的最小值，即可得出(,)l M G 的最大值． 【详解】作出侧面ADHG 和上底面EFGH 的展开图如图所示：设M 到直线EF 的距离为x ，M 到EH 的距离为y ， 则MA 的最小值为()22,(1)l M G x y =++01,01x y ≤≤≤≤，显然当1x y ==时，(,)l M G 5 5 【点睛】本题主要考查几何体的侧面展开图，意在考查学生的直观想象和数学运算能力.16．已知221log 2()220xx f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有55________ 【答案】35[0,5【解析】设()t f x =，作出函数()y f x =的图象，由方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化为二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，并构造函数()2g t t at b =-+，转化为二次函数的零点分布，得出()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，可作出关于a 、b 215a b -+视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，结合图象可得出答案. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：设()t f x =，则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，构造函数()2g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即010b a b <⎧⎨-+>⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，作出图形如下图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组0101111b a b a b <⎧⎪-+>⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴），215a b -+视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，当点(),a b 与点()1,0E 21210135555a b -+⨯-+==， 215a b -+的取值范围是35⎡⎢⎣⎭，故答案为：35⎡⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.三、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点． （1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；（2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；【答案】（1）5+22（2）10arccos10θ=.【解析】试题分析：（1）直三棱柱111ABC A B C -的全面积为两个底面三角形面积与侧面积之和. 底面ABC 是等腰直角三角形,其面积为11111222ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=,侧面展开图为矩形，其面积为1()(121)2422S AB BC AC AA =++⋅=⋅=+侧∴=2=5+22ABC S S S ∆+侧全2）求异面直线所成角，关键在于利用平行，将所求角转化为某一三角形中的内角.因为条件有中点，所以从中位线上找平行. 取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1A C所成的角θ．分别求出三角形三边，再利用余弦定理求角.15AC ，1122E A =，1322CE =，222232((5)(1022cos 10210252θ+-===⋅⋅，10θ=.解：（1）11111222ABCS AB AC∆=⋅=⋅⋅=（2分）1()(121)2422S AB BC AC AA=++⋅=++⋅=+侧（4分）∴=2=5+22ABCS S S∆+侧全（6分）（2）取11B C的中点1E，连11A E，则11//A E AE，即11CA E∠即为异面直线AE与1A C 所成的角θ．（2分）连1E C.在11Rt E C C∆中，由112E C=，12CC=知1132422A C=+=在11Rt A C C∆中，由111AC=，12CC=知15AC（4分）在11A E C∆中，222232()(5)(1022cos210252θ+-===⋅⋅∴10arccos10θ=（6分）【考点】三棱柱的全面积，平移求线线角18．设函数()f x在[1,)+∞上有定义，实数a和b满足1a b≤<，若()f x在区间(,]a b上不存在最小值，则称()f x在(,]a b上具有性质P.（1）当2()f x x cx=+，且()f x在区间(1,2]上具有性质P时，求常数c的取值范围；（2）已知(1)()1f x f x+=+（1x≥），且当12x≤<时，()1f x x=-，判别()f x在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.【答案】（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由见解析. 【解析】（1）分别讨论()f x 图象的对称轴2cx =-与1和2的关系，由单调性即可得出()f x 是否存在最小值，从而求出c 的取值范围；（2）由题目条件可得出()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，又1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ． 【详解】 （1）当(1,2)2c-∈时，2()f x x cx =+在(1,2]上先减后增，存在最小值2c f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当22c-≥时，()f x 在(1,2]上单调递减，存在最小值()2f ； 当12c-≤时，()f x 在(1,2]上单调递增，所以不存在最小值．所以2c ≥-．（2）()f x 在区间(1,4]上具有性质P ，原因如下： 因为1x 时，(1)()1()f x f x f x +=+>，所以()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，另一方面，1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ． 【点睛】本题主要考查学生的应用能力，能够利用所学知识结合题目给出的定义研究函数的性质．19．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上.经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即POQ ∠）为23π、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S .设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.【答案】⑴223(tan tan tan()33tan 1MN πααα=+-=-62ππα<<，⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为3..【解析】试题分析：⑴由切线的性质可得OS ⊥MN .则SM =tan α，SN =23tan πα⎛⎫-⎪⎝⎭， 据此可得2312331tan MN tan tan tan απααα+⎛⎫=+-=⎪-⎝⎭，其中62ππα<<. ⑵ 利用换元法，令310t tan α=->，则342MN t t ⎫=++⎪⎝⎭， 由均值不等式的结论有：34 22233MN t t ⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当4t t =即2t =时等号成立，即MN 长度的最小值为3. 试题解析：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS =α，所以SM =tan α， 在RT OSN 中，∠NOS =23πα-，所以SN =23tan πα⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以2312331tan MN tan tan tan απααα+⎛⎫=+-=⎪-⎝⎭， 其中62ππα<<.⑵ 因为62ππα<<310tan α->，令310t tan α=->，则)313tan t α=+，所以423MN t t ⎫=++⎪⎝⎭，由基本不等式得2MN ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当4t t =即2t =时取“=”.此时tan α=62ππα<<，故3πα=.答：⑴2123tan MN tan tan απαα+⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，其中62ππα<<. ⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为.点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y C a b+=（1a b >>）的左右两个焦点分别是1F 、2F ，P 在椭圆C 上运动.（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的函数()f a ，并求出()f a 的值域.【答案】（1）2a b =；（2）22P ⎛⎫；（3）()2f a a =>，()f a 的值域为()2,+∞．【解析】（1）根据椭圆定义可知122PF PF a +=，再利用余弦定理及基本不等式可得,a b 的关系式；（2）设出P 点坐标，分别求出直线1l 与直线2l 的方程，结合P 在椭圆上即可求得点P 的坐标；（3）把,P Q 的坐标用含有a 的代数式表示，由两点间的距离公式可得两点,P Q 间距离的函数()f a ，再换元由单调性求出其值域． 【详解】（1） 根据椭圆的定义可知，122PF PF a +=，122FF c =， 因为2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭所以()2222212121112111212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F PF F PF PF PF PF +--+-∠==‖‖‖22221244211122a c b PF PF a -=--=-‖ 224a b ∴=，即2a b =．（2）设()00,P x y ，()000,0x y >>当0x c =时，直线2PF 斜率不存在，易知Q 与1F 重合，不满足题意； 当0x c ≠时，则直线2PF 的斜率200PF y k x c =-，直线2l 的斜率020x ck y -=-， 直线2l 的方程00()x cy x c y -=--，① 直线1PF 的斜率100PF y k x c =+，则直线1l 的斜率010x ck y +=-， 直线1l 的方程00()x cy x c y +=-+，② 联立①②，解得：02200x x x c y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，则22000(,)x c Q x y --， 由,P Q 在椭圆上，,P Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则22000x c y y -=，22200y x c ∴=-，则222002200221y x cx y a b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，又P 在第一象限，P ∴的坐标为22P ；（3）若22b =，则2P，2(Q ，则)222PQ a=>，2()f a a ∴=>．(2)t t =>，则222a t =-，2244()()2(2)t f a g t t t t t-===->，()g t 在(2,)+∞上为增函数，()g t ∴的值域为(2,)+∞，即()f a 的值域为(2,)+∞． 【点睛】本题主要考查椭圆定义及其性质应用，余弦定理、基本不等式的应用，两条直线的交点坐标求法，点与椭圆的位置关系判断，两点间距离公式的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和综合运用知识的能力． 21．已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，2120181n n n a a a +++=+（1n ≥）.（1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值； （2）若1a =，求证：22017||2n n na a +-≤； （3）求+ab 的取值范围.【答案】（1）2,1009a b ==；（2）详见解析；（3）{}1011,2019【解析】（1）根据递推式赋值逆推，分别求出4321,,,,a a a a 即可求出,a b 的值； （2）根据递推式赋值求出23,a a 的值，即可找出数列{}n a 的规律，由此得证； （3）依据22121201820181n n n n n n n a a a a a a a ++++++=⇔-=-+，讨论n a 与2n a +的大小关系即可得出． 【详解】（1）令4n =得，4465201820181009121a a a a ++===++，解得41009a =；令3n =得，3354201820182110091a a a a ++===++，解得32a =；令2n =得，2243201820181009121a a a a ++===++，解得21009a =；令1n =得，1132201820182110091a a a a ++===++，解得12a =；所以2,1009a b ==． （2）证明：令1n =得，13222018201911a a a a +==++，因为数列{}n a 各项为正整数，2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此21a +的值可能为3，673，2019，即 22a =或2672a =或22018a =.当22a =时，132********67313a a a +===+，*2432018202010101674337a a N a +===∉+，所以不符题意，应舍去； 当2672a =时，132********31673a a a +===+，*2432018672201813451312a a N a ++===∉++，所以不符题意，应舍去；当22018a =时，132********112019a a a +===+，2432018201820182018111a a a ++===++，354201812018112019a a a ++===+，4652018201820182018111a a a ++===++，…… 所以1n ≥，当n 为奇数时，1n a =；当n 为偶数时，2018n a =； 故22017||02n n na a +-=≤，不等式成立． （3）由（1）（2）可知，当12018a b =⎧⎨=⎩或21009a b =⎧⎨=⎩可以满足题意，所以1011a b +=或2019a b +=．22121201820181n n n n n n n a a a a a a a ++++++=⇔-=-+．①当2n n a a +=时，奇数项都相等，偶数项都相等且122018n n a a ++=，即有122018a a ab ==，因为数列{}n a 各项为正整数，且20181201821009=⨯=⨯，所以12018a b =⎧⎨=⎩或21009a b =⎧⎨=⎩或10092a b =⎧⎨=⎩或20181a b =⎧⎨=⎩ 此时1011a b +=或2019a b +=；②当2n n a a +>时，奇数项递增，偶数项递增，而21220180n n n n a a a a +++-=-> ，随着n 的增大，存在0n n =时，1220180n n a a ++-<，这样与条件矛盾，故2n n a a +>不成立；③当2n n a a +<时，奇数项递减，偶数项递减，而21220180n n n n a a a a +++-=-< ，随着n 的增大，存在0n n =时，1220180n n a a ++->，这样与条件矛盾，故2n n a a +<不成立；综上，1011a b +=或2019a b +=，即{}1011,2019a b +∈． 【点睛】本题主要考查利用递推式求数列中的项，以及归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．。

1七宝中学2023-2024学年第二学期高三年级数学最后一模2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合}0{2|Mx x =+≥，{|10}N x x =−<，则M N = ．8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y −=上，则1lim n n n P P +∞+→= .9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种.10．用(,)d P Γ表示点P 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知圆1O ：221x y +=及圆2O ：22(4)4x y −+=，设点A 为圆1O 上的动点，则2(,)d A O 圆的最大值为_______．211．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为 ．3i =，15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）．A.122x x +=B.12103x x += C.122x x = D.12103x x =3A.①②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①②都错误三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2csinA =． (1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC ∆面积S 的最大值．18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1A C 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B A C A −−的余弦值．45质”的充要条件．67参考答案一、填空题1.[)2,1−;2.3−;3. π;4.4−;5.6;6.12; 7.210;8.4; 9.15; 10.3；12. (11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为 ．【解析】设圆的直径为d , 则222x y d +=222,y d x ∴=−()()223211,066W x d x x d x x =−=−+<d <，令()221'30,,6W x d x =−+=由'0W >时,解得0x <<; 由'0W <时,解得x >;所以W在0 单调递增,在,d单调递减,所以x =时W 取最大值.此时y .所以x y = 12．空间中，A B 、两点间的距离为8，设123P P P ∆的面积为S ，令||ii i P A P B λ=⋅，若3123i i λ==∑，则S 的取值范围为_______．【答案】(【解析】由题意可以得到123PP P ∆的三个顶点为球面上三点，面积可以无限趋近于0；8最大值在大圆上取到，由调整法可得等边三角形，故范围为(二、选择题13. D 14. C 15.B 16.C15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）．A.122x x +=B.12103x x +=C.122x x =D.12103x x =【答案】B【解析】由()22f x x lnx =+, 得()2'2f x x x=+,则()()11221222'2,'2f x x f x x x x =+=+依题意可得12122222x x x x +=+, 且10x >、2120,x x x >≠, 121x x ∴=,则122x x +>=,经验证, 当12,x x 分别取13,3时,12103x x +=满足题意 故选:B .【答案】C【解析】将圆柱侧面展开，可知点P 的轨迹为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭，故得答案C 三．解答题17.（1）233ππ或 （218.（1）证明略（2919.（1）259P = （2）证明略20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【答案】（1）4s =或1s =;（2 （3）见解析 【解析】(1) 因为椭圆E的离心率e =当2s >时=,解得4s =; 当02s <<时=解得1s =.则4s =或1s =; (2)易得()()0,01A D ,,所以直线12,ll 的方程分别为(12,1y k x y k x =+=+, 联立(1222y k x x y =++=λ , 消去y 并整理得()222211112420,k x x k +++−λ= 因为直线1l 与椭圆G 相切,所以10∆=,因为01<λ<,即1k =,10联立22212y k x x y =+ +=λ , 消去y 并整理得()2222124220,k x k x +++−λ= 因为直线2l 与椭圆G 相切,所以20∆=,因为01<λ<,即2k =,则1212k k =,所以12k k +≥当且仅当12k k =时，等号成立，此时12λ=.故当12λ=时,12k k +取得最小值, (3)证明: 易知椭圆22:124x y H +=不妨设()00C x ,y 为椭圆H 上的任意一点,此时2200124x y +=,（1） 不妨设ABC ∆的垂心M 的坐标为()M M x ,y ,连接,CM AM ,因为())0,0A B,又CM AB ⊥,所以0M x x =,因为0M x x AM BC =≠⊥,1=−,因为0M x x =,所以2002M x y y =−, (2)，联立(1)(2),解得02M y y =,因为点()2M M C x ,y 在椭圆上,所以2212M M x y +=.故ABC ∆的垂心M 在椭圆E上. 21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）11（3）证明：“函数()yf x x =−为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．【答案】（1）①是②不是（2）4a ≥ （3）见解析21则33223212111()()(33)f x f x ax ax a mx m x m −=−=++，当12m x =−时，取21()()f x f x −最小值34am ， 原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥； （3）证明：充分性：若函数()y f x x =−为增函数，则对任意21x x >均有2211()()f x x f x x −≥−， 即2121()()f x f x x x −≥−，因此，对任意0t >，若21x x t −>， 则21()()f x f x t −>，函数()y f x =具有()P t 性质，充分性得证； 必要性：若对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质，假设函数()y f x x =−不是增函数，则存在21x x >，满足2211()()f x x f x x −<−， 即2121()()f x f x x x −<−，取21210()()2f x f x x x t −+−=， 则显然21021()()f x f x t x x −<<−，即对于0t ，存在210x x t −>，但是210()()f x f x t −<， 与“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”矛盾，因此假设不成立，12 即函数()y f x x =−为增函数，必要性得证．。

2022年上海市七宝中学高考数学模拟试卷1. 设全集，集合，则______ .2. 已知，函数的反函数为，且，则______ .3. 若，则______ .4. 已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数，且有连续四项在集合中，请写出数列的一个通项公式：______ 写出一个正确的即可5. 已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：；丁：在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.6. 若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______.7. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为______ .8. 已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为______ .9. 在数列中，，…，记为数列的前n项和，则______ .10. 已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，，则的取值范围是______ .11. 设函数的定义域为R，给出下列命题：①若对任意，均有，则一定不是奇函数；②若对任意，均有，则为奇函数或偶函数；③若对任意，均有，则必为偶函数；④若对任意，均有，且为R上增函数，则必为奇函数；其中为真命题的序号为______ 请写出所有真命题的序号12.已知各项均为正数的等比数列前n项和为，对任意的，都满足，若对均成立，则实数m的取值范围是______ .13. “”是“的二项展开式中存在常数项”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D.15. 棱长为2的正方形中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为( )A.B.C.D.16. 已知，曲线在区间内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题p：对任意，存在，使得；命题q：存在，对任意，满足下列说法正确的是( )A. 命题p是真命题，命题q是假命题B. 命题p是假命题，命题q是真命题C. 命题p和命题q都是真命题D. 命题p和命题q都是假命题17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接当时，证明：直线ME平行于平面PAD；当时，求三棱锥的体积.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角C的大小；若，且AB边上的中线，求的面积．19. 有一正方形景区EFGH，EH所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F点的垃圾回收站或公路EH上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线C，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为求景区内的分界线C的方程；为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C在点G处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L：，分界线C恒在直线L的下方可以接触，求b的最小值，借助于直线L与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明.请选择一个思路，证明上述结论.20. 已知函数的定义域为D，值域为若，则称为“M型函数”；若，则称为“N型函数”.设，，试判断是“M型函数”还是“N型函数”；设，，若既是“M型函数”又是“N型函数”，求实数a，b的值；设，，若为“N型函数”，求的取值范围.21. 对于无穷数列，设集合，若A为有限集，则称为“数列”.已知数列满足，，判断是否为“数列”，并说明理由；已知，数列满足，，若为“数列”，求首项的值；已知，若为“数列”，试求实数t的取值集合.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：解绝对值不等式可求得全集U，根据补集定义可得结果．本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：因为，所以，所以，所以，所以故答案为：由条件可得，然后求出a的值，然后可得答案．本题主要考查了反函数的定义，属于基础题．3.【答案】【解析】解：因为，所以，所以故答案为：先求出，将用倍角公式写成，将代入即可得出结果．本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题知，因为，，，，，要使有连续四项在集合中，所以中连续四项为，，，，因为各项均为整数，所以公比为，即，因为，所以可为：3，，12，，故，为3，，12，，其中一个即可．故答案为：答案不唯一求出，，36，48，192五个数的因数，分析得出连续的四项，进而得到公比，写出的通项公式，根据各项均为整数，判断首项的可能取值即可．本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了简单的推理，复数的运算，是高考新题型，属于基础题．由题意可设，分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出a，b的值，得到复数【解答】解：由题意可设，，，，，，丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，甲丁正确，此时，，故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得椭圆的焦点，设P为第一象限内的点，由题意可得，结合椭圆的定义求得，再由双曲线的定义、a，b，c的关系和渐近线方程，可得所求．【解答】解：椭圆的焦点为，，设双曲线的半焦距为c，则，，设P为第一象限内的点，由题意可得，又，可得，所以，即，则，所以双曲线的渐近线方程为，即，故答案为：7.【答案】【解析】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为，所以有，或，或，或，或，或，共6种情况；而当和时，满足是偶函数，有2种情况，所以是偶函数的概率故答案为：列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案．本题主要考查偶函的性质，古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】3【解析】解：四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，综上，这样的不同四面体的个数为故答案为：分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数．本题主要考查棱锥的结构特征，简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：…，可得…，，又…，…，两式相除可得，即，则，即有，，所以…，由，…，可得，且为递增数列，当时，，则，即有，所以故答案为：当时，将n换为，推得，，，由数列的裂项相消求和，结合数列的单调性，即可得到所求极限．本题考查数列的极限的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设，则，，，；，又M是圆O的弦CD上一动点，且，所以，即，其中最小值在CD的中点时取得，所以的取值范围是故答案为：以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点，表示出，求出它的最值即可．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出，是综合性题目．11.【答案】①③④【解析】解：对于①，对任意，均有，则，与奇函数中矛盾，所以一定不是奇函数，故①正确；对于②，等价于，若时满足，时满足，则函数为非奇非偶函数，故②错误；对于③，对任意，均有，则，所以，所以函数必为偶函数，故③正确；对于④，当时，等价于，又因为为R上增函数，所以，则，所以，所以必为奇函数，故④正确，故答案为：①③④．根据函数奇偶性的定义一一判断求解．本题主要考查命题真假的判断，函数奇偶性与单调性的综合，考查逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：由题意得公比，又，恒成立，，，，对任意恒成立，若，，足够大时，，不合题意，，此时，，令则原式化为恒成立，恒成立，又故答案为：已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前n项和公式求出等比数列的公比，即可得，最后利用对勾函数的性质可求出实数m的取值范围．本题考查等比数列的求和公式，恒成立问题，函数思想，化归转化思想，属中档题．13.【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，n，令，且，，，当时，，满足题意，所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件，故选：求出二项式的展开式的通项公式，然后令x的指数为0，得出n，r的关系式，再根据充分，必要条件的定义即可判断求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到充分，必要条件的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：由参数方程可知，直线斜率，故直线倾斜角为故选：根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果．本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．15.【答案】B【解析】解：由题意，周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为M，关于的对称点为N，则，，故选：由题意，周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为M，关于的对称点为N，求出MN，即可得出结论．本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】A【解析】解：由得：，即的对称轴为，由得：，即的对称中心为；在内恰有一条对称轴和一个对称中心，且，，解得，对于命题p，当时，，又，当时，，即存在，使得，则命题p为真命题；对于命题q，当时，，又，则对任意，总存在大于0的部分，则命题q为假命题．故选：利用整体代换法求得的对称轴和对称中心，根据其在内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可．本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定的取值范围．17.【答案】解：证明：取PD中点N，联结MN、AN，是的中位线，故，且，又，且，四边形AEMN为平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；，，，PA垂直于平面ABCD，平面ABCD，，，，点M到平面ABCD的距离为1，【解析】取PD中点N，联结MN、AN，证明四边形AEMN为平行四边形，然后得到即可；首先求出PA的长度，然后可得点M到平面ABCD的距离，然后可求出答案．本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．18.【答案】解：在中，由，由正弦定理得，则所以又因为，，所以因为，所以在与中，，，，，，，因为，所以，得；又由余弦定理得，所以，则【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，以及两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.由正弦定理以及三角函数化简表达式，根据角C的范围即可求解．通过，结合余弦定理推出，即可求解三角形的面积．19.【答案】解：分界线C上任意点到点F与直线EH距离相等，直线EH：，点，设分界线C上任意一点为，于是得，整理得，所以景区内的分界线C的方程：选①：点G的坐标为，显然切线斜率存在，设切线方程为，，由，得，由，得，因此分界线C在点G处的切线方程为，设切线交y轴于点M，则，梯形OMGF面积，显然，因此，所以，选②：依题意，对恒成立，即，而，当且仅当时取等号，则，即b的最小值为1，直线L方程为，设直线L交y轴于点M，则，梯形OMGF面积，显然，因此，所以【解析】根据给定信息，可得分界线上任意点到点F与直线EH距离相等，再列出方程化简作答；选①，求出分界线C在点G处的切线方程，再求出该切线与y轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b的最小值得直线L，再求出直线L与y轴分正方形所成两部分面积差即可．本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：当时，，当且仅当时取等号，由于，，所以函数的值域为，因为，所以，所以是“M型函数”；，定义域为，由题意得函数的值域也为，显然，否则值域不可能由负到正，当，时，在上单调递增，则，得，；当，时，在上单调递减，则得，；，，由题意得函数的值域，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最大值，当时，的最大值，因为，由点所在的可行域，当，时，取最大值，最大值为2，当与相切，即，时，取最小值，最小值为1，因此的取值范围是【解析】利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；分，和，结合函数的单调性分类讨论求解；分a不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围．本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．21.【答案】解：由题意得，，，，……，因此，所以为有限集，因此是“数列”；，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因此当时，，，即，此时为“数列”，当时，，由得，，因此，显然不是“数列”，综上所述：；当t为有理数时，必存在，，使得，则，因此集合中元素个数不超过2p，为有限集，当t为无理数时，对任意m，，，下用反证法证明，若，即，则或，其中，则或，矛盾，所以，因此集合必为无限集．综上，t的取值集合是全体有理数，即【解析】由递推公式得到，判断出，结合“数列”的定义即可证明；先利用单调性判断出，结合“数列”的定义，分类讨论求出；分类讨论：当t为有理数时，设，结合“数列”的定义，证明出符合题意；当t为无理数时，利用反证法证明出不符合题意．本题主要考查了数列的递推式，考查了数列与函数的综合，属于中档题．。

2021届上海市七宝中学高三下学期第一次模拟数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案：C根据充分必要条件的定义判断． 解：1(1)1-=-n n a q S q ，若01q <<，则lim n n S →+∞存在， 若lim n n S →+∞存在，则lim 0n n q →+∞=，则01q <<， 因此“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的充分必要条件． 故选：C ．2．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(50)()1t KI t e --=+，其中K为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着己初步遏制疫情，则*t 约为（ ） A ．59B ．61C ．63D ．65答案：C ()*0.95I t K =代入函数模型解方程可得． 解：由题意0.23(*50)0.951t KK e--=+，0.23(*50)0.0526t e --=，ln 0.0526*5062.8630.23t =+≈≈-． 故选：C ．3．对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列两个命题：①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，则()0g x ≥；②若()1g f t =，则()y g x =为单调函数；则下列说法正确的是（ ）A ．①正确②正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误答案：B 根据新定义通过方程的个数判断命题真假即得．解：①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，设存在0x R ∈，0()0g x m =<，即()1g f m ≥， 则()()()()1h g g g f m f m f m f m -=+-≥-+与已知()()h g f m f m -=-矛盾，所以假设不成立，即对任意x ∈R ，()0g x ≥．①正确， 设1,0(),0x g x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则对任意t R ∈，()g x t =有唯一解，即()1g f t =，但()g x 在R 上不是单调函数，②错误，故选：B ．点评：关键点点睛：本题考查新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为()g x t =的解的个数问题．利用方程的解个数确定关于新定义函数命题的．4．关于x 的方程22x a x a a b ++--=有三个不同的实根，则2a b +的最小值为（ ）A ．4916-B ．3-C ．116-D ．0答案：A 首先去绝对值，问题转化为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-，有三个实数根，当0a <时，画出函数2y x a x a =++-的图象，利用数形结合求得2302b a a =+≥，再代入求2a b +的最小值.解：由条件可知0b ≥，方程化简为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-， 当0a <时，3,22,23,2x x a a x a x a x a x a a x x ⎧⎪≥-⎪⎪++-=-<<-⎨⎪⎪-≤⎪⎩， 如图，若方程有三个不同的实根，则2y x a x a =++-与直线2y a b =+和2y a b =-共有3个交点，画出函数的图象，当2a x =时，32y a =-，232a a b ∴-=-，得2302b a a =+≥，解得：32a ≤-，或0a ≥（舍）， 222377492222416ab a a a a a a ⎛⎫+=++=+=+- ⎪⎝⎭，32a ≤-， 当74a =-时，2a b +取得最小值4916-， 当0,0a b >>时，492016a b +>>-， 综上可知2a b +的最小值是4916-. 故选：A点评：方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用 1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.二、填空题5．已知i 为虚数单位，且3(1)i z i +=，则复数z 的虚部为___________. 答案：12- 根据题意先求得复数z 后再求出复数的虚部即可．解：∵3(1)i z i +=， ∴()()()1i 11z 111222i i i i i i i -----====--++-， ∴复数z 的虚部为12-． 故答案为：12-. 点评：易错点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z 是解题的关键，另外还要注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部是b ，而不是bi ，这是解题中常出现的错误．6．已知集合A R =，B =∅，则AB =___________. 答案：R根据交集定义计算．解：由已知A B R =，故答案为：R ．7．已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左､右焦点，点P 在C 上，则12PF F △的周长为___________. 答案：10根据椭圆的定义计算．解：由椭圆方程知3a =，2c ==，P 在椭圆上， 所以121222232210PF PF F F a c ++=+=⨯+⨯=．故答案为：10．8．如果1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为___________. 答案：3根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．解：因为1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为21333⨯=． 故答案为：3． 9．计算行列式101021213--的值为___________.答案：3-根据三阶行列式的定义计算． 解：101021600(4)103213-=-++----=--．故答案为：3-．10．已知正整数数列{}n a 满足131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,则当18a =时，2021a =___________.答案：4根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列{}n a 从第二项起是周期数列，从而可得结论． 解：由题意24a =，32a =，41a =，54a =，62a =，71a =，…，数列{}n a 从第二项起是周期数列，周期为3，所以20212367324a a a +⨯===．故答案为：4．11．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为___________.答案：0.78根据概率中独立事件概率的定义计算即可.解：设抽到一等品､二等品､三等品的事件分别为A ，B ，C .则()()0.93()()0.85()()()1P A P B P A P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得()0.07()0.15()0.78P C P B P A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则抽到一等品的概率为0.78.故答案为：0.78.12．已知二项式2n⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________.答案：112利用二项式定理系数的性质，求出n ，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．解：二项式2n ⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，可得2256n =，解得8n =，则822n ⎛⎛= ⎝⎝展开式的通项832182r rr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎝⎭()()()388228120,1,2,3,,8r r r r r C x r ---=-⋅=⋅⋅⋅， 令()38022r r --=，解得6r =，可得常数项为6282112C =.故答案为：112.13．已知函数()sin 2cos f x x x =-，设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=___________.答案：利用辅助角公式将函数化简为()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-，其中cos ϕ=，sin ϕ=x θ=时，()f x 取得最大值，从而22k πθϕπ-=+，进而求得cos θ.解：()sin 2cos )f x x x x ϕ=--，其中cos ϕ=，sin ϕ=则())f θθϕ-22k πθϕπ-=+，k Z ∈，则cos cos(2)sin 2k πθϕπϕ=++=-=故答案为： 14．在正方形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为边BC 上的动点，若(,0)AE AC DO λμλμ=+>，则21λμ+的最小值为___________. 答案：92由向量的线性运算得,λμ的关系式，然后由基本不等式得最小值．解：由题意2AE AC DO OC OB λμλμ=+=+，2AE AO OE OC OE OC OB λμ=+=+=+，(21)OE OC OB λμ=-+，因为E 在线段BC 上，所以211λμ-+=，22λμ+=，10,2μλ>>， 所以21λμ+1211229(2)()(5)222λμλμλμμλ=++=++≥，当且仅当22λμμλ=，即23λμ==时等号成立．故答案为：92． 点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.答案：8π由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．解：如图，取PQ 中点K ，11A D AD H =，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K 1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R ．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．点评：关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．16．已知234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，q 为非零实数，则q 的取值范围是___________. 答案：(,2](0,)-∞-⋃+∞对q 分类讨论，去绝对值，从而解得q 的取值范围.解：①当1q ≥时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≤≤≤≤，当1q ≥时恒成立；②当11q -<<，0q ≠时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≥≥≥≥，解得01q <<；③当1q ≤-时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，由211q q -≤-知， 220q q +-≥，解得2q ≤-，此时，2321(1)(1)20q q q q ---=+-<恒成立，即2311q q -<-，同理证得345111q q q -<-<-，则2q ≤-；综上所述，q 的取值范围为(,2](0,)-∞-⋃+∞故答案为：(](),20,-∞-⋃+∞点评：关键点点睛：对q 分类讨论，去掉绝对值号，从而将不等式转化为不等式组，一一解得即可求得解集.三、解答题 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 内接于半径为2的圆O ，AB 为圆O 的直径，//AB CD ，2DC AB =，E 为AB 上一点，PE ⊥平面ABCD ，ED AB ⊥，PE EB =.求：（1）四棱锥P ABCD -的体积；（2）锐二面角C PB D --的余弦值.答案：（1）33（2）310535. （1）首先求得求得60AOB BOC COB ∠=∠=∠=︒，从而求得四棱锥中线段长，得底面积和高，然后可得体积；（2）建立如图的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．解：解：（1）连接OD ，OC ，易得ODC △是正三角形∵//AB CD ，∴60AOD ODC ∠=∠=︒∵ED AB ⊥∴3ED =，1EO =，∴3PE EB == ∴1(24)3332ABCD S =⨯+=∴1333333P ABCD V -=⨯=∴四棱锥P ABCD -的体积为33（2）如图建立空间直角坐标系E xyz -则(0,3,0)B ，(3,2,0)C ，(3,0,0)D ，(0,0,3)P ∴(3,3,0)BD =-，(0,3,3)PB =-，(3,1,0)BC =-设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =由1100BD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111330330x y y z -=-=⎪⎩，取11y =得1(3,1,1)n = 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =由2200BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222230330x y y z -=-=⎪⎩，取21y =得233n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设锐二面角C PB D --的大小为θ 则12123105cos 35n n n n θ⋅== ∴锐二面角C PB D --的余弦值为310535． 点评：方法点睛：本题考查求棱锥体积，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =，2DC =，1cos 4BCD ∠=.求：（1）BD 的长度；（2）三角形ABD 的面积.答案：（1）2；（2）31-.（1）在BCD △中，由余弦定理可得2BD =；（2）在ABD △中，105BAD ∠=，进而利用正弦定理可得()231AB =-，再根据面积公式计算即可.解：解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠1142244=+-⨯⨯= 则2BD =（2）在ABD △中，1803045105BAD ∠=︒-︒-︒=︒()sin105sin 4560︒=︒+︒=21232622224+=由正弦定理可得2sin451)sin105BDAB⋅︒===︒则121)sin302ABDS=⨯⨯⨯︒1=点评：本题考查利用正余弦定理解三角形，求三角形的面积，考查运算求解能力，是基础题.利用正弦定理解三角形，常见的有两类问题，第一，两边及一边对角解三角形；第二，两角及任意一边.19．对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为()f n.经计算发现当010n≤≤时，()f n近似地满足9()nAf np q a=+⋅，其中232a-=，p，q为常数，(0)f A=.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.答案：（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.（1）已知(0)f A=，(3)3f A=，代入解析式求得,p q，由()8f n A=可得；（2）求出第n年的投入资金(1)()f n f n+-，然后由基本不等式得最大值．解：解：（1）由题意知(0)f A=，(3)3f A=.所以99314AAp qAAp q⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩解得18pq=⎧⎨=⎩.所以9()18nAf na=+⋅.令()8f n A=，得9818nAAa=+⋅，解得164na=，即231264n-=，所以9n=，所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.（2）由（1）知9()18nAf na=+⋅第n 年的投入资金()(1)f n f n =--=1991818n n A A a a --+⋅+⋅. 99188n n A a A a a a ⋅=-+⋅+⋅()()72(1)188n n n Aa a a a a -=+⋅+⋅72(1)8(1)64n nA a a a a a -=+++≤==当且仅当64n n a a a =，即()22131264n --=等号，此时5n =. 所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.点评：思路点睛：本题考查数列的应用，解题关键是由已知数据求出表达式中的参数值，然后由表达式进行计算求解．第（2）解答时注意问题是第n 年投入资金，因此为(1)()f n f n +-，再由基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件．20．已知点F 为抛物线21:4C y x =的焦点，点(0,4)D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线:l y t =(t 为常数)截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求焦点F 的坐标；（2）求实数t 的值；（3）若点(0,3)E ，过点A 的直线y x m =+交抛物线于另一点B ，AB 的中垂线过点D ，求m 的值和ABE △的面积.答案：（1）(0,1)F ；（2）3t =；（3）0m =，面积为6.（1）由抛物线标准方程求焦点坐标；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得圆半径，由勾股定理求得弦长，利用弦长与0x 无关，求得t 值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点M 坐标，由1DG k =-得参数m 值，然后求得点E 到AB 的距离，弦长AB 得三角形面积．解：解：（1）∵24x y =， ∴(0,1)F ；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，直径2r AD == 设截得得弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ， 则2221||2GH r d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22222000444442x x x t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 得222013||444t GH x t t -=+-与0x 无关，所以3t =， （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，联立224404y x m x x m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∵0∆>，∴16160m +>， ∴1m >-，∵124x x +=，124x x m =-，1242y y m +=+，∴(2,2)G m +， ∴2102DG m k m -==-⇒=， 符合1m >-，∵12||AB x =-==E 到AB=，∴162ABE S =⋅=． 点评：思路点睛：本题考查抛物线的定值问题，三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，在求面积时，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1222,x x x x +，然后代入条件计算求得参数值，从而可得弦长，得三角形面积．21．已知数列{}n a ()n a ∈N ，记12n n S a a a =+++，首项100a n =>，若对任意整数2k ，有01k a k -，且k S 是k 的正整数倍．（1）若121a =，写出数列{}n a 的前10项；（2）证明：对任意2n ，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定；（3）证明：对任意正整数0n ，数列{}n S 从某一项起为等差数列．答案：（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5；（2）答案见解析；（3）答案见解析（1）由题意，即可得出结果.（2）当2k =时，可得2a 由1a 唯一确定. 接下来用反证法，即可证明.（3）由+11++k k k k S S a S k +=≤，可得+1+1+11k k k k S S S k S k k k k <≤=++， 进而可得+11k k S S k k ≤+.因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n为常数. 即可证明. 解：（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.（2）当2k =时，根据题意122a a b +=为偶数，并且201a ≤≤，若1a 为偶数，20a =，若1a 为奇数，21a =，从而2a 由1a 唯一确定. 接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.假设第1k +项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面k 项12...k a a a ，，，由1a 唯一确定. 记第1k +项的两种取值为1k a +和111k k k c a c +++≠（）， 根据题意存在b c ∈N ，使得：121...(1)k k a a a a k b +++++=+……① 且121...(1)k k a a a c k c +++++=+……②并且满足110k k a c k ++≤≤，. 由①②两式作差可知+1+1k k a c -是1k +的倍数， 又因为+1+1k k a c k -≤，可知11k k a c ++=，矛盾.从而对任意2n ≥，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定.（3）因为+11++k k k k S S a S k +=≤，所以+1+1+11k k k k S S S k S k k k k<≤=++. 因为+11k k S S k k +，都是正整数，由整数的离散性有+11k k S S k k≤+. 因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n 为常数. 不妨记为=n S c n，从而当0n m ≥时，有n S cn =.所以{}n S从第0m项起为等差数列.n≥，数列{}n a的第n项n a由1a唯一确定是常用点评：关键点点睛：利用反证法证明：对任意2的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

上海市七宝中学2022届高三下学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}3,U x x x =<∈Z ，集合{}1,1A =-，则U A =ð__．2．已知a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则(5)f =__．3．若π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__．4．已知公比不为等于1的无穷等比数列{}n a 各项均为整数,且{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,请写出数列{}n a 的一个通项公式:________（写出一个正确的即可）．5．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =___________.6．若1F ，2F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______．7．已知函数()f x 的定义域为{}4,0,4-，值域为{}2,3，则函数()f x 是偶函数的概率为__．8．已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为__．9．在数列{}n a 中，13a =，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=___________.10．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA MB⋅的取值范围是________．11．设函数()y f x =的定义域为R ，给出下列命题：①若对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()f x 一定不是奇函数；②若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 为奇函数或偶函数；③若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 必为偶函数；④若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，且()f x 为R 上增函数，则()f x 必为奇函数；其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．12．已知各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，对任意的*n ∈N ，都满足14n n S a +≤，若111n nn n S S m S S +++-<对*n ∈N 均成立，则实数m 的取值范围是__．二、单选题13．“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知直线的参数方程为3sin 202cos70x t y t ⎧=-⎨=+⎩，则该直线的倾斜角为（）A ．20B ．45C ．110D ．13515．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（）A．BCD．16．已知0ω>，曲线πsin 4y x ω⎛⎫⎪⎝=⎭+在区间()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题p ：对任意ω，存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭；命题q ：存在()00,1x ∈，对任意ω，满足0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭．下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题，命题q 是假命题B ．命题p 是假命题，命题q 是真命题C ．命题p 和命题q 都是真命题D ．命题p 和命题q 都是假命题三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA 垂直于平面ABCD ，4AB =，3AD =，PC =E 、M 分别在线段AB 、PC 上，其中E 是AB 中点，PMMCλ=，连接ME ．(1)当1λ=时，证明：直线ME 平行于平面PAD ；(2)当2λ=时，求三棱锥M BCD -的体积．18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos cos sin cos B A C B C b+=．（1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC 的面积．19．有一正方形景区EFGH ，EH 所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F 点的垃圾回收站或公路EH 上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，2S 中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内1S 和2S 的分界线为曲线C ，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)．(1)求景区内的分界线C 的方程；(2)为了证明1S 与2S 的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C 在点G 处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L ：y x b =+，分界线C 恒在直线L 的下方（可以接触），求b 的最小值，借助于直线L 与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．20．已知函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ．若D A ⊆，则称()f x 为“M 型函数”；若A D ⊆，则称()f x 为“N 型函数”．(1)设258()x x f x x-+=，[1,4]D =，试判断()f x 是“M 型函数”还是“N 型函数”；(2)设12()f x x =，()(2)(2)g x af x bf x =++-，若()g x 既是“M 型函数”又是“N 型函数”，求实数,a b 的值；(3)设2()2f x x ax b =-+，[1,3]D =，若()f x 为“N 型函数”，求(2)f 的取值范围．21．对于无穷数列{}n a ，设集合*{|,N }n A x x a n ==∈，若A 为有限集，则称{}n a 为“—T 数列”．(1)已知数列{}n a 满足12a =，*11(2,N 1n n a n n a -=≥∈-），判断{}n a 是否为“—T 数列”，并说明理由；(2)已知()364f x x x =+-+，数列{}n a 满足*1(),N n n a f a n +=∈，若{}n a 为“—T 数列”，求首项1a 的值；(3)已知()sin πn a t n =，若{}n a 为“—T 数列”，试求实数t 的取值集合．参考答案：1．{}2,0,2-【分析】解绝对值不等式可求得全集U ，根据补集定义可得结果.【详解】{}{}{}3,33,2,1,0,1,2U x x x x x x =<∈=-<<∈=--Z Z ，{}1,1A =-，{}2,0,2U A ∴=-ð.故答案为：{}2,0,2-.2．3【分析】由条件可得(1)2f =，然后求出a 的值，然后可得答案.【详解】因为1(2)1f -=，所以(1)2f =，所以2log (1)2a +=，所以3a =，所以2(5)log (53)3f =+=．故答案为：33．78##0.875【分析】解出πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,将πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭用倍角公式写成2π12sin 6x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,将πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入即可得出结果.【详解】因为π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以π1sin 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2πππ7cos 2co 6s 212sin 368x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为:784．()132n n a -=⋅-（答案不唯一）【分析】求出96,24,36,48,192--五个数的因数,分析得出连续的四项,进而得到公比,写出{}n a 的通项公式,根据{}n a 各项均为整数,判断首项的可能取值即可.【详解】解:由题知{}96,24,36,48,192--,因为()24122,36123,48124,-=⨯-=⨯=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,要使{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,所以{}n a 中连续四项为()24122,48124,-=⨯-=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,因为{}n a 各项均为整数,所以公比为-2,即()112n n a a -=⋅-,因为()()32412232-=⨯-=⨯-,所以1a 可为:3,-6,12,-24,故()()1*12N ,n n a n a -=⋅-∈,1a 为3,-6,12,-24,其中一个即可.故答案为:()132n n a -=⋅-（答案不唯一）.5．1i+【分析】设()0,0z a bi a b =+>>，由此可计算出z z +，z z -，z z ⋅和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得z .【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-，2z z a ∴+=，2z z bi -=，22z z a b ⋅=+，222z z z a b =+.4z z ⋅= 与22z z z =不可能同时成立，∴丙丁不能同时正确；z z -= 时，232b =>，22z z z ∴=不成立，∴乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a =，b =当甲丙正确时：1a =，b =当乙丙正确时：b =1a =，则甲也正确，不合题意；∴甲丁陈述正确，此时1a b ==，1z i ∴=+.故答案为：1i +.6．4y =±【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a ，b 即可计算作答.【详解】椭圆2251162x y +=的焦点12(0,3),(0,3)F F -，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P 在第一象限，因12PF F △为等腰三角形，由椭圆的定义知：12||||10PF PF +=，则112||||6PF F F ==，2||4PF =，由双曲线定义知：122||||2a PF PF =-=，即1a =，b ==a b =，所以双曲线的渐近线为：4y x =±.故答案为：4y =±【点睛】易错点睛：双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线22221y x a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为a y x b=±(即bx y a =±)，应注意其区别与联系.7．13【分析】列举出()f x 的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案.【详解】解：因为()f x 的定义域为{}4,0,4-，关于原点对称，值域为{}2,3，所以有2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩，或2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩，或2,40()3,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或或3,40()2,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或，或2,40()3,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，或3,40()2,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，共6种情况；而当2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩和2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩时，满足()()f x f x -=是偶函数，有2种情况，所以()f x 是偶函数的概率13P =．故答案为：138．3【分析】分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数.【详解】四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，综上，这样的不同四面体的个数为3．故答案为：3.9．23【分析】当2n ≥时，构造12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，再变形得111n n n a a a +-=-，变形得()11111111n n n n n a a a a a +==----，有111111n n n a a a +=---，2n ≥，再代入求n T ，并利用数列{}n a 的单调性，最后求极限.【详解】解：11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(2)n ≥，又112312311,1n n n n a a a a a a a a a a +--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，两式相除可得111n n n a a a +-=-，即11(1)n n n a a a +-=-，则()11111111n n n n na a a a a +==----，即有111111n n n a a a +=---，2n ≥，所以1233411111111111111n n n T a a a a a a a +=+-+-+⋅⋅⋅+-------111112133131n n a a ++=+-=---，由11a >，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得1n a >，且{}n a 为递增数列，当n →+∞时，n a →+∞，则10n a →，即有1101n a +→-，所以1212lim lim 313n n n n T a →∞→∞+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭.故答案为：23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是递推公式的变形，111111n n n a a a +=---，计算数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，利用裂项相消法求和.10．[]9,0-【解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设(,)M x y ，表示出MA MB ⋅，求出它的最值即可.【详解】如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，且圆O 的圆心为坐标原点，设(,)M x y ，则(4,0),(4,0)A B -，(4,)MA x y =--，(4,)MB x y =--- 222(4)(4)()16MA MB x x y x y ⋅=---+-=+-，又M 是弦CD 上的一个动点，且6CD =，所以2216916x y -≤+≤，即22716x y ≤+≤，其中最小值在CD 的中点处取到，所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-.故答案为：[9,0]-【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及坐标表示，运用几何意义是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.11．①③④【分析】根据函数奇偶性的定义一一判断求解.【详解】对于①，对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()01f =，但奇函数中(0)0f =，矛盾，所以()f x 一定不是奇函数，①正确；对于②，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，若[]1,1x ∈-时满足()()0f x f x --=，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时满足()()0f x f x +-=，则函数在x ∈R 上为非奇非偶函数，②错误；对于③，对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()()()f x f x f x =-=，所以()()()f x f x f x -==，所以函数必为偶函数，③正确；对于④，当0x >时，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，又因为()f x 为R 上增函数，所以()()f x f x >-，则()()0f x f x --≠，所以()()0f x f x +-=，所以()f x 必为奇函数，④正确，故答案为:①③④.12．77,32⎛⎤ ⎝⎦【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求出等比数列的公比，即可得1(21)n n S a =-，最后利用对勾函数的性质可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得公比0q >，又114n n a S a +<≤，所以141n q ->恒成立，所以1q >，此时11111(1)441n n n n a q S a a q q+-+-=≤=-，所以1114(1)n n q q q +--≤-，即12(2)1n q q --≤对任意N n *∈恒成立，若2q ¹，因为1q >，则n 足够大时，12(2)1n q q -->，不合题意，所以2q =，此时11111(12)(21)12n n n a S a +++-==--，1(21)n n S a =-，令112112(2,3]2121n n n n n S t S ++-===+∈--，则原式化为11t m t +-<恒成立，所以1111t m t t t +-<<++恒成立，因为1510,23t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以77,32m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为：77,32⎛⎤⎥⎝⎦.13．A【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.【详解】1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：211C C rr n r rn r r n n T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭；当6n =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第4项为常数项，充分性成立；当20n r -=时，1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，如84n r =⎧⎨=⎩，必要性不成立；∴“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.14．D【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】由参数方程可知：直线斜率2cos 7013sin 20y k x -===--- ，∴直线倾斜角为135 .故选：D.15．B【分析】通过对称转换,,PQ QE EP ，由三点共线求得三角形PEQ 周长的最小值.【详解】在平面11B C CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，根据正方形的性质可知1CM =，E 关于B 1C 1的对称点为N ，111C E C N CE ===，连接MN ，当MN 与B 1C 1的交点为P ，MN 与B 1C 的交点为Q 时，则MN 是△PEQ 周长的最小值，1,3CM CN ==，MN ==∴△PEQ 故选：B16．A 【分析】利用整体代换法求得πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴和对称中心，根据其在()0,1内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得ω的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可.【详解】由()πππ42x k k ω+=+∈Z 得：()ππ4k x k ωω=+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴为()ππ4k x k ωω=+∈Z ；由()ππ4x k k ω+=∈Z 得：()ππ4k x k ωω=-+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称中心为()ππ,04k k ωω⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；πsin 4y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 在()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，且0ω>，π14ππ14ππ14π2π14ωωωωωωω⎧<⎪⎪⎪+≥⎪∴⎨⎪-+<⎪⎪⎪-+≥⎩，解得：3π5π44ω<≤；对于命题p ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，∴当πππ,44x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭时，πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则命题p 为真命题；对于命题q ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，则对任意ω，πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+总存在大于0的部分，则命题q 为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定ω的取值范围.17．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，证明四边形AEMN 为平行四边形，然后得到//ME AN 即可；（2）首先求出PA 的长度，然后可得点M 到平面ABCD 的距离，然后可求出答案.【详解】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，因为MN 是PCD 的中位线，故//MN CD ，且12MN CD =，又//AE CD ，且12AE CD =，故四边形AEMN 为平行四边形，所以//ME AN ，又ME 不在平面PAD 内，AN 在平面PAD 内，所以ME 平行于平面PAD ；（2）因为4AB =，3AD =，PC =，PA 垂直于平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，3PA =，因为2PM MC=，所以点M 到平面ABCD 的距离为1，所以11431232M BCD V -=⨯⨯⨯⨯=．18．（1）3C π=；（2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan C 的值，进而求得C 的大小.（2）利用cos cos 0BDC ADC ∠+∠=得到2250a b +=，利用余弦定理求得ab ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C +=cos cos cos sin cos B A C B C +=所以cos()cos cos sin cos A C A C B C-++sin sin sin cos A C A C =．又因为sin 0A ≠，所以tan C (0,)C π∈，所以3C π=（2）因为cos cos 0BDC ADC ∠+∠=，所以22222234340234234a b +-+-+=⨯⨯⨯⨯，得2250a b +=；又因为22262cos 3a b ab ab π+-==，所以14ab =，所以11sin 1422S ab C ==⨯=19．(1)()2401,02y x x y =≤≤≤≤；(2)证明见解析【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F 与直线EH 距离相等，再列出方程化简作答.（2）选①，求出分界线C 在点G 处的切线方程，再求出该切线与y 轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b 的最小值得直线L ，再求出直线L 与y 轴分正方形所成两部分面积差即可.【详解】（1）分界线C 上任意点到点F 与直线EH 距离相等，直线EH ：=1x -，点()1,0F ，设分界线C 上任意一点为(,)x y ，于是得|1|x +=()2401,02y x x y =≤≤≤≤，所以景区内的分界线C 的方程：()2401,02y x x y =≤≤≤≤.（2）选①：点G 的坐标为(1,2)，显然切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，0k ≠，由22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得24840y y k k -+-=，由21632Δ160k k =-+=，得1k =，因此分界线C 在点G 处的切线方程为1y x =+，设切线交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．选②：依题意，x b +≥对[0,1]x ∈恒成立，即b x ≥-+而21)11x -+=--+≤，当且仅当1x =时取等号，则1b ≥，即b 的最小值为1，直线L 方程为1y x =+，设直线L 交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．20．(1)()f x 是“M 型函数”；(2)11a b =-⎧⎨=⎩(3)[1,2]．【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；(2)分0,0a b ><和0,0a b <>结合函数的单调性分类讨论求解；(3)分a 不同的取值结合“N 型函数”的定义即可求范围.【详解】（1）当[1,4]x ∈时，2588()545x x f x x x x-+==+-≥，当且仅当x =由于(1)4,(4)1f f ==，所以函数()f x 的值域为5,4]A =，因为51<，所以D A ⊆，所以()f x 是“M 型函数”；（2）()g x =，定义域为[2,2]-，由题意得函数()g x 的值域也为[2,2]-，显然0ab <，否则值域不可能由负到正，当0,0a b ><时，()g x 在[2,2]-上单调递增，则(2)22(2)22g a g b ==⎧⎨-==-⎩，得11a b =⎧⎨=-⎩；当0,0a b <>时，()g x 在[2,2]-上单调递减，则(2)22(2)22g a g b ==-⎧⎨-==⎩，得11a b =-⎧⎨=⎩；（3）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-，[1,3]D =，由题意得函数()f x 的值域[1,3]A ⊆，当1a ≤时，()f x 的最小值(1)121f a b =-+≥，当13a <£时，()f x 的最小值2()1f a b a =-≥，当3a ≥时，()f x 的最小值(3)961f a b =-+≥，当2a ≤时，()f x 的最大值(3)963f a b =-+≤，当2a >时，()f x 的最大值(1)123f a b =-+≤，因为(2)44f a b =-+，由点(,)a b 所在的可行域，得当2,6a b ==时，(2)f 取最大值，最大值为2，当(2)44f a b =-+与21b a =+相切，即2,5a b ==时，(2)f 取最小值，最小值为1，因此(2)f 的取值范围是[1,2]．21．(1){}n a 是“—T 数列”；理由见解析.(2)12a =-；(3)Q t ∈.【分析】（1）由递推公式得到3n n a a +=，判断出12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合“—T 数列”的定义即可证明；（2）先利用单调性判断出()min 2f x =-，结合“—T 数列”的定义，分类讨论求出12a =-；（3）分类讨论：当t 为有理数时，设q t p=，结合“—T 数列”的定义，证明出符合题意；当t 为无理数时，利用反证法证明出不符合题意.【详解】（1）由题意得12a =，21a =-，312a =，42a =，51a =-……因此3n n a a +=.所以{}*1|,N 2,1,2n A x x a n ⎧⎫==∈=-⎨⎬⎩⎭为有限集，因此{}n a 是“—T 数列”；（2）()222,36441042,224x x f x x x x x x x +≥-⎧⎪=+-+=---≤<-⎨⎪--<-⎩所以在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，所以()()min 22f x f =-=-.当2x >-时，()22f x x x =+>（*），因此当12a =-时，()212a f a ==-，()322a f a ==-，即*2,N n a n =-∈，此时{}n a 为“—T 数列”，当12a ≠-时，()212a f a =>-，由（*）得()3222a f a a =>>-，()4332a f a a =>>-，因此1n n a a +>，{}n a 显然不是“—T 数列”，综上所述：12a =-；（3）当t 为有理数时，必存在*N ,Z p q ∈∈，使得q t p=，则()2sin π2sin π2πsin πn p n q q q a n p n q n a p p p +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈中元素个数不超过2p ，为有限集；当t 为无理数时，对任意*,N ,m n m n ∈≠，下用反证法证明m n a a ≠，若m n a a =，即()()sin πsin πt n t m =，则ππ2πt n t m k =+或πππ2πt n t m k =-+，其中Z k ∈，则2Q k t n m =∈-或22Q k t n m+=∈+，矛盾，所以m n a a ≠，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈必为无限集.综上，t 的取值集合是全体有理数，即Q t ∈．。

2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．2.设()211iz m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.4.不等式()lg 11x +>的解集为______．5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．6.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ=，若a，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．8.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．10.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）12.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A .a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C .若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：32.设()211i z m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．【答案】1-【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由()211i z m m =-+-为纯虚数，得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得1m =-，所以实数m 的值为1-.故答案为：1-3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：84.不等式()lg 11x +>的解集为______．【答案】(9,)+∞【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.【详解】由不等式()lg 11x +>，得110x +>，解得9x >，所以不等式()lg 11x +>的解集为(9,)+∞.故答案为：(9,)+∞5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．【答案】185【分析】利用80百分位数的定义求解即得.【详解】显然该组数据已由小到大排列，由1080%8⨯=，得该组数据的第80百分位数为1841861852+=.故答案为：1856.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出,a c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，1212121262PF PF F F PF PF F F ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，即22624a c a c +=⎧⎨=⎩，解得2,1a c ==，则椭圆短半轴长b ==所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ= ，若a ，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．【答案】33【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a，b 不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ=，(cos b θ=，cos θθ=，所以sin 3tan cos 3θθθ==.故答案为：338.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．【答案】12-##0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122xx x f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m ≤-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．【答案】252【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.【详解】由组合数的性质知，101010C C ,10,N nnn n -=≤∈，当5n ≠时，使得10C nk =的n 有两个，当5n =时，使得10C n k =的n 只有一个，而关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，所以510C 252k ==.故答案为：25210.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．【答案】4-【分析】根据给定条件，可得ACBC ⊥，再利用空间向量数量积的运算律计算得解.【详解】由点C 在以AB 为直径的球面上，得ACBC ⊥，所以2()4AB BC AC CB BC AC BC BC ⋅=+⋅=⋅-=- .故答案为：4-11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【分析】按“胡不归”模型解决问题.【详解】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离AC ，再走水路CB .在R t ABG 中，50AG =，100AB =，所以30ABG ∠=︒.如图，作30CAD ∠=︒，且CD AD ⊥于D 点，则2AC CD =，所以2010AC CD=.所以从A 到B 所用的时间为：2010101010AC BC CD BC CD BCt +=+=+=.过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，则100cos30BC CD BE +≥=⨯︒=所以8.66t ≥≈.故答案为：8.6612.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．【答案】144【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，112(,N)k m k m =+∈，当0k =时，即后一项与前一项的差均为1，数列{}n a 的个数为1；当1k =时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{}n a 的个数为110C ；当2k =时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{}n a 的个数为29C ；当3k =时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列{}n a 的个数为38C ；当4k =时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列{}n a 的个数为47C ；当5k =时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{}n a 的个数为56C ，所以符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为123451098761C C C C C 144+++++=.故答案为：144【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交，反之，直线a 、b 不相交，直线a 、b 可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的充分非必要条件.故选：A14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A. a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C.若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零【答案】C【分析】利用 a与r 的含义判断AB ，根据r 大于零时两变量正相关即可得 a 一定大于零判断CD.【详解】 a影响的是回归直线的斜率，r 影响是两个变量之间的相关性，所以 a与r 之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB 错误；若r 大于零，则说明两个变量之间成正相关，故 a一定大于零，故选项C 正确，D 错误.故选：C15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数【答案】B【分析】举例说明判断ACD ；利用极小值的意义推理判断A.【详解】对于A ，函数11,(0,]2()11,(,2)2x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩的图象如图，显然函数()f x 满足题设条件，而1是()f x 的极小值点，A 错误；对于B ，在1x =附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于(1)f ，因此1一定不是极小值点，B 正确；对于C ，函数()|1|,(0,2)f x x x =-∈在()0,1上为严格减函数，在()1,2上为严格增函数，1是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，函数1,1()11,(0,1)(1,2)x f x x x -=⎧=⎨--∈⋃⎩图象如图，函数()f x 在()0,1上为严格增函数，在()1,2上为严格减函数，1是()f x 的极小值点，D 错误.故选：B 16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确【答案】C【分析】先确定ax by bx ay ++-≤所表达的意义，了解满足该条件的点P 的轨迹，再求P 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【详解】因为(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，表示除原点外的平面内的所有点.ax by bx ay ++-≤⇒4≤，所以(),P x y 表示到直线0ax by +=和0bx ay -=的距离之和不大于4的点.如图：易知直线0ax by +=和0bx ay -=垂直，则4OE OF +≤，222OP OE OF =+.当4OE OF +=时，()2224OP OE OE=+-()2224OE ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为04OE <<，所以2816OP ≤<⇒4OP ≤<.所以1Ω是以原点为圆心，半径在)4⎡⎣范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当)4OP ⎡∈⎣时，存在OP 使得2π32OP ⋅>，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件ax by bx ay ++-≤4≤，借助点到直线的距离公式，明确P 点坐标满足的条件.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD 为正方形，得CB AB ⊥，又,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，于是CB ⊥平面ABP ，而PA ⊂平面ABP ，则CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得PA AB ⊥，点E 为PB 的中点，在Rt PAB 中，AE =F 为PD 的中点，同理AF =，在PBD △中，12EF BD ==，因此1222AEF S ==△，在直角PAB 中，1122122APE S =⨯⨯⨯=△，由（1）知CB ⊥平面ABP ，则AD ⊥平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为112AD =设点P 到平面AEF 的距离为h ，由P AEF F AEP V V --=，得13111323h ⨯⨯=⨯⨯，解得233h =，所以点P 到平面AEF 的距离为3.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()P A P B P A B ，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X 的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】依题意，2222233133(),()16264P A P B +===-=，2231()64P A B == ，显然()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 、B 不是相互独立的.【小问2详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162⨯+⨯=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X ，则X 可能的取值为：0，1，2，22322255C C 111(0)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，111123232255C C C C 113(1)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，22322255C C 111(2)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，所以X 的分布为：X012P153515期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？【答案】（1）答案见解析；（2）9.【分析】（1）根据给定条件，可得132n n a a m +=-，再利用构造法推理得解.（2）由（1）的结论，取2600m =，再结合已知利用单调性解指数不等式即得.【小问1详解】依题意，15000a =，()21150%7500a a m m =+-=-，13(150%)2n n n a a m a m +=+-=-，即132(2)2n n a m a m +-=-，而当2500m =，即120a m -=时，{}2n a m -不是等比数列；当0m >且2500m ≠时，数列{}2n a m -是一个以32为公比，50002m -为首项的等比数列.【小问2详解】当2600m =时，由（1）知数列{}2n a m -是一个以200-为首项，32为公比的等比数列，则135200200()2n n a --=-⨯，即135200200()2n n a -=-⨯，设第n 年转型升级，则135********nn a +⎛⎫=-⨯< ⎪⎝⎭，则3262n⎛⎫> ⎪⎝⎭，数列3{()2}n是递增数列，8936561319683()26,()2622562512=<=>，而*N n ∈，则min 9n =，所以该工厂在第9年转型升级.20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．【答案】（1）y =；（2；（3）(2,)+∞.【分析】（1）根据给定条件，由,,a b c 求出渐近线方程.（2）设出点T 的坐标，利用两点间距离公式求出1||PF 有最小值，再结合已知求解即得.（3）设112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，结合已知可得120x x +=，再按12y y =和12y y =-分类建立不等式求出e 的范围.【小问1详解】令双曲线的半焦距为c ，依题意，1,2a c ==，由222c a b =+，得b =，则ba=所以双曲线Γ的渐近线方程为y =.【小问2详解】设点T 的坐标为(,),x y x a ≤-，1(,0)F c -，则22222()b y x a a=-，于是1c TF x a a==--，当x a =-时，1min ||PF c a =-，因此2c a a -≥，即229c a ≥，则2229a b a +≥，又4b =，解得a ≤因此a .【小问3详解】设点112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，12(,0),(,0)F c F c -，由12F P QF =，得22221122()()x c y x c y++=++，整理得：212122([(]0))2c x x x x c a+-+=，由122x x a -≤-，得2122()20c x x c a-+<，因此120x x +=，当12y y =时，由1F P PQ =，得222111()4x c y x ++=，整理得:222112(420c x cx a a---=，解得12a x e =-或12a x e =-+(舍)，由2aa e≤--，解得23e <≤；当12y y =-时，由1F P PQ =，得22221111()44x c y x y ++=+，整理得：222211232340c x cx a c a-+-=，在1x a ≤-有解，故22232340c ac a c ++-≤，即2230e e --≥，解得:3e ≥或1e ≤-（舍），综上，曲线Γ的离心率e 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）31y x =-+；（3）存在，唯一一个.【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.（2）求出函数323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程，再利用1T -切线的定义求解即得.（3）求出函数()f x 的导数，由曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程，构造函数()g x ，利用导数探讨极值，由()g x 有3个零点建立关系并求解即得.【小问1详解】依题意，该切线的斜率为4(2)331--=-，因此(1)3f '=.【小问2详解】由323y x x =-，求导得236y x x '=-，则曲线323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程为：()32200000(3)(36)y x x x x x x --=--，令3223232000000()3(36)363h x x x x x x x x x x =---+--+，整理得200()()(23)h x x x x x =-+-，此切线为1T -切线，等价于方程()0h x =有且仅有一个根，即0032x x =-，即01x =，所以曲线323y x x =-的1T -切线仅有一条，为31y x =-+.【小问3详解】由(sin )1cos x x x '+=+，得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：sin (1cos )()y t t t x t --=+-，即(1cos )sin cos y t x t t t =++-，令()(sin )[(1cos )sin cos ]g x x x t x t t t =+-++-sin cos sin cos x x t t t t =--+，求导得()cos cos g x x t '=-，由π(0,)2t ∈，得cos (0,1)t ∈，对Z k ∈，当(2π,2π)x k t k t ∈-+时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=->=为严格增函数；当(2π,2π2π)x k t k t ∈++-时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=-<=为严格减函数，函数()y g x =所有的极大值为(2π)2πcos g k t k t +=-，当0k =时，极大值等于0，即()0g t =，当k 为正整数时，极大值全部小于0，即()y g x =在(,)t ∞+无零点，当k 为负整数时，极大值全部大于0，函数()y g x =所有的极小值为(2π)(22π)cos 2sin g k t t k t t -=--，当0k =时，极小值()2cos 2sin 2cos (tan )0g t t t t t t t -=-=-<，且随着k 的增大，极小值(22π)cos 2sin t k t t --越来越小，因此()y f x =在点π(,())(0)2t f t t <<处的切线为3T -切线，等价于()y g x =有三个零点，等价于(22π)cos 2sin 0t t t +-=，即tan πt t -=有解，令()tan h t t t =-，则221()1tan 0cos h t t t'=-=>，因此()y h t =为π(0,)2上的严格增函数，因为3(0)0π,()12.6π2h h =<≈>，于是存在唯一实数π(0,)2t ∈，满足tan πt t -=，所以存在唯一实数π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线为3T -切线.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2025届上海市闵行区七宝中学高三下学期第五次调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A ．10B ．23C ．3D ．42．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 3．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --4．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．165．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg107．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．68．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能9．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24eD ．21e10． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件11．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ） A ．224B ．72-C ．52-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________(★★) 2. 若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________ (★) 3. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．(★★) 4. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________(★★) 5. 函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________(★★) 6. 直角坐标系内有点，将四边形 ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____(★★) 7. 在中，，，为的中点，则___________. (★★) 8. 通过手机验证码登录哈喽单车 App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________(★★★) 9. 已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________(★★) 10. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________(★★★★)11. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则 a的最大值为________．(★★★) 12. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________二、单选题(★★) 13. 设、分别是直线、的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.(★★) 18. 设、、分别是△ 内角、、所对的边，. （1）求角的大小；（2）若，且△ 的面积为，求△ 的周长.(★★★) 19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？(★★★★) 20. 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当△ 面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.(★★★★) 21. 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.。

上海市七宝中学2012学年高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：解指数不等式求得集合B，再根据A∩B≠∅，求得实数a的取值范围．解答：解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a ＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出．解答：解：函数==﹣sin2x，∴．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和正弦函数的周期公式是解题的关键．3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= 42．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式化简a2+a3=13，得到关于首项和公差的关系式，把首项的值当然即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的通项公式把所求的式子化为关于首项和公差的关系式，将首项和公差的值代入即可求出值．解答：解：由a2+a3=2a1+3d=13，又a1=2，得到3d=9，解得d=3，则a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=6+36=42．故答案为：42点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：直接根据斜率与倾斜角的关系得出答案．解答：解：∵α是直线y=kx+b的倾斜角tanα=﹣2又α∈（0，π），∴α=π﹣arctan2故答案为：π﹣arctan2．点评：此题考查了斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．考点：复数求模．专题：计算题．分析：复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．解答：解：因为（1+2i）z=3﹣4i，所以|1+2i||z|=|3﹣4i|=5，即，所以|z|=故答案为：点评：本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式7．（4分）已知平面向量，若，则=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：先根据向量的数量积运算和条件求出两向量夹角的余弦值，得到两向量的线性关系，表示出向量的表达式，得到它们坐标之间的关系，代入所求的式子求值．解答：解：设，的夹角为θ，则=cosθ=﹣6，解得cosθ=﹣1，∴θ=180°，即，共线且反向，∴，即，∴，，代入=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积运算，向量的线性关系和向量的坐标运算，关键是判断出两个向量的线性关系．8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义及基本不等式，可得（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立），再利用基本不等式，即可求的最小值．解答：解：由题意，|PF1|+|PF2|=2a，则∵∴（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴≥≥（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴的最小值为故答案为：点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（4分）（2010•镇江一模）已知{a n}是等差数列，设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|（n∈N*）．某学生设计了一个求T n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T n赋值，则空白处理框中应填入：T n←n2﹣9n+40．考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先对a1=8．a2=6，a3=4时，分别求前5项之和，和5项之后的和．通过等差数列求和公式，分别求出之后合并，即可解出T n的值解答：解：当a1=8．a2=6，a3=4时a n=﹣2n+10，s n==﹣n2+9n，s5=20当n≤5时，a n≥0，当n＞5时，a n＜0∴当n＞5时T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=a1+a2+…+a5﹣（a6+…+a n）=S5﹣（S n﹣S5）=n2﹣9n+40故答案为：n2﹣9n+40点评：本题考查程序框图，而实际考查等差数列求和公式的熟练运用．属于基础题．11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．考点：绝对值三角不等式．专题：计算题．分析：由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．解答：解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]点评：本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2 +f（1）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由于f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，则得到f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f （1）]2，以此类推得到2012个类此形式的式子，累加后即可得到f（2013）的值．解答：解：由题意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2，f（2011）=f（2010）+2[f（1）]2，f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2，…f（2）=f（1）+2[f（1）]2，故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]2×2012=4024[f（1）]2+f（1）故答案为4024[f（1）]2 +f（1）点评：本题考查求函数值的问题，属于基础题．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数y1=ax﹣1，y2=x 2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1），确定a＞1，函数y2=x 2﹣2ax﹣1过点M（，0），即可得到结论．解答：解：构造函数y1=ax﹣1，y2=x 2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=ax﹣1，令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x 2﹣2ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：=0，解之得：a=，或a=（舍去）．故答案为点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．考命题的真假判断与应用．点：专解三角形．题：分析：①利用余弦定理结合均值不等式．②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明．③利用反证法，假设C ≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C 的大小．解答： 解：①因为a 2+b 2≥2ab ，所以由余弦定理得，因为ab ＞c 2，所以﹣c 2＞﹣ab ， 所以，即，所以①正确． ②a+b ＞2c ，所以，．所以，即，所以②正确．③假设，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥ca 2+cb 2＞a 3+b 3，与a 3+b 3=c 3矛盾，所以假设不成立．即C ＜成立．所以③正确．④取a=b=2，c=1，满足（a+b ）c ＜2ab 得C 为锐角，所以④错误．所以命题正确的是①②③． 故答案为：①②③．点评： 本题主要考查了解三角形的知识以及余弦定理的应用，以及不等式的证明，难度较大．15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k ∈R ，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ①③ ． ①=；②；③；④．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；新定义．分析：利用新定义和向量的线性运算即可判断出．解答：解：①⊕=（x1+x2，y1y2）=⊕，故正确；②∵⊕=（kx1+x2，ky1y2），⊕=（x1+kx2，y1ky2），∴⊕≠⊕，故不正确；③设，∵⊕⊕=⊕（x 2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（⊕）⊕=（x1+x2，y1y2）⊕=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴⊕（⊕）=（⊕）⊕，故正确；④设，∵⊕⊕=⊕（x 2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴⊕（⊕）≠⊕⊕，故不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为①③．点评：熟练掌握新定义和向量的线性运算是解题的关键．二、选择题（每小题5分，共20分）16．（5分）已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l⊥α，l⊥m，则m∥α考点：命题的真假判断与应用．分析：A．利用线面垂直的定义和性质．B．利用线面平行的性质和判断定理．C．利用线面垂直的性质．D．利用线面，线线垂直的性质．解答：解：A．当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B．当满足条件l∥α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C．当l⊥α，m∥α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D．当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．点评：本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交于点A、B，则当线段AB最小时，则直线AB方程为（）A．x+y=2 B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设出直线AB的方程，利用直线l与圆O相切于第一象限，结合基本不等式，即可求得结论．解答：解：设直线AB的方程为，即bx+ay﹣ab=0由题意，直线l与圆O相切于第一象限，∴（a＞0，b＞0），∴ab≥4（当且仅当a=b=2时，取等号）∵AB=≥≥2∴a=b=2时，线段AB最小为2∴直线AB的方程为x+y=2故选A．点评：本题考查直线与圆相切问题，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（5分）（2012•松江区三模）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等比数列考点：等差关系的确定；平行向量与共线向量．专题：计算题；压轴题．分析：由题意根据向量平行的坐标表示可得na n+1=（n+1）a n．⇒⇒a n=na1，从而可进行判断．解答：解：由可得，na n+1=（n+1）a n，即，∴于是a n=na1，故选A点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题．19．（5分）（理）方程sinx+xcosx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，…，a n，…，则正确的结论为（）A．B．2a n+1＜a n+2+a n C．2a n+1=a n+2+a n D．2a n+1＞a n+2+a n 0＜a n+1﹣a n＜考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：数形结合法：把方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y1=﹣x，y2=tanx 的图象，则方程的根为两图象交点的横坐标，根据图象可得结论．解答：解：方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y1=﹣x，y2=tanx的图象，如下图所示：则a1，a2，…，a n，…，为y=﹣x与y=tanx图象在y轴右侧的交点横坐标，则在每一个周期π内，y1，y2都有一个交点，在x＞0为正根，交点都位于使tanx为负数的半周期内，因此有：，故A错；交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近x=kπ+，k∈Z，的垂直渐近线，即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π，这样有：a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即2a n+1＜a n+2+a n，故选B．点评：本题三角函数的图象及其应用，考查方程根的个数问题，考查数形结合思想，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．20．（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（），且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k值为（）有f（a k）=0．A．13 B．14 C．15 D．16考点：等差数列的性质．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：由函数的解析式可得函数为奇函数，图象过原点，由等差数列的性质可得a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=2a14，故有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，可得f（a14）=0，故有a14 =0，易得k值．解答：解：函数f（x）=2sinx+3tanx为奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（﹣，）．由等差数列的性质可得a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=2a14，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，故有a14 =0，所以，k=14，故选B．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，等差数列的性质应用．代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质，属于中档题．三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）21．（12分）试判断定义域为[﹣1，1]上的函数f（x）为奇函数是f（0）=0的什么条件？并说明理由．考点：函数奇偶性的判断．专题：规律型．分析：根据奇函数的定义，由函数为奇函数（0在定义域内），可得f（0）=0，来判断．解答：解：是充分不必要条件．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣0）=f（0）=﹣f（0），∴f（0）=0；∵f（0）=0时，f（x）不一定为奇函数，例如函数f（x）=|x|，故答案是充分不必要条件．点评：本题考查奇函数的定义及充要条件的判定．22．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，求该棱柱的侧面积；（2）（理）若点C到平面AB1D1的距离为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）（文）设高AA1=2，求四面体AB1D1C的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意，ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成角即为∠AB1A1，则AB1的长度可求，进而可求该棱柱的侧面积；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．（3）由高AA1=2，ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则可得三棱锥A ﹣A1B1D1的体积，而四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A﹣A1B1D1的体积，故四面体AB1D1C的体积可求．解答：解：（1）由于ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，又由AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，则=，故则该棱柱的侧面积为．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用R t△AA1O1∽R t△CHA 得到而∴⇔，则AA1=2，故正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2．（3）由于ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，则三棱锥A﹣A1B1D1的体积为，又由四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A ﹣A1B1D1的体积则四面体AB1D1C的体积为，故四面体AB1D1C的体积为．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力23．（14分）已知函数，a∈R且a≠0．（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）可变为：．令t=sinx（﹣1≤t≤1），则，则任意x∈R，f（x）≤0恒成立⇔g（﹣1）≤0，g（1）≤0，解出即可；（2）x∈R，使得f（x）≤0，等价于f（x）min=g（t）min≤0，当a≥2时，由g（t）在[﹣1，1]上的单调性易求其最小值；解答：解：（1）．令t=sinx（﹣1≤t≤1），则，对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是解得a的取值范围为（0，1]；（2）因为a≥2，所以，g（t）在[﹣1，1]上递增，所以，因此．于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要条件是，解得0＜a≤3，故a的取值范围是[2，3]．点评：本题考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决，体现了转化思想，注意区分“恒成立”与“能成立”的区别．24．（16分）已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0成立的条件（用k1、k2表示）．（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的定义，结合余弦定理、基本不等式，即可求得椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出x A+x B 和x A x B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k OA+k）B+k OC+k OD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1；（3）设出G的坐标，可得E的坐标，利用E在抛物线上，可得p的函数，换元，利用基本不等，即可得到结论．解答：解：（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=∴cosα==﹣1∵m+n=≥∴0＜mn≤2∴﹣1≥0∴cosα≥0∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；（2）设直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2=0，因此x A+x B=﹣，x A x B=，所以k OA+k OB=+=﹣同理可得：k OC+k OD=﹣，故由k OA+k OB+k OC+k OD=0得k1+k2=0或k1k2=1；（3）F2（1，0），设G（x0，y0），（），则∵，∴x E=，y E=，∵E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴∵∴12p=令t=x0+2，则∴12p=﹣（﹣4）≤﹣（2﹣4），∴p≤，当且仅当t=时，取等号∴时，p的最大值为．点评：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理、考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．25．（18分）设数列{a n}的通项公式为a n=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=﹣3，求b10；（2）若a=2，b=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得，a n=2n﹣3，令a n=2n﹣3≥10，可得最小的自然数n=7，从而求得b10的值．（2）令a n≥m，求得n≥．根据b m的定义可知：当m=2k﹣1时，bm=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．再由b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m﹣1）+（b2+b4+..+b2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]，运算求得结果．（3）假设存在a和b满足条件，根据b m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2．当3a﹣1＞0（或3a﹣1＜0）时，不满足条件，当3a﹣1=0时，可得﹣≤b＜﹣，从而得出结论．解答：解：（1）由题意可得，a n=an+b=2n﹣3，令a n=2n﹣3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．（2）∵a=2，b=﹣1，∴a n=an+b=2n﹣1，对于正整数，令a n≥m，求得n≥．根据b m的定义可知：当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m﹣1）+（b2+b4+..+b2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=+=m2+2m．（3）假设存在a和b满足条件，∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即n≥．对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2恒成立，即﹣2a﹣b≤（3a﹣1）m＜﹣a﹣b恒成立．当3a﹣1＞0（或3a﹣1＜0）时，可得m＜﹣（或m≤﹣），这与m是任意的正整数相矛盾．当3a﹣1=0时，a=，可得﹣﹣b≤0＜﹣﹣b，即﹣≤b＜﹣，进过检验，满足条件．综上，存在a和b，使得，此时，a=，且﹣≤b＜﹣．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题．。

上海市七宝中学2024年高三下学期3月模拟测试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．843．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．20x ±=B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=4．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭5．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．326．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞7．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C 10D ．208．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+9．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 10．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．5111．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎤⎦D ．3,6⎤⎦12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。