有增援的正规战争模型
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摘 要: 利用徽分方程定性理论的知识，对正规战争模型中 作战双方均有增援的情况进行了 定性分析， 考 虑到双方可用于增援的 后备的总兵力 ，数t 有限，并且战场上可容纳的作战人数也是有限的。很定了 M N 某一方需 要增兵的多 该方战场上作战的人数是成反比例关系的，通过分析战斗有效系数a b，增援兵力的控制系数 l 少与 ， ， k 来确定平衡点处的性质，给出了轨线的走向趋势， 进而阐述了 对应的战争结局的变化， 揭示了 该战争模型所蕴
介 玲
夺
力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
a 2
本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
容易画出式(3 的轨线图， ) 见图1.
阮
考虑的， 显然比 原先只考虑战斗减员率要优越， 也
七 ，
、 _
(创 kl) 卜
1+
b k a 一l
由假设中对参数的约束可知
考 思式 (3 的地 阵 A : ) I
‘ _ 、___ ， ， ~ ，_ _ 1一 k
\ 一臼
汀 0. 乍
e 由于 d 认二 一 kl
(成 kl) 卜
时，由图 1 可以看出随着时间t 的变大，
甲 兵 减 零， 方的 趋于专 此时 方的 力 少到 而乙 兵力
记
比，甲、乙 战斗有效系数分别为a b， >0， 通过分析轨线的变化来讨论其结果。问 方的 ， ( a
b>0).以 ， 2 ( )双方的自 然减员率为零， 即忽略如疾病、 逃
兵机械的损坏以及运作的失误率等。I j l
收稿日期: 2以 1卜2 刀一 6
} 二x” k x&一 M k
【 二 b +l I 滩 一 y N x +
型1: 为门
x左 一 二叮+k(衬 峭)
帅 二 bx+1(苹 了 一 )
( 1)
另假 部队的 力二 )和州 连续 设 兵 ( t ) t 地变化， 并
且为时间的可导函数。当然， 这是事态真实状况的 一种理想化， 因为兵力必须都是非负的整数， 而且 随 着时间 整数地变化。 一旦将兵力x t 和烈t 理想 ( ) )
(2 )
建 模 。1 立 型 1 渭
2 模型假设 设甲乙双方都是正规部队，双方士兵公开活
4 模型分析
4.1 轨线分析
动， 每个士兵处在对方的 杀伤范围内， 具体假设有:
(1 一方的战斗减员率与另一方的兵力成正 )
式( )是微分方程组， 2 不太容易解， 但可以通过 微分方程的 定性理论， 利用方程本身在相平面上 即
甲方输， 乙方胜。
b 0 即 ’犷 a < ， 点(x ，)是系 统(2)的 点。 鞍 由} E， }二七 + )人 a 可得A 的两个特 A A 人 任 +kl一 l b
征值:
巫址 巫 丝 丝 _ 情形二 .、兰丝 义工 2生 ‘ 、
. j 、 内 七 钊
‘口
(成 几 卜 1)
]+
(成 左 卜 1)
(3)
作者简介: 张 永康 (198 一， 甘肃 3 ) 男， 通渭人， 天津师范 学 学 学学院在 硕士 生。 大 科 读 研究
28
令式( ) 的右端均为零， 3 可得该方程的平衡点
吞无 P : ， 1(砂 M) x=
b k a 一l
， 二 y
丝 件_ 情形一 .。丛 匕迫巫呸巫至 .j 产
名进乙
3 建立模型
无形因素。 这些因素连描述都很困难， 更不用说转 化为数量了。 我们将采用一种简单的回避的方法， 即 视力量城t 和抓t 为士 数量。 ) ) 兵的
与 别 示 、 双 的 力 化 卒与 分 表 甲 乙方 兵 变率
6 不
斋，y依 分 表 甲乙 的 始 力则 翔 次别示 、 初兵 ， ， o 方 模
斗开始时以天数计算。将“ 力量” 定量化是不容易 的， 因为它包括:士兵数量、 战斗准备就绪情况、 武 器的性能和数量、 指挥员的素质以及大量心理的等
3 ( ) 甲、 乙双方可用于增援的后备的总兵力分 别为M， 且M与N 相差不大， . N 增援的具体兵力与 在战场上战斗的 人数成反比， 1分别来表 用k， 示甲、 乙的增援兵力的控制系数， 并且k，< ， < . 1a b
比只考虑作战一方或双方有固定不变的增援率更 贴合实际。 当然还可以对该模型再进行简单而又 自然的
! \ 吸 一
圈1 微分方程组(3 的轨线图 ) 不妨记
扩充， 即作战过程中可能出现运作失误， 这里是指 一些非战争的因素， 如疾病、 由于心理因素而产生 逃兵以及机械的损坏等是很难精确度量的。但是，
我们可以假设非 自然的战斗减员率与部 队的战斗
x(0)二。 y ， 0 y(0)=
整理 即为
化为t 的 连续、 可导的函 于 ( 约 ( t 的图 数， 是x 和y ) 形 就很光滑， 没有任何的角点和尖点。 这样的理想化
处理使得我们能够对战斗力函数用微分方程组来
劣 kx一 &=一 叮+kM
y&=一 十 ຫໍສະໝຸດ x y b l N +二 x 。 (0)= ， y(0)勺 乞
时，由图1可以看出随着时间t 的变大，
其对应的特征向量为:
甲方的兵力趋于凡， 而乙方的兵力减少到零， 此时 甲 方胜， 方输。 乙 情形三:随着时间t 趋于无穷， 即战斗一直僵持 下去， 那么双方的兵力都接近于平衡点尸此时即平 ， 局的情形。 5 模型的评价
u挤( 1
其中的 显见，
卫 义 业 0 卫廷 丛兰 鱼虹>
20 8 年 3 月 0 第2 卷 第2 期 8
天水师范学院学报
Jo r a o T anshui Nor a Univer it u nl f i ml s y
Ma .， 8 r 20 0
Vol.28 No.2
有增援的正规战争模型
张永康
(天 津师范大 数 学 学科学 学院， 天津 30 387 0 )
含的动态变化性态.
关扭词: 正规部队; 鞍点; 轨线分析
中图分类号: 0 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1671一 1351 (2( 8) 02一 28刁2 ) X ) X (
1 背
景
设 支二 和 支y 部队 互交战， t 和 一 部队 一 相 ( x)
抓t 分别代表两个部队在: 时刻的力量， ) 其中t 从战
介 玲
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力成比 从而可进一步优化正规战争的模型。 例，
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本文是在一般的 正规战争模型(即LQ h st r 二 ce e 次律模型) 只考虑作战双方的战斗减员率的基础 上， 增加了作战双方均有增援的情形。这种增援不 是一直地或是不变地增援下去， 而是根据一方在战
场上的作战人数以及该方可供增援的后备兵力来
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且为时间的可导函数。当然， 这是事态真实状况的 一种理想化， 因为兵力必须都是非负的整数， 而且 随 着时间 整数地变化。 一旦将兵力x t 和烈t 理想 ( ) )
(2 )
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2 模型假设 设甲乙双方都是正规部队，双方士兵公开活
4 模型分析
4.1 轨线分析
动， 每个士兵处在对方的 杀伤范围内， 具体假设有:
(1 一方的战斗减员率与另一方的兵力成正 )
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作者简介: 张 永康 (198 一， 甘肃 3 ) 男， 通渭人， 天津师范 学 学 学学院在 硕士 生。 大 科 读 研究
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扩充， 即作战过程中可能出现运作失误， 这里是指 一些非战争的因素， 如疾病、 由于心理因素而产生 逃兵以及机械的损坏等是很难精确度量的。但是，
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甲方的兵力趋于凡， 而乙方的兵力减少到零， 此时 甲 方胜， 方输。 乙 情形三:随着时间t 趋于无穷， 即战斗一直僵持 下去， 那么双方的兵力都接近于平衡点尸此时即平 ， 局的情形。 5 模型的评价
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有增援的正规战争模型
张永康
(天 津师范大 数 学 学科学 学院， 天津 30 387 0 )
含的动态变化性态.
关扭词: 正规部队; 鞍点; 轨线分析
中图分类号: 0 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1671一 1351 (2( 8) 02一 28刁2 ) X ) X (
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景
设 支二 和 支y 部队 互交战， t 和 一 部队 一 相 ( x)
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