[精品]2015-2016年山西省晋中市高一(上)数学期中试卷与答案

2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）直线xsinα﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，π）C ．[﹣，]D ．[0，]∪[，π）4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x ﹣2y +3=0的直线方程为（ ）A ．2x +y ﹣1=0B ．2x +y ﹣5=0C ．x +2y ﹣5=0D ．x ﹣2y +7=05．（5分）已知圆x 2+y 2+Dx +Ey=0的圆心在直线x +y=l 上则D 与E 的关系是（ ）A ．D +E=2B ．D +E=1C ．D +E=﹣1 D ．D +E=﹣26．（5分）以线段AB ：x +y ﹣2=0（0≤x ≤2）为直径的圆的方程为（ ）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=87．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若动点A（x 1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．412．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选：C．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．（5分）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π） C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．4．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．5．（5分）已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是（）A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣2【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l 上，所以，即D+E=﹣2．故选：D．6．（5分）以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=8【解答】解：∵线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥，∵正方体的棱长为，其体积为：3，又∵正棱锥的底面边长为，高为，∴它的体积为×3×=∴组合体的体积=，故选：B．9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D．10．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．11．（5分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选：C．12．（5分）设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A． B．C．D．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．【解答】解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．设正四面体的棱长为1，则OC==．Rt△AOC中，cos∠ACO==故答案为：14．（5分）不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y ﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．15．（5分）两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0．【解答】解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．16．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确；CB1与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，故CB1与BD为异面直线，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题17．（10分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【解答】证明：（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ∥BC，MQ∥PA∵AD∥BC，∴NQ∥AD，∵MQ∩MQ=Q，PA∩AD=A，∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥面PAD；（2）由（1）可知Q在PB的中点上18．（12分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．（12分）点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P 为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0，圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==，∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2．20．（12分）如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC 的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．【解答】解：（1）由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角，在△OO1D中，由题设可得，OD=，O1D=2，OO1=，由余弦定理得，cos∠OO1D=，故AD1和DC1所成角的余弦值为：；（2）设点C到平面BC1D的距离为h，=V C1﹣BCD，则有：V C﹣BC1D=••CC1=••4=8，其中，V C1﹣BCD在△BDC1中，BD=5，DC1=5，BC1=4，所以，△BDC1的面积为••4=2，再由V C=V C1﹣BCD得，•2•h=8，﹣BC1D解得h=，即点C到平面BC1D的距离为：．21．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．【解答】解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，∴直线x+y=t与已知圆有公共点，∴≤2，解得﹣5≤t≤3，∴x+y的取值范围为[﹣5，3]；（2）∵圆心（﹣1，0）到直线x+y﹣7=0的距离d==4＞2=r，∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y﹣7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x﹣y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，联立x+y﹣7=0和x﹣y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．22．（12分）如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA ⊥平面ABCD ． ∵BC=2，BD ⊥CD ，CD=x ， ∴DB=（0＜x ＜2）．∴S 平行四边形ABCD =2S △BCD =2×=． ∴V （x ）===．（0＜x ＜2）． （2）由基本不等式的性质可得：V （x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V （x ）的最大值是．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2015-2016学年山西省晋中市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集为R，A=[1，+∞），B=（0，+∞），则（∁R A）∩B等于（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（0，1]D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集与交集的定义，求出A在R中的补集∁R A，求出（∁R A）∩B即可．【解答】解：全集为R，A=[1，+∞），∴∁R A=（﹣∞，1），又B=（0，+∞），∴（∁R A）∩B=（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题目．2．将样本数据按某标准分组，并制成频率分布直方图，已知样本数据在其中一组[m，n）中的频率为p，且该组在频率分布直方图上的高为h，则|m﹣n|等于（）A． B． C．ph D．与h，p无关【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；函数思想；定义法；概率与统计．【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，建立关系即可解得．【解答】解：小矩形的面积等于这一组的频率，小矩形的高等于每一组的，则组距等于频率除以高，即|m﹣n|=．故选：A【点评】本题考查频率及频率分布直方图，频数等有关知识，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．3．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【考点】函数的值．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（2））=f（22﹣4×2）=f（﹣4）=．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．4．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：3：2，：4，则该样本中D类产品的数量为（）A．22 B．33 C．44 D．55【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等，计算样本中D型号的产品的数量．【解答】解：根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等，∴样本中B型号的产品的数量为110×=44．故选：C．【点评】本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键．5．下列函数在其定义域内，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=﹣ B．y=ln（x+5）C．y=x2﹣1 D．y=x|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性，奇函数图象的对称性便可判断出A，B，C 都错误，从而得出D正确．【解答】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；B．y=ln（x+5）的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=x2﹣1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D．设y=f（x），f（x）定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f（x）在定义域R上是增函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查反比例函数在定义域上的单调性，奇函数图象的对称性，熟悉对数函数和二次函数的图象，熟悉平移变换，以及奇函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断．6．当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．7 B．9 C．11 D．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=4时，不满足条件m ＜4，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=4，m=1，S=1满足条件m＜4，S=1+1=2，m=1+1=2满足条件m＜4，S=2+2=4，m=2+1=3满足条件m＜4，S=4+3=7，m=3+1=4不满足条件m＜4，退出循环，输出S的值为7．故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．当0＜a＜1时，不等式log a（4﹣x）＞﹣log x的解集是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（2，4）D．（0，4）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】由对数的运算性质把已知不等式变形，然后利用对数函数的性质把对数不等式转化为一元一次不等式组求解．【解答】解：∵﹣log x=log a x，∴原不等式等价于log a（4﹣x）＞log a x，∵0＜a＜1，∴，解得2＜x＜4．∴原不等式的解集为（2，4）．故选：C．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题．8．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1每正面和恰好有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；规律型；概率与统计．【分析】利用对立事件的概念求解．【解答】解：恰好有1枚正面和恰好有2枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故A错误；至少有1枚正面和恰好有1枚正面有可能同时发生，不互为对立事件，故B错误；至少有2枚正面和恰好有1枚正面有可能同时不发生，不互为对立事件，故C错误．最多有1枚正面和至少有2枚正面不可能同时发生，也不可能同时不发生，互为对立事件，故D正确；故选：C．【点评】本题考查对立事件的判断，是基础题，解题时要注意对立事件的性质的合理运用．9．以下叙述中正确的个数有（）①为了了解高一年级605名学生的数学学习情况，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；②函数y=e x﹣e﹣x是偶函数；③线性回归直线方程=x+恒过（，），且至少过一个样本点；④若f（log2x）=x+2，则f（1）=2．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断．②根据函数奇偶性的定义进行判断．③根据线性回归的性质进行判断．④根据函数表达式进行求解即可．【解答】解：①为了了解高一年级605名学生的数学学习情况，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为20；故①错误，②∵f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），∴函数y=e x﹣e﹣x是奇函数；故②错误，③线性回归直线方程=x+恒过（，），但不一定过样本点；故③错误，④若f（log2x）=x+2，则f（1）=f（log22）=2+2=4．故④错误，故正确的个数为0个，故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度不大．10．已知一个算法的程序图如图所示，当输入x∈[﹣2，9]时，则输出的y属于（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[﹣1，）D．[0，）【考点】程序框图．【专题】计算题；函数思想；定义法；算法和程序框图．【分析】根据程序框图知：算法的功能是求y=的值，求分段函数的值域可得答案．【解答】解：当﹣2≤x＜1时，y=2x+，则y∈[，），当1≤x≤9时，y=1+，则y∈[﹣1，1]，∴y∈[﹣1，）故选：C．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，分段函数求值域的方法是先在不同的段上值域，再求并集．11．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4，5的五个球，现从甲乙两个盒子中各取出1个球，球的标号分别记做a，b，每个球被取出的可能性相等，则|a﹣b|≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】所有的数对（a，b）共有5×5=25个，而满足|a﹣b|≤1的数对用列举法求得有13个，由此求得所求事件的概率．【解答】解：所有的数对（a，b）共有5×5=25个，而满足|a﹣b|≤1的数对（a，b）有（1，1），（1，2），（2，1）、（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）共计13个，故|a﹣b|≤1的概率为故选：B．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．12．已知f（x）对任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．[，）C．[，）D．[，]【考点】函数零点的判定定理；抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的周期和[0，1）的解析式画出f（x）在[0，4]的图象，根据图象交点个数列出不等式组解出a的范围．【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣（x﹣1）=1﹣x．作出f（x）和y=log a（x+1）的函数图象如图：∵函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，∴log a（2+1）＞﹣1，log a（4+1）≤﹣1．解得≤a．故选C．【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数零点个数的判断，作出f（x）的图象是关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．执行如下的程序，若输入的n=﹣3，则输出的m=3．【考点】程序框图．【专题】计算题；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值，从而可得当n=﹣3时，m=﹣2×（﹣3）﹣3=3．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值，∵当n=﹣3时，﹣3＜﹣3不成立，∴m=﹣2×（﹣3）﹣3=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了选择结构的程序算法，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基础题．14．函数f（x）=x﹣（）x+a的零点在区间（1，+∞）上，则实数a的取值范围是a＜﹣．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】确定函数f（x）=x﹣（）x+a单调递增，利用函数f（x）=x﹣（）x+a的零点在区间（1，+∞）上，可得f（1）=+a＜0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=1﹣（）x ln＞0，∴函数f（x）=x﹣（）x+a单调递增，∵函数f（x）=x﹣（）x+a的零点在区间（1，+∞）上，∴f（1）=+a＜0，∴a＜﹣．故答案为：a＜﹣．【点评】正确把问题等价转化、熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．15．已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据题意，利用S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率．【解答】解：由题意，S△ADF=AD•AF，S△BFE=BE•BF，当S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，∴△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率P=．故答案为：．【点评】本题给出几何概型，求△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率．着重考查了三角形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．16．已知非空集合S={x|﹣≤x≤m}满足：当k∈S时，有x2∈S，则实数m的取值范围是0≤m≤1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意可得m≥﹣，再结合当x∈S时，有x2∈S，从而求m．【解答】解：∵集合S={x|﹣≤x≤m}是非空集合，∴m≥﹣，又∵当x∈S时，有x2∈S，∴m2≤m，∴0≤m≤1．故答案为：0≤m≤1．【点评】本题考查了集合的化简与应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．分别抽取甲、乙两名同学本学期同科目各类考试的6张试卷，并将两人考试中失分情况记录如下：甲：18、19、21、22、5、11乙：9、7、23、25、19、13（1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据；（2）从失分数据可认否判断甲乙两人谁的考试表现更好？请说明理由．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）用茎叶图表示出甲乙两人考试失分数据即可；（2）计算甲、乙二人的平均数与方差，比较大小即可．【解答】解：（1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据，如下；（2）甲的平均数为=（5+11+18+19+21+22）=16，方差为= [（5﹣16）2+（11﹣16）2+（18﹣16）2+（19﹣16）2+（21﹣16）2+（22﹣16）2]=；乙的平均数为=（7+9+13+19+23+25）=16，方差为= [（7﹣16）2+（9﹣16）2+（13﹣16）2+（19﹣16）2+（23﹣16）2+（25﹣16）2]=；∵=，＜，∴甲的考试表现更稳定，即甲的考试表现更好．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题目．18．已知集合B={x|﹣3＜x＜2}，C={x|2x﹣1≥0}．（1）求B∩C，B∪C；（2）设函数f（x）=的定义域为A，且A⊆C，求实数m的最大值．【考点】函数的定义域及其求法；并集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）求出集合C={x|x≥0}，则B∩C，B∪C的答案可求；（2）由题意列出不等式组，求解得到，又A⊆C，则，求出m的范围即可得到实数m的最大值．【解答】解：（1）集合B={x|﹣3＜x＜2}，C={x|2x﹣1≥0}={x|x≥0}．则B∩C={x|﹣3＜x＜2}∩{x|x≥0}={x|0≤x＜2}，B∪C={x|﹣3＜x＜2}∪{x|x≥0}={x|x＞﹣3}；（2）由题意知，解得：2x+m≥1即．又A⊆C，∴．∴m≤1．∴实数m的最大值为1．【点评】本题考查了交集、并集及其运算，考查了函数的定义域及其求法，考查了对数函数的性质，是中档题．且已知产量x与成本y具有线性相关关系（a，b用小数表示，结果精确到0.01）．（1）求出y关于x的线性回归方程（给出数据x i y i=1481）；（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）根据回归方程中的b回答；（2）把x=6代入回归方程求出成本的估计值．【解答】解：（1）==3.5，==71．=22+32+42+32+42+52=79，=1481，∴b==≈﹣1.82．a==71+1.82×3.5=77.37．∴y关于x的线性回归方程是=﹣1.82x+77.37．（2）∵b=﹣1.82＜0，产量x的单位为千件，∴产量每增加1000件时，单位成本平均减少1.82元．（3）当x=6时，=﹣1.82×6+77.37=66.45．∴当产量为6000件时，单位成本大约为66.45元．【点评】本题考查了线性回归方程的解法，线性回归方程的含义，利用回归方程进行数值估计，属于基础题．20．已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），g（x）=﹣（x﹣）2．（1）若a=3，f（）f（3x）=﹣5，求x的值；（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求g（a）的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1））由题意得（﹣）（+）=﹣5，设t=，即（3﹣t）（1+t）=﹣5，解出即可；（2）求出a的范围，根据g（x）的最大值是0，求出g（a）的范围即可．（+）（﹣）（+）=（﹣）（1）由题意得：【解答】解：=﹣5，设t=，即（3﹣t）（1+t）=﹣5，∴t2﹣2t﹣8=0，解得：t=4或﹣2，∴=4或=﹣2，解得：x=81或x=；（2）当a＞1，3a﹣1＞a＞0，∴a＞，又a＞1，∴a＞1，当0＜a＜1，0＜3a﹣1＜a，∴＜a＜，综上，a∈（，）∪（1，+∞），∴a=时，g（x）max=0，又g（）=g（）=﹣，g（1）=﹣，∴g（a）∈（﹣∞，﹣）∪（﹣，0]．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查二次函数的性质，是一道中档题．21．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在50分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的频率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）根据平均数的定义和中位数的定义即可求出．（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率P=1﹣=【点评】本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a）（a＜100），若函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，求整数a的个数．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用偶函数定义求解即可（2）利用已知条件转化为22x+1=（a•2x﹣a）•2x，令t=2x，则方程可化为（a﹣1）t2at﹣1=0，分类讨论利用二次函数求解即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．∴f（﹣x）=f（x）log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）根据对数性质化简得出：﹣x﹣kx=kx即﹣1﹣k=kk=﹣（2）∵函数f（x）与g（x）的图象只有一个公共点，∴log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣a）有且只有一个实数根．即22x+1=（a•2x﹣a）•2x，令t=2x，则方程可化为（a﹣1）t2at﹣1=0，①a=1，t=②△=0，a=或a=﹣3，③一个正根一个负根，a＞1，∵a＜100，∴1＜a＜100，综上a=﹣3，2，3，4，…99，共99个【点评】本题综合考查了函数的定义性质，方程的运用，分类讨论的思想，属于中档题．。

2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )A． B．C． D．2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )A．B．C．D．3．直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是( )A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为( )A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=05．已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是( )A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣26．以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为( )A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=87．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A．B． C． D．8．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A．B． C．D．9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为( )A．B．C．D．10．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．311．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A．2 B．3C．3D．412．设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( )A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是__________．14．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点__________．15．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为__________．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是__________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题17．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．20．如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．21．已知圆C：（x+1）2+y2=8．（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；（2）在直线x+y﹣7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．22．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】作图题；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，由此得出原来的图形是什么．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．【点评】本题考查了平面图形的斜二测画法应用问题，是基础题目．3．直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是( )A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，]D．[0，]∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为( )A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是( )A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣2【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到D、E的关系．【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上，所以，即D+E=﹣2．故选D【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，常考题型．6．以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为( )A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 C．（x+1）2+（y+1）2=8 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=8【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），由此能求出结果．【解答】解：∵线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）两个端点为（0，2）、（2，0），∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A．B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．8．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】易得此几何体为一个正方体和正棱锥的组合题，根据图中数据我们易得到正方体和正棱锥的底面边长和高，根据体积公式，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥，∵正方体的棱长为，其体积为：3，又∵正棱锥的底面边长为，高为，∴它的体积为×3×=∴组合体的体积=，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为( )A．B．C．D．【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】因为A1B1∥EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF 的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．10．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A．2 B．3C．3D．4【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选C【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力．12．设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．在Rt△AOC中，根据cos∠ACO=求出．【解答】解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O 是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．设正四面体的棱长为1，则OC==．Rt△AOC中，cos∠ACO==故答案为：【点评】本题考查直线和平面所成的角的定义和求法，找出直线和平面所成的角，是解题的关键．14．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键．15．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．【解答】解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②正确，根据求二面角的大小的方法可得③不正确，根据异面直线定义可得④正确，由此得到答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确；CB1与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，故CB1与BD为异面直线，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．三、解答题17．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，中位线定理和四边形ABCD为平行四边形可得MQ∥PA，【分析】NQ∥AD，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面MNQ∥平面PAD；故可得MN∥平面PAD．（2）由（1）可知问题的答案．【解答】证明：（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ∥BC，MQ∥PA∵AD∥BC，∴NQ∥AD，∵MQ∩MQ=Q，PA∩AD=A，∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥面PAD；（2）由（1）可知Q在PB的中点上【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质和判定，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理．18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得k AB==﹣，可得线段AB的中垂线的斜率k=，利用点斜式即可得出．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．利用点斜式即可得出．【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．19．点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．（2）求出直线方程，圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0，圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==，∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2．【点评】本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角． 【专题】计算题；转化法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）由OO 1∥AD 1知，AD 1和DC 1所成角等于OO 1和DC 1所成的锐角或直角； （2）设点C 到平面BC 1D 的距离为h ，则V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD ，即用体积转化的方法求点到平面的距离．【解答】解：（1）由OO 1∥AD 1知，AD 1和DC 1所成角等于OO 1和DC 1所成的锐角或直角， 在△OO 1D 中，由题设可得，OD=，O 1D=2，OO 1=，由余弦定理得，cos ∠OO 1D=，故AD 1和DC 1所成角的余弦值为：；（2）设点C 到平面BC 1D 的距离为h ，则有：V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD ， 其中，V C1﹣BCD =••CC 1=••4=8， 在△BDC 1中，BD=5，DC 1=5，BC 1=4，所以，△BDC 1的面积为••4=2，再由V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD 得，•2•h=8，解得h=，即点C 到平面BC 1D 的距离为：．【点评】本题主要考查了异面直线所成的角的确定和求解，以及运用体积转化的方法求点到平面距离，属于中档题．21．已知圆C ：（x+1）2+y 2=8．（1）设点Q （x ，y ）是圆C 上一点，求x+y 的取值范围； （2）在直线x+y ﹣7=0上找一点P （m ，n ），使得过该点所作圆C 的切线段最短． 【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆． 【分析】（1）设x+y=t ，由直线x+y=t 与已知圆有公共点和距离公式可得t 的不等式，解不等式可得；（2）可判直线与圆相离，由直线和圆的知识可得符合条件的直线，解方程组可得所求点．【解答】解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，∴直线x+y=t与已知圆有公共点，∴≤2，解得﹣5≤t≤3，∴x+y的取值范围为[﹣5，3]；（2）∵圆心（﹣1，0）到直线x+y﹣7=0的距离d==4＞2=r，∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y﹣7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x﹣y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，联立x+y﹣7=0和x﹣y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属中档题．22．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，=2S△BCD．即可得出V（x）BD⊥CD，CD=x，可得DB=（0＜x＜2）．∴S平行四边形ABCD=．（2）由基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA⊥平面ABCD．∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，∴DB=（0＜x＜2）．=2S△BCD=2×=．∴S平行四边形ABCD∴V（x）===．（0＜x＜2）．（2）由基本不等式的性质可得：V（x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V（x）的最大值是．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（ ）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（ ）（ ）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（ ）A．﹣1 B．0 C．8 D．94．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（ ）A．﹣6 B．6 C．4 D．105．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（ ）A． B． C． D．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（ ）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（ ）A．9 B．5 C． D．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．12 B．6 C．4 D．210．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（ ）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（ ）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：512．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（ ）A．18π B．20π C．24π D．20π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．命题“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为 ．14．已知函数f（x）=，则f（f（8））= ．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）= ．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B等于（ ）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【考点】交集及其运算．【分析】根据集合A和集合B的范围，然后求出集合A∩B即可．【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B（﹣2，1）．故选：C．2．为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为（ ）（ ）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】茎叶图．【分析】先分别求出中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：平均数=.8，中位数为：，∴这10位学生体重的平均数与中位数之差为：54.8﹣54.5=0.3．故选：C．3．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（ ）A．﹣1 B．0 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0，i=6时满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=27，i=1满足条件S是奇数，S=26，i=2不满足条件S是奇数，S=15，i=3满足条件S是奇数，S=10，i=4不满足条件S是奇数，S=9，i=5满足条件S是奇数，S=0，i=6满足条件S＜i，退出循环，输出S的值为0．故选：B．4．已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（ ）A．﹣6 B．6 C．4 D．10【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得m值，再由垂足在两直线上可得np的方程组，解方程组计算可得．【解答】解：∵直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，∴2×3+（﹣2）m=0，解得m=3，由垂直在两直线上可得，解得p=﹣1且n=﹣8，∴p﹣m﹣n=4，故选：C．5．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（ ）A． B． C． D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．6．已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（ ）A．a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．a∥α，b⊂α，则a∥bC．a⊥b，b⊂α，则a⊥α D．a∥α，b⊂α，a⊄α，则a∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，由a⊥α，b⊥α，则a∥b，故A错误；对于B，a∥α，b⊂α，则a∥b或者a，b异面；故B 错误；对于C，a⊥b，b⊂α，则a与α位置关系不确定；故C错误；对于D，满足线面平行的判定定理；故D 正确．故选：D．7．“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得即可判断出结论．【解答】解：x2+kx+1＞0在R上恒成立⇔△=k2﹣4＜0，解得﹣2＜k＜2，∴“﹣2＜k＜3“是“x2+kx+1＞0在R上恒成立”的必要不充分条件．故选：B．8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（ ）A．9 B．5 C． D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故选：A．9．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．12 B．6 C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（ ）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．11．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|：|MN|等于（ ）A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：5【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率．过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|．Rt△MHN中，根据tan∠MNP=，从而得到|HN|=|HM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=12y的焦点为F（0，3），点A坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣3，直线AF的斜率为k=﹣，过M作MH⊥l于H，根据抛物线物定义得|FM|=|HM|，∵Rt△MHN中，tan∠MNH=﹣k=，∴=，可得|HN|=|HM|，得|MN|=|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=3：5．故选：C．12．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的体积为2，则球O的表面积为（ ）A．18π B．20π C．24π D．20π【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的体积为2，∴=2，∴PA=2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r=2，∴球的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．命题“∀x∈R，e x﹣x＞0”的否定为　∃x∈R，e x﹣x≤0　．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x∈R，e x﹣x≤0，故答案为：∃x∈R，e x﹣x≤014．已知函数f（x）=，则f（f（8））=　﹣4　．【考点】函数的值．【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，故答案为：﹣4．15．已知向量，的夹角为，||=，||=2，则•（﹣2）=　6　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出2和，将•（﹣2）展开得出答案．【解答】解： ==﹣2， 2=||2=2，∴•（﹣2）=2﹣2=2+2×2=6．故答案为：6．16．已知函数f（x）=（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+）上单调递增，则m的最大值为 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出a的值，得到函数的单调区间，从而得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：由f（0）=1，得：a=﹣1，则f′（x）=，令f′（x）＞0，得：x＜2且x≠1，∴f（x）在（﹣∞，1），（1，2）递增，∴m+≤1或，解得：m≤或1≤m≤，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且b=2asinB，A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若b=1，c=2，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sinB=2sinA•sinB，结合sinB＞0可得sinA=，又A为锐角，即可解得A的值．（2）利用余弦定理即可解得a的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）在△ABC中，∵b=2asinB，∴sinB=2sinA•sinB，sinB＞0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=…6分（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=1+12﹣4=7，∴a=…10分18．已知p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；由于a=1，p化为：1＜x＜4．利用p∧q为真，求交集即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，即可得出．【解答】解：（1）p：x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；q：3＜x≤4．∵a=1，∴p化为：1＜x＜4．∵p∧q为真，∴，解得3＜x≤4，∴实数x的取值范围是（3，4]．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B⊊A，∴，解得1＜a≤3．∴实数a的取值范围是1＜a≤3．19．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x﹣2y﹣1=0与2x+3y﹣9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）解方程组，求出交点坐标即可；（2）求出与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），根据平行四边形的性质求出另两边所在直线方程即可．【解答】解：（1）由，解得：，即两直线的交点坐标是（3，1）；（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为（3，1），对角线的交点坐标为（2，3），因此，与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，因此另两边所在直线方程分别是：y﹣5=﹣（x﹣1）与y﹣5=（x﹣1），即x﹣2y+9=0与2x+3y﹣17=0．20．已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程．（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABC的面积S=3，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，由此能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=16，表示以（﹣2，3）为圆心，半径等于4的圆．由于点M（﹣6，﹣5）到圆心的距离等于=4，大于半径4，故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx﹣y+6k﹣5=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x=﹣6，或3x﹣4y﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±，△ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，∴△ABC的面积S=|AB|d=≤=8当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=±2．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知点F是椭圆的右焦点，C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得AC|=|BC|，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得b=c， =2，由此能求出椭圆方程．（2）由（1）得F（2，0），0≤m≤2，设l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线垂直，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，且b=c，椭圆的上顶点到右顶点的距离为2，∴，解得，∴椭圆方程为=1．（2）由（1）得F（2，0），∴0≤m≤2，假设存在满足题意的直线l，则直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=k（x﹣2），代入=1，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，设AB的中点为M，则M（，﹣），∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB，∴k CM•k AB=﹣1，∴•k=﹣1，化简，得，当0≤m＜1时，k=，即存在这样的直线l满足条件，当l≤m≤2时，k不存在，即不存在这样的直线l满足条件．22．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程整理即可；（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值【解答】解：（1）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是：2x+2y﹣3=0；（2）由f′（x）=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=；②若1＜＜e，即1＜a＜e2；在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）min=f（）=a（1﹣lna）；③若≥e，即a≥e2在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e2﹣a综上，当0＜a≤1时，f（x）min=；当1＜＜e时，f（x）min=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f（x）min=e2﹣a．2016年7月7日。

2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．2．（5分）直线ax﹣y﹣1=0与直线（2a+3）x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．﹣1或3或03．（5分）过P（1，2）与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为（）A．2x+y+4=0 B．2x﹣y﹣4=0 C．2x+y﹣4=0 D．2x﹣y+4=04．（5分）一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π5．（5分）已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是（）A．若a‖α，b⊂α，则a‖b B．若a‖α，b‖α，则a‖bC．若a‖b，b⊂α，则a‖αD．若a‖b，a‖α，则b⊂α或b‖α6．（5分）圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离7．（5分）圆心为（1，1）且在直线x+y=4上截得的弦长为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=10 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=20 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=48．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面9．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成45°角，则D1到平面ACB1的距离为（）A．B．1 C．D．10．（5分）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．8πB．12πC．16πD．20π11．（5分）已知点P是圆（x﹣1）2+y2=8上的动点，且点P不在x轴上，F1、F2为圆与x轴的两个交点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，又F1M的延长线与直线PF2交于点Q，N为PQ的中点，则||的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（0，4） D．（2，4）12．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，所有棱长都是6，顶点A1在底面ABC内的射影是△ABC的中心，则四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC公共部分的体积等于（）A．6 B．6 C．12D．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）点P（1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离是．14．（5分）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是．15．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣2y﹣1=0的面积，则的最小值为．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为侧棱PB的中点，它的正视图和侧视图如图所示，给出下列结论①AD⊥平面PBC；②BD⊥平面PAC；③三棱锥D﹣ABC的体积为；④三棱锥P﹣ABC外接球的体积为32π，其中正确的结论有．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD=1，PD⊥面ABCD，E为棱BC的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线PB和DE所成角的余弦值．18．（12分）已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1点的中点，且AA1=AC=BC=AB．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．（12分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，过点P（﹣2，4）作圆C的切线PA、PB，A、B为切点．（1）求切线PA、PB的方程；（2）求△PAB的面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=60°，DC=BC=，AC和BD交于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD﹣A的大小．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1与y轴的负、正半轴分别交于点F1、F2，垂直于y轴的直线m与二次函数y=的图象交于不同的两点P，Q且=﹣5．（1）判断直线m与圆O的位置关系；（2）过点M（﹣3，0）作直线l与圆O交于A，B两点，设=λ，若λ∈[，2]，求||的取值范围．2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵直线方程为x+y+1=0，∴化简得y=﹣x﹣1，直线的斜率为k=﹣1，设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣1，∵α∈（0，π），∴，即直线x+y+1=0的倾斜角是．故选：D．2．（5分）直线ax﹣y﹣1=0与直线（2a+3）x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．﹣1或3或0【解答】解：因为直线ax﹣y﹣1=0的斜率存在，要使两条直线平行，必有a=，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时，已知直线﹣x﹣y﹣1=0与直线x+y+1=0，两直线重合，则实数a的值为3．故选：A．3．（5分）过P（1，2）与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为（）A．2x+y+4=0 B．2x﹣y﹣4=0 C．2x+y﹣4=0 D．2x﹣y+4=0【解答】解：直线x﹣2y+1=0的斜率为：，过P（1，2）与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的斜率为：﹣2，所求直线方程为：y﹣2=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4=0．故选：C．4．（5分）一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半径为1的球去掉其后剩下的部分．∴这个几何体的表面积==4π．故选：B．5．（5分）已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是（）A．若a‖α，b⊂α，则a‖b B．若a‖α，b‖α，则a‖bC．若a‖b，b⊂α，则a‖αD．若a‖b，a‖α，则b⊂α或b‖α【解答】解：对于A，若a‖α，b⊂α，则a‖b或a与b异面；所以A错；对于B，若a‖α，b‖α，则a‖b或ayub相交或a与b异面；所以B错；对于C，若a‖b，b⊂α，则a‖α或a⊂α，所以C错；对于D，因为a‖α，所以在α内存在直线c使得a∥c，因为a‖b，所以b∥c，因为c⊂α，所以b⊂α或b⊄α，当b⊄α时，因为c⊂α，b∥c，所以b∥α，故D正确；故选：D．6．（5分）圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心，半径等于5的圆．圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8=0，即（x﹣2）2+（y+2）2=16，表示以C2（2，﹣2）为圆心，半径等于4的圆．由于两圆的圆心距等于=，大于半径之差，小于半径和，故两个圆相交．故选：A．7．（5分）圆心为（1，1）且在直线x+y=4上截得的弦长为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=10 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=20 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【解答】解：圆心为（1，1）且在直线x+y=4上截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，由垂径定理可知，圆的半径为：=2．圆心为（1，1）且在直线x+y=4上截得的弦长为2的圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D．8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选：D．9．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成45°角，则D1到平面ACB1的距离为（）A．B．1 C．D．【解答】解：正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成45°角，可知几何体是正方体，连接BD1，BD，则AC⊥BD，AC⊥B1B∵BD∩B1B=B，∴AC⊥平面BD1，∵BD1⊂平面BD1，∴AC⊥BD1，同理AB1⊥BD1，∵AC∩AB1=A，∴BD1⊥平面AB1C设垂足为O，在三棱锥B1﹣ABC中，×a×a×a=××2a2×BO∴BO=a∵BD1=a∴D1O=a即D1到平面ACB1的距离为a故选：C．10．（5分）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．8πB．12πC．16πD．20π【解答】解：设球心为O，如图．由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2在矩形ABCD中，可求得对角线BD=4，故BE=2由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，∴OP=OB=R设OE=x，在直角三角形BOE中，OB2=BE2+OE2=4+x2过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故OH=1∴在直角三角形POH中，PO2=OH2+PH2=1+（1+x）2∴4+x2=1+（1+x）2，解得x=1，∴球的半径R=OB=则此球的表面积等于=4πR2=20π．故选：D．11．（5分）已知点P是圆（x﹣1）2+y2=8上的动点，且点P不在x轴上，F1、F2为圆与x轴的两个交点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，又F1M的延长线与直线PF2交于点Q，N为PQ的中点，则||的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（0，4） D．（2，4）【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=8的圆心为（1，0），半径为2，令y=0，可得x=1±2，=0，可得MP⊥F1M，又MP为∠F1PF2的角平分线，即有|PF1|=|PQ|，M为F1Q的中点，又N为PQ的中点，可得|MN|=|PF1|，显然|PF1|∈（0，4），即有|MN|∈（0，2）．故选：A．12．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，所有棱长都是6，顶点A1在底面ABC内的射影是△ABC的中心，则四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC公共部分的体积等于（）A．6 B．6 C．12D．12【解答】解：如图所示，设顶点A1在底面ABC内的射影是△ABC的中心O，连接AO并且延长交BC于点D．∵AD=，∴AO=AD=2．∴h=A1O==2．设AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接CE，BF，CE∩BF=P，则三棱锥P﹣ABC是四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC公共部分．（∵EF是△A1BC的中位线，∴=，∴PN===）又点P到底面ABC的距离d===．S△ABC==．=∴V P﹣ABC=×=2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）点P（1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离是．【解答】解：点P（1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离是：=．故答案为：14．（5分）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是18．【解答】解：此棱柱为正棱柱，体积的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3边长为，所以表面积．故答案为：．15．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣2y﹣1=0的面积，则的最小值为2+．【解答】解：∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+2x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣1，1）在直线上，可得﹣a﹣b+2=0，即a+b=2，因此（）（+）=+++≥2+2=2+，当且仅当：=时“=”成立，故答案为：2+．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为侧棱PB的中点，它的正视图和侧视图如图所示，给出下列结论①AD⊥平面PBC；②BD⊥平面PAC；③三棱锥D﹣ABC的体积为；④三棱锥P﹣ABC外接球的体积为32π，其中正确的结论有①③④．【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD．由正视图可知：AB=4，PA===4=AB，又D为侧棱PB的中点，∴AD⊥PB．由PA ⊥平面ABC，BA⊥BC，∴BC⊥AD，又PB∩BC=B．∴AD⊥平面PBC．因此正确；②∵PB与PC不垂直，因此BD与平面PAC不垂直；③由侧视图可知：BC=4，∴S===8，∴三棱锥D﹣ABC的体△ABC积=×PA=×=，因此不确；④PC===4，取PC的中点O，连接OP=OA=OA=OB=2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积==32π，因此正确．综上可得：只有①④正确．故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD=1，PD⊥面ABCD，E为棱BC的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线PB和DE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥面ABCD，===．∴V P﹣ABCD（2）如图所示，取AD的中点F，连接BF，PF．BE DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF DE．∴∠PBE或其补角是异面直线PB和DE所成角．△PBF中，BF==，PF==，PB===3．由余弦定理可得：cos∠PBF==．18．（12分）已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）•1=0，即a2﹣a﹣b=0①又点（﹣3，﹣1）在l1上，∴﹣3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l 1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1点的中点，且AA1=AC=BC=AB．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC1，且AC1∩A1C=F，矩形ACC1A1中，F为AC1中点，又D为AB的中点，∴连结DF，则DF∥BC1，∵DF⊂平面A1CD，且BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）解：∵AC=BC，且D为AB的中点，∴CD⊥AB，又A1A⊥CD，且A1A∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊂平面A1CD，∴平面A1CD⊥平面ABB1A1，且交线为A1D，∴在矩形ABB1A1中，连结DE，由已知得DE⊥A1D，∴DE⊥平面A1CD，∴CD是CE在平面A 1CD内的射影，∴∠DCE是直线CE与平面A1CD所成角，且DE⊥CD，设AC=BC=1，则CE=，∴DE=，∴sin，∴直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．（12分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，过点P（﹣2，4）作圆C的切线PA、PB，A、B为切点．（1）求切线PA、PB的方程；（2）求△PAB的面积．【解答】解：（1）切线斜率不存在时，直线x=﹣2，满足题意；切线斜率存在时，设切线的斜率为k，切线方程为y﹣4=k（x+2），即kx﹣y+2k+4=0由点到直线的距离公式得：=3，解之得：k=，方程为5x﹣12y+58=0．故所求切线方程分别为：x=﹣2或，5x﹣12y+58=0．（2）由题意，PC=，PA=PB=2，四边形PACB的面积为2×=6，sin∠BCP=，cos∠BCP=，∴sin∠ACB=，==，∴S△ACB∴△PAB的面积S=6﹣=．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=60°，DC=BC=，AC和BD交于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD﹣A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：依题意Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BAC=∠DAC，△CBO≌△CDO，∴AC⊥BD．而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC，又BD⊂面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，则B，D（0，1，0），C，设P（0，0，λ），∴G，=，由AG⊥PB得，==0，λ＞0．解得λ=．∴P点坐标为，平面PBD的一个法向量为==，平面PCD的一个法向量为=（1，0，0），∴===，∴二面角B﹣PD﹣A的大小为．22．（12分）已知圆O：x2+y2=1与y轴的负、正半轴分别交于点F1、F2，垂直于y轴的直线m与二次函数y=的图象交于不同的两点P，Q且=﹣5．（1）判断直线m与圆O的位置关系；（2）过点M（﹣3，0）作直线l与圆O交于A，B两点，设=λ，若λ∈[，2]，求||的取值范围．【解答】解：（1）由题意得到F2（0，1），F1（0，﹣1），∵抛物线y=关于y轴对称，∴设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），∴=（x0，y0+1），则=（﹣x0，y0﹣1），又且=﹣5．∴﹣x02+y02﹣1=﹣5，即x02﹣y02=4①，又点P在抛物线上，∴y0=x02，②，联立①②易得y0=2，∴直线m的方程为：y=2，显然直线m与圆相离；（2）由题意显然l的斜率存在，M（﹣3，0），1°当直线l的斜率为0时，B（﹣1，0），A（1，0），=（4，0），=（2，0），故=2，λ=2，满足条件，此时||=6，2°当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为：x=my﹣3，并设A（x1，y1），B（x2，y2），∴=（3+x1，y1），=（3+x2，y2），∵=λ，∴y1=λy2，联立方程组得，得（1+m2）y2﹣6my+8=0，③由△=36m2﹣32（1+m2）=4m2﹣32＞0，得m2＞8，且y1，y2是方程③的两根，∴，∴，显然≠0，∴=，∵=λ++2在λ∈[，2]上是增函数，∴≤=λ++2≤，即≤≤，解得m2≥，满足m2＞8，∴m2≥，又=（x1+x2+6，y1+y2）且x1+x2=m（y1+y2）﹣6，∴=（m（y1+y2），（y1+y2）），∴||===6，∵1＜1+≤，∴≤||＜6，综上所述，||的取值范围[，6）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015-2016学年山西省晋中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )A． B．C． D．2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )A．B．C．D．3．直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是( )A．（0，）B．（0，π）C． D．∪﹣，0，，π）【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈．∴θ∈∪∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），半径为=．故选：B．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A．B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．8．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】易得此几何体为一个正方体和正棱锥的组合题，根据图中数据我们易得到正方体和正棱锥的底面边长和高，根据体积公式，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥，∵正方体的棱长为，其体积为：3，又∵正棱锥的底面边长为，高为，∴它的体积为×3×=∴组合体的体积=，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为( )A．B．C．D．【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】因为A1B1∥EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．10．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A．2 B．3C．3D．4【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M 到原点的距离的最小值为，求得答案．【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选C【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力．12．设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，所以d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：D．【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，AC与平面BCD所成角的余弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD 的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．在Rt△AOC中，根据cos∠ACO=求出．【解答】解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ACO为AC与平面BCD所成角．设正四面体的棱长为1，则OC==．Rt△AOC中，cos∠ACO==故答案为：【点评】本题考查直线和平面所成的角的定义和求法，找出直线和平面所成的角，是解题的关键．14．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键．15．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．【解答】解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．【点评】本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．三、解答题17．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；（1）求证：MN∥平面PAD．（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，中位线定理和四边形ABCD为平行四边形可得MQ∥PA，NQ∥AD，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面MNQ∥平面PAD；故可得MN∥平面PAD．（2）由（1）可知问题的答案．【解答】证明：（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ∥BC，MQ∥PA∵AD∥BC，∴NQ∥AD，∵MQ∩MQ=Q，PA∩AD=A，∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥面PAD；（2）由（1）可知Q在PB的中点上【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质和判定，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理．18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得k AB==﹣，可得线段AB的中垂线的斜率k=，利用点斜式即可得出．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．利用点斜式即可得出．【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．19．点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P为圆上的动点．（1）求线段AP的中点的轨迹方程（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．（2）求出直线方程，圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0，圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==，∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2．【点评】本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC的中点．（1）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．（2）求点C到平面BC1D的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由OO 1∥AD 1知，AD 1和DC 1所成角等于OO 1和DC 1所成的锐角或直角； （2）设点C 到平面BC 1D 的距离为h ，则V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD ，即用体积转化的方法求点到平面的距离．【解答】解：（1）由OO 1∥AD 1知，AD 1和DC 1所成角等于OO 1和DC 1所成的锐角或直角， 在△OO 1D 中，由题设可得，OD=，O 1D=2，OO 1=， 由余弦定理得，cos ∠OO 1D=，故AD 1和DC 1所成角的余弦值为：； （2）设点C 到平面BC 1D 的距离为h ，则有：V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD ，其中，V C1﹣BCD =••CC 1=••4=8，在△BDC 1中，BD=5，DC 1=5，BC 1=4，所以，△BDC 1的面积为••4=2， 再由V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD 得，•2•h=8， 解得h=，即点C 到平面BC 1D 的距离为：． 【点评】本题主要考查了异面直线所成的角的确定和求解，以及运用体积转化的方法求点到平面距离，属于中档题．21．已知圆C ：（x+1）2+y 2=8．（1）设点Q （x ，y ）是圆C 上一点，求x+y 的取值范围；（2）在直线x+y ﹣7=0上找一点P （m ，n ），使得过该点所作圆C 的切线段最短．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）设x+y=t ，由直线x+y=t 与已知圆有公共点和距离公式可得t 的不等式，解不等式可得；（2）可判直线与圆相离，由直线和圆的知识可得符合条件的直线，解方程组可得所求点．【解答】解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，∴直线x+y=t与已知圆有公共点，∴≤2，解得﹣5≤t≤3，∴x+y的取值范围为；（2）∵圆心（﹣1，0）到直线x+y﹣7=0的距离d==4＞2=r，∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y﹣7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x﹣y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，联立x+y﹣7=0和x﹣y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属中档题．22．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F﹣ABCD的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）求V（x）的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，BD⊥CD，=2S△BCD．即可得出V（x）CD=x，可得DB=（0＜x＜2）．∴S平行四边形ABCD=．（2）由基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴FA⊥平面ABCD．∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，∴DB=（0＜x＜2）．∴S=2S△BCD=2×=．平行四边形ABCD∴V（x）===．（0＜x＜2）．（2）由基本不等式的性质可得：V（x）=，当且仅当，即x=时取等号．∴V（x）的最大值是．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015-2016学年山西省临汾一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3，4}，N={﹣1，2，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．8个 B．6个 C．4个 D．2个3．（5分）下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．f（x）=|x|4．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）已知函数，若f（x）=15，则x=（）A．4或﹣4或5 B．4或﹣4 C．﹣4或5 D．4或56．（5分）函数y=f（x）的定义域是（﹣1，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，0）7．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）单调递增的是（）A．y=﹣|x| B．y=log0.5|x|C．y=2x D．y=2x28．（5分）方程2x+x﹣2=0的解所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）9．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8 B．6 C．4 D．210．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．11．（5分）函数的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣∞，1）12．（5分）若不等式x2﹣log a x＜0对任意的x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．[，1）C．（1，+∞）D．（0，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则f（f（﹣1））=．14．（5分）函数f（x）=+的定义域为．15．（5分）已知f（x）是函数g（x）=log2x的反函数，则f（2）=．16．（5分）下列命题：①函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1）；②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；③A=R，B=R，，则f为A到B的映射；④在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称．其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|0≤x﹣1≤2}，B={x|log2x＞1}．（1）求A∩B，A∪B；（2）已知集合C={x|1＜x＜a，a∈R}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）（2）（log23+log83）（log92+log32）19．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x＜3时，y=x；当x≥3时，（1）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；（2）根据函数图象写出f（x）的单调区间和值域．20．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（12分）已知函数g（x）=log2（3x﹣1），f（x）=log2（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．22．（12分）已知函数（a∈R）；（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性，用定义给出证明；（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在求出a，不存在说明理由．2015-2016学年山西省临汾一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）已知集合M={﹣1，0，1，2，3，4}，N={﹣1，2，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．8个 B．6个 C．4个 D．2个【解答】解：∵M={﹣1，0，1，2，3，4}，N={﹣1，2，3，5}，∴P=M∩N={﹣1，2，3}∴P的子集共有23=8．故选：A．3．（5分）下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．f（x）=|x|【解答】解：对于A，f（x）==|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）==x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C，f（x）==x（x≥0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数．故选：B．4．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．5．（5分）已知函数，若f（x）=15，则x=（）A．4或﹣4或5 B．4或﹣4 C．﹣4或5 D．4或5【解答】解：当x≤0时，f（x）=x2﹣1=15，故x=﹣4；当x＞0时，3x=15，解得，x=5；故选：C．6．（5分）函数y=f（x）的定义域是（﹣1，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，0）【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，1），∴﹣1＜x＜1．∴在函数y=f（2x﹣1）中，令﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，故选：A．7．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）单调递增的是（）A．y=﹣|x| B．y=log0.5|x|C．y=2x D．y=2x2【解答】解：对于A、因为函数y=﹣|x|在区间（0，+∞）上单调递减，A不符合题意；对于B、函数log0.5|x|在区间（0，+∞）上单调递减，B不符合题意；对于C、函数y=2x，不是偶函数，C不符合题意；对于D、函数y=2x2的定义域是R，且f（﹣x）=f（x），所以函数y=2x2是偶函数，当x＞0时，y=2x2在区间（0，+∞）上单调递增，D符合题意；故选：D．8．（5分）方程2x+x﹣2=0的解所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：令f（x）=2x+x﹣2，由于f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，根据函数零点的判定定理可得f（x）的零点所在的区间为（0，1），故方程2x+x﹣2=0的解所在的区间为（0，1），故选：B．9．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）=（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：幂函数f（x）=xα，函数的图象过点，可得=3α，∴α=，幂函数f（x）=，f（8）==4．故选：C．10．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选：D．11．（5分）函数的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣∞，1）【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，可得函数的定义域为（0，2），f （x）=g（t）=log3t，故本题即求函数t在（0，2）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在（0，2）上的减区间为（1，2），故选：B．12．（5分）若不等式x2﹣log a x＜0对任意的x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．[，1）C．（1，+∞）D．（0，]【解答】解：∵不等式x2﹣log a x＜0对任意x∈（0，）恒成立，∴x∈（0，）时，函数y=x2的图象在函数y=log a x的图象的下方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得（）2≤log a，即log a≥log a，∴≥，∴a≥．综上可得，≤a＜1，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则f（f（﹣1））=2．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1=，则f（）==2，故f（f（﹣1））=2，故答案为：2．14．（5分）函数f（x）=+的定义域为{x|x≥﹣1且x≠1} ．【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣1且x≠1，故答案为：{x|x≥﹣1且x≠1}．15．（5分）已知f（x）是函数g（x）=log2x的反函数，则f（2）=4．【解答】解：∵f（x）是函数g（x）=log2x的反函数，∴f（x）=2x，∴f（2）=22=4．故答案为：4．16．（5分）下列命题：①函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1）；②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；③A=R，B=R，，则f为A到B的映射；④在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称．其中真命题的序号是①②④（把你认为正确的命题的序号都填上）．【解答】解：对于①，当x=﹣1时，log a（2x﹣1）﹣1=﹣1恒成立，故函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①正确；对于②，定义在R上的奇函数f（x），f（0）=﹣f（0）=0，故②正确；对于③，A=R，B=R，，则A中元素﹣1在B中没有对应的元素，故f不是A到B的映射，故③错误；对于④，在同一坐标系中，y=2x与y==2﹣x的图象关于y轴对称，故④正确．故真命题的序号是：①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|0≤x﹣1≤2}，B={x|log2x＞1}．（1）求A∩B，A∪B；（2）已知集合C={x|1＜x＜a，a∈R}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|0≤x﹣1≤2}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|x＞2}={x|2＜x≤3}，A∪B={x|1≤x≤3}∪{x|x＞2}={x|x≥1}；（2）①当a≤1时，C=φ，此时C⊆A，所以符合题意a≤1；②当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3；综合①②，可得a的取值范围是（﹣∞，3]．18．（12分）（1）（2）（log23+log83）（log92+log32）【解答】解：（1）===；（2）（log23+log83）（log92+log32）===2．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x＜3时，y=x；当x≥3时，（1）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；（2）根据函数图象写出f（x）的单调区间和值域．【解答】解：（1）∵当0≤x＜3时，y=x；当x≥3时，，f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）的图象，如图所示：…6分（2）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3]，（0，3），单调递减区间为（﹣3，0），[3，+∞）…10分函数f（x）的值域为（﹣∞，3]…12分20．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．21．（12分）已知函数g（x）=log2（3x﹣1），f（x）=log2（x+1），（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．【解答】解：（1）由g（x）≥f（x）得log2（3x﹣1）≥log2（x+1），∴3x﹣1≥x+1＞0，解得x≥1．则不等式g（x）≥f（x）的解集为{x|x≥1}．（2）y=g（x）+f（x）=log2（3x﹣1）+log2（x+1）=log2（3x﹣1）（x+1）=，令t=3x2+2x﹣1，则y=log2t．由（1）可得{x|x≥1}，函数t=3x2+2x﹣1的对称轴为∴t=1时，t min=4，即t≥4．又∵y=log2t在t∈[4，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，y≥log24=2．∴所求函数的值域为[2，+∞）．22．（12分）已知函数（a∈R）；（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性，用定义给出证明；（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在求出a，不存在说明理由．【解答】解：（1）由2x﹣1≠0解得x≠0，所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}…2分（2）函数f（x）在区间（0，+∞）的单调递减；…3分证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则==，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（0，+∞）的单调递减．…7分（3）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，由（1）可知函数f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，则对定义域内的任意x有f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0所以，得2a﹣2=0解得a=1所以存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．…12分赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．充分而不必要条件3．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2C．2e2D．e24．下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题p：存在x0∈R，使得+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥05．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B．C．D．6．为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°8．已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．9．若，，均为单位向量，且•=0，则|+﹣|的最大值是（）A．1 B． +1 C．﹣1 D．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27 B．81 C．243 D．72911．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b12．已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4=，则三角形△AOB，△BOC，△AOC 的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．14．已知，，则= ．15．已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（n∈N*），则f（a5）+f（a6）= ．三、解答题（本大题6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．19．已知，满足．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求△ABC 面积的最大值．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，有b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．充分而不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由“∥”可得：（x﹣1）（x+1）﹣8=0，解出x即可判断出．【解答】解：由“∥”可得：（x﹣1）（x+1）﹣8=0，化为x2=9，解得x=±3．∴“x=3”是“∥”的充分而不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2C．2e2D．e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．4．下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题p：存在x0∈R，使得+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】A中逆否命题应先逆得逆命题：条件结论互换；再求否命题：条件，结论都否定；B中am2＜bm2能推出a＜b，但a＜b不能推出am2＜bm2，当m2=0时不成立；C中p或q为真，则只要有一个为真就可以；C中p或q为真，则只要有一个为真就可以；【解答】解：A中逆否命题应先逆得逆命题：条件结论互换；再求否命题：条件，结论都否定；故正确；B中am2＜bm2能推出a＜b，但a＜b不能推出am2＜bm2，当m2=0时不成立，故正确；C中p或q为真，则只要有一个为真就可以，故错误；C中p或q为真，则只要有一个为真就可以．【点评】考查了四中命题，属于基础题型，应牢记．5．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣．当k为奇数时，令k=2n﹣1，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈Z，选项B满足条件．当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数．综上，只有选项B满足条件．故选 B．【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口．6．为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位．【解答】解：分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=．函数y=sin2x﹣cos2x═，又，可知只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个长度单位，得到函数y=sin2x+cos2x 的图象．故选A．【点评】本题是中档题，考查两角和与差的正弦函数的化简，三角函数的图象的变换，注意化简同名函数与x的系数为“1”是解题的关键．7．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|•|﹣|；由于|+|•|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得•=0， 2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．【点评】向量夹角问题的解决：一般需在公式cos＜，＞=的基础上，再考虑•的化简．8．已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得①a＞1且 0＜b＜1，或②0＜a＜1，且 b＞1．若①成立，则选项B满足条件；若②成立，没有满足条件的选项，由此得出结论．【解答】解：∵正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，∴a（1﹣b）+（b﹣1）＞0，∴（1﹣b）（a﹣1）＞0，故有①a＞1且 0＜b＜1，或②0＜a＜1，且 b＞1．若①成立，则函数f（x）=log a（x+b）在定义域（﹣b，+∞）上是增函数，且f（1）＞0，f（0）＜0，故选项B满足条件．若②成立，则函数f（x）=log a（x+b）在定义域（﹣b，+∞）上是减函数，且f（1）＜0，f（0）＜0，故没有满足条件的选项．故选B．【点评】本题主要考查由函数的解析式判断函数的图象特征，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9．若，，均为单位向量，且•=0，则|+﹣|的最大值是（）A．1 B． +1 C．﹣1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得，⊥，|+|=，故当+与的方向相反时，|+﹣|取得最大值为+1．【解答】解：若，，均为单位向量，且•=0，∴⊥，|+|==，故当+与的方向相反时，|+﹣|取得最大值，此时，|+﹣|=+1，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于基础题．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27 B．81 C．243 D．729【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C【点评】本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．11．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】利用函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，可得函数y=f（x）的图象关于y 轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），利用已知当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，可得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，进而得到函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．再根据=2＞20.2＞1＞ln2＞0．即可得到a，b，c的大小．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y 轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g （x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．∵=2＞20.2＞1＞ln2＞0．∴c＜a＜b．故选B．【点评】熟练掌握轴对称、偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质等是解题的关键．12．已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4=，则三角形△AOB，△BOC，△AOC 的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5【考点】三角形的面积公式．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．【解答】解：延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：∵2+3+4=，∴，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为：：： =4：2：3，故选：A【点评】本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，难度中档．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得可得（+2）•（λ﹣）=0，与此求得实数λ的值．【解答】解：∵⊥，||=2，||=3，∴ =0 =4， =9．由+2与λ﹣垂直，可得（+2）•（λ﹣）=λ+（2λ﹣1）﹣2=4λ+0﹣18=0，求得实数λ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于中档题．14．已知，，则= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】根据角α是锐角，得到sinα与cosα均为正数．再用同角三角函数的平方关系，结合题中数据算出sinα+cosα=，最后将要求的式子化简，代入sinα+cosα的值即可得到答案．【解答】解：∵，∴sinα＞0且cosα＞0∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α，∴（sinα﹣c osα）2+（sinα+cosα）2=2（sin2α+cos2α）=2又∵，∴sinα+cosα=（舍负）因此==﹣（sinα+cosα）=﹣故答案为：﹣【点评】本题已知一个角的正弦与余弦的差，求另一个三角式的值，着重考查了同角三角函数间的基本关系和三角函数的恒等变换及化简求值等知识，属于基础题．15．已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为 3 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，分别求出函数f（x）的零点的个数，即可得出结论．【解答】解：x＞0，lnx=0，可得x=1；x≤0，f（x）==﹣1﹣x2﹣2x+e x=e x﹣（x+1）2=0，有两个解，∴函数f（x）的零点的个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查函数f（x）的零点的个数，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（n∈N*），则f（a5）+f（a6）= 3 ．【考点】数列与函数的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f （x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），{a n﹣1}以﹣2为首项，2为公比的等比数列．a n=1﹣2n．∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故答案为：3．【点评】本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．三、解答题（本大题6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，进而可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．【解答】解：（1）化简可得==…=…所以…（2）因为，所以…所以，所以﹣1≤f（x）≤2，当，即时，f（x）min=﹣1，当，即时，f（x）max=2，…【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题．19．已知，满足．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求△ABC 面积的最大值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换，根据求得，令，求得x的范围，即可求出f（x）的单调递增区间．（2）由求得，在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再由求出它的最大值．【解答】解：（1）∵=，所以．…令，得，故f （x）的单调递增区间是．…（2）∵，∴，又，∴，∴．…在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴，即△ABC面积的最大值为．…【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．20．已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，有b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对a n=2a n﹣1+1（n≥2）变形可知a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2），利用a4+1=16可知a n+1=2n，进而可得结论；（2）通过（1）知b n=，利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n=2a n﹣1+1（n≥2），∴a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2），即数列{a n+1}是公比为2的等比数列，又∵a4+1=15+1=16，∴a n+1=16•2n﹣4=2n，∴a n=﹣1+2n；（2）由（1）知b n==，∴S n=+2•+…+n•，①S n=+2•+…+（n﹣1）•+n•，②①﹣②得： S n=+++…+﹣n•=﹣=1﹣，整理得：S n=2﹣．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，分离参数，构造，证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），，由f′（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．由题意得，故所求实数a的取值范围为（2）当x≥1时，不等式．令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则，当且仅当x=1时取等号．所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0因此，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2所以k≤2，即实数k的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，得到不等式组，解出a的范围即可；（2）假设存在实数a，求出函数g（x）的导数，通过讨论g（x）的单调性，求出函数的最小值，从而求出a的值；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，令ω（x）=+，通过讨论它们的单调性得到e2x﹣lnx＞+即可．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣=≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，∴，解得：a≤﹣；（2）假设存在实数a，使得g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]有最小值3，g′（x）=a﹣=，①0＜＜e，即a＞e时，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数g（x）在（0，）递减，在（，e]递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得：a=e2，满足条件；②≥e，即a≤时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]单调递减，∴g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得：a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得x∈（0，e]时，函数g（x）有最小值3；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得：F（x）min=3，令ω（x）=+，ω′（x）=，当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，故e2x﹣lnx＞+，即：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查二次函数的性质，是一道中档题．21。

山西省晋中市高一上学期数学第二次阶段考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)2. （1分） (2017高二上·武清期中) 用“斜二测”画法画出△ABC（A为坐标原点，AB在x轴上）的直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积的比为（）A .B .C .D .3. （1分） (2019高三上·西藏月考) 下列命题中正确的个数是（）①命题“若 ,则”的逆否命题为“若，则 ;②“ ”是“ ”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题 ,则， .A .B .D .4. （1分） (2018高三上·北京期中) 下列四个命题中，假命题为（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （1分） (2016高一下·定州开学考) 下列函数f（x）中，满足“对任意x1 ，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A . f（x）=﹣x+1B . f（x）=x2﹣1C . f（x）=2xD . f（x）=ln（﹣x）6. （1分）以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）命题“若am2<bm2”，则“a<b”的逆命题是真命题（2）“a>b”是“a2>b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件；（4）“”是“”的必要不充分条件.A . 0个B . 1个C . 2个7. （1分）(2017·池州模拟) 已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R= ，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足 = =5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A .B .C .D . 28. （1分）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体可以是（）A . 圆柱B . 圆台C . 棱柱D . 棱台9. （1分） (2015高一上·雅安期末) 已知函数y=f（x+3）是偶函数，则函数y=f（x）图象的对称轴为直线（）A . x=﹣3B . x=0C . x=3D . x=610. （1分）(2019·广东模拟) 一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）（参考公式：球的表面积公式为，其中R是球的半径）A .B .C .D .11. （1分）已知命题命题则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .12. （1分）给出以下命题：（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；（2）函数f（x）=ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+∞）；（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（﹣2））=﹣7；（5）设集合M={m|函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，m∈R}，则M的所有元素之和为15．其中所有正确命题的序号为（）A . （1）（2）（3）B . （1）（3）（5）C . （2）（4）（5）D . （1）（3）（4）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·温州月考) 长方体中，，，则异面直线与所成角的大小是________；与平面所成角的大小是________．14. （1分） (2019高二下·上海月考) 在北纬圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地间的球面距离为________ .15. （1分） (2018高一上·东台月考) 若幂函数的图象经过点，则的值是________；16. （1分） (2016高二上·平阳期中) 已知在三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为________．三、解答题 (共5题；共9分)17. （1分） (2015高一下·厦门期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．18. （2分） (2017高二上·汕头月考) 如图，四边形是矩形, 是的中点,与交于点平面 .（1）求证：面；（2）若 ,求点到平面距离.19. （1分） (2019高一上·郏县期中) 近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20. （2分） (2019高二下·上海月考) 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，、分别是、的中点，， .（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角.21. （3分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD 折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共9分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。