高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．当|PF 1|－|PF 2|＝2a2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a 2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支. 若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的 标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的 标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的 一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，a b ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] (1)C (2)C [题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q(－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)． [答案] A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)． 2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ [解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B.3 C ．2D ．23解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2 C ．2D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D.5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a＝9，解得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16， 所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53 B.35 C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．22解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，∴b a＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54， ∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4. 答案：48．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：43 9．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得b a＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－a b(x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c 4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：211．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4， －10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.B 级1．已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝|k |k 2＋1＝32，∴k ＝±3， 由题意知b a ＞3，∴1＋b 2a 2＞4，即a 2＋b 2a 2＝c 2a 2＞4，∴e ＞2. 2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x解析：选B ∵|NF 1|＝2|MF 1|，∴M 为NF 1的中点，又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ，又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3，即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，∴bx －ay ＝0.由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

专题18高中解析几何-双曲线的问题【知识总结】 1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)． (3)焦点：两个定点F 1，F 2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D5．(2022·浙江) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝12．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝13．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝15．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝16．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝19．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝110．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A ．32B ．3C ．23D ．412．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．22D ．3213．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π414．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4318．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1219．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 220．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或222．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．225．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．626．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．1027．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17430．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．743．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．。

解析几何中的双曲线与双曲函数双曲线与双曲函数是解析几何中的重要概念，它们在数学和科学研究中有着广泛的应用。

本文将对双曲线和双曲函数进行解析，包括定义、性质以及应用等方面的内容。

一、双曲线的定义与性质双曲线是与椭圆和抛物线类似的一类曲线，其定义可以通过几何和代数两种方法解释。

从几何的角度来看，双曲线是一个平面上的曲线，其到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数。

这两个定点通常被称为焦点，常数称为离心率。

双曲线可以分为两支，具体形状取决于焦点和离心率的取值。

从代数的角度来看，双曲线的定义可以用方程来表示。

一般而言，双曲线的方程形式可以写为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或者 (x^2/a^2) -(y^2/b^2) = -1。

其中，a和b分别代表两条双曲线的横轴和纵轴的长度。

双曲线具有以下几个性质：1. 双曲线与其渐近线的交点：双曲线的两条渐近线是曲线无限延伸时的趋势线，与双曲线相交于无穷远处。

这两条直线与双曲线的位置关系也可以反映双曲线的形状。

2. 双曲线的对称性：双曲线具有关于坐标轴的对称性，即关于横轴对称或者关于纵轴对称。

这种对称性在进行双曲线的图形绘制和计算时十分有用。

3. 双曲线的渐近线方程：双曲线的渐近线方程可以通过求解双曲线的平行于渐近线的直线方程得到。

渐近线方程的斜率与双曲线的参数有关，可以用来判断双曲线的形状。

二、双曲函数的定义与性质双曲函数是指与双曲线相关的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。

双曲函数的定义可以通过双曲线上的点坐标来解释。

具体而言，对于双曲线上的一点P(x, y)，可以定义双曲正弦函数sinh(x)为点P在双曲线的同一纵坐标处的点的横坐标值，双曲余弦函数cosh(x)为点P在双曲线的同一横坐标处的点的纵坐标值，双曲正切函数tanh(x)为点P的纵坐标值除以横坐标值。

双曲函数具有以下几个性质：1. 双曲函数的定义域和值域：双曲函数的定义域为实数集R，值域为实数集R。

高二上数学双曲线知识点双曲线是解析几何中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。

在高二上数学学习中，我们需要了解双曲线的一些基本知识点，包括双曲线的定义、方程、性质和常见图形等。

下面将对这些知识点进行详细介绍。

1. 双曲线的定义在平面直角坐标系中，以两个定点F1和F2为焦点、定长为2a的点的集合称为双曲线。

双曲线的形状并不固定，可以是打开的、封闭的或者无穷远的。

双曲线可以分为左右开口的双曲线和上下开口的双曲线两种类型。

2. 双曲线的方程双曲线的方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （左右开口）或者 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（上下开口），其中a和b分别代表双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。

3. 双曲线的性质双曲线有许多特殊的性质，包括焦点、顶点、直线渐近、离心率等。

焦点是双曲线上距离两个定点F1和F2距离之差为定值的点，顶点是双曲线上对称于坐标原点的点。

直线渐近是通过两个焦点和顶点的直线，双曲线靠近这些直线时，曲线的形状趋于无限接近于直线。

离心率是用来描述焦点与顶点之间距离比顶点与双曲线某一点之间的距离的比值，离心率是双曲线的一个重要参数，它的取值范围在1与无穷大之间。

4. 常见图形在数学中，我们经常遇到的一些图形可以用双曲线来进行描述，例如马鞍面、双曲抛物面等。

这些图形在应用数学和物理学中具有重要的地位，通过对双曲线的研究，我们能够更深入地理解和分析这些图形的特性和行为。

总结：双曲线是解析几何中的重要内容，通过学习双曲线的定义、方程、性质以及常见的图形，我们能够更好地理解这一概念在数学中的应用。

在高二上学期的数学学习中，当我们遇到与双曲线相关的问题时，可以借助所学的知识点进行分析和求解。

掌握双曲线的基本知识点，对于我们理解更高级的数学概念和解题方法都具有很大的帮助。

高三双曲线知识点总结双曲线是高三数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分和物理等领域都有广泛的应用。

本文将对高三双曲线的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这一内容。

一、双曲线的定义和性质1. 定义：双曲线是平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。

2. 式子：双曲线的标准方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1（a>0,b>0）。

3. 中心与焦点：双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点位于x轴上的点F1(a,0)和F2(-a,0)。

4. 焦距和离心率：焦距为F1F2 = 2a，离心率为e = c/a，其中c 为焦点到中心的距离。

二、双曲线的图像与性质1. 分类：根据离心率的不同取值，双曲线可分为椭圆、抛物线和双曲线三种情况。

a) 当离心率e<1时，双曲线为两支开口朝左右的曲线，称为实双曲线。

b) 当离心率e=1时，双曲线为无限远点的开口朝左右的曲线，称为渐近双曲线。

c) 当离心率e>1时，双曲线为一对开口朝左右的曲线，称为虚双曲线。

2. 图像：实双曲线的图像为对称于x轴和y轴的两支曲线，并且与渐近线相交于无穷远处。

3. 渐近线：实双曲线的渐近线可用直线y = ±b/a * x表示。

4. 对称性：实双曲线关于x轴、y轴和原点对称。

5. 参数方程：双曲线的参数方程可表示为x = a * secθ，y = b * tanθ。

三、双曲线的基本变形1. 平移：双曲线可以通过平移变形到不同的位置，平移后的双曲线的中心坐标发生相应改变，但离心率、焦点等性质保持不变。

2. 伸缩：双曲线可以通过伸缩变形到不同的大小，伸缩后的双曲线的离心率、焦点等性质发生相应改变，但中心坐标保持不变。

四、双曲线的应用1. 物理学：双曲线在物理学中广泛应用于描述光学、天体力学等问题，如光的反射和折射、行星的轨道等。

2. 工程学：双曲线在工程学中常用于设计桥梁、天线等结构，以满足特定的要求和条件。

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。

下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。

一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。

横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。

二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。

2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。

3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。

5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。

四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。

2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。

五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。