四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期半期考试试题 文

2015--2016年学年度高二下期期中考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 （ ） A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B ．若11<<-x ，则12<x C ．若1>x 或1-<x ，则12>x D ．若1≥x 或1-≤x ，则12≥x2.在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，则c 等于( ) A ． 2 B ． 72 C ． 2或72 D ． 2或73.函数xx y 1+=的极值情况是( ) A.有极大值2,极小值-2 B.有极大值-2,极小值2 C.无极大值,但有极小值-2 D.有极大值2,无极小值.4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是 （ ） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.68 D ．0.025. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 6.设函数f (x )可导，则()()xf x f X ∆-∆+→∆311lim等于( )．A ． f ′(1)B ． 3f ′(1)C ．31f ′(1) D ． f ′(3)7. 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--8．已知向量(1,2)a =- ，(2,3)b =，m a b λ=+ ，n a b =- ，若与n 垂直，则实数λ的值是( )A ．6B ．7C ．8D ．99.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )等于( )A ． x 2B ． 2x 2C ． 2x 2＋2D ． x 2＋110．m ⋅n>0 ，是方程 221x y m n +=表示椭圆的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要11．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．123 12．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且a b F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若121IP FI P FI F F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12- D ．12+第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 13．已知命题p :函数)32ln()(2++-=x x x f 的定义域为)3,1(-;命题：q 函数)32ln()(2++-=x x x f 的单调递减区间为),1[+∞.那么命题p 的真假为_______，q p ∧的真假为________(填“真”或“假”)．14．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数x ，则事件“3x ﹣2≥0”发生的概率为 ．15．已知双曲线 的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，．16.已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，10()()f x f x '=，…，)()(1x f x f n n -'=，n N∈且210x x >>，对于下列命题：①函数()n f x 存在平行于x 轴的切线；②1212()()0n n f x f x x x ->-； ③2015()2017x x f x xe e '=+； ④1221()()f x x f x x +>+．其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号）.三、解答题(本大题共6个小题,其中17、18、19、20、21题每题12分，20题22题14分，共74分。

高二下学期半期模拟考试（一）数学试题考试时间：100分钟；第I 卷（选择题）一、选择题1．设命题p ：对x e R x x ln ,>∈∀+，则p ⌝为（ ） A ．00ln ,0x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+C ．00ln ,0x e R x x ≤∈∃+ D ．x e R x x ln ,≤∈∀+2．已知下列命题：①命题“存在2,13x R x x ∈+>”的否定是“任意2,13x R x x ∈+<”；②已知p q 、为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q 为真命题”； ③“2a >”是“5a>”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．②D ．④ 3．已知集合，则（ ）A. B.C.D.4．若集合，集合，则（ ） A.B. C. D.5．设集合，，则（ ）A. B. C. D.6．已知命题[]:12p x ∀∈，，20x a -≥，命题0:q x R ∃∈，200220x ax a ++-=，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.1a ≥D.21a -≤≤ 7．设且，则的最大值是 （ ）A. 40B. 10C. 4D. 28．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+ ，则()0f '等于（ ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．29．函数的递减区间为（ ）A.B.C.D.10．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（ ）A.9B.32C.34D.5211．已知()f x 是R 上的可导函数，若()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)'()0x x f x -->的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞ 12．函数的定义域为,，对任意，都有则不等式的解集为A.B.C.或D.或第II 卷（非选择题）二、填空题13．命题“2 230x R ax ax ∀∈-+>，恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知:p x a ≥，:|1|1q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.15．已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是______________ ．16．已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为__________.三、解答题17．已知命题p ：关于x 的方程210x ax -+=有实根；命题q ：对任意[1,1]x ∈-，不等式2310a a x --+≤恒成立，若“p q ∧”是假命题，“q ⌝”也是假命题，求实数a 的取值范围；18．已知2(),,f x x ax b a b R =++∈，若()0f x >的解集为{|0x x <或2}x >. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）解不等式2()1f x m <-.19．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少?20．已知42()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-. （1）求()y f x =的解析式； （2）求()y f x =的单调递增区间.参考答案1．C 2．C 3．C 4．D 【解析】解析：因，故，应选答案D 。

绝密★启用前四川省成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤， {}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ）A. B A ⊆B. A B A ⋃=C. A B A ⋂=D. {}2A B ⋂= 【答案】D【解析】由已知得{}1234A =，，，， {}22B =-，，则{}2A B ⋂=，故选D.2．若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+【答案】C 【解析】由2017i 1iz=+，得()()()50420174i 1i i i 1i 1i z =+=+=-+，则1i z =--，故选C.3．已知()21x x f x =-， ()2xg x =则下列结论正确的是（ ） A. ()()()h x f x g x =+是偶函数 B. ()()()h x f x g x =+是奇函数 C. ()()()h x f x g x =是奇函数 D. ()()()h x f x g x =是偶函数 【答案】A【解析】因为()(),212x x x f x g x ==-，所以()()()212x x xF x f x g x =+=+-，又()()()()2221x xG x f x g x =⋅=-，故()()()()()2,221x x G x G x G x G x --=≠-≠--，即答案C ，D 都不正确；又因为()()2111111212122122221x x x x xx x F x F x -⎛⎫--⎛⎫-=+=-+=--++=+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，所以应选答案A 。

2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：1、设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A、{2，4}B、{4}C、∅D、{1，3，4}2、已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A、∀x∉R，2x=5B、∀x∈R，2x≠5C、∃x 0∈R，2 =5D、∃x 0∈R，2 ≠53、圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A、﹣B、﹣C、D、24、由直线x= ，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A、﹣2ln2B、2ln2C、D、5、已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A、﹣6B、5C、38D、﹣106、在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009= ，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A、2015B、2016C、﹣2015D、﹣20167、一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A、B、C、D、8、执行如图所示的程序框图，若输出的n=4，则输入整数p的最大值是（）A、4B、7C、8D、159、若函数y=2sinωx（ω＞0）在上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A、（0，2）B、D、0﹣（﹣）﹣，﹣ω，ω ，2）．故选：B．【分析】根据x∈求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．10、【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f′（x）=e x﹣x﹣m，若函数f（x）有极值，则f′（x）有零点，即g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，g（x）的切线与h（x）平行，设切点是（x0，），则切线斜率是：k= =1，故x0=0，故切线方程是：y=x+1，g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，则m＞1，故选：B．【分析】求出函数的导数，问题转化为g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，求出临界值即可．11、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．12、【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵，即e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：的导数为y′= ，可得曲线在处的切线的斜率为k= =1，由斜率公式可得k=tanα=1，（0≤α＜π，且α≠ ），解得倾斜角为．故答案为：．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，结合特殊角的正切公式即可得到所求角．14、【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：∵α为第三象限的角，∴cosα= = ，则tanα= ．故答案为【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可．15、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：A，M，E三点共线，∴存在实数λ使得：= ；B，M，D三点共线，∴存在实数μ使得：；∴；∴；∴所以根据平面向量基本定理得；∴；∴，；∵；∴= ；∴．故答案为：．【分析】根据A，M，E三点共线，和B，M，D三点共线，再根据共线向量基本定理以及向量的加法、减法运算即可得到：存在实数λ，μ使得，，，然后根据平面向量基本定理即可得出，从而可表示出，，所以根据已知条件及数量积的运算即可求出．16、【答案】1【考点】数列的求和【解析】【解答】解：当n=1时，2S1=6﹣a1，∴a1=6，∵2S n=6﹣a n，∴2S n﹣1=6﹣a n﹣1，∴2a n=﹣a n+a n﹣1，∴3a n=a n﹣1，∴数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，∴a n=6×（）n﹣1，∴=2n，∴b2﹣b1=2，b3﹣b2=4，…b n﹣b n﹣1=2（n﹣1），累加可得b n﹣b1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），∴b n=n（n﹣1）+2，∴= ≤ = ﹣，n≥2，∴T n= + + +…+ ≤ + + +…+ = +1﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣＜1，n≥2时，即T n＜1，当n=1时，T1= ＜1，综上所述T n＜1，∴m的最小值为1故答案为：1．【分析】先根据数列的递推公式可得数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，再根据对数的运算性质化简=2n，利用累加法求出b n=n（n﹣1）+2，再放缩裂项求和求出T n＜1，问题得以解决．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．时，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．所以，时函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）．令f'（x）＜0解得1＜x＜2．所以，时函数的单调递减区间为（1，2）（2）解：因为x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得：，此时f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．则x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下．x （﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故此时x=﹣1时，f（x）有极小值；x=﹣2时，f（x）有极大值；则当x＞﹣2时，f（x）≥f（﹣1）＞0，显然函数在（﹣2，+∞）上无零点．又，（也可取x=﹣4等），则f（﹣3）f（﹣2）＜0，结合函数在（﹣∞，﹣2）上单调递增，故由零点存在定理知，函数在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零点．综上：若x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则此时函数y=f（x）在R上有唯一零点【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，求出b的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可．18、【答案】（1）解：=．可得：函数y=f（x）的最小正周期（2）解：因为a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，在△ABC中，由余弦定理有：，又由0＜B＜π，得．又，由，得，则，故，故f（B）的取值范围是【考点】三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，余弦定理【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=﹣2sin（2x+ ），利用周期公式即可计算得解．（2）由等比数列的性质可得：b2=ac，由余弦定理可求cosB ，可得范围，进而可求范围，利用正弦函数的性质可求，即可得解．19、【答案】（1）解：从编号1﹣5的五位推销员中随机选出两位，他们的年推销金额组合如下{2，3（1）}，{2，3（2）}，{2，4}，{2，5}，{3（1），3（2）}，{3（1），4}，{3（1），5}，{3（2），4}，{3（2），5}，{4，5}共10种．其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6种，则所求概率（2）解：由表中数据可知：，由上公式可得，．故，又当x=11时，，故第6名产品推销员的工作年限为11年，他的年推销金额约为5.9万元【考点】线性回归方程【解析】【分析】（1）列举基本事件，即可求出概率；（2）将表中数据，先求出x，y的平均数，累加相关的数据后，代入相关系数公式，计算出回归系数，得到推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，将工作年限为11年代，代入推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，即可预报出他的年推销金额的估算值．20、【答案】（1）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．OC⊥OE，又OE⊥FC，∵OF⊥平面OFC，∴OE⊥OF，又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥EC．（2）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，∴∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角．在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，故cos∠FMP= = =- ，即二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值21、【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ．∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆Γ的方程为．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，解得m2＜16．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，则，．∴|AB|= = = ．又由|AB|=3 ，得﹣，解得m=±2据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．设AB的中点为E（x0，y0），则=﹣，，当m=2时，E（﹣），∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．令y=2，得x0=﹣3．当m=﹣2时，E（），∴此时，线段AB的中垂线方程为y+ =﹣（x﹣），即y=﹣x+1．令y=2，得x0=﹣1．…（1分）综上所述，x0的值为﹣3或﹣1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．22、【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）= ﹣ax+b=0，∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣，当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减（2）解：假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，则k AB= = ﹣+a﹣1，f′（）= ﹣+a﹣1，又k AB=f′（）得= ，∴ln =t，（t＞1），则lnt=2﹣，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），则h′（t）= ＞0∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2﹣，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．。

四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期半期考试试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．欧拉公式x i x e ixsin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示i e32π的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的F E N M ,,,中，顺序较为恰当的是( )①平行；②垂直；③相交；④斜交.A. ①②③④B. ①④②③C.②①④③D.①③②④3.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程03=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程03=++b ax x 没有实根 B ．方程03=++b ax x 至多有一个实根 C ．方程03=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程03=++b ax x 恰好有两个实根 4.若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴，则=k （ ） A ．2- B ．1- C.0 D ．15．执行如图的程序框图，若输出的48=S ，则输出k 的值可以为( )A ．4B ．6 C. 8 D ．10 6．函数x x x f sin )(+=在],[ππ-∈x 的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．7．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题： （1）βαβα∥∥∥n n m n m ,,⇒= （2）ααββα∥m m m ⇒⊄⊥⊥,, （3）βαβα∥∥m m m ⇒⊂=, （4）γβγαβα∥⇒⊥⊥, 其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4 8.设)0,(,,-∞∈c b a ，则ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．至少有一个不大于2- B ．都不小于2-C ．都不大于2-D ．至少有一个不小于2- 9．已知函数22)2()(e x x x f -=，则( )A ．)2(f 是)(x f 的极大值也是最大值B ．)2(f 是)(x f 的极大值但不是最大值C ．)2(f 是)(x f 的极小值也是最小值D ．)(x f 没有最大值也没有最小值11．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),2(t M 可作曲线)(x f y =的三条切线，则实数t 的 取值范围是( )A ．)2,6(--B ．)2,4(-- C. )2,6(- D ．)2,0(12.已知函数)()(ln )(2R b x b x x x f ∈-+=，若存在]2,21[∈x ，使得)()(x f x x f '⋅->，则实数b 的取值范围是( )A ．)2,(-∞B ．)23,(-∞ C. )49,(-∞ D ．)3,(-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ． 14.某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位:吨)与相应的生产能耗y （单位:吨)有如下几组样本数据:根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为7.0.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的能源为 吨. 15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B ．Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．16.若定义在),0(+∞上的函数)(x f 对任意两个不等的实数21,x x 都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数)(x f 为“z 函数”.给出下列四个定义在),0(+∞的函数：①13+-=x y ；②c o sx -si n x x y +=2；③⎩⎨⎧=≠=0,00,ln x x x y ；④⎩⎨⎧<+-≥+=0,0,422x x x x x x y ，其中“z 函数”对应的序号为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知复数z 满足i z i z +-=-+11，试判断复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程．18.如图所示，在三棱柱C B A ABC '''-中，⊥'A A 底面ABC ,A A BC AB '==, 90=∠ABC ,O 是侧面A B AB ''的中心，点D 、E 、F 分别是棱C A ''、AB 、B B '的中点.(1)证明：∥OD 平面C AB '； (2)求异面直线EF 和C B '所成角．19.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结 果如下:(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有%99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中。

四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．50486．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，607．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm28．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是．15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，把式子化简到最简形式．【解答】解：复数===﹣1+i，故选 A．2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．即可判断出结论．【解答】解：方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．因此“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的充分不必要条件．故选：A．4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）＞0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2）时，f（x）为减函数∴f（1）＞f（2），f（3）＞f（2）∴f（1）+f（3）＞2f（2）故选：B．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．5048【考点】设计程序框图解决实际问题；循环结构．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故选C．6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选C．7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中几何体的三视图中，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形我们可以求出该正四棱锥的底面上的棱长和侧面的高，代入棱锥侧面积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为则棱锥的侧高（侧面的高）为2故棱锥的侧面积S=4×=8cm2故选C8．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π【考点】几何概型；两点间的距离公式．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD 的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：=1则正方形的面积S正方形阴影部分的面积故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==故选：C9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由条件利用正弦定理可得 sin2A= sin2B，化简可得 A=B，或 A+B=，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，即sin2A= sin2B，∴2A=2B，或 2A+2B=π．∴A=B，或 A+B=，即 C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选C．10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5）．故选：D．11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%【考点】独立性检验的应用．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．【解答】解：∵K2≈4.545＞3.841，对照表格∴有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．故选：D．12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0【考点】点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从6个数中随机抽取2个不同的数2种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，有C61、5，3、5，6种取法，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，2种不同的结果，∵从6个数中随机抽取2个不同的数有C6而这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，1、5，3、5，6种取法，由古典概型公式得到P==，故答案为：．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象可得：由图象可知实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）故答案为：[0，1）∪（2，+∞）15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是30 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．【解答】解：如图所示，∵S△ABC=3S，∴|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，∴xC×（﹣c）=，解得xC=．∵，∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．化为：a2=5c2，解得．故答案为：．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，∴落在[59.5，69.5）的第二小组的小长方形的高h==0.04，则补全的频率分布直方图如图所示：（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人∵第二小组的频数为40人，频率为0.4，∴=0.4，解得x=100，所以这两个班参赛的学生人数为100人．因为0.3×100=30，0.4×100=40，0.15×100=15，0.1×100=10，0.05×100=5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由f（A）=2sin（2A﹣）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=，从而可求S△ABC 的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，故由正弦定理可得：，解得a=，=acsinB=sin=．∴S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C 所截线段的长度．【解答】解：（1）将（0，4）代入C的方程得，∴b=4，又，得即，∴a=5∴C 的方程为．（ 2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程代入C 的方程，得，即x 2﹣3x ﹣8=0， ∴x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣8．∴．22．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y+=0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y=kx （k ＞0）与椭圆相交于E 、F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a ，b 即可求出椭圆的方程．（2）设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，将y=kx 代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E ，F 到直线AB 的距离分别，表示出四边形AEBF 的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF 面积的最大值时的k 值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a 2=4b 2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…。

四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．下列命题中是假命题的是（）A．若•=0（≠，≠），则⊥B．若||=||，则=C．若ac2＞bc2，则a＞b D．5＞32．将十进制数93化为二进制数为（）A．1110101 B．1010101 C．1111001 D．10111013．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（）A．B．C．D．4．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．37．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），则直线l过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）A．（3，1），B．（2，1），C．（﹣3，1）， D．（2，﹣1），310．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．C． D．11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．12．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分）13．已知命题P：“∀x∈[0，1]，a≤e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．14．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1发生的概率为．15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．16．设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线焦点，B（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为．三、解答题（共74分）17．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q充分不必要条件，求实数a取值范围．18．求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；1（3）过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．19．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．20．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．21．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（，）（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．下列命题中是假命题的是（）A．若•=0（≠，≠），则⊥B．若||=||，则=C．若ac2＞bc2，则a＞b D．5＞3【考点】命题的真假判断与应用；向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】分别根据各命题条件和结论的关系进行判断．【解答】解：A．因为≠，≠，所以由，得，即，所以⊥成立．所以A为真命题．B．若||=||，只能说明与长度一样．不一定成立．所以B为假命题．C．若ac2＞bc2，则c2≠0，根据不等式的性质，必有a＞b，所以C为真命题．D.5＞3显然成立，所以D是真命题．故选B．2．将十进制数93化为二进制数为（）A．1110101 B．1010101 C．1111001 D．1011101【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：93÷2=46 (1)46÷2=23 023÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故93（10）=1011101（2）故选：D．3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件从口袋中装有大小相同的2个黑球2个白球的口袋中摸出两个球，满足条件的事件是取出的球中至少有一个是黑球包括有一白一黑和两个黑球两种情况，表示出结果数，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件从口袋中装有大小相同的2个黑球2个白球的口袋中摸出两个球，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的球中至少有一个是黑球包括有一白一黑和两个黑球两种情况，共有C 21C21+C22=5故取出的两个球中至少有一个白球的概率P=故选B4．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±【考点】椭圆的应用．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2﹣b2=1，焦点为（±1，0）．直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x﹣1．代入+y2=1得x2+2（x﹣1）2﹣2=0，即3x 2﹣4x=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1•x 2=0，x 1+x 2=，y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=1﹣=﹣，•=x 1x 2+y 1y 2=0﹣=﹣．故选B5．直线x+（a 2+1）y+1=0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[，π） C ．[0，]∪（，π） D ．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得 斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，﹣1≤tan α＜0，求得倾斜角α 的取值范围．【解答】解：直线x+（a 2+1）y+1=0（a ∈R ）的 斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，﹣1≤tan α＜0，∴≤α＜π，故选 B ．6．在平面直角坐标系中，若不等式组（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为（ ） A ．﹣5 B ．1C ．2D ．3【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2， ∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．7．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有3种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式C5得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，3种结果，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C5而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选B．8．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【考点】抛物线的定义；轨迹方程．【分析】判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．【解答】解：因为定点A（1，1）在直线l：x+y﹣2=0上，所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线l：x+y﹣2=0，垂直的直线．故选D．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），则直线l 过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）A．（3，1），B．（2，1），C．（﹣3，1）， D．（2，﹣1），3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．【解答】解（1）：将直线化为直线束方程：x+y﹣4+（2x+y﹣7）=0．联立方程x+y﹣4=0与2x+y﹣7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=﹣，此时直线l方程为2x﹣y﹣5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为4；故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先通过联立方程组求出A，B坐标，根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA，再分别求出DF与DA长度，用含a，c的式子表示，因为离心率等于，即可求出离心率的范围．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x联立方程组，解得A（，），B（，﹣），设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=﹣1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A．12．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．【解答】解：①、x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②、y=x2﹣|x|=，在 x=和 x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④、由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为 C．二、填空题（共16分）13．已知命题P：“∀x∈[0，1]，a≤e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：利用e x在x∈[0，1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≤e x，∴a≤（e x），x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，min∴当x=0时，e x取得最小值1，∴a≤1．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴a≤1．故答案为：（﹣∞，1]．14．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴≤x+≤2解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P==．故答案为：．15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8 ．【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：816．设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线焦点，B（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】所求距离等于|PB|加上P到准线x=﹣1的距离，当P、B、F三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得．【解答】解：由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x=﹣1的距离，故|PB|+|PF|等于|PB|加上P到准线x=﹣1的距离，可知当P、B、F三点共线时，距离之和最小，最小距离为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．三、解答题（共74分）17．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q充分不必要条件，求实数a取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解两个不等式，可得p：x∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），q：x∈（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），若p是q充分不必要条件，则（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）⊊（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），解得答案．【解答】解：解2x2﹣3x﹣2≥0得：x∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），解x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）得：x∈（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），若p是q充分不必要条件，则（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）⊊（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），∴，解得：a∈[，2]18．求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1（3）过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．【考点】直线的斜率．【分析】（1）根据同角的三角函数的关系求出斜率，再根据斜截式求出直线方程；（2）求出3x+4y+5=0的倾斜角，利用二倍角公式求出过点A（2，1）的直线倾斜角以及斜率，利用点斜式求出直线方程；（3）求出直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点，利用两点式求出直线方程即可．【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为α，则sinα=，∴cosα=±=，tanα==±，由斜截式得y=±x+2，即3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0．（2）设直线l与l1的倾斜角分别为α、β，则α=，因tanβ＜0，所以＜β＜π，故＜α＜，所以tanα＞0．又tanβ=﹣，则﹣=，解得tanα=3，或tanα=﹣（舍去），由点斜式得y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．（3）解方程组，解得，即两条直线的交点坐标为（﹣5，﹣4）．由两点式得=，即5x﹣7y﹣3=0．19．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x 1+x 2=，x 1 x 2=0，|MN|=，整理得，k 4+k 2﹣2=0，解得k 2=1，或k 2=﹣2（舍） ∴k=±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y=±x+1，即：x ﹣y+1=0或x+y ﹣1=020．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示： （1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由题设利用频率分布直方图能求出第一步组的频率，第4组的频率，第5组的频率．（2）第3组的人数为300，第4组的人数为200，第5组的人数为100，第3，4，5组共有600名志愿者，利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，能求出第3，4，5组分别抽取的人数．（3）设第3组的3位志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2位志愿者为B 1，B 2，第5组的1 位志愿者为C 1，从六位志愿者中抽两位志愿者，利用列举法能求出第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【解答】解：（1）由题设知第一步组的频率为：0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1．（2）第3组的人数为0.3×1000=300，第4组的人数为0.2×1000=200，第5组的人数为0.1×1000=100，第3，4，5组共有600名志愿者，∴利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：，第4组：，第5组：，∴第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．（3）设第3组的3位志愿者为A1，A2，A3，第4组的2位志愿者为B1，B2，第5组的1 位志愿者为C1，则从六位志愿者中抽两位志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种，第4组至少有一名志愿者被抽中包含9种情况，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p==．21．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（，）（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）由e==，点满足双曲线的方程，结合a，b，c的关系，可知a=1，b=，c=，由此能求出双曲线方程；（2）联立直线x﹣y+m=0和双曲线的方程，消去y，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，故x1+x2=2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．【解答】解：（1）由题意可得e==，代入点（，），可得﹣=1，又a2+b2=c2，解得a=1，b=，c=，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（2）直线x﹣y+m=0代入双曲线的方程2x2﹣y2=2，消去y可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，△=4m2+4（m2+2）＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=2m，AB的中点坐标为（m，2m），由线段AB的中点在圆x2+y2=5上，可得m2+4m2=5，解得m=±1．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y 2），根据方程的根与系数关系求出x 1+x 2，x 1x 2，由△＞0可求k 的范围，然后代入=x 1x 2+y 1y 2==中即可得关于k的方程，结合k 的范围可求的范围（3）由B ，E 关于x 轴对称可得E （x 2，﹣y 2），写出AE 的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a 2=b 2+c 2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=k （x ﹣4）由可得：（3+4k 2）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△=322k 4﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＞0∴∴x 1+x 2=，x 1x 2=①∴=x 1x 2+y 1y 2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）。

高二6月联考数学（文）试题一、选择题1．已知抛物线方程为²4y x =则焦点到准线的距离为（ ）A.18 B. 14 C. 1 D. 2 【答案】D【解析】由题可知抛物线的焦点为()1,0 ，准线为1x =- ，所以焦点到准线的距离为2 ，故选D.2．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面, ,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若,,a b b a ββ⊥⊥∴ 或a β⊂ ，此时αβ 或α 与β 相交，即必要性不成立，若,,,,b b a a b αββαα⊥∴⊥⊂∴⊥ ，即充分性成立，故αβ 是a b ⊥ 的充分不必要条件，故选A.3．下面茎叶图表示的是甲、乙两只篮球队三场不同比赛的得分情况,其中有一个数字不清楚,在图中用m 来表示.若甲队的平均分不低于乙队平均分,则m 的可能取值的集合为（ ）A. {2,3}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {2} 【答案】C【解析】由茎叶图知，甲的平均成绩为()1889293913⨯++= ；乙的平均成绩为()119091909033m m +⨯+++=+ ，又19190,23mm +≥+∴≤ ，又,m N m ∈∴ 的可能取值集合为{}0,1,2 ，故选C.4．设i 为虚数单位,若1a ii++为纯虚数,则实数a 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A【解析】()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i +-++-+==++-为纯虚数，所以1a =-，故选A. 5．某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的a 值为1,则输出的a 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得1,1,2111,2a i a i ===⨯-== ，不满足条件3,2213,3i a i >=⨯-== ，不满足条件3,2333,4i a i >=⨯-== ，满足条件3i > ，退出循环，输出a 的值为3 ，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示,由散点图知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 3.2ˆˆyx a =-+,则ˆa 值为（ ）A. 30B. 40C. 45D. 50 【答案】B【解析】由题意， 99.51010.511111086510,855x y ++++++++====， 因为线性回归直线方程是 3.2,8ˆ 3.210,40yx a a a =-+∴=-⨯+∴= ，故选B. 7．一个六面体的三视图如图所示,其侧视图是边长为2的正方形,则该六面体的表面积是（ ）A. 18+B. 16+C. 14+D. 12+【答案】B【解析】由三视图知，几何体为四棱柱，根据左视图是边长为2 的正方形可得四棱柱的高为2，底面四边形为直角梯形的高也为2，又底面直角梯形的两底边长分别为1,2，所以几何体的表面积(122212226102S +=⨯⨯+++⨯=++16=+，故选B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8．若,x y 满足20,{40,0,x y x y y -+≥+-≤≥则2z y x =+的最大值为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】A【解析】由约束条件20{400x y x y y -+≥+-≤≥ 作出可行域如图，令2t y x =+ ，化为2y x t =-+ ，由图可知，当直线2y x t =-+过()4,0点 时，t 有最小值为8 ， 2z y x ∴=+ 的最大值为8 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且,2,a b c 成等差数列,则cos B 的最小值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 78【答案】D【解析】,2,a b c成等比数列，22222211744,cos 122288aca cb ac b ac B ac ac ac +-+∴=∴==-≥-= ，当且仅当a c =时，取等号， cos B ∴ 的最小值为78 ，故选D.10．等差数列{}n a 中的32017,a a 分别是函数()32641f x x x x =--＋的两个不同极值点,则110104log a 为（ ）A. -2B. -12C. 2D. 12【答案】B【解析】()232017'3124,,f x x x a a =-+ 是函数()32641f x x x x =-+- 的极值点， 32017,a a ∴ 是方程231240x x -+= 的两个实数根，则320174a a += ，而{}n a 为等差数列， 3201710102a a a ∴+= ，即20102a = ，从而120101441log log 22a==- ，故选B. 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率e 范围为（ ）A. （1,1 B. （1,1 C. （1,1 D. （1,1 【答案】A【解析】由题意，点P 不是双曲线的顶点，否则1221a csin PF F sin PF F =∠∠ 无意义，在12PF F ∆ 中，由正弦定理得122112PF PF sin PF F sin PF F =∠∠，又112212,PF a cc sin PF F sin PF F PF a==∠∠ ，即12·c PF PF a = ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得12222,?2cP F P F a P F P Fa a-=∴-= ，即222a PF c a =- ，由双曲线的几何性质，知222,a PF c ac a c a >-∴>-- ，即2220c ac a --< ， 2210e e ∴--<，解得11e <+ ，又1e > ，所以双曲线离心率的范围是()1,1 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.焦半径构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围.12．已知函数()()221,1={1log ,(1)x x f x x x +≤->,则满足不等式()()2122f m f m ->-的m 取值范围为（ ）A. （-3,1）B. （32,+∞） C. （-3,1）⋃（32,+∞） D. （-3, 32） 【答案】C【解析】当1x ≤ 时， ()21x f x =+ 为增函数，则()1f x > ，当1x > 时，()21log f x x =- 为减函数，则()()()21,122f x f m f m -- ， 2211{221122m m m m -≤∴-≤->- 或2211{221122m m m m ->->-<- 或211{221m m -≤-> ，解得31m -<< 或32x >，故选C.二、填空题13．函数()()2log 23(0,1)a f x x x a a =-->≠的定义域为__________． 【答案】{ 3x x 或1x <-}【解析】 由()()2230130x x x x -->⇒+-> ，即3x >或1x <-，函数()()2l o g 23(0,1)af x x x a a =-->≠的定义域为{ 3x x 或1x <-}，故答案为{ 3x x 或1x <-}.14．已知向量()()1,cos ,sin ,2m n θθ==-,且m n ⊥ ,则2sin26cos θθ+的值为__________． 【答案】2【解析】由题意可得向量， ()()1,cos ,,2m n sin θθ==-，且m n ⊥ ，即tan 2θ= ，所以222222c o s 6c o s2t a26c o s s i n c o s t ans i n s i n θθθθθθθθθ+++==++226241⨯+==+ ，故答案为2 . 15．已知直线y ax =与圆C :222220x y ax y +--+=相交于,A B 两点,且ABC ∆为等边三角形,则圆C 的面积为__________． 【答案】6π【解析】圆C 222220x y ax y +--+= ，化为()()22211x a y a -+-=- ，圆心(),1C a，半径R = ，因为直线y ax = 和圆C 相交， ABC ∆ 为等边三角形，所以圆心C 到直线0ax y -=的距离为60Rsin =，即d ==，解得27a = ，所以圆C 的面积为()2716R πππ=-= ，故答案为6π . 16．已知函数()2ln 21xf x x ex t x=-+--,其中 2.71828e =…若()y f x =有两个相异的零点,则t 的取值范围为__________．【答案】211t e e<++【解析】22121e e t e-+<+ ， ()y f x = 有两个零点，即是方程2ln 21x x ex t x -+=+ 有两根，即()22y g x x ex t ==-+ 与()ln 1xy h x x==+ 的图象有两个交点， ()()21ln ',xh x h x x-= 在()0,e 上递增，在(),e +∞ 上递减，所以()h x 在x e = 处取得最大值， ()11h e e=+ ，由二次函数性质可得()g x在x e = 处取得最小值， ()2g e e t =-+ , ()y g x = 与()y h x = 有两个交点， 22111,1e t t e e e ∴+>-+<++ ， ()y f x =有两个相异的零点t 的取值范围为211t e e <++ ，故答案为211t e e<++.【方法点睛】本题主要考查巳知函数的零点个数求参数取值范围，属于难题.巳知函数的零点个数求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（一元二次方程根的分布不同，可列出相应的不等式组），再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.本题主要是根据方法①进行解答的.三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足()13541,414a a a a ==-.（1）求n a ；（2）若{}n b 满足()2=log 16n n b a ⋅,求证11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n S <.【答案】（1）32n n a -=;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出114a =， 2q =，利用等比数列的通项公式可得n a ；（2）利用对数的运算性质可得n b ，利用“裂项相消法”求和，根据放缩法可得结论.试题解析：（1）因为等比数列()2354441a a a a ==-解得42a =又因为114a =， 3134118,2,224n n n a q q a a --====⨯=. （2）()122log 16log 21n n n b a n +===+，()()111111212n n b b n n n n +==-++++. 1111111111123344512222n S n n n =-+-+-⋯⋯-=-<+++. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查,根据从其中随机抽取的50份调查已知在抽取的50份问卷中随机抽取一份,抽到不同意限定区域停车问卷的概率为2 5 ,（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车位与家长的性别有关？请说明理由；（3）学校计划在同意限定区域停车的家长中,按照性别分层抽样选取9人,在上学、放学期间在学校门口维持秩序.已知在抽取得男性家长中,恰有3位日常开车接送孩子,先从抽取的男性家长中再选取2人召开座谈会,求这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）45．【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可将列联表补充完整；（2）求出2K，临界值比较，可得有099.50的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关；（3）利用列举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式即可求出两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率.（Ⅱ）因为()25020155108.3337.78925253020k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关．（Ⅲ）男性家长人数209630=⨯=,女性家长人数10=9330⨯=,所以,按照性别分层抽样,需从男性家长中选取6人,女性家长中选取3人． 记6位男性家长中不开车的为123,,A A A ,开车的为123,,B B B . 则从6人中抽取2人,有()()1213,,,A A A A()()()111213,,,,,,A B A B A B ,()()()()23212223,,,,,,,A A A B A B A B, ()()()()()()313233121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ,共有15种………10分其中至少有一人日常开车接送孩子的有()()()()11121321,,,,,,,A B A B A B A B ,()()()()()2223313233,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B()12,B B ,()13,B B ,23,B B （）,共12种． 则这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率为124155=． 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19．如图,在四棱椎P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,平面PCD ⊥面ABCD ,1,2,BC AB PC ===PD =, E 为PA 中点.（1）求证： //PC 平面BED ； （2）求三棱锥E PBD -的体积.【答案】（1）见解析；（2）16.【解析】试题分析：（1）设AC 与BD 的交点为F ，连接EF ，推导出//EF PC ，由此能证明//PC 平面BED ；（2）取AB 中点H ，连接PH ，由PA PB = ，得PH AB ⊥ ，由A PBD P ABD V V --= ，能求出结果.试题解析：（1）设AC 与BD 的交点为F ,连结EF ．因为ABCD 为矩形,所以F 为AC 的中点．在PAC ∆中,由已知E 为PA 中点, 所以//EF PC ．又EF ⊂平面,BED PC ⊄平面BED ,所以//PC 平面BED ．（2）取CD 中点O ,连接PO , PO CD ⊥,平面PCD ⊥平面ABCD , ∴PO ⊥平面ABCD .连接AO ,取AO 中点K ,则11//22EK PO =,且EK ⊥平面ABCD .∴12113E PBD P ABCD P BCD V V V ---=-=⨯⨯⨯- 11111121211322326⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b +=>>,过E 的右焦点且垂直于椭圆的长轴的直线交椭圆于,A B 两点,且2AB =. （1）求椭圆方程,（2）过点(P 的动直线l 与椭圆E 交于不是顶点的两点,M N ,试判断·7?OM ON PM PN -是否为定值,若是,求出定值,若不是请说明理由·【答案】（1）22142x y +=;（2）-9. 【解析】试题分析：（1）过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点，得222b AB a == ①，由离心率是2，得2222212c a b a a -==②，由①②得,,a b c 即可得结果；（2）设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为：y kx =，联立2224y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，12122212x x x x k+==+， 122212x x k =+ ，进行向量运算即可得结果.试题解析：（1）∵过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点， ∴222b AB a==…①∵离心率是2，∴2222212c a b a a -==…②由①②得2,a b c === 22142x y +=. （2）当斜率不存在时，不合题意设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为： y kx =，联立2224y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，12122212x x x x k+==+， ()()1?122,,,,OM x y ON x y == ((1?122,,,PM x y PN x y =-= ， )12121276621OM ON PM PN x x y y y y ⋅-⋅=--++-()222662391212k k k --⨯-=++=-++ 综上7OM ON PM PN ⋅-⋅ 是定值-9.21．已知函数()()ln ,(0)1x f x m x g x x x ==>+. （1）当1m =时,求曲线E ： ()()y f x g x =在1x =处的切线方程；（2）当1m =时, ()()()1f x k x g x =+恰有一个实数根,求k 的取值范围；（3）讨论函数()()()F x f x g x =-在()0,+∞上的单调性.【答案】（1）210x y --=；（2）1k e=或0k ≤；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）利用导数的运算法几何意义求得切线的斜率为12，利用点斜式即可得结果；（2）()()()1f x k x g x =+恰有一个实数根,等价于y k =与ln (0)x y x x =>图象有两个交点，研究函数ln (0)x y x x=>的单调性及最值，数形结合可得结果； （3）()()()()()()()2211',','''11m m f x g x F x f x g x x x x x =====-++ ()()22211mx m x mx x +-+=+ ，对m 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出.试题解析：（1）当1m =时,曲线()()ln 1x x y f x g x x ==+,()()()()221ln 1ln ln 111x x x x x x y x x ++-++='=++, 1x =时,切线的斜率为12,又切线过点（1,0）, 所以切线方程为210x y --=.（2）问题转化为()()()(0)1y k f x lnx y x x g x x =⎧⎪⎨==>⎪+⎩的交点个数为1 ， 21ln x y x -=',∴max 1y e=,且0x →时, ,,0y x y →-∞→+∞→, 综上1k e=或0k ≤. （3）()()()()()()22221111mx m x m m F x f x g x x x x x '''+-+=-=-=++, 当0m ≤时,函数()F x 在()0,+∞上单调递减；当0m >时,令()()221h x mx m x m =+-+, 14m ∆=-,当0∆≤时,即()1,04m h x ≥≥,此时函数()F x 在()0,+∞上单调递增； 当0∆>时,即104m <<,方程()221=0mx m x m +-+有两个不等实根12x x <,1212121221m x x m m x x -⎧+=->⎪⎨⎪=⎩,所以120x x <<. ()()12121222m m x x m m --+==,此时函数()F x 在区间()()120,,,x x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减.综上所述,当0m ≤时,函数()F x 在()0,+∞上单调递减； 当14m ≥,此时函数()F x 在()0,+∞上单调递增； 当104m <<,此时函数()F x 在区间()120,2m m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,()122m m ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在()()121222m m m m ⎛-- ⎪⎝⎭上单调递减. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点()()00,P x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为： 1,{2,x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数, 0a π≤<）,以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ,设曲线C 与直线l 交于点,A B ,求PA PB +的最小值.【答案】（1）()2239x y +-=.（2）【解析】（1）试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程ρ=6sinθ两边乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可求圆C 的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为1,2,x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入圆方程，利用直线参数的几何意义及三角函数有界性，可求PA PB + 的最小值.试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=化为直角坐标方程为226x y y +=,即()2239x y +-=.（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程,得()22cos sin 70t t αα+--=,因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根, 所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩. 又直线l 过点P （1,2）,结合t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=-==所以原式的最小值为。

四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z 满足(2)3i z -=（i 为虚数单位），则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i2．下列各式正确的是( )A ．()sin cos αα'= (α为常数)B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．()5615x x --'=-3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A ．41 B ．21 C ．81D ．无法确定 4．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.已知在数轴上0和3之间任取一实数x ，则使“220x x -<”的概率为（ ）A ．14B ．18C ．23D ．1126.设函数()sin f x x x =-,则()f x （ ）A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数7．对任意的x R ∈，函数327y x ax ax =++不存在极值点的充要条件是( )A ．021a ≤≤B ．0a =或7a =C ．0a <或0a >D ．0a =或21a =8.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()f x '的图象可能为（）图19．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取3件，则至少有2件一等品的概率是( )A ． 35 B ．310 C ． 710D ．91010.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00——7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30——7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）A ．81 B ．85 C. 21 D ．8711.函数a ax x x f --=3)(3在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围为( )A ．10<≤aB ．10<<aC ．11<<-aD ．210<<a 12.()()121,2,1,2x x ∀∈∃∈使得311221ln 3x x mx mx =+-，则正实数m 的取值范围是（ ） A.33ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.33ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.[)33ln 2,-+∞D.()33ln 2,-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．复数21iz i=+ (其中i 为虚数单位)，化简后z =________． 14.已知变量x ,y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m = ；15．已知0a >，函数312()ln f x ax x a=+，则(1)f '的最小值是 ． 16.设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）.17．（本小题满分10分）已知函数()21cos 3sin cos 2f x x x x =+-. (1)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值; (2)在ABC ∆中,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边,若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1b =,4c =,求a 的值.18.（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20 合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95℅的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这错误!未找到引用源。