天津市静海县2019届高考数学二轮复习第六章数列等比数列的个性化校本作业无答案

专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1。

在等差数列{a n｝中,a4+a10+a16=30，则a18-2a14的值为（）A。

20 B.—20 C.10 D。

-102.在各项均为正数的等比数列｛a n}中,若log2（a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=（）A。

4 B.5 C.2 D.253.设｛a n｝是等比数列，S n是{a n}的前n项和.对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,又a1=2，则S的值为（）101A。

2 B。

200 C。

-2 D.04.已知{a n}是等差数列，公差d不为零,前n项和是S n,若a3，a4,a8成等比数列,则（)A.a1d>0，dS4>0B.a1d〈0，dS4〈0C。

a1d〉0，dS4〈0 D。

a1d〈0,dS4〉05.已知数列｛a n｝满足，且a2=2，则a4等于(）A。

-B。

23 C。

12 D.116.已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3·a8的最大值为。

7.设等比数列｛a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.8。

设x,y，z是实数,若9x,12y，15z成等比数列,且成等差数列,则= 。

9。

已知S n为数列{a n}的前n项和，且a2+S2=31,a n+1=3a n-2n(n∈N＊).（1）求证:{a n—2n｝为等比数列；(2）求数列{a n}的前n项和S n.10。

(2018全国Ⅱ，理17）记S n为等差数列{a n｝的前n项和,已知a1=—7，S3=-15。

(1）求｛a n}的通项公式;（2)求S n,并求S n的最小值.11。

已知数列｛a n}是等比数列.设a2=2，a5=16。

（1)若a1+a2+…+a2n=t（+…+），n∈N＊,求实数t的值;(2)若在之间插入k个数b1，b2,…，b k，使得，b1,b2,…，b k,成等差数列，求k 的值。

天津静海县第六中学2019年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在上的函数，满足，，若，且，则有（）A． B． C． D．不确定参考答案：略2.函数的图象和函数的图象的交点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：答案:B3. 已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，，则的值是（）A. 1B.C.D.参考答案：D【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.【详解】是等比数列是等差数列本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.4. 已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．5. 已知直线过定点（-1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A略6. 若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（）参考答案：【答案解析】C解析：因为函数在（，）上既是奇函数又是增函数，所以k=1且a＞1，则函数在定义域上为增函数，所以选C.【思路点拨】若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，即可确定k值，由指数函数的单调性即可确定a＞1，结合函数的定义域及单调性判断函数的图像即可.7. 等差数列{a n}的前n项和为S n .已知a5=8，S3=6，则a9=( )A. 8B. 12C. 16D. 24参考答案：C8. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )A. B. C. 1 D. 3C,则,故选C.【考点定位】奇偶性9. 如右图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B.C. D.参考答案：D略10. 设p：，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．参考答案：13π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．12. 已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最小值是．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点A（1，0）作AB垂直直线x+y﹣3=0，则|AB|的距离最小，则圆心A到直线x+y﹣3=0的距离d=，此时z=d2=2，故答案为：2．13. 若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为，则此双曲线的方程为__________参考答案：14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， ?=2，则?的值是．参考答案：22【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+， =﹣，进而由AB=8，AD=5，=3， ?=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵ =3，∴=+， =﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+， =﹣，是解答的关键．15. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为______参考答案：16. 函数的值域是___________.参考答案：略17. 几何证明选讲如图，已知，与相交于A、B两点，过点A作的切线交于点C，过点B作两圆的割线，分别交、于点D、E，DE与AC相交于点P.（I）求证：AD∥EC：(Ⅱ)若AD是的切线，且PA=6，PC=2，BD =9，求AD的长．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______【答案】 35【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，∴ 2 a 3b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3b 3a 1b 135 ．2．等比数列的性质例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 610 ，则 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 的值为（）A ． 10B ． 20C ． 100D ． 200【答案】 C【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向a 4 ， a 6 靠拢，从而 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9a 42 2a 4a 6a 62a 42a 6 ，即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．3．等差、等比综合例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，a 11b11，则有（ ）A ． a 6 b 6B ． a 6 b 6C ． a 6 b 6D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6【答案】 B【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1a11b 1 b 11 ，因为 a 1 a 112a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，所以利用均值不等式可得：b 1 b 11 2b 1 b112 b 622b 6 ；（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】 D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．由等差数列的性质可知：a2a4a1a1a53 ，a5 6 ， a32则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 CS55a340， S99a5126a38【解析】根据等差数列的求和公式，化简得a5，14根据等差数列通项公式得a12d8，解方程组得a12a14d14，d3S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643【解析】 根据题意，当 n1时， 2S 1 2a 1 4，故当 n 2 时， a n S n S n 12n 1 ，∵数列 a n 是等比数列，则 a 11，故41 ；解得2 ．故选 C ．24．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 714 ，则 S 11 （）A ． 140B ． 70C ． 154D ． 77【答案】 D【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，∴ S 11a 1 a 1111 a 5 a 71114 77 ．故选 D ．221125．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ．1 或1D ． 1或12 22【答案】 C【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2q 1 ，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，2则 S 4 （）A ． 5B ． 0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，1a 2 ， a 3 成等差数列，可得a 22a 1 a 3 ，2若 a 1 1 ，可得 q2 q 2，解得 q21舍去，a 1 1 q 41 2 4则 S 45 ，故选 A ．1q127 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2 log 3 5【答案】 B【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：a 5a 6 a 4a 7 9 ，且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，据此结合对数的运算法则可得：log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）A．182B．78C．148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列a n的公差为 d，∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）A． 27B． 36C． 45D． 66【答案】 D【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a1111a66，故6810610101126选 D．11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，则下列结论错误的是（）．．A． 0q 1B． a71C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643n n 1【解析】 等比数列 a n a 1q n 1， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 nq 2，由此 K 5 K 61 a 1 q 5 ， K 6K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知q 1 ，所以 A 正确，n n 1n n 1n n 131 a 1q 6 ， K na 1n q 2 可知 K n a 1n q 2q2，由 0 q 1 ，所以 q x减，n n13 在 n 6 ， 7 取最小 ，2所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．12 ． 定函 数 f x如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，a 1 a 2 a 3 La2018（ ）A ． 7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由 知 f 13 ， f 2 5 ， f 34 ， f 4 6 ， f5 1 ， f6 2 ，∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，∴ a 1 2 ， a 2 f 25 ， a 3f 5 1 ， a 4f 1 3 ， a 5f 3 4 ， a 6f 4 6 ， a 7 f 6 2⋯⋯，∴ a n 是周期6 的周期数列，∵ 2018 336 6 2 ，∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．二、填空13．已知等差数列a n ，若 a 2a 3 a 7 6 ， a 1a 7 ________【答案】 4【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．【答案】 15【解析】已知 a1a2a3a1 1q31，则 S3 1 ，1qa 1q12又 q 3 2代入得 a11q 1 ；∴ S12q115．设n是等差数列a的前n项和，若a5S n a312q 1 1 3 215 ．1 q10，则S9 _______．9S5【答案】 2S 9a99aa15109910【解析】925，又a，代入得S2 ．S555a3a39S5 5 9a5a1216．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．三、解答题17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．（1）求 a n；（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；（2） b n n a n n2n ，S 51 2 2 223 234 245 251 23 4 5222 23 24 251 55 2 25 277 ．21 218．设 a n是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 T n n N * ．已知 b 1 1， b 3b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 42a 6 ．（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，求正整数 n 的值．【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．2【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3b 2 2 ，可得 q 2q2 0 ．因为 q0 ，可得 q2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n2n 1 ．1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，故 an ，所以 Sn n1n．n22 1 n（2）由（ 1），有 T 1 T 2 LT n2122L2nn 2n 2 ．1 n 2n 12由 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，可得 n n12n1n 2 n 2n 1，2整理得 n 23n 4 0 ，解得 n1 （舍），或 n 4．所以 n 的值为 4．。

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培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1:已知数列{}n a ,{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=,则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ,{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++,∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=,则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系,可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若11a b =，1111a b =， 则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=,而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b+>=；（1q≠故111b b≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a ab b a b+=+⇒>．即66a b>．故选B．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤,长5尺，头部1尺，重4斤,尾部1尺,重2斤，且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a=，52a=,求234a a a++的值．由等差数列的性质可知：24156a a a a+=+=,15332a aa+==,则2349a a a++=，即中间三尺共重9斤．故选D．2．设nS为等差数列{}n a的前n项和，若540S=,9126S=，则7S=（）A．66 B．68 C．77 D．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a==，959126S a==，化简得35814aa=⎧⎨=⎩，对点增分集训根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩,解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为( ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, ∵数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,5714a a +=，则11S =( ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且1a ，3a ，2a 成等差数列,则公比q 的值为（ ） A ．12- B ．2- C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知:3122a a a =+，∴21112a q a q a =+,即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -,3a 成等差数列,若11a =,则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+,若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去， 则()()()44141125112a q S q---===----,故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知:56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+，那么36999a a a a ++++等于( ）A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知:36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++, 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ）A ．27B ．36C ．45D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积,且56K K <,678K K K =>, 则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C【解析】设等比数列11n n a a q -=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n nn K a q-=，由此55611K K a q <⇒<,66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==,所以B 正确，由511a q <,各项为正数的等比数列,可知01q <<,所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =,则1232018a a a a ++++=（ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =,()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =，∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ,∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==，()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+， ∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________ 【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若公比q 且1231a a a ++=,则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=,则()313111a q S q-==-，又q 11a q =-;∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若53109a a =,则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a+==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=． 16．在等差数列{}n a 中,14101619100a a a a a ++++=,则161913a a a -+的值是_______．【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =, 根据等差数列性质,1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中,12a =，12n n a a +=． （1）求n a ;(2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】(1）2n n a =；（2)77． 【解析】（1）12a =,12n n a a +=,则数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=; （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ;{}n b 是等比数列，公比大于0,其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ； （2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【答案】（1)()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+,可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112n n n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n nn T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---．由()124n n n n S T T T a b ++++=+,可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-(舍)，或4n =． 所以n 的值为4．。

第五章平面向量第三节:平面向量的数量积一基础题：1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b｜＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )A. 错误! B。

错误! C。

错误! D. 错误!2。

已知平面向量α，β，｜α|＝1，|β|＝2，α⊥（α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3。

已知|a|＝1，|b｜＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________。

4．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2→AO=→AB+→AC且→AO=→AB，则向量→AB在→BC方向上的投影为5．设a，b是向量,则“｜a|＝|b｜”是“|a＋b｜＝｜a－b｜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量a与b的夹角是错误!,且|a｜＝1,｜b|＝4，若（3a＋λb）⊥a，则实数λ＝（) A．－错误! B.错误! C．－2 D．27．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，错误!＝（1,－2），错误!＝(2,1)，则错误!·错误!＝( )A．5 B．4 C．3 D．28．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足错误!＝2错误!，则错误!·错误!＝（）A．18 B．3 C．15 D．129．平面向量a＝(1,2)，b＝（4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m＝( ）A．－2 B．－1 C．1 D．210．已知a与b的夹角为120°，|a|＝3，｜a＋b|＝错误!,则|b｜＝________.11．△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足错误!＝错误!＝2，若｜错误!｜＝2，｜错误!｜＝3,∠BAC＝90°,则错误!·错误!的值为( ）A．1 B．－错误! C。

错误! D．－错误!二中档题:1。

题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足(1-q )S n +qa n =1,且q (q-1)≠0.(1)求{a n }的通项公式;(2)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.2.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d=1,前n 项和为S n ,b n =.1S n (1)求数列{b n }的通项公式;(2)设数列{b n }前n 项和为T n ,求T n .3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是,且12a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)求数列的前n 项和T n .{1a n a n +1+1b n b n +1}5.已知数列{a n }满足a 1=,且a n+1=a n -(n ∈N *).12a 2n (1)证明:1≤≤2(n ∈N *);a n a n +1(2)设数列{}的前n 项和为S n ,证明:(n ∈N *).a 2n 12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-=1的离心率为e n ,且e 2=,证明:e 1+e 2+…+e n >.y 2a 2n 534n -3n3n -1题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解 当n=1时,由(1-q )S 1+qa 1=1,a 1=1.当n ≥2时,由(1-q )S n +qa n =1,得(1-q )S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n =qa n-1.又q (q-1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,故a n =q n-1.(2)证明 由(1)可知S n =,又S 3+S 6=2S 9,1-a n q 1-q 所以,1-a 3q 1-q +1-a 6q 1-q =2(1-a 9q )1-q 化简,得a 3+a 6=2a 9,两边同除以q ,得a 2+a 5=2a 8.故a 2,a 8,a 5成等差数列.2.解 (1)∵在等差数列{a n }中,a 1=1,公差d=1,∴S n =na 1+d=,∴b n =n (n -1)2n 2+n 22n 2+n.(2)b n ==2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+…+2n 2+n =2n (n +1)(1n -1n +1)[11×2+12×3+13×41n (n +1)]=2+…+=2故T n =(1-12+12‒13+13‒141n ‒1n +1)(1-1n +1)=2n n +1.2n n +1.3.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4,所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8=20,(q +1q )解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.12(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n ,由c n =解得c n =4n-1.{S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,由(1)可知a n =2n-1,所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1.故b n -b n-1=(4n-5),n ≥2,·(12)n -2b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1)=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.·(12)n -2·(12)n -3·12设T n =3+7+11+…+(4n-5),n ≥2,·12·(12)2·(12)n -2T n =3+7+…+(4n-9)+(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1所以T n =3+4+4+…+4-(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1因此T n =14-(4n+3),n ≥2,·(12)n -2又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.4.解 (1)设{a n }公差为d ,由题意得解得故a n =3n-1,b n ={a 1+2d =8,a 1+2q =3,a 1+d +2q =6,{a 1=2,d =3,q =12,(12)n .(2)+22n+1,∵1a n a n +1+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)∴T n =+…+(22n+3-8)=13[(12-15)+(15-18)(13n -1-13n +2)]+8(1-4n )1-4=13(12-13n +2)+1313(22n +3-13n +2)‒52.5.证明 (1)由题意得a n+1-a n =-0,即a n+1≤a n ,故a n 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 2n≤≤12.a 1)a 1>0.由0<a n ,得[1,2],≤12a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈即12.≤a n a n +1≤(2)由题意得=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1.①a 2n 由和12,得12,所以n 2n ,1a n +1‒1a n =a n a n +1≤a n a n +1≤≤1a n +1‒1a n ≤≤1a n +1‒1a 1≤因此a n+1(n ∈N *).②12(n +1)≤≤1n +2由①②得(n ∈N *).12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.(1)解 由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-=1的离心率e n =y 2a 2n1+a 2n =1+q 2(n -1).由e 2=,解得q=1+q 2=5343.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以>q k-1(k ∈N *).1+q 2(k -1)于是e 1+e 2+…+e n>1+q+…+q n-1=,q n -1q -1故e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.。

专题能力训练6　函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.f (x )=-+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )1x A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f (x )的零点为x 1,函数g (x )=4x +2x-2的零点为x 2,若|x 1-x 2|>,则f (x )可以是( )14A.f (x )=2x- B.f (x )=-x 2+x-1214 C.f (x )=1-10x D.f (x )=ln(8x-2)3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ,设此矩形花圃的最大面积为u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f (a )(单位:m 2)的图象大致是( )4.已知M 是函数f (x )=e -2|x-1|+2sin在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M 的值为( )[π(x -12)]A.4B.6C.8D.105.已知函数f (x )是奇函数,且满足f (2-x )=f (x )(x ∈R ),当0<x ≤1时,f (x )=ln x+2,则函数y=f (x )在区间(-2,4]上的零点个数是( )A.7B.8C.9D.106.(2018全国Ⅲ,理15)函数f (x )=cos在[0,π]上的零点个数为 . (3x +π6)7.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x-2的零点为a ,函数g (x )=ln x+x-2的零点为b ,则f (a ),f (1),f (b )的大小关系为 .8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A 商品实际付款100元,乙单独购买B 商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款 元.9.已知函数f (x )=2x ,g (x )=+2.12|x |(1)求函数g (x )的值域;(2)求满足方程f (x )-g (x )=0的x 的值.10.如图,一个长方体形状的物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动,速度为v (v>0),雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R ).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.11012记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,32(1)写出y 的表达式;(2)设0<v ≤10,0<c ≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少.二、思维提升训练11.如图,偶函数f (x )的图象如字母M,奇函数g (x )的图象如字母N,若方程f (g (x ))=0,g (f (x ))=0的实根个数分别为m ,n ,则m+n=( )A.18B.16C.14D.1212.已知函数f (x )=函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y=f (x )-g (x )的零点个数为( ){2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,A .2B .3C .4D .513.设函数f (x )={2x -a ,x <1,4(x -a )(x -2a ),x ≥1.(1)若a=1,则f (x )的最小值为 ;(2)若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且R (x )={10.8-130x 2,0<x ≤10,108x -1 0003x 2,x >10.(1)写出年利润W (单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满q足函数关系:x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?专题能力训练6　函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.B 解析 由题意得f (x )单调递增,f (1)=-1<0,f (2)=>0,所以f (x )=-+log 2x 的零点落在区间(1,2)内.121x 2.C 解析 依题意得g-2<0,g =1>0,则x 2若f (x )=1-10x ,(14)=2+12(12)∈(14,12).则有x 1=0,此时|x 1-x 2|>,因此选C .143.B 解析 设AD 长为x cm,则CD 长为(16-x )cm,又因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12,则矩形ABCD 的面积S=x (16-x ).当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,S=64,当8<a<12时,S=a (16-a ),即f (a )=画出分段函数图形可得其形状与选项B 接近,故选B.{64,0<a ≤8,a (16-a ),8<a <12,4.C 解析 因为f (x )=e -2|x-1|+2sin =e -2|x-1|-2cos πx ,所以f (x )=f (2-x ).因为f (1)≠0,所以函数零点有[π(x -12)]偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cos πx ∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)与y=2cos πx 有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.C 解析 由函数f (x )是奇函数且满足f (2-x )=f (x )知,f (x )是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2k (k ∈Z )成轴对称,关于点(2k ,0)(k ∈Z )成中心对称.当0<x ≤1时,令f (x )=ln x+2=0,得x=,由此1e 2得y=f (x )在区间(-2,4]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,2,2+,-+4,4,共9个零点.故选C .1e 21e 21e 21e 21e 21e 26.3　解析 令f (x )=cos=0,得3x++k π,k ∈Z ,∴x=,k ∈Z .则在[0,π]的零点(3x +π6)π6=π2π9+kπ3=(3k +1)π9有故有3个.π9,4π9,7π9.7.f (a )<f (1)<f (b )　解析 由题意,知f'(x )=e x +1>0恒成立,则函数f (x )在R 上是单调递增的,因为f (0)=e 0+0-2=-1<0,f (1)=e 1+1-2=e -1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1).由题意,知g'(x )=+1>0,1x 则函数g (x )在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,g (2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g (x )的零点b ∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b ).8.520　解析 设商品价格为x 元,实际付款为y 元,则y={x ,0<x ≤200,0.9x ,200<x ≤500,500×0.9+0.7(x -500),x >500,整理,得y={x ,0<x ≤200,0.9x ,200<x ≤500,100+0.7x ,x >500.∵0.9×200=180>100,∴A 商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B 商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款520元.9.解 (1)g (x )=+2=+2,12|x |(12)|x |因为|x|≥0,所以0<1,(12)|x |≤即2<g (x )≤3,故g (x )的值域是(2,3].(2)由f (x )-g (x )=0,得2x --2=0.12|x |当x ≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x --2=0整理,得(2x )2-2·2x -1=0,(2x -1)2=2,12x 解得2x =1±因为2x >0,所以2x =1+,2.2即x=log 2(1+).210.解 (1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(3|v-c|+10)32012100v (320|v -c |+12)=5v (v>0).(2)由(1)知,当0<v ≤c 时,y=(3c-3v+10)=-15;5v 5(3c +10)v 当c<v ≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=5v 5(10-3c )v {5(3c +10)v -15,0<v ≤c ,5(10-3c )v +15,c <v ≤10.①当0<c 时,y 是关于v 的减函数.故当v=10时,y min =20-≤1033c 2.②当<c ≤5时,在(0,c ]内,y 是关于v 的减函数;在(c ,10]内,y 是关于v 的增函数.103故当v=c 时,y min =50c.二、思维提升训练11.A 解析 由题中图象知,f (x )=0有3个根0,a ,b ,且a ∈(-2,-1),b ∈(1,2);g (x )=0有3个根0,c ,d ,且c ∈(-1,0),d ∈(0,1).由f (g (x ))=0,得g (x )=0或a ,b ,由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g (f (x ))=0,知f (x )=0或c ,d ,由图象可以看出f (x )=0时对应有3个根,f (x )=d 时有4个,f (x )=c 时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A .12.A 解析 因为f (x )=所以f (2-x )=f (2-x )={2+x ,x <0,2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,{2+(2-x ),2-x <0,2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2⇒{x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,f (x )+f (2-x )={x 2+x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,所以函数y=f (x )-g (x )=f (x )-3+f (2-x )={x 2+x -1,x <0,-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.其图象如图所示.显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点.13.(1)-1　(2)[2,+∞)　解析 (1)当a=1时,f (x )=[12,1)∪{2x -1,x <1,4(x -1)(x -2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f (x )的最小值为-1.(2)若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以a<1.{a <1,2a ≥1.故12≤若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )·(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[2,+∞).[12,1)∪14.解 (1)当0<x ≤10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=8.1x--10;x 330当x>10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=98--2.7x.1 0003x 故W={8.1x -x 330-10,0<x ≤10,98-1 0003x-2.7x ,x >10.(2)①当0<x ≤10时,由W'=8.1-=0,得x=9.当x ∈(0,9)时,W'>0;当x ∈(9,10]时,W'<0.x 210所以当x=9时,W 取得最大值,即W max =8.1×9-93-10=38.6.130×②当x>10时,W=98-98-2=38,(1 0003x +2.7x )≤1 0003x ×2.7x 当且仅当=2.7x ,即x=时,W 取得最大值38.1 0003x 1009综合①②知:当x=9时,W 取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解 (1)因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000-sq (q ≥0).q 因为w=2 000-sq=-s,q (q -1 000s )2+1 0002s 所以当q=时,w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q= t .(1 000s )2(1 000s )2(2)设甲方净收入为v 元,则v=sq-0.002q 2,将q=代入上式,得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式:(1 000s )2v=1 0002s‒2×1 0003s 4.又v'=-,1 0002s 2+8×1 0003s 5=1 0002(8 000-s 3)s 5令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s 为20元/吨时,获最大净收入.。

1．若a ，b 是函f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个可适当排序后成等差列，也可适当排序后成等比列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4， ∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差列， 所以－2是第一项或第三项，不防设a <b ， 则－2，a ，b 成递增的等差列，∴2a ＝b －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，消去b 得a 2＋a －2＝0， 得a ＝1或a ＝－2，又a >0， ∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5， ∴p ＋q ＝9，选D.2.设S n 为等比列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差列，则a n ＝________.点击观看解答视频答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.3．设S n 是列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.4.设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．点击观看解答视频(1)求列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x22n －1，证明：T n ≥14n.解 (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝n －2n2>n －2－1n2＝2n －22n ＝n －1n. 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，都有T n ≥14n.5．设等差列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函f (x )的图象上，求列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋ 2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n n －2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.6．已知列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n n＋2＝(2)n (n ＋1)．故列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋2n －1， 而n n ＋2n－n ＋n ＋2n ＋1＝n ＋n －2n ＋1>0，得n n ＋2n≤＋25<1.所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.7．设列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整n ，总存在正整m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 列”．(1)若列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 列”； (2)设{a n }是等差列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 列”，所以存在正整m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n2是小于2的整，n ∈N *. 于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m .所以{a n }是“H 列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋12a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m .所以{b n }是“H列”．同可证{c n }也是“H 列”．所以，对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。

1.等比列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则列{lg a n }的前8项和等于( )点击观看解答视频A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 ∵a 4＝2，a 5＝5， ∴a 4a 5＝a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝10，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1a 2…a 8)＝lg (a 1a 8)4＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4，选C.2．设等比列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 由等比列的性质得：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比列，于是，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73，故选B. 3.已知等比列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )点击观看解答视频A ．512B ．256C ．81D ．16答案 A解析 由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.4．已知列{a n }是递增的等比列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8a 4＝1，∵列{a n }是递增的等比列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a 4＝8，可得公比q ＝2，∴前n项和S n ＝2n －1.5．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1×(4a 1－6)，解得a 1＝－12.6．成等差列的三个正的和等于15，并且这三个分别加上2,5,13后成为等比列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求列{b n }的通项公式； (2)求列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差列的三个正分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5， ∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d . ∵b 3，b 4，b 5成等比列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20， ∴列{b n }的公比q ＝105＝2，列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3.(2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54，∴列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比列，∴列{b n }的前n 项和S n ＝b 1－q n 1－q ＝5×2n －2－54.。