解直角三角形坡度问题 .doc

C BA i ＝1︰4解直角三角形应用-----坡度问题1若一段斜坡的水平宽度为１２米，坡度ｉ＝１：３，则这斜坡的铅锤高度是________。

2若一段斜坡的坡度是i=1：2，某人走在这斜坡上走了10米，则这个人的高度上升了________。

3有一段山坡，坡面长为200米，山披坡高为100米，则此山坡的坡度为i=_______。

4若一段斜坡的水平宽度为6米，坡度i=1：3，则这斜坡的坡面长为_________米5已知一个坡的坡比i ＝1︰3，则此坡的坡角是 度．6、一斜坡的坡角为30度，那么这个斜坡的坡度 i ＝ ． 7如图，斜坡路面AB 的坡比i ＝1︰4，坡高BC ＝3米，则路面AB 长等于 米 8、如果一条斜坡的坡度为1∶0.75，高为4米，那么这条斜坡的长度为 米． 9、一斜面的坡度i ＝1︰0.75，一物体由斜面底部沿斜面向前推了10米， 那么这个物体升高了 米．10、有一山坡，高50米，山坡长130米，则此山坡的坡度为 （写成比的形式）． 11．如图5，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．（结果保留根号） 12、如图，小杰乘雪橇沿坡比为1︰3的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）的关系为S ＝10t ＋2t 2，若小杰滑到坡底的时间为4秒，则他下降的高度为 ． 13、已知一段公路在斜坡上，坡度i=1︰3，若汽车在斜坡上行驶100米，则汽车升高 米。

14、如果一斜坡的坡度是1∶3，那么坡角α= 度． 15、某山坡的路面坡度1:2.4i =，小王沿此山路向上前进了39米， 则小王升高了 米.16、一斜面的坡角为30°，一物体沿斜面向上推了10米，那么这个物体升高了米。

17、如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为AB 的水平宽度BE =，则斜坡AB =_____________m ．18．已知线段AB =1，C 是线段AB 上一点，且BC 是AC 与AB 的比例中项， 那么线段BC 的长等于 ．19、某商场门前的台阶截面积如图所示。

解直角三角形经典例题精析类型一、锐角三角函数1．（1）在△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则tanA=______.【考点】锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值.【解析】设∠A的对边为(也可设为1)，则斜边为2，由勾股定理得邻边为，所以由tanA===(也可由sinA=得∠A=30°，则tan30°=).【答案】.（2）（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A） 7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°【考点】锐角三角函数的定义.【答案】C2．已知：cos=，则锐角的取值范围是( )A.0°＜＜30°B.45°＜＜60°C.30°＜＜45°D.60°＜＜90°【思路点拨】cos60°=，cos45°=，因为＜＜所以45°＜＜60°.【答案】B.3．当45°＜＜90°时，下列各式中正确的是( )A.tan＞cos＞sinB.sin＞cos＞tanC.tan＞sin＞cosD.cos＞sin＞tan 【考点】同一锐角不同三角函数比较大小.【提示】当一锐角在45°～90°范围内，正切值＞1，1＞正弦值＞，＞余弦值＞0.【答案】C.4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角A的各个三角函数值( )A.都缩小B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定【考点】三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关.【思路点拨】因为一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，但各边的比值不变.【答案】B.5．1-cos234°-cos256°=__________.【考点】(1) sin2A+cos2A=1；(2)互余两角的三角函数关系sinA=cos(90°-A)或cosA=sin(90°-A).【解析】1-cos234°-cos256°=1-(sin256°+cos256°)=1-1=0.【答案】0.6．方程有实数根，求锐角的取值范围.【考点】锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值.【解析】∵方程有实数根∴△=≥0，即≤，∴0°＜≤30°.总结升华：应掌握特殊角的三角函数值及各个锐角三角函数之间的联系，注意锐角三角函数概念的理解领会及运用. 举一反三：【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有( )(1)(2)如果，那么(3)如果，那么(4)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拨】利用三角函数的增减性和有界性即可求解.【解析】由于为锐角知(1)不成立当时，有，即(2)正确当时，，即(3)成立又，即正确，即(4)成立.【答案】C.【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于( )A. B. C. D.【考点】互余两角正余弦关系.【思路点拨】===.【答案】A.【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根.且△ABC的周长为24.试求BC的长度.【考点】锐角三角函数概念的理解和运用.【解析】∵∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根∴由根与系数的关系得：又∵A＋B=900 ∴①平方并把②代入得：整理得：解得=3，=19当=3时，因=＜1不符题意，故舍去.∴=19此时原方程为：解得=，=又设＞∴设=，那么=，=∵=24 ∴=24 解得=2∴△ABC的斜边BC==10.类型二、解直角三角形7．（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，tanB=_____.【考点】解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值.【思路点拨】由∠ACB=90°，CD⊥AB可知，∠A=∠DCB，∵BC=5，BD=3 ∴由勾股定理得CD=4所以sinA=sin∠DCB==， cosA=cos∠DCB==tanA=tan∠DCB==， tanB==【答案】sinA=，cosA=，tanA=，tanB=.（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A） 2 （B）（C）（D）1【考点】解直角三角形、勾股定理.【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，因为∠A=45°，设AE=DE=x, AD =x由tan∠DBA=，得BE=5x, AC=6AB=,即5x+x=,x=,AD =x=2.【答案】A8．如图，在中，AD是BC边上的高，.(1)求证：AC=BD； (2)若，求AD的长.【考点】利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形.【思路点拨】由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解.【解析】(1)在中，有，中，有(2)由可设由勾股定理求得即.9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B，取米，.要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )A.米B.米C.米D.米【思路点拨】在中可用三角函数求得DE长.【解析】A、C、E成一直线在中，米，米 .【答案】B.总结升华：任何锐角都可以求三角函数值，并非只能在直角三角形中的锐角才可求三角函数值，此处易混淆.解直角三角形的关键是正确地选择公式，为了迅速准确地优选所需公式，应依题意画出图形，便于分析，并尽量利用原始数据，避免积累误差或链式错误.举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长.【思路点拨】在Rt△ADC中，利用sinC=，求出AD=1cm，cosC=，求出CD=在Rt△ABD中，利用tan∠BAD=，求出BD=1，所以BC=BD+CD=1+.【答案】(1+)cm.【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；(2)a=2，CD⊥AB于D，BD=.【考点】解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值.【解析】(1)∵ CD⊥AB，∠A=60°，CD=∴在Rt△CDA中，AC=∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°，AB=2AC=4，BC=ABsinA=4×=2；(2)∵BC=a=2，CD⊥AB于D，BD=，∴cosB=，∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°，∴AB=， AC=AB=.总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法.【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长.【思路点拨】设法补成含60°的直角三角形再求解.【解析】延长BC，AD交于E，∠E=30°在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，AD=AE-DE=400-100，BC=BE-CE=200-200.类型三、解直角三角形的实际应用10．(1)（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A) m·sin米 (B) m·tan米 (C) m·cos米(D) 米【考点】解直角三角形与实际问题.【答案】B(2)已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积.【考点】解直角三角形在实际中的应用.【思路点拨】过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积.【解析】过B作BE⊥DC于E，∵tanC=，∴设BE=，则EC=在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即解得：=1，∴BE=1，EC=3，∴==.11．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h.(精确到0.01m) tan65°≈2.145【考点】利用三角形函数解实际问题.【思路点拨】通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题.【解析】作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，设AE=x，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，所以PE=AE=x，由平面成像知识可得OP′=OP=PE+EO=x+50，•在Rt△AP′E中，tan∠EAP′==tan65°，又EP′=OE+OP′=x+100，所以=tan65°≈2.145，解得x≈87.34，所以OP=x+50≈137.34(m)，即飞机距湖面的高度h约为137.34m.12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精确到1米，参考数据)【思路点拨】如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题【解析】这种方法可以测量出山高，理由如下：如图，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与AB交于D点，由已知可得，∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP设BD=x米，则即又答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米.13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部的仰角为.两人相距28米且位于旗杆两侧(点在同一条直线上).请求出旗杆的高度.(参考数据：，，结果保留整数)【解析】解法一：过点作于，过点作于，则在中，，设(不设参数也可)， 5分在中，，7分答：旗杆高约为12米.解法二：过点作于，过点作于，则，在中，，设，则在中，，解得答：旗杆高约为12米.总结升华：在运用本单元内容时要运用转化思想将所求问题转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知与结论的联系，另外，在实际问题时，要注意分类讨论.举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积.【考点】坡度的概念.【解析】如下图，作DF⊥BC于点F.由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10.AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10.同理可得CF=10.里口宽BC=BE+EF+FC=30(厘米).截面积为×(10+30)×10=200(平方厘米).【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？(精确到0.1)【考点】方向角的应用.【解析】过点C作CD⊥AB于点D.CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x米.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(米).【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动.以为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点)位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【考点】利用三角函数解决实际问题.【解析】解：(1)，；(2)过点作于点，如图，则.在中，，，..，，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.相似经典例题精析类型一、图形的相似1．在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.考点：比例性质.思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.解析：1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.2．（1）将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍考点：相似图形的定义和性质.解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D 中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.（2）（2010山西）在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变考点：相似图形的性质.答案：D3．（1）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为0.6 米，则可知综合楼高为__________.考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.解析：，则楼高==16，故填16米.（2）（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m.解析：答案：74．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2 ，已知BC=8，则的长是( ) A．4 B．16C．24D．64考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2即=2BC=2×8=16，故选B.5．下列多边形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形考点：多边形相似的定义.解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.举一反三：【变式1】下列命题中正确的命题是( )A．相似多边形是全等多边形B．不全等的图形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形D．不相似的图形可能是全等图形解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.考点：边数相同的正多边形相似的判定.证明：∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=====∴=====∴正六边形ABCDEF∽正六边形.总结升华：边数相同的正多边形都相似.【变式3】两地的距离是500 米，而地图上的距离为10 厘米，则这张地图的比例尺为()A．1：50B．1：500 C．1：5000 D．1：50000解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即解得DE=3.6，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×3.6=21.6cm2.类型二、相似三角形6．（1）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，△DCE∽△CBD，故选D.（2）（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC 等于( )A．3 B．4 C．6 D．8解析：△ADE∽△ABC答案：D7．下列判断中，正确的是()(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为66.5°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：1.C不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为( )A．4：5B．16：25C．196：225 D．256：625考点：相似三角形的性质.思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.答案：D.10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.(1)求证：△PAB∽△PCA；(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.考点：相似三角形的判定.思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，即，解得：EH=9.6米.∴ED=9.6+1.6=11.2米.总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.举一反三：【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC解：∵，∴.∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴.【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s 的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°，(1)当∠1=∠2时，有：，即；(2)当∠1=∠3时，有：，即∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.类型三、位似12．下列图形中不是位似图形的是( )考点：位似图形的定义.解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.13．（1）（2010广东茂名）如图，已知△与△是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△内一点（x，y）与△内一点是一对对应点，则点的坐标是_________．考点：位似图形的性质.答案：（-2x，-2y）（2）如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；考点：位似图形的画法思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC连接、、，则得到所要画的图形.解：画出，如图所示.14．如图，D，E分别AB，AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A 可判定是位似图形.(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.举一反三：【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；考点：位似图形坐标变换规律.思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.答：△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，•∴△C′D′E′为等边三角形.。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.6解直角三角形的应用：坡度问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•虹口区期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．10米B．24米C．25米D．26米2．（2020•利辛县模拟）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5√3米C．2√5米D．4√5米3．（2020秋•闵行区期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．√10米C．2√10米D．3√10米4．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x5．（2020秋•浦东新区期中）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m6．（2017秋•虹口区期末）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（）A．1：2.6B．1：513C．1：2.4D．1：5127．（2021•宜兴市模拟）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3√2米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（）A．√3米B．3米C．3−√2米D．（3−√3）米8．（2021•邯郸三模）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）（参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528）A．3.5米B．2.5米C．4.5米D．5.5米9．（2021•温州模拟）在台风来临之前，有关部门用两根一样长的钢管加固树木（如图），已知固定点A离地面的高度AC为3米，钢管与地面所成夹角为θ，则两根钢管底部之间的距离BD为（）A．3tanθ米B．32tanθ米C．6tanθ米D．6sinθ米10．（2020秋•仁寿县期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•杨浦区三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝．12．（2021•青浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为米．13．（2021•浦东新区校级二模）如果人在一斜坡坡面上前行50米时，恰好在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是．14．（2021•黄浦区二模）如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75，那么该水库迎水坡AB的长度为米．15．（2020秋•徐汇区期末）在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．16．（2021•奉贤区二模）已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是米（结果保留根号）．17．（2021•泗水县一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为米．18．（2021•海珠区校级模拟）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•静安区期末）如图，一处地铁出入口无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD 共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1°，其他近似数取四个有效数字）．20．（2020•松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．21．（2020秋•黄浦区期末）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、BC为房屋两侧的墙，线段CD、DE为屋顶的斜坡．已知AB＝6米，AE＝BC＝3.2米，斜坡CD、DE的坡比均为1：2．（1）求屋顶点D到地面AB的距离；（2）已知在墙AE距离地面1.1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角∠MNP＝β＝53°，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即0°＜∠FET＝α≤90°，长度为1.4米，即EF＝1.4米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√10≈3.16，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°=43）．22．（2020•攀枝花一模）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．23．（2021•茶陵县模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB 宽度为9m，坡面的坡角为30°．（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（√3≈1.7，精确到0.1米）24．（2021•江西模拟）如实物图所示，一架战斗机模型由机身和底座构成，图1是它的侧面示意图，底座的支撑杆PC长12cm，PC与水平桌面PD的夹角为60°，机身腹部AB平直，且与支撑杆在点C处联结，并可在点C处转动一定的角度，飞机的前轮E的支架EF长1.2cm，点F在AB上，EF与AB垂直，CF ＝PC．（1）如图2，当飞机水平摆放，即AB∥PD时，求前轮E到PD的距离．（2）如图3，当飞机仰身摆放时，AB绕着点C逆时针旋转至与PC的夹角为150°处，此时前轮E到PD的距离约是多少？（参考数据：√3≈1.7，√2=1.4，√5≈2.2）。

《解直角三角形(坡度、坡角)》教学设计解直角三角形（三）一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题．难点：理解坡度的有关术语．三、教学过程（一）情境导入：(二) 合作探究：1、理解坡度、坡角的概念坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？答：i＝h＝tanl2、例题解析例1、一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l为6m，坡屋顶的高度h为√3 m. 求斜面AB的长度和坡角例2、一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD ．（单位是米，结果保留根号）B 4 CA E D(三)、跟踪训练： （1）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：√3 ，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）（2）如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这时 小刚上升了多少米？BE=6∠D=αi 1:3(3)拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽5m，坝底宽13m,坡角30°，求这个梯形面积。

（四）拓展延伸同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i=1∶1，斜坡CD的坡度i=1∶√3，①求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.②如果坝长100m,那么整个坝体有土多少立方米？(√3≈1.7)（五）小结与作业水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5m,坝高20m,斜坡AB的坡度i=1:√3,斜坡CD的坡度i=1:2.1、求斜坡AB的坡角α，坝底AD的长。

: 
二、典型题型
二、典型题型
平面：的
tan53°≈，
、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为
：．
1+）米，小军和小明同时分别从
小军的行走速度为米
4、
5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3
1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732）
7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截
ABCD）
）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，面为梯形ABCD
i=1：
：2．
并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1
的长；
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
）求完成这项工程需要土石多少立方米？
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？。

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。