2017年中考数学专题练习一元二次方程
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一元二次方程一、选择1. 方程(m2 1)x2 mx 5 0 是关于x的一元二次方程,则m 的值不能是()A.0 B .12C . 1D .122. 一元二次方程 22x x 1的常数项为()A.-1 B .1 C .0 D .± 13. 一元二次方程 2(x1) 2 的解是()A. x1 1 2 ,x2 1 2B. x1 1 2 ,x2 1 2C. x1 3,x2 1D. x1 1,x2 32 x4. 把方程x 6 4 0的左边配成完全平方,正确的变形是()A.(x 3)2 9 B .(x3)2 13 C .(x3)2 5 D .( x 3)2 55. 方程(3x 1)( x 1)(4x 1)( x1) 的解是()A.x1 1,x 0 B .x1 1, x2 2 C .x1 2, x2 1 D .无解26. 若关于x 的方程2x2 ax a 2 0 有两个相等的实根,则a的值是()A.-4 B .4 C .4 或-4 D .27. 方程2x 3 x 1 1的解的情况是()A.有两个不相等的实数根 B .没有实数根C.有两个相等的实数根 D .有一个实数根8. 某商品原价200 元,连续两次降价a%后售价为148 元,下列所列方程正确的是()A. 200(1+a%) 2=148B. 200(1 -a%)2=148C. 200(1 -2a%)=148D. 200(1 -a2%)=148二、 填空题29. 一元二次方程 2x 1 6x的一般形式是,其中一次项系数是 .10. 认真观察下列方程,指出使用何种方法解比较适当:(1)22 1x + x = - ,应选用法;(2)2 x 2 x 1 x 2 x 4 ,应选用法;(3) 2x 2 3x 7 0 ,应选用 法.1211. xx2配成完全平方式需加上.12. 若关于 x 的方程 2 2x x k的一个根是 1,则另一个根是. 13. 若关于 x 的一元二次方程22xx k没有实数根,则k 的取值范是. 14. 以-3 和 7 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 .215. 从正方形的铁皮上,截去2cm 宽的一条长方形,余下的面积是48cm,则原来的正方形铁皮的面积是.16.在实数范围内定义一种运算“*” ,其规则为2b 2a *b a,根据这个规则,方程(x 2 )*5 0的解为.三、解答题17. 用适当的方法解下列方程:(1)2 2x(x 1)4(2) 3x 64 0(3)(x 2)( x 3) 12 (4)23y 1 2 3y18.22 kx k已知方程(k 1)x 2 3 0.(1)k 取何值时,方程有一个实数根;(2)k 取何值时,方程有两个不相等的实数根;19.若关于x 的方程 2 4 3 0x x a 有实数根.(1)求a 的取值范围;(2)若a 为符合条件的最小整数,求此时方程的根.20.为了解决老百姓看病难的问题,卫生部门决定下调药品的价格.某种药品经过两次连续降价后,由每盒100 元下调至64 元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?21.百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20 件,每件盈利40 元.为3了迎接“六一决定采取适当的降价措售量,增加盈利,减 :如果每件童装降价 1 元,那么平均每天就可多售出 2 件.要 想平均种童装盈利 1200 元,那么每件降价多少元?22. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 2 0 x ax b , a 0, b 0 . (1)若方数确定a ,b的大小关系;(2)若 a ∶ b =2∶ 3 ,且 2x x 2 ,求 a ,b 的值. 1 2 参考答案一、选择题: 1.C ; 2. A ; 3.B ; 4.C ; 5.B ;6. B ;7.A ;8.B2x二、: 9. 2x 6 1 0 , 6; 10. (1)配方法;(2)因式分解法; (3)公式法; 11. 1 16; 12. 3; 13. k 1; 14.24 21 0xx ; 15. 64cm2;16.7, 3x 1x.2三、解答题:4317.(1)x 1 1,x 3 ;(2)方根;( 3) 1, 6 x 1 x;(4)y 1 y. 222318. (1)方程要有数根,是一元一次方程,因此系数是 0,即当 k ,方程是一元一次方程,它有根; (2)方程要有两个不相数根,此是一元二次方程,式0, 所以2 (2k) 4(k 1)(k 3) 0,即当3 k 且 k ,方程有两个不等 2 实根. 19. (1) 24 4(3 a) 4 4a . ∵该方程有实数根, ∴ 4 4a ≥ 0. 解得 a ≥1.(2)当符合条件的最小, a = 1. 2 4 4 0 方x x ,方程x 1 x 2 2 .2品平均每次降价的百分率是 x , 2意,得 100 1 x 64 . 2则1 x 0.64 . 1 x 0.8. x 0.2, x 2 1.8(意,舍去) .1 品平均每次降价 20%. x2每件降价x (40 ) 20 8 1200 x,解得 x 120,x 210 .4要尽快存,所以 x =20. 答:每件降价 20 元.22. (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程22 2 0xax b 有实数根 ,∴ Δ= 2 2 (2a) 4b 0 ,有22a b , (a b)( a b) 0 .∵a 0,b 0 , ∴ a b 0, a b 0. ∴ a b .5。
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一元二次方程的应用(03)一、选择题1.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是()A.100m2B.64m2C.121m2D.144m22.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( )A.5个B.6个C.7个D.8个3.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,a的值不可能为()A.20 B.40 C.100 D.120二、填空题4.如图,一块四周镶有宽度相等的花边的长方形十字绣,它的长为120cm,宽为80cm,如果十字绣中央长方形图案的面积为6000cm2,则花边宽为.5.一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是m.6.某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是.7.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t= 秒时,S1=2S2.三、解答题9.随着铁路客运量的不断增长,重庆火车北站越来越拥挤,为了满足铁路交通的快速发展,该火车站去年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同,在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)10.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?11.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?12.电动自动车已成为市民日常出行的首选工具.据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计,该品牌电动自行车1月份销售150辆,3月份销售216辆.(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率;(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元,售价为2800元,则该经销商1至3月共盈利多少元?13.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?14.某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率;(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?15.随着市民环保意识的增强,烟花爆竹销售量逐年下降.咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱,到2013年烟花爆竹销售量为9。
中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1.解方程:(x+1)(x﹣3)=﹣1.【答案】x1=1+3,x2=1﹣3【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.试题解析:整理得:x2﹣2x=2,配方得:x2﹣2x+1=3,即(x﹣1)2=3,解得:x1=1+3,x2=1﹣3.2.计算题(1)先化简,再求值:21xx-÷(1+211x-),其中x=2017.(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.【答案】(1)2018;(2)m=4【解析】分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解:(1)21xx-÷(1+211x-)=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1,当x=2017时,原式=2017+1=2018(2)解:∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣3)=0,解得,m=4点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.3. y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);或( x≥m) ;4.从图象来看,该函数是一个分段函数,当0≤x≤m时,是正比例函数,当x>m时是一次函数.【小题1】只需把x 代入函数表达式,计算出y 的值,若与表格中的水费相等,则知收取方案.5.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?【答案】(1)5;(2)180【解析】【分析】(1)设平均一人传染了x 人,根据有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,列方程求解即可;(2)根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数,列出算式求解即可.【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,根据题意得:x+1+(x+1)x =36,解得:x =5或x =﹣7(舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了5个人;(2)根据题意得:5×36=180(个),答:第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6.解方程:(x +1)(x -1)=x.【答案】x 1,x 2【解析】试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.试题解析:(x +1)(x -1)=x 2-2x-1=0∵a=1,b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12>0∴∴x1x 2.7.已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7,若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长,求这个三角形的周长.【答案】(1)m>2; (2)17【解析】试题分析:(1)由根的判别式即可得;(2)由题意得出方程的另一根为7,将x =7代入求出x 的值,再根据三角形三边之间的关系判断即可得.试题解析:解:(1)由题意得△=4(m +1)2﹣4(m 2+5)=8m -16>0,解得:m >2; (2)由题意,∵x 1≠x 2时,∴只能取x 1=7或x 2=7,即7是方程的一个根,将x =7代入得:49﹣14(m +1)+m 2+5=0,解得:m =4或m =10.当m =4时,方程的另一个根为3,此时三角形三边分别为7、7、3,周长为17; 当m =10时,方程的另一个根为15,此时不能构成三角形;故三角形的周长为17.点睛:本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系,熟练掌握韦达定理是解题的关键.8.若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根.(1)求a 的取值范围;(2)当a 为符合条件的最大整数,求此时方程的解.【答案】(1)a ≤174;(2)x =1或x =2 【解析】【分析】(1)由一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0,建立关于a 的不等式,即可求出a 的取值范围;(2)根据(1)确定出a 的最大整数值,代入原方程后解方程即可得.【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根,∴△≥0,即(﹣3)2﹣4(a ﹣2)≥0,解得a ≤174; (2)由(1)可知a ≤174, ∴a 的最大整数值为4,此时方程为x 2﹣3x +2=0,解得x =1或x =2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.9.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?【答案】(1)2000;(2)2米【解析】【分析】(1)设未知数,根据题目中的的量关系列出方程;(2)可以通过平移,也可以通过面积法,列出方程【详解】解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x 米2, 根据题意得:4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得:x=2000,经检验,x=2000是原方程的解;答:该绿化项目原计划每天完成2000平方米;(2)设人行道的宽度为x 米,根据题意得,(20﹣3x )(8﹣2x )=56 解得:x=2或x=263(不合题意,舍去). 答:人行道的宽为2米.10.已知关于x 的方程(x-3)(x-2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1、x 2,且满足x 12+x 22=3 x 1x 2,求实数p 的值.【答案】(1)详见解析;(2)p=±1.【解析】【分析】(1)先把方程化成一般形式,再计算根的判别式,判定△>0,即可得到总有两个不相等的实数根;(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积,再把2212123x x x x +=变形,化成和与乘积的形式,代入计算,得到一个关于p 的一元二次方程,解方程即可求解.【详解】证明:(1)(x ﹣3)(x ﹣2)﹣p 2=0,x 2﹣5x+6﹣p 2=0,△=(﹣5)2﹣4×1×(6﹣p 2)=25﹣24+4p 2=1+4p 2,∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p 2>0,∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)x 1+x 2=5,x 1x 2=6﹣p 2,∵2212123x x x x +=, ∴(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2=3x 1x 2,∴52=5(6﹣p 2),∴p=±1.考点:根的判别式;根与系数的关系.11.“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法. 例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,……,按此规律,求图10、图n 有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点个数是6×1=6个;图2中黑点个数是6×2=12个:图3中黑点个数是6×3=18个;所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 .请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块(画在答题卡上),再完成以下问题:(1)第5个点阵中有 个圆圈;第n 个点阵中有 个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.【答案】60个,6n 个;(1)61;3n 2﹣3n+1,(2)小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.【解析】分析:根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个;图n中黑点个数是6n个;(1)第2个图中2为一块,分为3块,余1,第2个图中3为一块,分为6块,余1;按此规律得:第5个点阵中5为一块,分为12块,余1,得第n个点阵中有:n×3(n﹣1)+1=3n2﹣3n+1,(2)代入271,列方程,方程有解则存在这样的点阵.详解:图10中黑点个数是6×10=60个;图n中黑点个数是6n个,故答案为:60个,6n个;(1)如图所示:第1个点阵中有:1个,第2个点阵中有:2×3+1=7个,第3个点阵中有:3×6+1=17个,第4个点阵中有:4×9+1=37个,第5个点阵中有:5×12+1=60个,…第n个点阵中有:n×3(n﹣1)+1=3n2﹣3n+1,故答案为:60,3n2﹣3n+1;(2)3n2﹣3n+1=271,n2﹣n﹣90=0,(n﹣10)(n+9)=0,n1=10,n2=﹣9(舍),∴小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.点睛:本题是图形类的规律题,采用“分块计数”的方法解决问题,仔细观察图形,根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键.12.重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫,每件成本价为20元,每天销售150件:(1)若要每天的利润不低于2250元,则销售单价至少为多少元?(2)为了回馈广大游客,同时也为了提高这种文化衫的认知度,商店决定在“五一”节当天开展促销活动,若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可以在150件基础上增加m件,结果当天的销售额达到5670元;要使销售量尽可能大,求出m的值.【答案】(1)销售单价至少为35元;(2)m=16.【解析】试题分析:(1)根据利润的公式列出方程,再求解即可;(2)销售价为原销售价×(1﹣m%),销售量为(150+m),列出方程求解即可.试题解析:(1)设销售单价至少为x元,根据题意列方程得,150(x﹣20)=2250,解得x=35,答:销售单价至少为35元;(2)由题意得:35×(1﹣m%)(150+m)=5670,150+m﹣150×m%﹣m%×m=162,m﹣m2=12,60m﹣3m2=192,m2﹣20m+64=0,m1=4,m2=16,∵要使销售量尽可能大,∴m=16.【考点】一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.13.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=3,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求k值多少?【答案】(1)详见解析;(2)k=32或2.【解析】【分析】(1)计算判别式的值,利用完全平方公式得到△=(2k﹣3)2≥0,然后根据判别式的意义得到结论;(2)利用求根公式解方程得到x1=2k﹣1,x2=2,再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1=2或2k﹣1=3,然后分别解关于k的方程即可.【详解】(1)∵△=(2k+1)2﹣4×4(k﹣12)=4k2﹣12k+9=(2k﹣3)2≥0,∴该方程总有实数根;(2)() 2k12k3 x=2±+﹣∴x1=2k﹣1,x2=2,∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边,∴2k ﹣1=2或2k ﹣1=3,∴k =32或2. 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质,分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14.自2018年1月10日零时起,高铁开通,某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游,推出了如下收费标准:如果人数不超过10人,人均旅游费用为200元,如果人数超过10人,每增加1人,人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150元.()1如果某单位组织12人参加仙都旅游,那么需支付旅行社旅游费用________元; () 2现某单位组织员工去仙都旅游,共支付给该旅行社旅游费用2625元,那么该单位有多少名员工参加旅游?【答案】(1)2280;(2)15【解析】【分析】对于(1)根据人数超过10人,每增加1人,人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150来求解;对于(2)设这次旅游可以安排x 人参加,而由10×200=2000<2625,可以得出人数大于10人,则根据x 列出方程:(10+x )(200-5x )=2625,求出x ,然后根据人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围,最后得出x 的值.【详解】(1)2280()2因为1020020002625⨯=<.因此参加人比10人多,设在10人基础上再增加x 人,由题意得:()()1020052625x x +-=.解得 15x = 225x =,∵2005150x -≥,∴010x <≤,经检验 15x =是方程的解且符合题意,225x =(舍去).1010515x +=+=答:该单位共有15名员工参加旅游.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用,根据题意作出判断,列出一元二次方程,求解方程,舍去不符合题意的解,从而得出结果.15.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1:甲乙两种商品的进货单价和为11;信息2:甲商品的零售单价比其进货单价多2元,乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元:信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元.()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少?()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件,经调查发现,甲商品零售单价每降0.1元,这样甲商品每天可多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元,在不考虑其他因素的条件下,当a 定为多少时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元?【答案】(1)甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件(2)当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据给定的三个信息,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据总利润=单件利润⨯销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据题意得:()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩, 解得:{56x y ==.答:甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件. ()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据题意得:()()250010001500a a -+=,整理得:22310a a -+=,解得:10.5a =,21a =.答:当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:()1找准等量关系,正确列出二元一次方程组;()2找准等量关系,正确列出一元二次方程.。
2017年中考数学专题练习《一元二次方程》【知识归纳】配方法:用配方法解一元二次方程 ax? bx c o a °的一般步骤是:①开平方求出方程的解•如果n v 0,则原方程无解.2(3)公式法:一元二次方程ax bx c 0(a°)的求根公式是式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方 程的解•X i X 2【基础检测】有一个根为-2 ,则另一个根为(A . 5 C . 2 D . - 51. 一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是的方 程叫做一元二次方程•一元二次方程的一般形式是 其中 ___ 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的系数,叫做一次项的系数.2.元二次方程的常用解法:(1) 直接开平方法:形如元二次方程,就可用直接开平方的方法(2),③,④,⑤如果是非负数,即n0,就可以用直接(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①:②;③令每个因关于 X 的 兀二次方程 ax bx c (1) b 2 4ac >0- 元二次方程"X 1,2(2) b 2 4ac =0 - 兀二次方程有(3) b 24ac <0 - 元二次方程"4. 一元—1次方程根与系数的关系ax 2bx c 0 a 0有两个相等的实数根,即bx c 0 a 0 实数根,即X 1 x 2实数根•0(a°)有两根分别为x 1, x 2,那么x 1X 23.ax 20 a 0的根的判别式为若关于x 的一元二次方程ax? bx元二次方程根的判别式:2 . (2016?雅安)已知关于x的一元二次方程x2+mx - 8=0的一个实数根为2, 则另一实数根及m的值分别为()A. 4,- 2B. - 4 , - 2C. 4, 2D. - 4, 23. (2016?威海)已知x i, X2是关于x的方程x2+ax - 2b=0的两实数根,且X i+X2= - 2 , x i?x 2=1 ,贝y b a的值是(B. 4C.4D.4 . (2016?台州)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是()A. x ( x - 1 ) =45 B x ( x+1 ) =45 C . x ( x - 1 ) =45 D . x ( x+1 ) =45(2016?随州)随州市尚市“桃花节观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x ,则下列方程中正确的是()2A. 20 (1+2x )=28.8B. 28.8 (1+x )=202 2C. 20 (1+x )=28.8D. 20+20 (1+x )+20 (1+x )=28.826. (2016?衡阳)关于x的一元二次方程x +4x+k=0 有两个相等的实根,则k的值为()A. k= - 4B. k=4C. k> - 4D. k> 47. (2016 -辽宁丹东・3分)某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为____________&(2016 •四川南充)已知关于x的一元二次方程x2- 6x+ (2m+1)=0有实数根.(1 )求m的取值范围;(2)如果方程的两个实数根为X1, X2,且2X1X2+X1+X2》20,求m的取值范围.9. (2016 •四川内江12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成•已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.苗圃园图14【达标检测】一、选择题1 •方程x23x的解是()A. x 3 B . x 3 C . x 0 D . x 3 或x 02.(2016•内蒙古包头・3分)若关于x的方程2 /令1x + ( m+1 x+—=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()5 A•飞1B . y C-^或1可D.13. (2016•四川泸州)若关于x的—「元二次方程x2+2 (2k - 1) x+k -仁0有实数根,则k的取值范围是()A . k> 1B . k > 1C . k v 1D . k w 14. (2016 -湖北荆门・3 分)已知3是关于x的方程x2-(m+1 x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰厶ABC的两条边的边长,则△ ABC的周长为()A. 7 B . 10 C . 11 D . 10 或1125•若关于x的一元二次方程x 4x 5 a 0有实数根,则a的取值范围是()A. a 1 B . a 1 C . a 1 D . a 16 . (2016?广州)定义运算:a?b=a (1 - b).若a , b 是方程x2- x+「| m=0 (m v 0)的两根,贝U b?b - a?a的值为()A. 0 C. 2 D.与m有关7 .若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A. x i=0, X2=6 B . x i=1, X2=7 C . x i=1, X2=—7 D . x i=- 1, X2=78. (2016 •山东潍坊)关于x的一元二次方程x2-?x+sin a =0有两个相等的实数根,则锐角a等于()A. 15° B . 30° C . 45° D . 60°二、填空题9. (2015?丹东)若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根,那么a= ______ .10. (2016 -山东省德州市・4 分)方程2x2- 3x -仁0的两根为洛,X2,贝U x/+X22= _____ .11 . (2016 •四川宜宾)已知一元二次方程x2+3x - 4=0的两根为X1、X2,则2 2X1 +X1X2+X 2 = ______ .12.(2016 •四川攀枝花)设X1、X2是方程5x2- 3x - 2=0的两个实数根,则」+.「的值为x [ y 213 .把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地,此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍,设小圆形场地的半径为x米,若要求出未知数x,则应列出方程_________________ (列出方程,不要求解方程)。
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a值为()A. 1B. -1C. 1或-1 D.2.一元二次方程x2﹣1=0的根是()A. 1B. ﹣1 C. D. ±13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1,则实数p的值是()A. 4B. 0或2 C. 1 D. -14.方程的解是( )A. B. C. , D. ,5.关于x的一元二次方程的一个根为2,则的值是()A. B. C.D.6.一元二次方程ax2+x+c=0,若4a-2b+c=0,则它的一个根是()A. -2B.C. -4D. 27.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2,则p的值为()A. 1B. 2C. ﹣1 D. ﹣28.若α,β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为()A. 2005B. 2003C. ﹣2005 D. 40109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根,则这个三角形的斜边长是()A. B. 7 C. 5D. 1210.若一元二次方程有一个根为,则下列等式成立的是()A. B. C.D.11.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0,则m的值()A. 0B. 1或2 C. 1 D. 212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题,其中答对的是()A. 若x2=4,则x=2B. 若x2+2x+k=0有一根为2,则k=﹣8C. 方程x(2x﹣1)=2x﹣1的解为x=1D. 若分式的值为零,则x=1,213.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1,则m的值是()A. 1B. 0C. ﹣1 D. 2二、填空题14.若x=2是关于x的方程的一个根,则a 的值为________.15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2,则m=________.16.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,b,m均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是________ .17.若x=﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8=0的一个根,则a=________.18.方程=﹣x的根是________.19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013﹣a﹣b的值是________.20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是________三、计算题21.先化简,再求值,其中m是方程x2+3x﹣1=0的根.22.阅读下面的材料,回答问题:解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,∴x=±1;当y=4时,x2=4,∴x=±2;∴原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.请你按照上述解题思想解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0.23.先化简,再求值:÷(a﹣1+ ),其中a是方程x2﹣x=6的根.24.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,求m(m+1)2﹣m2(m+3)+4的值.四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2,求方程的另一根及k的值.26.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根,求代数式(m+1)2+(m+1)(m﹣1)的值.27.如图△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,BC=5cm;△DEF中,∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起,并将△DEF沿AB方向移动(如图).在移动过程中,D、F两点始终在AB边上(移动开始时点D与点A重合,一直移动至点F 与点B重合为止).(1)在△DEF沿AB方向移动的过程中,有人发现:E、B两点间的距离随AD的变化而变化,现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.(2)请你进一步研究如下问题:问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,E、B的连线与AC平行?问题②:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠EBD=22.5°,如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.问题③:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?五、综合题28.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB.(1)求OA、OB的长.(2)若点E为x轴正半轴上的点,且S△AOE= ,求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式,并判断△AOE与△AOD是否相似.(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出F点的坐标,若不存在,请说明理由.29.关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2.(1)求p值.(2)求方程的另一根.答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a值为()A. 1B. -1C. 1或-1 D.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程,求得a的值,再结合二次项系数不为0即可求得结果。
一元二次方程及其应用;;考点一、 一元二次方程的解法 (10分) 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 (3分)根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系 (3分)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么ab x x -=+21,ac x x =21。
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 (8分)1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
中考数学一元二次方程专题(附答案)一、单选题(共12题;共24分)1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.方程=0有两个相等的实数根,且满足=,则的值是()A. -2或3B. 3C. -2D. -3或23.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根,则k的值是()A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是()A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于的一元二次方程的两个根,则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.方程(x-1)•(x2+17x-3)=0的三根分别为x1,x2,x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =()A. 14B. 13C. -14D. -208.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长,圆心距O1O2=4,则⊙O1和⊙O2的位置关系()A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的方程有两个实数根,则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积,关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列方程中,有两个不相等实数根的是().A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2(a是常数,且a≠0)的图象过点M(x1,-1),N(x2,-1),若MN的长不小于2,则a的取值范围是()A. a≥B. 0<a≤C. - ≤a<0D. a≤-二、填空题(共6题;共12分)13.等腰三角形的腰和底边的长是方程x2-20x+91=0的两个根,则此三角形的周长为________.14.已知x=-1是方程x2+ax+4=0的一个根,则方程的另一个根为________ 。
一元二次方程一、填空题1.一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为:,二次项系数为:,一次项系数为:,常数项为:.2.关于x的方程(m﹣1)x2+(m+1)x+3m+2=0,当m 时为一元一次方程;当m 时为一元二次方程.3.若(a+b)(a+b+2)=8,则a+b= .4.x2+3x+ =(x+ )2;x2﹣+2=(x )2.5.直角三角形的两直角边是3:4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是cm2.6.若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3,则p= ,q= .7.若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,则x的值是.8.代数式2x2+3x+7的值为12,则代数式4x2+6x﹣10= .9.当t 时,关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解.10.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .二、选择题11.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1)D. +﹣2=012.若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为()A.± B.±1 C.±D.±13.若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解,且m≠0,则m+n的值是()A.1 B.﹣0.5 C.0.5 D.﹣114.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是()A.m=0,n=0 B.m=0,n≠0 C.m≠0,n=0 D.m≠0,n≠015.关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则()A.k<0 B.k>0 C.k≥0 D.k≤016.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是()A.1,0 B.﹣1,0 C.1,﹣1 D.无法确定三、解答题17.(1)(x+4)2=5(x+4);(2)(x+1)2=4x;(3)(x+3)2=(1﹣2x)2;(4)2x2﹣10x=3.18.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,求这个等腰三角形的腰长.19.已知一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,求m的值.20.已知方程x2﹣2ax+a=4(1)求证:方程必有相异实根(2)a取何值时,方程有两个正根?(3)a取何值时,两根相异,并且负根的绝对值较大?(4)a取何值时,方程有一根为零?一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1.一元二次方程(1+3x)(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为:x2﹣8x﹣4=0 ,二次项系数为: 1 ,一次项系数为:﹣8 ,常数项为:﹣4 .【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,a叫二次项系数,b叫一次项系数,c叫常数项.【解答】解:去括号得,x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1,移项得,x2﹣8x﹣4=0,所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0;二次项系数为1;一次项系数为﹣8;常数项为﹣4.故答案为x2﹣8x﹣4=0,1,﹣8,﹣4.【点评】考查了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),a叫二次项系数,b叫一次项系数,c叫常数项.2.关于x的方程(m﹣1)x2+(m+1)x+3m+2=0,当m =1 时为一元一次方程;当m ≠1 时为一元二次方程.【考点】一元二次方程的定义;一元一次方程的定义.【专题】方程思想.【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程;含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程.可以确定m的取值.【解答】解:要使方程是一元一次方程,则m﹣1=0,∴m=1.要使方程是一元二次方程,则m﹣1≠0,∴m≠1.故答案分别是:m=1;m≠1.【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义,根据定义确定m的取值.3.若(a+b)(a+b+2)=8,则a+b= 2或﹣4 .【考点】换元法解一元二次方程.【专题】换元法.【分析】把原方程中的(a+b)代换成y,即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0,求得y的值即为a+b 的值.【解答】解:把原方程中的a+b换成y,所以原方程变化为:y2+2y﹣8=0,解得y=2或﹣4,∴a+b=2或﹣4.【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用.换元法是借助引进辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.这种方法在解题过程中,把某个式子看作一个整体,用一个字母去代表它,实行等量替换.这样做,常能使问题化繁为简,化难为易,形象直观.4.x2+3x+ =(x+ )2;x2﹣2x +2=(x ﹣)2.【考点】完全平方式.【专题】计算题.【分析】(1)根据首项是x的平方及中间项3x,利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答.(2)根据首项与尾项分别是x与的平方,那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答.【解答】解:(1)∵首项是x的平方及中间项3x,∴3x=2×x×,x2+3x+=,∴应填,.(2)首项与尾项分别是x与的平方,∴2×x×即为中间项.∴x2﹣2x+2=,故应填:2,﹣.故答案为:,,2,﹣.【点评】本题考查了完全平方公式,属于基础题,关键要熟记完全平方公式.5.直角三角形的两直角边是3:4,而斜边的长是20cm,那么这个三角形的面积是96 cm2.【考点】一元二次方程的应用;勾股定理的应用.【专题】几何图形问题.【分析】根据直角三角形的两直角边是3:4,设出两直角边的长分别是3x、4x,再根据勾股定理列方程求解即可.【解答】解:设两直角边分别是3x、4x,根据勾股定理得:(3x)2+(4x)2=400,解得:x=4,(负值舍去)则:3x=12cm,4x=16cm.故这个三角形的面积是×12×16=96cm2.【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系,也考查了三角形的面积公式.6.若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3,则p= ﹣1 ,q= ﹣6 .【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系,分别求出p、q的值.【解答】解:由题意知,x1+x2=﹣p,即﹣2+3=﹣p,∴p=﹣1;又x1x2=q,即﹣2×3=q,∴q=﹣6.【点评】已知了一元二次方程的两根求系数,可利用一元二次方程根与系数的关系:x1+x2=,x1x2=解答.7.若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,则x的值是1或﹣.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】根据题意先列出方程,然后利用因式分解法解方程求得x的值.【解答】解:∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数,∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0,即(x﹣1)(3x+2)=0,解得x=1或﹣.【点评】本题是基础题,考查了一元二次方程的解法.8.代数式2x2+3x+7的值为12,则代数式4x2+6x﹣10= 0 .【考点】代数式求值.【专题】整体思想.【分析】先对已知进行变形,把所求代数式化成已知的形式,再利用整体代入法求解.【解答】解:∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2(2x2+3x)﹣10=2×(12﹣7)﹣10=0.【点评】此题考查的是代数式的转化,通过观察可知已知与所求的式子的关系,然后将变形的式子代入即可求出答案.9.当t ≤时,关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解.【考点】根的判别式.【专题】计算题.【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解,则△=b2﹣4ac≥0,即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0,解不等式即可.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解,∴△=b2﹣4ac≥0,即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0,∴t≤.故答案为≤.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.10.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .【考点】解一元二次方程﹣公式法;一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】把b看成常数,解关于a的一元二次方程,然后求出的值.【解答】解:a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2.a== b∴=.故答案是:【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程,把b看成是常数,用求根公式解关于a的一元二次方程,然后求出的值.二、选择题11.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2﹣1 C.3(x+1)2=2(x+1)D. +﹣2=0【考点】一元二次方程的定义.【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足三个条件:(1)方程是整式方程;(2)未知数的最高次数是2;(3)只含有一个未知数.由这三个条件得到相应的关系式,再求解即可.【解答】解:A、a=0时,不是一元二次方程,错误;B、原式可化为2x+1=0,是一元一次方程,错误;C、原式可化为3x2+4x+1=0,符合一元二次方程的定义,正确;D、是分式方程,错误.故选C.【点评】判断一个方程是否是一元二次方程,首先判断是否是整式方程,若是整式方程,再进行化简,化简以后只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程就是一元二次方程.12.若2x+1与2x﹣1互为倒数,则实数x为()A.± B.±1 C.±D.±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法.【分析】两个数互为倒数,即两数的积是1,据此即可得到一个关于x的方程,从而求解.【解答】解:根据2x+1与2x﹣1互为倒数,列方程得(2x+1)(2x﹣1)=1;整理得4x2﹣1=1,移项得4x2=2,系数化为1得x2=;开方得x=±.故选C.【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.本题开方后要注意分母有理化.13.若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解,且m≠0,则m+n的值是()A.1 B.﹣0.5 C.0.5 D.﹣1【考点】一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;将m代入原方程即可求得m+n的值.【解答】解:把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0,又∵m≠0,方程两边同除以m,可得m+n=1;故本题选A.【点评】此题中应特别注意:方程两边同除以字母系数时,应强调字母系数不得为零.14.关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是()A.m=0,n=0 B.m=0,n≠0 C.m≠0,n=0 D.m≠0,n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;一元二次方程的解.【分析】代入方程的解求出n的值,再用因式分解法确定m的取值范围.【解答】解:方程有一个根是0,即把x=0代入方程,方程成立.得到n=0;则方程变成x2+mx=0,即x(x+m)=0则方程的根是0或﹣m,因为两根中只有一根等于0,则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0,正确的条件是m≠0,n=0.故选C.【点评】本题主要考查了方程的解的定义,以及因式分解法解一元二次方程.15.关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则()A.k<0 B.k>0 C.k≥0 D.k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法.【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k,再根据非负数的性质得出k≥0即可.【解答】解:∵x2﹣k=0,∴x2=k,∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根,则k≥0,故选:C.【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.16.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0,则方程的根是()A.1,0 B.﹣1,0 C.1,﹣1 D.无法确定【考点】一元二次方程的解.【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解,代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.【解答】解:在这个式子中,如果把x=1代入方程,左边就变成a+b+c,又由已知a+b+c=0可知:当x=1时,方程的左右两边相等,即方程必有一根是1,同理可以判断方程必有一根是﹣1.则方程的根是1,﹣1.故选C.【点评】本题就是考查了方程的解的定义,判断一个数是否是方程的解的方法,就是代入方程的左右两边,看左右两边是否相等.三、解答题17.(1)(x+4)2=5(x+4);(2)(x+1)2=4x;(3)(x+3)2=(1﹣2x)2;(4)2x2﹣10x=3.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【专题】计算题.【分析】(1)运用提取公因式法分解因式求解;(2)运用公式法分解因式求解;(3)运用平分差公式分解因式求解;(4)运用公式法求解.【解答】解:(1)(x+4)2=5(x+4),(x+4)2﹣5(x+4)=0,(x+4)(x+4﹣5)=0,∴x1=﹣4,x2=1.(2)(x+1)2=4x,x2+2x+1﹣4x=0,(x﹣1)2=0,∴x1=x2=1.(3)(x+3)2﹣(1﹣2x)2=0,(x+3+1﹣2x)(x+3﹣1+2x)=0,(4﹣x)(3x+2)=0,∴x1=4,x2=﹣.(4) 2x2﹣10x=3,2x2﹣10x﹣3=0,x=,x1=,x2=.【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力,属基础题.18.已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,求这个等腰三角形的腰长.【考点】等腰三角形的性质;一元二次方程的解;三角形三边关系.【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系得到x=4时,4,4,8的三条线段不能组成三角形,确定等腰三角形腰长为5.【解答】解:x2﹣9x+20=0,解得x1=4,x2=5,∵等腰三角形底边长为8,∴x=4时,4,4,8的三条线段不能组成三角形,∴等腰三角形腰长为5.【点评】本题从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的边长,不能盲目地作出判断,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.19.已知一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,求m的值.【考点】一元二次方程的解;解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】由于一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程,解这个方程即可求出m的值.【解答】解:∵一元二次方程(m﹣1)x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零,∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0,∴m1=﹣4,m2=1.由于在一元二次方程中m﹣1≠0,故m≠1,∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程,此类题型的特点是,利用方程解的定义找到所求字母的方程,再解此方程即可解决问题.20.已知方程x2﹣2ax+a=4(1)求证:方程必有相异实根(2)a取何值时,方程有两个正根?(3)a取何值时,两根相异,并且负根的绝对值较大?(4)a取何值时,方程有一根为零?【考点】根与系数的关系;根的判别式.【专题】计算题.【分析】(1)根据△>0恒成立即可证明.(2)由方程有两个正根,根据根与系数的关系即可求出a的取值.(3)由方程有两根相异,并且负根的绝对值较大,根据根与系数关系解答.(4)令x=0代入方程求解即可.【解答】解:(1)方程x2﹣2ax+a=4,可化为:x2﹣2ax+a﹣4=0,∴△=4a2﹣4(a﹣4)=4+15>0恒成立,故方程必有相异实根.(2)若方程有两个正根x1,x2,则x1+x2=2a>0,x1x2=a﹣4>0,解得:a>4.(3)若方程有两根相异,并且负根的绝对值较大,则可得:x1+x2=2a<0,x1x2=a﹣4<0,解得:a <0.(4)若方程有一根为零,把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4,得:a=4.【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式,难度适中,关键是熟记x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.。
一元二次方程一、选择题1.方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个2. x2﹣6x=1,左边配成一个完全平方式得()A.(x﹣3)2=10 B.(x﹣3)2=9 C.(x﹣6)2=8 D.(x﹣6)2=103.方程(x﹣1)(x+3)=5的根为()A.x1=﹣1,x2=﹣3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=﹣2,x2=4 D.x1=2,x2=﹣44.若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1,则m的值为()A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.55.用公式法解﹣x2+3x=1时,先求出a、b、c的值,则a、b、c依次为()A.﹣1,3,﹣1 B.1,﹣3,﹣1 C.﹣1,﹣3,﹣1 D.1,﹣3,16.方程x2=0与3x2=3x的解为()A.都是x=0B.有一个相同,且这个相同的解为x=0C.都不相同D.以上答案都不对7.已知x2﹣8xy+15y2=0,那么x是y的()倍.A.3 B.5 C.3或5 D.2或48.已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根,化简﹣得()A.1 B.0 C.﹣1 D.29.方程x(x+1)=x+1的根为()A.﹣1 B.1C.﹣1或1 D.以上答案都不对10.某产品的成本两年降低了75%,平均每年递降()A.50% B.25%C.37.5% D.以上答案都不对二、填空题11.方程3x2﹣5x=0的二次项系数是.12.5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为.13.一元二次方程ax2+bx+c=0,若有一个根为﹣1,则a﹣b+c= ;如果a+b+c=0,则有一根为.14.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根为零的条件是.15.关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程,则m= .三、解答题16.用适当的方法解方程:(1)2x2﹣4x+1=0;(2)x2﹣5x﹣6=0;(3)(x﹣2)(x﹣3)=12;(4)9(x﹣3)2﹣4(x﹣2)2=0.17.用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.18.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:x2﹣1=0,x2+x﹣2=0,x2+2x﹣3=0,…x2+(n﹣1)x﹣n=0.(1)请解上述一元二次方程;(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可.19.如图,有33米长的竹篱笆,要围成一边(墙长15米)面积为130平方米的长方形鸡场,求鸡场的长和宽各为多少?一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1.方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】一元二次方程的定义.【分析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0,x2=0是一元二次方程.【解答】解:方程x2﹣2x﹣5=0,x3=x,y2﹣3x=2,x2=0,其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0,x2=0.故选B.【点评】本题考查了一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程.2.x2﹣6x=1,左边配成一个完全平方式得()A.(x﹣3)2=10 B.(x﹣3)2=9 C.(x﹣6)2=8 D.(x﹣6)2=10【考点】解一元二次方程﹣配方法.【专题】计算题.【分析】给方程左右两边都加上9,左边化为完全平方式,右边合并为一个常数,即可得到正确的选项.【解答】解:x2﹣6x=1,方程左右两边都加上9得:x2﹣6x+9=10,即(x﹣3)2=10.故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,利用此方法解方程时,首先将方程的二次项系数化为1,同时将常数项移到方程右边,然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负常数,开方转化为两个一元一次方程来求解.3.方程(x﹣1)(x+3)=5的根为()A.x1=﹣1,x2=﹣3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=﹣2,x2=4 D.x1=2,x2=﹣4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】首先把方程转化为一般形式,再利用因式分解法即可求解.【解答】解:(x﹣1)(x+3)=5,x2+3x﹣x﹣3﹣5=0,x2+2x﹣8=0,(x﹣2)(x+4)=0,解得x1=2,x2=﹣4.故选D.【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.4.若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1,则m的值为()A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5【考点】一元二次方程的解.【专题】方程思想.【分析】根据一元二次方程解的定义,将x=1代入原方程,然后解关于m的一元一次方程即可.【解答】解:∵关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1,∴当x=﹣1时,由原方程,得3+2+m=0,解得m=﹣5;故选A.【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值.5.用公式法解﹣x2+3x=1时,先求出a、b、c的值,则a、b、c依次为()A.﹣1,3,﹣1 B.1,﹣3,﹣1 C.﹣1,﹣3,﹣1 D.1,﹣3,1【考点】解一元二次方程﹣公式法.【分析】先移项,化成一般形式,再得出答案即可.【解答】解:∵﹣x2+3x=1,∴﹣x2+3x﹣1=0,∴x2﹣3x+1=0,∴a=﹣1,b=3,c=﹣1(或a=1,b=﹣3,c=1),【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式的应用,解此题的关键是能把方程化成一般形式.6.方程x2=0与3x2=3x的解为()A.都是x=0B.有一个相同,且这个相同的解为x=0C.都不相同D.以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【专题】计算题.【分析】解x2=0得x1=x2=0;变形3x2=3x得x2﹣x=0,左边分解得到x(x﹣1)=0,则x1=0,x2=1.【解答】解:∵x2=0∴x1=x2=0;∵x2﹣x=0,∴x(x﹣1)=0,∴x1=0,x2=1.故选B.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程右边变形为0,然后把方程左边进行因式分解,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程,再解一次方程可得到一元二次方程的解.7.已知x2﹣8xy+15y2=0,那么x是y的()倍.A.3 B.5 C.3或5 D.2或4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【专题】计算题.【分析】先把等式左边分解因式得到(x﹣3y)(x﹣5y)=0,则x﹣3y=0或x﹣5y=0,即可得到x=3y 或x=5y.【解答】解:∵(x﹣3y)(x﹣5y)=0,∴x﹣3y=0或x﹣5y=0,∴x=3y或x=5y.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程右边变形为0,然后把方程左边进行因式分解,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程,再解一次方程可得到一元二次方程的解.8.已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根,化简﹣得()A.1 B.0 C.﹣1 D.2【考点】一元二次方程的解;二次根式的性质与化简.【分析】先将x=1代入方程x2﹣ax+1=0,可得关于a的方程,解方程求出a的值,再根据二次根式的性质化简即可.【解答】解:∵x=1是方程x2﹣ax+1=0的根,∴12﹣a×1+1=0,∴a=2,∴﹣=﹣=a﹣1﹣(3﹣a)=2a﹣4=2×2﹣4=0.故选B.【点评】本题主要考查了方程的解的定义,二次根式的性质与化简,解题关键是将已知的根代入方程,正确求出a的值.9.方程x(x+1)=x+1的根为()A.﹣1 B.1C.﹣1或1 D.以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】首先提取公因式,可得(x+1)(x﹣1)=0,继而可求得答案.【解答】解:∵x(x+1)=x+1,∴x(x+1)﹣(x+1)=0,∴(x+1)(x﹣1)=0,解得:x1=﹣1,x2=1.故选C.【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程.此题难度不大,注意因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.10.某产品的成本两年降低了75%,平均每年递降()A.50% B.25%C.37.5% D.以上答案都不对【考点】一元二次方程的应用.【专题】增长率问题.【分析】设平均每年降低x,根据经过两年使成本降低75%,可列方程求解.【解答】解:设平均每年降低x,(1﹣x)2=1﹣75%解得x=0.5=50%或x=1.5(舍去).故平均每年降低50%.故选A.【点评】本题考查理解题意的能力,关键设出降低的百分率,然后根据现在的成本,可列方程求解.二、填空题11.方程3x2﹣5x=0的二次项系数是 3 .【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】先找出方程的二次项,再找出项的系数即可.【解答】解:方程3x2﹣5x=0的二次项系数是3,故答案为:3.【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用,主要考查学生的理解能力.12.5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为5x2﹣26x+5=0 .【考点】一元二次方程的一般形式.【专题】计算题.【分析】将方程右边的式子移项,并按照x的降幂排列,即可得到一元二次方程的一般形式.【解答】解:5x2+5=26x,移项得:5x2﹣26x+5=0.故答案为:5x2﹣26x+5=0【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数,且a≠0).13.一元二次方程ax2+bx+c=0,若有一个根为﹣1,则a﹣b+c= 0 ;如果a+b+c=0,则有一根为 1 .【考点】一元二次方程的解.【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x=﹣1代入方程,得到a﹣b+c=0;由a+b+c=0,可知a×12+b×1+c=0,故方程ax2+bx+c=0有一根为1.【解答】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得:a﹣b+c=0;如果a+b+c=0,那么a×12+b×1+c=0,所以方程ax2+bx+c=0有一根为1.故答案是:0;1.【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义,属于基础题型,比较简单.14.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根为零的条件是c=0 .【考点】一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】根据一元二次方程的定义和根与系数的关系解答.【解答】解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项系数是a,常数项是c,∴x1•x2=,又∵该方程有一根为零,∴x1•x2==0;∵a≠0,∴c=0.故答案为:0.【点评】本题主要考查了一元二次方程的解,在解答此题时,利用了根与系数的关系.15.关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程,则m= ±.【考点】一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的概念,可得出m2﹣1=2,解得m即可.【解答】解:∵关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程,∴m2﹣1=2,解得m=±.故答案为:.【点评】本题考查了一元二次方程的概念,二次项系数不为0,未知数的最高次数为2.三、解答题16.用适当的方法解方程:(1)2x2﹣4x+1=0;(2)x2﹣5x﹣6=0;(3)(x﹣2)(x﹣3)=12;(4)9(x﹣3)2﹣4(x﹣2)2=0.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元二次方程﹣配方法.【分析】(1)找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解;(2)利用因式分解法求解即可;(3)先将方程整理为一般形式,再利用因式分解法求解;(4)利用因式分解法求解即可.【解答】解:(1)2x2﹣4x+1=0,这里a=2,b=﹣4,c=1,∵△=16﹣4×2×1=8,∴x==,∴x1=,x2=;(2)x2﹣5x﹣6=0,(x﹣6)(x+1)=0,∴x﹣6=0或x+1=0,解得x1=6,x2=﹣1;(3)(x﹣2)(x﹣3)=12,整理,得x2﹣5x﹣6=0,(x﹣6)(x+1)=0,∴x﹣6=0或x+1=0,解得x1=6,x2=﹣1;(4)9(x﹣3)2﹣4(x﹣2)2=0,[3(x﹣3)+2(x﹣2)][3(x﹣3)﹣2(x﹣2)]=0,(5x﹣13)(x﹣5)=0,解得x1=,x2=5.【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.17.用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.【考点】解一元二次方程﹣公式法;配方法的应用.【专题】计算题.【分析】由a不为0,在方程左右两边同时除以a,并将常数项移到方程右边,方程左右两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边通分并利用同分母分式的减法法则计算,当b2﹣4ac≥0时,开方即可推导出求根公式.【解答】解:ax2+bx+c=0(a≠0),方程左右两边同时除以a得:x2+x+=0,移项得:x2+x=﹣,配方得:x2+x+=﹣=,即(x+)2=,当b2﹣4ac≥0时,x+=±=±,∴x=.【点评】此题考查了一元二次方程的求根公式,以及配方法的应用,学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用.18.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:x2﹣1=0,x2+x﹣2=0,x2+2x﹣3=0,…x2+(n﹣1)x﹣n=0.(1)请解上述一元二次方程;(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;一元二次方程的解.【专题】规律型.【分析】(1)分别利用因式分解法解各方程;(2)根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1,另外一根等于常数项.【解答】解:(1)x2﹣1=0,解得x1=1,x2=﹣1,x2+x﹣2=0,解得x1=1,x2=﹣2,x2+2x﹣3=0,解得x1=1,x2=﹣3,…x2+(n﹣1)x﹣n=0,解得x1=1,x2=﹣n;(2)这n个方程都有一个根为1,另外一根等于常数项.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).19.如图,有33米长的竹篱笆,要围成一边(墙长15米)面积为130平方米的长方形鸡场,求鸡场的长和宽各为多少?【考点】一元二次方程的应用.【专题】几何图形问题.【分析】首先设鸡场的长为x米,则宽为米,根据题意可得等量关系:鸡场的长×宽=130平方米,列出方程,解出x的值.【解答】解:设鸡场的长为x米,则宽为米,由题意得:x×=130,解得:x1=25,x2=13,∵墙长15米,25>15,∴25不合题意舍去,∴x=13,则: =10(米).答:鸡场的长为13米,则宽为10米.【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是弄懂题意,找出题目中的等量关系,此题根据鸡场的面积列出方程即可.。
《一元二次方程》专项练习1.已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =,则a 的值为( )A .0B .±1C .1D .1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义,再将0x =代入原式,即可得到答案.【解析】解:∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =,∴210a -=,10a -≠,则a 的值为:1a =-.故选D .【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2.用换元法解方程21x x ++21x x +=2时,若设21x x +=y ,则原方程可化为关于y 的方程是( ) A .y 2﹣2y +1=0B .y 2+2y +1=0C .y 2+y +2=0D .y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系,设21x x+=y ,则原方程化为y+1y =2,再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解. 【解析】把21x x+=y 代入原方程得:y +1y =2,转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0.故选:A . 【点睛】考查了换元法解分式方程,换元法解分式方程时常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点,寻找解题技巧.3.如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根,那么k 的取值范围是( )A .94k …B .94k -…且0k ≠C .94k …且0k ≠D .94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根,知△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0,解之可得.【解析】解:∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根,∴△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0,解得k≤94且k≠0,故选:C . 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.4.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-,就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如32()x x x x px q =⋅=-=…,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:210x x --=,且0x >,则4323x x x -+的值为( )A .1B .3C .1+D .3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ,代入4323x x x -+即可得出答案.【解析】∵210x x --=,∴2=+1x x ,x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ,∵x =,且0x >,∴x =,∴原式=2,故选:C . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是会将四次先降为二次,再将二次降为一次.5.某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是( ) A .6B .7C .8D .9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解.【解析】解:设参加此次比赛的球队数为x 队,根据题意得:12x (x ﹣1)=36, 化简,得x 2﹣x ﹣72=0,解得x 1=9,x 2=﹣8(舍去),答:参加此次比赛的球队数是9队.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题. 6.国家统计局统计数据 显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x .则可列方程为( )A .()5000127500x +=B .()5000217500x ⨯+=C .()2500017500x +=D .()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ,根据增长率的定义即可列出一元二次方程.【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ,∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元,∴可列方程:()2 500017500x +=,故选C .【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程.7.如图是一张长12cm ,宽10cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为______cm .【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10-2x ,b =6-x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2-11x +18=0.解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8.已知a ,b 是方程230x x +-=的两个A .2023B .2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2,a+b=-1解.【解析】a ,b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9.一个三角形的两边长分别为2和5,【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求.【解析】解:∵x 2-8x +12=0,∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5,第三边长∴三角形的第三边长是6,∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10.若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A .1m < B .1m £三组等式解出即可.边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10-2x )(6-x )=24,=9(舍去).故答案为2.,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根,则22019a b -+的值是( )C .2020D .2019,ab =-3,所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根,∴23b b =-,1a b +=-,ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=;与系数的关系;根据根与系数的关系将所求式子进行,第三边长是方程28120x x -+=的根,则该三角形x +12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=,∴x 1=2,x 2=6,三边长是方程x 2-8x +12=0的根,当x =2时,2+2<5形的周长为:2+5+6=13.故答案为:13.的因式分解法及三角形的三边关系,熟练掌握相关性0m +=有实数根,则实数m 的取值范围是( )C .1m >D .m 1≥出方程.019=(a+b )2-2ab+2016即可求-3b =, 3;故选A . 子进行化简代入是解题的关键.三角形的周长为_______. 三边的长,则该三角形的 ,不符合题意,相关性质及定理是解题的关键.【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之即可得出实数m 的取值范围.【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣=有实数根,2240m ∴=≥-V (-),解得: 1m ≤.故选B . 【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当0≥V 时,方程有实数根”是解题的关键.11.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0,则下列关于该方程根的判断,正确的是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值,再根据非负数的性质判断△>0,然后利用判别式的意义对各选项进行判断.【解析】解:∵△=b 2﹣4×(﹣1)=b 2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.12.关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α,β,且2212αβ+=,那么m 的值为( ) A .1-B .4-C .4-或1D .1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+,2m m αβ=-,由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值,通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-,从而得到m 的取值范围,确定m 的值. 【解析】解:∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α,β,∴()21221m m αβ-+=-=-+,221m m m m αβ-==-, ∵()2222αβαβαβ+=+-,2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-, 整理得,2340m m --=,解得,11m =-,24m =,若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根,则[]()222(1)40m m m --≥-, 解得,1m £,所以1m =-,故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式,注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键.13.关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0,则k 的值是_______.【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=,解得k 的值,再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可.【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程,∴k+2≠0,即k ≠-2;又0是该方程的一个根,∴220k k +-=,解得,11k =,22k =-,由于k ≠-2,所以,k=1.答案为:1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解.解此类题时,要擅于观察已知的是哪些条件,从而有针对性的选择解题方法.同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件,这是容易忽略的地方.14.已知1x ,2x 是一元二次方程240x x --=的两实根,则12(4)(4)x x ++的值是_____.【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+, 124x x =-,然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ,2x 是一元二次方程240x x --=的两实根,121x x ∴+=, 124x x =-,12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=, 故答案为:16.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,代数式求值,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15.设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根,则()()11a b --的值为_____.【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-,2019ab =-,将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论.【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根,∴1a b +=-,2019ab =-,∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-.故答案为:-2017.【点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于b a -,两根之积等于c a”是解题的关键. 16.已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根,则2211224x x x x ++的值是_________.【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得:12x x +=4,12x x ⋅= -7,2211224x x x x ++=()212122x x x x ++,代入可得答案.【解析】解:∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根,∴12x x +=4,12x x ⋅= -7,∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2,故答案为:2. 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系,难度不大,属于基础题17.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场,设参加比赛的球队有x 支,根据题意,下面列出的方程正确的是( )A.12x(x+1)=110 B.12x(x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛,根据参加一次足【解析】解:设有x个队参赛,则x(x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18.阅读理解:对于x3﹣(n2+1)x+n这类x3﹣(n2+1)x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x(x2理解运用:如果x3﹣(n2+1)x+n=0,那么因此,方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解决问题:求方程x3﹣5x+2=0的解为___【答案】x=2或x=﹣或x=﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得.【解析】解:∵x3﹣5x+2=0,∴x3﹣4x∴x(x+2)(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,则(∴x﹣2=0或x2+2x﹣1=0,解得x=2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19.若菱形ABCD的一条对角线长为8,A.16 B.24【答案】B【分析】解方程得出x=4或x=6,分两种6时,6+6>8,即可得出菱形ABCD的周长【解析】解:如图所示:∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24=0,因式分解得:(x﹣4分两种情况:①当AB=AD=4时,4+4②当AB=AD=6时,6+6>8,∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键.)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x﹣1)=一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛,共要比﹣1)=110.故选:D.的应用,找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:﹣n2)﹣(x﹣n)=x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)=那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)=0,即有x﹣n=0或的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n=0的解._____..x+2=0,再进一步因式分解得(x﹣2)[x(x+2)﹣﹣x+2=0,∴x(x2﹣4)﹣(x﹣2)=0,(x﹣2)[x(x+2)﹣1]=0,即(x﹣2)(x2+2x﹣或x=﹣1,故答案为:x=2或x=﹣的应用,解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24=0的一个根,则该菱形C.16或24 D.48分两种情况:①当AB=AD=4时,4+4=8,不能构成的周长.BCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,)(x﹣6)=0,解得:x=4或x=6,+4=8,不能构成三角形;ABCD的周长=4AB=24.故选:B.元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系,熟练掌110共要比赛110场,可列出方程.的关键.:)=(x﹣n)(x2+nx﹣1).x2+nx﹣1=0,1]=0,据此得到两个关1)=0,或x=﹣1.方法.该菱形ABCD的周长为( )能构成三角形;②当AB=AD=熟练掌握并灵活运用是解题的关21.已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根,则1c a+的值等于_______. 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c =0有两个相等的实数根”,结合根的判别式公式,得到关于a 和c 的等式,整理后即可得到的答案.【解析】解:根据题意得:△=4﹣4a (2﹣c )=0,整理得:4ac ﹣8a =﹣4,4a (c ﹣2)=﹣4,∵方程ax 2+2x+2﹣c =0是一元二次方程,∴a≠0,等式两边同时除以4a 得:12c a -=-,则12c a+=,故答案为2. 【点睛】本题考查了根的判别式,正确掌握根的判别式公式是解题的关键.22.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为864平方步,它的宽比长少12步,问它的长与宽各多少步?利用方程思想,设宽为x 步,则依题意列方程为____________.【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后,可利用矩形面积公式,根据假设未知数表示长与宽,按要求列方程即可.【解析】因为宽为x ,且宽比长少12,所以长为x+12,故根据矩形面积公式列方程:x(x+12)=864,故答案:x(x+12)=864.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用,此类型题目去除复杂题目背景后,按照常规公式,假设未知数,列方程求解即可.23. 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解,则24a+b =( )A .2-B .3-C .4D .6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1,然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x =1代入方程x 2+ax +2b =0,得a +2b =-1,2a +4b =2(a +2b )=2×(-1)=-2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解,整式运算,掌握运算法则是解题关键24.已知1x ,2x 是方程2320x x --=的两根,则2212x x +的值为( )A .5B .10C .11D .13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式,得到2212x x +21212)2x x x x =+-(,再利用一元二次方程根与系数关系:12b x x a+=-,12c x x a=即可求解.【解析】解:2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=(故选:D . 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系,灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键.25.若x 1,x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020=0的两个实数根,则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____.【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020,x 1+x 2=4,代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)计算可得.【解析】解:∵x 1,x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12﹣4x 1﹣2020=0,即x 12﹣4x 1=2020,则原式=x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2=x 12﹣4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028,故答案为:2028.【点睛】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是掌握x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根时,x 1+x 2=b a -,x 1x 2=c a. 26.解方程:x 2﹣5x +6=0【答案】x 1=2,x 2=3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得.解:∵x 2﹣5x +6=0,∴(x ﹣2)(x ﹣3)=0,则x ﹣2=0或x ﹣3=0,解得x 1=2,x 2=3.【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27.已知1x ,2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使得等式12112k x x +=-成立?如果存在,请求出k 的值,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)1k ≤-;(2)k =【分析】(1)根据方程的系数结合 ≥0,即可得出关于k 的一元一次不等式,解之即可得出k 的取值范围; (2)根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2,x 1x 2=k +2,结合12112k x x +=-,即可得出关于k 的方程,解之即可得出k 值,再结合(1)即可得出结论.【解析】解:(1)∵一元二次方程有两个实数根,∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-;(2)由一元二次方程根与系数关系,12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-,∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=,解得k =.又由(1)知:1k ≤-,∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;(2)根据根与系数的关系结合12112k x x +=-,找出关于k 的方程. 28.已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.(1)求m 的取值范围.(2)若该方程的两个实数根为1x 、2x ,且124x x -=,求m 的值.【答案】(1)2m ≤.(2)1m =.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之即可得出m 的取值范围;(2)由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6,x 1x 2=4m+1,结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程,解之即可得出m 的值.【解析】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+(4m+1)=0有实数根,∴△=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0,解得:m≤2;(2)∵方程x 2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x 1、x 2,∴x 1+x 2=6,x 1x 2=4m+1,∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=42,即32-16m=16,解得:m=1.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;(2)利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4,找出关于m 的一元一次方程.29.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m=2时,方程的根为12,x x ,求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】(1)134m ≤;(2)1. 【分析】(1)根据△≥0,解不等式即可;(2)将m=2代入原方程可得:x 2+3x+1=0,计算两根和与两根积,化简所求式子,可得结论.【解析】(1)△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根,∴△=4130m -+≥解得134m ≤ (2)当m=2时,方程为x 2+3x+1=0,∴x 1+x 2=-3,x 1x 2=1,∵方程的根为x 1,x 2,∴x 12+3x 1+1=0,x 22+3x 2+1=0,∴(x 12+2x 1)(x 22+4x 2+2)=(x 12+2x 1+x 1-x 1)(x 22+3x 2+x 2+2)=(-1-x 1)(-1+x 2+2)=(-1-x 1)(x 2+1)=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,根的判别式等知识,牢记“两根之和等于b a -,两根之积等于c a”是解题的关键. 30. 2019年在法国举办的女足世界杯,为人们奉献了一场足球盛宴.某商场销售一批足球文化衫,已知该文化衫的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每个月可售出100件.根据市场行情,现决定涨价销售,调查表明,每件商品的售价每上涨1元,每个月会少售出2件,设每件商品的售价为x 元,每个月的销量为y 件.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好为2250元;(3)当每件商品的售价定为多少元时,每个月获得利润最大?最大月利润为多少?【答案】(1)y =220﹣2x ;(2)当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元;(3)当x =75,即售价为75元时,月利润最大,且最大月利润为2450元.【分析】(1)根据月销量等于涨价前的月销量,减去涨价(x-60)与涨价1元每月少售出的件数2的乘积,化简可得;(2)月销售量乘以每件的利润等于利润2250,解方程即可;(3)根据题意列出二次函数解析式,由顶点式,可知何时取得最大值及最大值是多少.【解析】(1)由题意得,月销售量y =100﹣2(x ﹣60)=220﹣2x (60≤x ≤110,且x 为正整数)答:y 与x 之间的函数关系式为y =220﹣2x .(2)由题意得:(220﹣2x )(x ﹣40)=2250化简得:x 2﹣150x +5525=0解得x 1=65,x 2=85答:当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元.(3)设每个月获得利润w 元,由(2)知w =(220﹣2x )(x ﹣40)=﹣2x 2+300x ﹣8800∴w =﹣2(x ﹣75)2+2450 ∴当x =75,即售价为75元时,月利润最大,且最大月利润为2450元.【点睛】此题考查一元二次方程的应用,二次函数的应用,解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31.小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x (元),日销量为y (件),日销售利润为w (元).(1)求y 与x 的函数关系式.(2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元?(3)求日销售利润w (元)与销售单价x (元)的函数关系式,当x 为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润.【答案】(1)10280y x =-+;(2)10元;(3)x 为12时,日销售利润最大,最大利润960元【分析】(1)根据题意得到函数解析式;(2)根据题意列方程,解方程即可得到结论;(3)根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+,根据二次函数的性质即可得到结论.【解析】解:(1)根据题意得,()20010810280y x x =--=-+,故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+;(2)根据题意得,()()610280720x x --+=,解得:110x =,224x =(不合题意舍去),答:要使日销售利润为720元,销售单价应定为10元;(3)根据题意得,()()()261028010171210w x x x =--+=--+, 100-<Q ,∴当17x <时,w 随x 的增大而增大,当12x =时,960w =最大,答:当x 为12时,日销售利润最大,最大利润960元.【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用,利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式,进一步利用性质的解决问题,解答时求出二次函数的解析式是关键.32.为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?【答案】销售单价为180元时,公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元,由题意得到1003005200[32000]x x -+-()()=,则可得到答案. 【解析】解:设降价后的销售单价为x 元,则降价后每天可售出3005200[]x +-()个, 依题意,得:1003005200[32000]x x -+-()()=, 整理,得:2360324000x x +﹣=,解得:12180x x ==.180200<,符合题意. 答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用,解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1.已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根,则实数m 的值是( ) A .0 B .1C .−3D .−1【答案】B【分析】把x =2+代入方程就得到一个关于m 的方程,就可以求出m 的值.【解析】解:根据题意得2(24(20m -⨯++=,解得1m =;故选:B .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.2.定义运算:21m n mn mn =--☆.例如2:42424217=⨯-⨯-=☆.则方程10x =☆的根的情况为( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根 D .只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程,再根据一元二次方程的根的判别式可得答案. 【解析】解:根据定义得:2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根,故选.A【点睛】本题考查了新定义,考查学生的学习与理解能力,同时考查了一元二次方程的根的判别式,掌握以上知识是解题的关键.3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是( ) A .4 B .5 C .6 D .7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支,根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支,依题意,得:2143x x ++=, 解得: 17x =-(舍去),26x =.故选C .【点睛】此题考查一元二次方程的应用,解题关键在于列出方程4.关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况,下列说法正确的是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根 D .无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式,再进行配方得到△=(k-1)2+4,然后根据非负数的性质得到△>0,再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根.【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4,∴(k-1)2+4>0,即△>0,∴方程总有两个不相等的实数根.故选:A .【点睛】本题考查的是根的判别式,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②当△=0时,方程有两个相等的实数根;③当△<0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.5.已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+2x +1=0有实数根,则m 的取值范围是( ) A .m <2 B .m≤2 C .m <2且m≠1 D .m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,即可得出关于m 的一元一次不等式组,解之即可得出m 的取值范围.【解析】解:因为关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有实数根,所以b 2-4ac =22-4(m -1)×1≥0,解得m≤2.又因为(m -1)x 2+2x +1=0是一元二次方程,所以m -1≠0.综合知,m 的取值范围是m≤2且m≠1,因此本题选D .【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键.6.某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x ,根据题意可得方程( )A .180(1﹣x )2=461B .180(1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的180万只,4月份的利润将达到461万只【解析】解:从2月份到4月份,该厂家口故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7.关于x 的一元二次方程22x mx +A .2m =- B .3m = 【答案】A【分析】设1x ,2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ,2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥,∴0m ≤,∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-,∴2m =-,故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8.已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A .﹣7 B .7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解:设另一个根为x ,则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9.设1x ,2x 是方程2234x x +-=的两)2=461 C .368(1﹣x )2=442 D .368(1+x 增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设这个增万只”,即可得出方程.厂家口罩产量的平均月增长率为x ,根据题意可得方实际应用,理解题意是解题关键.20m m ++=的两个实数根的平方和为12,则m 的值C .3m =或2m =- D .3m =-或m =m +=的两个实数根,由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根,22x m =-,212x x m m ⋅=+,222222212m m m m m --=-=,A .系数的关系;牢记韦达定理,灵活运用完全平方公式m =0的一个根是2,则另一个根是( ) C .3D .﹣3出答案.=﹣5,解得x =﹣7.故选:A .根与系数的关系,正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根,则1211+x x 的值为______. )2=442 设这个增长率为x ,根据“2月份可得方程:180(1+x )2=461,的值为( ) 22m -,212x x m m ⋅=+,方公式是解题的关键. 系数的关系是解题关键.【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解:由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-.故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10.如图,在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2,则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可.【解析】解:设道路的宽为x m ,根据题意解得:x 1=1,x 2=24(不合题意,舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键.11.已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2,再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ,∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程,12.一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解:30x -=或20x -=,所以2x 与12x x g 的值,再化简要求的式子,代入即可得解0可知1232x x +=-,124·22x x -==- 案为:34 系数的关系,利用韦达定理可简便运算.矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,___米. 到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方据题意得:(10﹣x )(15﹣x )=126, ),则道路的宽应为1米;故答案为:1.程的应用,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2,再根据根的关系即可求解.> (x-3m )(x-m )=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为:1. ,解题的关键是熟知因式分解法的运用. 0的根是_____. -3=0或x-2=0,然后解两个一次方程即可. 所以123,2==x x .故答案为123,2==x x .可得解. ,剩余分栽种花草,要使绿化个长方形,根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做,则m 的值为_____.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.13.三角形的两边长分别为4和7,第三边的长是方程28120x x -+=的解,则这个三角形的周长是________. 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值,再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形,从而得出答案. 【解析】解:解方程28120x x -+=得x 1=2,x 2=6,当x=2时,2+4=6<7,不能构成三角形,舍去; 当x=6时,2+6>7,能构成三角形,此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为:17.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.14.1275年,我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.若设长为x 步,则可列方程为_____. 【答案】x (x ﹣12)=864.【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为(x-12)步,根据矩形的面积为864平方步,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.【解析】解:∵长为x 步,宽比长少12步,∴宽为(x ﹣12)步.依题意,得:x (x ﹣12)=864.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.15.用配方法求一元二次方程()()23616x x +-=的实数根.【答案】1x 2x . 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0,然后变形为29x x 172﹣=,然后利用配方法解方程. 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣=,29x x 172﹣=,298181x x 1721616-++,29353x 416-(=,9x 4-±=,所以12x ,. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.16.已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x . (1)求k 的取值范围;(2)若33121224x x x x +=,求k 的值.。
一元二次方程
一、填空(每小题3分,共24分)
1.下列方程中 , 为一元二次方程是__________________.(只填序号)
①216x = ②2230x y +-= ③2(5)2x x x x -=-
④25120x x --= ⑤2130x x
+-= ⑥20x = 2.把一元二次方程2(5)36x -=化为一般形式是________________.
3.关于的方程22(4)6(2)340m x m x m ---+-=,当_________时,它是一元二次方程;当_________时,它是一元一次方程.
4.直角三角形中,斜边长为13cm ,两条直角边的长相差7cm ,若设较短的直角边为cm .则可列出方程_______________.
5.若方程27x nx n -=+的一个根是2 , 则=________.
6.方程(1)(2)0x x --=的两根为12,x x ,且12x x > ,则122x x -的值等于________.
7.若1x =-是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根,则b a c --的值为________.
8.已知三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程2650x x -+=的根, 则这个三角形的形状是____________.
二、选择题(每小题3分,共24分)
1. 下列方程是的一元二次方程是( ) A.211x
=- B. 22(21)2x x x -+=- C.2(1)(1)0x x +-= D. (3)(2)5x x +-=
2.方程(3)3x x x +=+的解是( )
A.1x =
B. 0x =
C.121,3x x ==
D.121,3x x ==-
3.若222x x -= , 2
243x x -+的值为( )
A. 7
B. -2
C. 5
D. -3
4.已知方程27120x x -+=的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长为( )
A. 5
B. 7
C.12
D. -5
5.用配方法解方程234x x -= ,应把方程的两边同时( )
A.加上32
B.加上94
C.减去32
D. 减去94
6.若0a b c ++=,则20ax bx c ++=必有一个根是( )
A.0
B.1
C. -1
D. -
7.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件;全组共互赠了182件.如果全组有x 名学生,则根据题意列出的方程是( )
A.(1)182x x +=
B.(1)182x x -=
C.2(1)182x x +=
D.(1)1822x x -=⨯
8.不解方程,判别方程2
2340x x +-=的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
三、解答题(每小题8分,共40分)
1.解下列方程:
(1)(5)3x x x -= (2)2210x x +-=
2.当为何值时,代数式21312x x -+的值等于-18 ?
3.当取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=有两个相等的实数根?
4.若23100a a --+=,且﹥0,b ﹤0,求a +b 的值.
5.据报道,我省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用十分有限,2007年的利用率只有30%,大部分秸秆都被直接焚烧了。
假定我省每年产出的秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使2009年的利用率提高到60%.求每年的平均增长率该是多少?(取√2≈1.41).
四、(12分):
新苑小区的物业管理部门为了美化环境在小区靠墙的一侧设计了一块长方形花圃(如图所示),墙长25,花圃三边外围用篱笆围起,栽上花,共用篱笆40.
(1)花圃的面积能达到200 2m 吗?
(2)花圃的面积能达到250 2m 吗?
(3)你能根据所学的知识求出花圃的最大面积吗?
此时,篱笆该怎样围?
一元二次方程试题答案
一、填空:1、①④⑥ 2、210110x x --=,3、m ≠±2,m =-2,
4、222(7)13x x ++=,
5、1n =-,
6、0,
7、0,
8、直角三角形
二、选择题:DDAABBBB
三、解答题:
1、解方程① 120,8x x == ②1x =-
2、解:2131218x x -+=-
3、解:△=240B AC -=
213300x x -+= 1640a +=
(3)(10)0x x --= 4a =-
123,10x x ==
4、解:23100a a --= 24b -=0
125,2a a ==-(舍) 122,2b b =-=(舍) a +b=5+(-2)=3
5、解:设每年的平均增长率为x
30﹪ (1+x)2=60﹪ 1+x=±2 x 1=-1+2=0.41=41﹪ X 2=-1-2(舍) 答略
四、解:设BC= m ,则AB=(20-21
x)m
① x(20-21
x)=200 x=20m 答:能达到200m 2
② x(20-21
x)=250 此方程无解,答:不能达到250 m 2
③ x(20-21x)=-21x 2+20 x=-21
(x 2- 40x+400-400) =-21
(x-20)2+200≤200 答:当BC=20m 时,花圃有最大面积为200 m 2。