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张晓峒第6章-多元线性回归模型

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多元线性回归模型的矩阵表示课件

多元线性回归模型的矩阵表示课件
根据上述公式计算决定系数，需要先根据回归
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显

多元线性回归的计算模型

多元线性回归的计算模型

多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。

1.每个自变量与因变量之间是线性关系。

2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。

3.误差项ε服从正态分布。

4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。

5.误差项ε之间相互独立。

为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。

最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。

具体步骤如下：1.收集数据。

需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。

2.建立模型。

根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。

3.估计回归系数。

利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。

4.假设检验。

对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。

5. 模型评价。

使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。

6.模型应用与预测。

通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。

多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。

这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。

在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。

总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。

通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。

多元线性回归模型多元线性回归模型

多元线性回归模型多元线性回归模型

1
e
1 2
2
(Yi
( ˆ0
ˆ1 X1i
ˆ2
X
2i
ˆk
X
ki
))2
(2
)
n 2
n
1
1 (YXβˆ )(YXβˆ )
e 2 2
(2
)
n 2
n
即为变量Y的或然函数
• 对数或然函数
为
L* Ln(L)
nLn( 2 ) 1 (Y Xβˆ ) (Y Xβˆ ) 2 2
对对数或然函数求极大值，也就是对
计量为：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
*二、最大或然估计
• 对于多元线性回归模型
易知
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i
Yi ~ N (Xiβ , 2 )
• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 L(βˆ , 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
§3.2 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例
说明
估计方法： 3大类方法：OLS、ML或者MM – 在经典模型中多应用OLS – 在非经典模型中多应用ML或者MM – 在本节中， ML与MM为选学内容
一、普通最小二乘估计
求期望 :
Y Xβμ
XY XXβ Xμ
X(Y Xβ) Xμ
E(X(Y Xβ) 0
E(X(Y Xβ) 0
称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总 体回归方程所具有的内在特征。
1 X(Y Xβˆ ) 0 n
由此得到正规方程组

(完整版)多元线性回归模型原理

(完整版)多元线性回归模型原理

研究在线性关系相关性条件下，两个或者两个以上自变量对一个因变量，为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。

多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上为复杂需借助计算机来完成。

计算公式如下：设随机y 与一般变量12,,k x x x 的线性回归模型为：01122k k y x x x ββββε=++++其中01,,k βββ是1k +个未知参数，0β称为回归常数，1,k ββ称为回归系数；y 称为被解释变量；12,,k x x x 是k 个可以精确可控制的一般变量，称为解释变量。

当1p =时，上式即为一元线性回归模型，2k ≥时，上式就叫做多元形多元回归模型。

ε是随机误差，与一元线性回归一样，通常假设2()0var()E εεσ⎧=⎨=⎩同样，多元线性总体回归方程为01122k k y x x x ββββ=++++系数1β表示在其他自变量不变的情况下，自变量1x 变动到一个单位时引起的因变量y 的平均单位。

其他回归系数的含义相似，从集合意义上来说，多元回归是多维空间上的一个平面。

多元线性样本回归方程为：01122ˆˆˆˆˆk ky x x x ββββ=++++多元线性回归方程中回归系数的估计同样可以采用最小二乘法。

由残差平方和:ˆ()0SSE y y∑=-= 根据微积分中求极小值得原理，可知残差平方和SSE 存在极小值。

欲使SSE 达到最小，SSE 对01,,k βββ的偏导数必须为零。

将SSE 对01,,k βββ求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到1k +各方程式：ˆ2()0i SSE y yβ∂=--=∂∑ 0ˆ2()0i SSE y y x β∂=--=∂∑通过求解这一方程组便可分别得到01,,k βββ的估计值0ˆβ，1ˆβ，···ˆkβ回归系数的估计值，当自变量个数较多时，计算十分复杂，必须依靠计算机独立完成。

《多元线性回归》PPT课件

《多元线性回归》PPT课件

ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，

[理学]6第六章 多元线性回归模型讲解学习

[理学]6第六章 多元线性回归模型讲解学习
没有系统性影响 联合假设的意义： 在实践中，可能出现一个或多个解释变量各自对被解释 变量没有影响（即解释变量没有通过T检验，和零没有显著 差异），但集体对解释变量有影响（即拒绝上述H0,举例）
回归方程的显著性检验—F检验（检验因变量和诸自变量之间是否存在显著的
线性关系）
1、检验的假设：
H 0 ： 23 k0H1： j(j2,3, ,k)不全为
此时，方阵 X' X也应是满秩的： Rank（XX） k
所以X 行 X列 0 ，X 式 （ X ） 1 存在
返回
第二节 多元线性回归的参数的OLS估 计及其性质
▪ 一、参数的OLS估计 ▪ 二、 OLS估计量的性质 ▪ 三、 OLS估计量的概率分布 ▪ 返回
一、参数的 OLS估计
基本思想（原则）：寻找实际值与拟合值的离差平方和为最小 的回归直线。
不同解释变量的回归模型进行比较
二、对回归参数进行假设检验： 显著性检验法(p135)
▪ 多元线性回归的 参数的显著性检验
➢ 同为稻草人假设 ➢ 自由度为n-k-1,k为解释变量个数 ➢ 得到t值后和临界值比较，当t值大于临界值，则拒绝
零假设
t ˆ i
▪返回
S ˆi
葡萄酒价格预测
数据 ▪ 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批，
ˆ1
ˆ2 X2i
ˆk Xki) X2i
0
Q
ˆk
2(Yi
ˆ1 ˆ2 X2i
ˆk Xki)Xki
0
化简得正规方程 组
Xe1iiei X111
1 X12
XKiei
Xk1
Xk2
1 e1
0X1ne2Xe0源自Xknen0样本回归函数 Y为 Xˆe

计量经济学 张晓峒 第三版 南开大学出版社

第四章一、练习题 （一）简答题1、多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？2、多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为fedu medu sibs edu 210.0131.0094.036.10++-=R 2=0.214式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。

问（1）若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？ 4、以企业研发支出（R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：099.0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.0221=++=R X X Y其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。

如果X1增加10%，估计Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（2）针对R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。

分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？ 5、什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110，n i ,,2,1 =的正规方程组，及其推导过程。

6、假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。

张晓峒-当代计量经济模型体系


单位根检验 蒙特卡罗模拟技术
当代计量经济模型体系（按因变量特征分类） ：
1．经典回归模型（因变量为连续变量） 2．离散因变量模型（因变量为离散变量） 3．受限因变量模型（因变量有观测缺失） 4．分位数回归模型（因变量分布的不同分位点） 5．联立方程模型、向量时间序列模型（多个因变量） 6．线性、非线性时间序列模型（分析自身变化规律） 7．面板数据模型、状态空间模型（兼有时间、截面两个特征） 8．二阶矩模型与持续期模型（分析序列的方差，持续时间间隔） 9．时间序列的成分分解、季节调整（拆分因变量成分）
(10.6) (12.6) (30.6) (7.3) (-2.51) (-13.2)
R2 = 0.81 , Q(15) = 7.7, 20.05(9) = 16.9
0, D1= 1, 1949 t 1977 ,1996 t 2005 , 1978 t 1995
0, D2= 1,
其中i、 t 是随机变量， 且其变化与 Xit 有关系； yit 为被回归变量 （标量） ， it 为误差项（标量） ，Xit 为 k 1 阶回归变量列向量（包括 k 个回归量） ， 为 k 1 阶回归系数列向量。
随机效应模型
个体随机效应模型 yit = i + Xit ' +it, 时点随机效应模型 yit = t + Xit ' +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T
20000 10000
0 -400 -800
0 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
-1200 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05

多元线性回归模型分析

例：总体：E（Y-μ）=0
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε

多元线性回归模型

多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。

它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。

在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。

【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。

它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。

多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。

回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。

【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。

2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。

3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。

4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。

【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。

3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。

4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。

5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。

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ˆ N(, (X 'X )-1 ) ˆ 通常未知。可用 的无偏估计量 s 构造 Var( ) 的估计式，
-1 ˆ Var ( ) = s 2 ˆ = s (X ' X )
(6-34)

(β)
(6-35)
-1 ˆ Var ( )也用 s 2 ˆ 表示。因为 s 是 的无偏估计量，所以 s 2 ˆ =s (X 'X ) 也是
6.4 残差的方差 ˆ ˆ 定义残差的方差为 s2 = u ' u / (T - k) s2 是随机误差项方差 E(s 2 ) =。
ˆ 6.5 Y 与最小二乘估计量 的分布

的无偏估计量，
若假定 u N(0, I ), 则每个 ut 都服从正态分布。于是有 Y N(X , I )
ESS /(k 1) RSS /(T k ) ESS /(k 1) F(k -1, T - k) RSS /(T k )
(6-45)
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
在 H0 成立条件下，有 F =
给定检验水平为，则检验规则是 若用样本计算的 F F (k -1, T - k)，则接受 H0， 若用样本计算的 F > F (k -1, T - k)，则拒绝 H0。
T T T
利用假定 (4) ，T– 1X 'X → Q，得
ˆ plimVar( ) = plimT -1 Q -1 = 0.
T T
ˆ OLS 估计量 具有渐近无偏性且渐近方差为零，因此有 ˆ 这说明 是 的一致估计量。
ˆ plim =
T
(6-43)
6.7 F 检验 对于多元线性回归模型，在对每个回归系数进行显著性检验之前，应该对回归 模型的整体做显著性检验。这个检验要用到 F 统计量。 当检验被解释变量 yt 与一组解释变量 x1, x2 , ... , xk -1 是否存在回归关系时， 给出的零假设与备择假设分别是 H0：1 = 2 = ... = k-1 = 0 , H1：i, i = 1, ..., k -1，不全为零。 注意，H1 定义的是“i 不全为零” ，而不是“i 全不为零” 。而且i 中不包括0。 定义 F 统计量为 F=
6.1 多元线性回归模型及其假定条件 y1 = 0 +1x11 + 2x12 +…+ k -1x1 k -1 + u1 y2 = 0 +1x21 + 2x22 +…+ k -1x2 k -1 + u2 … yT = 0 +1x T 1 + 2x T 2 +…+ k -1x T k -1 &#-k) 图 6-2
t/2(T-k)
t 检验示意图
s( ) ˆ j
ˆ = j
ˆ ˆ Var( ) j 1 = j

s 2 ( X ' X ) 1 j 1 t(T- k )
(6-46)
ˆ 其中 s ( ) 表示 j 的估计的标准差， j 的方差协方差矩阵 s2 (X' X )-1 主对角线上第 j +1 即 ˆ ˆ
ˆ 具有最小方差特性。
(6-13)
6.3.4 渐近无偏性
-1 -1 ˆ plimE( ) = plimE[(X 'X) X 'Y ] = plimE[(X 'X) X ' (X + u)]
T T T
= + plim( -X 'X)-1 plim - X ' E(u) =



ˆ Var( )= (X 'X )-1 的无偏估计量。
6.6.2 多重确定系数 R2
ˆ ˆ ESS Y' Y Ty 2 R = TSS Y Y - Ty 2
2
(6-41)
多重可决系数 R2 的取值范围在[0, 1]之间。R2 越接近 1，估计的回归函数对样 本点的拟合优度越好，即解释变量对被解释变量的解释作用越强。 6.6.3 调整的多重确定系数 R 2 对于给定的样本值 yt，TSS 是不变的。随着模型中解释变量个数的增加，RSS 趋向于变小，即确定系数 R 2 变大。为考虑模型中解释变量个数的变化对 R2 的影响，调整的多重可决系数 R 2 定义如下，
(6-12)
6.3.3 最小方差性
ˆ 下面求 的方差协方差矩阵。当假定 (1)、(3)、(4) 成立时，利用上式得 ˆ ˆ ˆ Var( ) = E[( –) ( –)'] = E[(X 'X)-1X ' u u' X (X 'X)-1]
= E[(X 'X)-1X ' 2I X (X 'X)-1] = 2 (X 'X)-1
y1 y2 = y T (T 1)
(6-2)
0 u1 1 u + 2 (6-3) k 1 ( k 1) u T (T 1)
6.3.1 线性特性 (X 'X) -1X 是一个常数矩阵， 由式 （6-7） 是 Y 的线性组合， 知 ˆ 为线性估计量。
ˆ 具有线性特性。
6.3.2 无偏特性
ˆ 利用假定 (1)，E(u) = 0，由式 = (X 'X )-1 X 'Y， ˆ E( ) = + (X 'X)-1X ' E(u) = ˆ 是的线性无偏估计量，具有无偏性。
导数，并令其为零，
S ˆ = - 2X 'Y + 2X 'X = 0 ˆ
(6-6)
ˆ 化简得， X 'Y = X 'X ，因为 (X 'X) 是一个非退化矩阵（见假定⑶） ，
所以必有(X 'X)-1 存在。用(X 'X)-1 左乘上式，得
ˆ =
(X 'X)-1X 'Y
(6-7)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ minS = u ' u = (Y - Y )' (Y - Y ) = (Y - X )' (Y - X ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Y 'Y - 'X 'Y - Y ' X + 'X 'X = Y 'Y - 2 'X 'Y + 'X 'X ˆ ˆ ˆ ˆ 因为 Y 'X 是一个标量，所以有 Y 'X = 'X 'Y。求 S 对 ' 的一阶偏
x1 j x2 j xTj
x 2 k 1 , xT k 1 (T k ) x1
k 1
= 0 1 k 1 ( k 1) ，u = u1 u 2 uT (T 1)
则式(6-3)可以写为，

2 F(k-1,T-k) F 检验示意图 1 3 4
图 6-1
0.4
0.3
0.2
t 检验和回归系数的置信区间 H0：j = 0, (j = 1, 2, …, k-1), H1： j 0, (j = 1, 2, …, k – 1). 在 H0 成立条件下， 6.8 t=
ˆ
j
/2
-4 -2
Y=X +u
6.1.2 模型的假定条件 假定 ⑴ 随机误差项向量 u 是非自相关的，同方差的。其中每一项 都满足均值为零，方差为 2，相同且为有限值，即 E(u) = 0 = 0 0 0 (T 1)
1 0 0 ， (u) = 2I = 2 0 0 Var 0 0 1 (T T )
6.9 预测 6.9.1 点预测 设 T+1 期解释变量向量用 C 表示， C = (1 xT+1,1 xT+1,2 … xT+1,k-1 )
T T
(6-18)
6.3.5 一致性 下面证明 OLS 估计量的一致性。由式（6-13）有
ˆ Var( ) = 2 (X 'X )-1 = - 2 ( - X 'X )-1
(6-19)
取极限，则有
ˆ plimVar( ) = plim T -1 plim( - X ' X )-1
1 x11 1 x 21 1 xT 1
x1 j x2 j xTj
x 2 k 1 xT k 1 (T k ) x1
k 1
令Y=
y1
y2
1 x11 1 x 21 yT (T 1) ， X = 1 xT 1
假定⑵ 解释变量与误差项相互独立，即 E(X 'u) = 0 假定⑶ 解释变量之间线性无关。 rk(X 'X) = rk(X) = k . 其中 rk()表示矩阵的秩。 假定⑷ 解释变量是非随机的，且当 T → ∞ 时 T– 1X 'X → Q 其中 Q 是一个有限值的非退化矩阵。
6.2 最小二乘法 最小二乘 (OLS) 法的原理是通过求残差（误差项的估计值）平方和最小 确定回归参数估计值。这是求极值问题。
j
个元素的算术平方根。s 按式（6-23）计算，是对 的估计。设检验水平为 ，则检验 规则是， 若用样本计算的 t t / 2(T- k)，则接受 H0， 若用样本计算的 t > t / 2(T- k)，则拒绝 H0。 其中表示检验水平，t / 2(T- k)表示临界值。t 检验示意图见图 6-2。 注意：对于模型 (6-1)，上述 t 检验应做 k - 1 次。t 检验是双侧（双端、双边）检验。