Fuzzy数级数的收敛性

文章编号:1004—5570(2004)02-0058-04复Fuzzy 函数级数的一致收敛及其若干性质彭维玲(通化师范学院数学系,吉林通化　134002)摘要:在给出复Fuzzy 函数级数及其一致收敛的概念的基础上,补充了复F uzzy 函数级数一致收敛的判别方法并讨论了一致收敛的复Fuzzy 函数级数的若干性质。

关键词:复Fuzzy 集值函数;复Fuzzy 函数级数;一致收敛中图分类号:O159 文献标识码:AConvergence uniform and some properties of the complexfuzzy -valued functions seriesPENG Wei -ling(Department of M athematics ,T onghua T eachers Colleg e ,T ong hua ,Jilin 134002,China )A bstract :On the basis of the concepts of the complex fuzzy -valued function 's series and convergenceuniform ,this paper complements discrimination priciples of the convergence uniform and discusses some properties of the complex fuzzy -valued functions series under convergence unifo rm .Key words :complex fuzzy -valued function ;series of the complex fuzzy -valued function ;convergence uniform 自从1965年Zadeh 教授提出Fuzzy 集合论以来,在各国Fuzzy 学者的共同努力下,Fuzzy 数学理论及其应用研究取得了长足的进展,Fuzzy 复分析是Fuzzy 数学的又一新的分支,在Fuzzy 动力系统理论中有着广泛的应用,见文[1].作为Fuzzy 复分析理论的一个重要方面,复Fuzzy 级数理论的研究尚不完善,文[4]给出了复Fuzzy 级数收敛的判别法,本文在此基础上,补充了复Fuzzy 函数级数一致收敛的判别法,并讨论了一致收敛的复Fuzzy 函数级数的连续性,可积性,可微性。

级数 fubini定理级数一、定义级数是由无限多个数相加所得到的结果。

形式上，一个级数可以表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$其中，$a_n$表示级数的第$n$项。

二、收敛与发散对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列$\{S_n\}$收敛，则称该级数收敛，否则称该级数发散。

其中，部分和数列$\{S_n\}$表示前$n$项的和，即：$$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$$三、常见判别法判断一个级数是否收敛或发散有多种方法。

以下是常见的几种判别法：（1）正项级数判别法：如果一个级数所有的项$a_n$都是非负实数，并且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$，则该级数收敛。

（2）比较判别法：设两个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在正整数N使得对于$n>N$，有$a_n \leq Cb_n$成立，则当$b_n$收敛时$a_n$也必然收敛；当$a_n$发散时$b_n$也必然发散。

（3）比值判别法：设一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果$\lim\limits_{n \to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L$存在，则当$L<1$时级数收敛，当$L>1$时级数发散，当$L=1$时该方法不起作用。

（4）根值判别法：设一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果$\lim\limits_{n \to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=L$存在，则当$L<1$时级数收敛，当$L>1$时级数发散，当$L=1$时该方法不起作用。

（5）积分判别法：设$f(x)$在区间[1,+$\infty$)上单调递减且非负，则$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$和$\int_1^{+\infty}f(x)dx$同敛散。

复变函数级数收敛性复变函数级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为复数系数，$z$为复变量，$z_0$为复常数。

研究复变函数级数的收敛性是复分析中的一个重要课题。

本文将讨论复变函数级数的收敛条件及其在复平面上的收敛域。

一、幂级数的收敛性幂级数是复变函数级数的一种特殊情况，其系数$a_n$为常数。

对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其在某个复数$z_0$附近的收敛性由收敛半径$R$决定。

收敛半径$R$的计算公式为：$$R = \frac{1}{\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.$$当$|z-z_0| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，幂级数发散；当$|z-z_0| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。

收敛半径$R$可用来确定幂级数的收敛域，即收敛的$z$的取值范围。

二、复变函数级数的收敛性对于一般的复变函数级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其中系数$a_n$为复数，我们可以通过Cauchy-Hadamard公式求解其收敛半径$R$。

公式如下：$$\frac{1}{R} = \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$类似于幂级数的情况，当$|z-z_0| < R$时，级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，级数发散；当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。

三、收敛域的性质1. 收敛域是开集：对于给定的收敛半径$R$，收敛域是以$z_0$为中心、半径为$R$的开圆盘，即$\{z\in\mathbb{C}: |z-z_0| < R\}$。

2. 边界上的收敛性：当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。

探索傅里叶级数的一致收敛性,逐项积分性和逐项微分性探索傅里叶级数的一致收敛性,逐项积分性和逐项微分性探索傅里叶级数的一致收敛性，逐项微分性和逐项积分性在第15章的第1节和第3节分别建立和证明了傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）：设f(x)是以2?为周期的周期函数，若f(x)在[??,?]上按段光滑，则对任意x?(??,??)，f(x)?f(x)2f(x)的傅里叶级数在x处收敛于，即a02an?1ncosnx?bnsinnx??f(x)?f(x)2，其中a0?1f(x)dx，an?1f(x)cosnxdx，bn?1f(x)sinnxdx（n?1,2,?）为f(x)的傅里叶系数．以此定理为基础，请同学们按照下面的步骤进一步探索傅里叶级数的一致收敛性、逐项微分性和逐项积分性．一、几个引理我们知道，若f(x)在[a,b]上按段光滑，【即f(x)在[a,b]上除有限个第一类间断点外连续（此时也称f(x)在[a,b]上按段连续），f(x)在[a,b]上除有限个点外可导且f?(x)在[a,b]上也除有限个第一类间断点外连续，简单地讲：f(x)在[a,b]上按段光滑也就是f(x)和f?(x)都在[a,b]上按段连续】，则f(x)和f?(x)都在[a,b]上可积，并且除[a,b]上有限个点外，f(x)可作为f?(x)的原函数，于是，根据定积分的定义，当我们进一步要求f(x)在[a,b]上连续的情况下，注意到拉格朗日中值公式，可得引理1（定积分的牛顿—莱布尼茨公式的推广）若f(x)在[a,b]上连续，且按段光滑，则baf?(x)dx?f(b)?f(a)?f(x)ba．提示：选择包含使f?(x)不存在的点为分点的[a,b]的分割T:a?x0?x1xn?1?xn?b，由拉格朗日中值公式推出，存在?i?(xi?1,xi)，使，f(xi)?f(xi?1)?f?(?i)(xi?xi?1)?f?(?i)?xi（i?1,2,?,n）nnif(b)?f(a)?f(x)?i?1f(xi?1)??i?1f?(?i)?xi．最后，注意到f?(x)在[a,b]上可积，利用定积分的定义即可．引理2（推广的分部积分公式）若f(x)，g(x)都在[a,b]上连续，且按段光滑，则baf(x)g?(x)dx?f(x)g(x)babaf?(x)g(x)dx．提示：首先，注意到由条件可得f(x)g(x)在[a,b]上连续，且按段光滑，f(x)g?(x)和f?(x)g(x)都在[a,b]上可积，且除[a,b]上的有限个点外，f(x)g(x)f(x)g?(x)?f?(x)g(x)．其次，对?f(x)g(x)??应用引理1即可．引理3（f(x)与f?(x)的傅里叶系数的关系）设f(x)在[??,?]上连续，按段光滑，且f(??)?f(?)（注：根据周期函数的特点，上述条件意味着f(x)可看成按段光滑且以2?为周期的连续函数），，an?，bn?为f?(x)的傅里叶系数，则记a0，an，bn为f(x)的傅里叶系数；a00，an??nbn，bnnan．a0提示：直接根据傅里叶系数公式，利用引理1或引理2进行计算即可，例如由引理1f(?)?f(??)??0．除上面的三个引理外，在探索的过程中，还要用到关于傅里叶系数的贝塞尔不等式．a0f?(x)dx?1引理4（贝塞尔不等式）设f(x)在[??,?]上可积，记a0，an，bn为f(x)的傅里叶系数，则级数a022an?12nbn?收敛，且2a022?n?1an?bn221f(x)dx．2二、傅里叶级数的一致收敛性，逐项积分性和逐项微分性1、傅里叶级数的一致收敛性定理1（傅里叶级数的一致收敛性）设f(x)是以2?为周期的连续函数，且在[??,?]上按段光滑，则f(x)的傅里叶级数a02an?1ncosnx?bnsinnx?在(??,??)上绝对收敛且一致收敛于f(x)，其中a0，an，bn为f(x)的傅里叶系数．提示：首先，由定理15.3并注意到f(x)连续推出其次，由引理3推出an?bn?1n??bn1n??an1?11?1112?2?22；?(b)??(a)??(a)?(b)nnnn2222?n2?2?n?na02an?1ncosnx?bnsinnx?收敛于f(x)；最后，注意到引理4以及ancosnx?bnsinnx?an?bn，由一致收敛的优级数判别法即可．2、傅里叶级数的逐项积分性定理2 设f(x)是以2?为周期的函数，且在[??,?]上按段连续，a?[??,?]，记xaF(x)?a0??f(t)dt，2??则（1）F(x)是以2?为周期的连续函数，且在[??,?]上按段光滑；（2）记A0，An，Bn为F(x)的傅里叶系数，有An??（3）12A0?1?1?bcosna?asinna??nnn?．n?n?1?1nbn，Bn?1nan（n?1,2,?）；提示：（1）首先，由变限函数的连续性易得F(x)是连续函数；其次，由变限函数的导数公式，并注意到f(x)在[??,?]上按段连续可推出F(x)在[??,?]上按段光滑，且除[??,?]上的有限个点外，F?(x)?f(x)?a02；最后，注意到定积分的区间可加性，周期函数的积分特征和傅里叶系数a0的计算公式推出F(x?2?)?x?2?axaxaa0??f(t)?dt2??xaa0??f(t)?dt2??xax?2?xa0??f(t)?dt??2??a0??f(t)dt?2??2?0a0??f(t)dt?2??a0??f(t)dt??a0??a0 2?? ?a0??f(t)dt?F(x).2??即F(x)以2?为周期．（2）利用傅里叶系数的计算公式和引理2直接计算即可，例如，Bn?11F(x)sinnxdx1nn?1n?an.F(x)dcosnxF(x)cosnx?F(??)?F(?)a0?1?f(x)?cosnxdx2cosnxdx?0n?f(x)cosnxdx（3）首先，由（1）和（2）可对F(x)运用傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）推出，A02F(x)??n?1Ancosnx?Bnsinnx??A021?1?bcosnx?ansinnx?，??nnn?n?1?其次，取x?a，并注意到F(a)?0即可．定理3（傅里叶级数的逐项积分）设f(x)是以2?为周期的函数，且在[??,?]上按段连续，记?an?1n，cosnx?bnsinnx?为f(x)的傅里叶级数（它不一定收敛，更不一定收敛于f(x)）则对任意a,x?[??,?]，有xaxaf(t)dt?a02dt?an?1axncosnt?bnsinnt?dt．提示：由定理2的（1）和（2）对F(x)?理15.3），并注意到定理2的（3）即可．3、傅里叶级数的逐项微分性xaa0??f(t)?dt运用傅里叶级数的收敛定理（定??2??定理4（傅里叶级数的逐项微分性）设f(x)是以2?为周期的连续函数，且f?(x)在[??,?]上a02按段光滑，记?an?1cosnx?bnsinnx?为f(x)的傅里叶级数（注：由条件及定理1易得，此时a02an?1ncosnx?bnsinnx?收敛且一致收敛于f(x)），则a02f?(x)?f?(x)?，??ancosnx?bnsinnx??2n?1?特别，当f?(x)连续时，a02?an?1ncosnx?bnsinnx???f?(x)．提示：首先，由条件可对f?(x)运用傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）推出，a02f?(x)?f?(x)a?cosnx?b?sinnx??nnn?12；其次，在利用引理3即可．。

周期信号的傅里叶级数表示傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象
傅里叶级数的收敛性()0jk t k k x t a e ω+∞=-∞=∑综合公式
分析公式
()01jk t k T a x t e dt T ω-=⎰收敛的含义：
a k 为有限值 综合公式中的无穷级数收敛于x (t )
傅里叶级数的收敛条件
第一组条件(平方可积条件)：周期信号在一个周期内平方可积，即：
2|()|T x t dt <∞
⎰第二组条件(狄里赫利条件)：
在任何周期内，x (t )均绝对可积;
在任何有限区间内，x (t )只有有限个起伏变化；即任何单个周期内，x (t )的最大值和最小值的数目有限；
在任何有限区间内，x (t )只有有限个不连续点，且在这些点处x (t )为有限值。

几个不满足狄里赫利条件的信号
不满足条件1
1
(), 01 x t t
t
=<≤
不满足条件2
2()sin , 01x t t t π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭
不满足条件3
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关于收敛性的几点说明
收敛并不意味着逐点相等，而只意味着信号和它的傅里叶级数表示之间不存在能量上的差别
平方可积条件和狄里赫利条件并不等价，它们都是傅里叶级数收敛的充分条件，而不是必要条件
工程实际应用中的绝大多数信号都满足平方可积条件或狄里赫利条件
吉伯斯现象：当用
傅里叶级数的部分和来近似周期信号时，在间断点附近会不可避免地出现振荡和超量，并且超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。