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分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。
分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。
为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。
假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。
根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。
然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。
在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。
选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。
将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。
接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。
同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。
假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。
然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。
综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。
分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。
通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
（§1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理）
班级学号姓名
【基础练习】
1．一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中任取一本书的取法共有( ) A．5种 B.6种 C.11种 D.30种
2．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有（）种走法？
A．6 B.23 C.42 D.24
3．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（）种安排方法
A．8 B.6 C.14 D.48
4．将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有( )种
A.1种
B.6
C.9
D.27
5．已知x∈｛1，2，3，4｝，y∈｛5，6，7，8｝，则xy可表示的不同值的个数为（）
A.2
B.4
C.8
D.15
6．10个苹果分成三堆，每堆至少2个，共有（）种分法
A．64种 B.16种 C.4种 D.1种
7．异面直线l1、l2，l1上有5个不同点，l2上有4个不同的点，一共可组成直线（）条
A．9条 B.9条 C.22 D.20条
8．在六棱锥各棱所在的12条直线中，异面直线共（）对
A．12 B.24 C.36 D.48
9．若整数x、y满足|x|＜4，|y|＜5，则（x，y）为坐标的点共个
10．a∈｛1，2，3｝，b∈｛4，5，6｝，r∈｛9，16，25｝,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2所表示的不同圆共有个。
11．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)
12．若集合A=｛a1，a2，a3，a4，a5｝，B=｛b1，b2｝
从集合A到集合B，可建立
个不同的映射，从B到A可建立
个不同的映射。
13．如右图，从A到B共有条不同
的线路可通电。
14．（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对（x、y）为坐标的点共有多少个？
（2）若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对有多少个？
15．某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼内的第四层的
不同走法种数有多少？
16．设椭圆的方程为22
22b
y a x =1(a ＞b ＞0)，a ∈｛1,2,3,4,5,6,7｝,b ∈｛1,2,3,4,5｝,这样的椭圆共有多少个？
【深化练习】
17．沿着正方体的棱从一个顶点到与它相对的另一个顶点最近的路线共几条？
（ ）
A ．6条 B.5条 C.4条 D.3条
18．4个同学各拿一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送的贺卡。
则四张
贺卡的不同分配方式共有（ ）
A ．6种 B.9种 C.11种 D.23种
19．n 2个人排成n 行n 列，若从中选出n 名代表，要求每行每列都有代表，则不同的选
法共有 种
20．有一角硬币三枚，贰元币6张，百元币4张，共可组成多少种不同的币值？
21. 电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀
的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
22. 5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成多少种不同的币值（一张不取，即0元0角0分不计在内）？
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.D
6.C
7.C
8.B
9.63 10.27 11.60 12.32 25 13.7 14.(1)20 (2)28 15.24 16.20 17.A 18.B 19.n! 20.139
21.（先分类，再分步，即30×29×20+20×19×30=17400+11400=28800种）
22．5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成多少种不同的币值（一张不取，即0元0角0分不计在内）？
分析：此题若分类，则情形较多，不易排除重复，若分步组合，则思路较为清晰，但应排除0元0角0分的情况。
可分为三种币值的不同组合：
元：0元，1元，2元，3元，4元，5元；
角：0角，1角，2角，3角，4角；
分：0分，2分，4分，5分，7分，9分；
然后分三步进行：第一步，从元中选取有6种取法；第二步，从角中选取有5种取法；第三步，从分中选取有6种取法；
由分步计数原理可得6×5×6=180种，故有同不币值180-1=179种。
