浙江省高考数学模拟试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…天干地支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年.A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌第(2)题已知复数z的共轭复数，则（）A．B．C．D．第(3)题已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题如图，复数在复平面内对应的点为（）A．E B．F C．G D．H第(5)题对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．第(6)题命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，若 ，则实数（）A．或1B．0或1C．1D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数（）的最小正周期为，则（）A．B．函数在上为增函数C ．是的一个对称中心D．函数的图像关于轴对称第(2)题下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．若，则三角形为等腰三角形D．在锐角三角形中，第(3)题如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（）A．圆锥SO的侧面积为B．三棱锥S-ABC体积的最大值为C．的取值范围是D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对任意，不等式恒成立，则的最大值是______.第(2)题古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为__________．第(3)题已知复数满足，则它的虚部是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在读书活动中，一个学生从2本不同的科技书，3本不同的政治书，8本不同的文艺书中任选2本不同学科的书，共有多少种不同的选法？第(2)题党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码12345人均可支配收入（单位：万元）(1)根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.参考公式和数据：相关系数，.第(3)题平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.第(4)题在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若与C交于M，N两点，点，求的值.第(5)题在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求.。

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A．27πB．C．D．16π第(2)题贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度与售价元之间存在线性相关关系，回归方程为．当苗木长度为时，估计价格为（）元．102030405060元2610141618A．36.5B．35C．37D．35.5第(3)题已知函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的上一点满足，在上的投影为，则的最大值是（）A．B．C．1D．2第(5)题若全集，集合或，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知正方体的外接球的球心为，则（）A．B．C．D．第(7)题设、、满足，，，则（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，，则的面积为（）A．3B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．第(2)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（）A．B．面积的取值范围为C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为D．当时，的周长为第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，．若在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量，若，则______________.第(2)题已知集合，集合，则_____．第(3)题某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20192020202120222023年份代码12345年借阅量万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据上表，可得关于的线性回归方程为.则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，，，设函数.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设，，别为内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.第(2)题平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求的最小值．第(3)题今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：不相同相同合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？（2）计算这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取位男生和位女生逐个进行采访，最后再随机选取次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式：.附表：第(4)题如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．第(5)题杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200人，统计他们的竞赛成绩m（满分100分，已知每名参赛大学生至少得60分），制成了如下所示的频数分布表：成绩/分[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数60705020(1)规定成绩不低于85分为“优秀”，成绩低于85分为“非优秀”，这200名参赛大学生的成绩的情况统计如下表：分类优秀非优秀总计男生3070100女生2080100判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；(2)经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x与知识竞赛成绩y进行数据收集，如下表：x/时89111215y/分6763808085求变量y关于x的线性回归方程；(3)A市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m进行分类奖励，当时，奖励100元；当时，奖励200元；当时，奖励300元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的则有2次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100元现金红包的概率均为，抽中200元现金红包的概率均为，且两次抽奖结果相互独立．若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．附：（其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828线性回归方程中，，；第（2）问中，，，，．。

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1322．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b3．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1544．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．10．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}3log 21A x x =+>，(){}20B x x x =-<，则()R A B ð等于（）A ．∅B ．()0,1C ．()1,2D ．[)2,+∞2．已知复数z 满足()()112i 5i z --=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(),1a m = ，(),1b m =- ，若3a b - 与b垂直，则a r 等于（）ABC ．3D ．64．已知数列{}n a 满足12a =，则“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可．．能．为（）A ．11B ．13C ．15D ．176．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=-B ．()tan 1αβ-=C ．()tan 1αβ+=-D ．()tan 1αβ+=7．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x 与y 的对应关系就是()7107110 2.71828xy e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭L ，当点P 从线段AB 靠近A 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）．A ．ln 2B ．ln 3C ．3ln2D ．4ln38．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，AB =，120AFB ∠=︒，则C 的离心率为（）ABC D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()11sin cos f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πT =B ．()f x 的图象关于()π,0对称C ．()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x ≥10．已知A ，B ，C 是一个随机试验中的三个事件，且()01P A <<，()01P B <<，下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则A 与B 不相互独立B ．若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥C ．若()()()P A B P B A P AB ⋅=，且()0P AB ≠，则A 与B 相互独立D ．若()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，则A ，B ，C 两两独立11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AD AA λμ=+，其中R λ∈，μ∈R ，则（）A ．当λμ=时，则1C P PD +B ．过点P 在平面11ADD A 内一定可以作无数条直线与CP 垂直C ．若1C P 与AD 所成的角为π4，则点P 的轨迹为双曲线D ．当1λ=，[]0,1μ∈时，正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为62⎣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 的系数为.13．已知圆1C ：222x y +=和圆2C ：()()223416x y -+-=，过圆2C 上一动点P 作圆2C 的切线，交圆1C 于A ，B 两点，当AOB （点O 为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为.（写出一条即可）14．已知函数()()2e ln xf x x x =-+，()g x ax b =+，对任意(],1a ∈-∞，存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，则满足条件的b 的最大整数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在直角坐标平面内有线段12A A ，已知点3A 是线段12A A 上靠近2A 的三等分点，点4A 是线段23A A 上靠近3A 的三等分点，……，点1n A +是线段1-n n A A （2n ≥，*n ∈N ）上靠近n A 的三等分点，设点n A 的横坐标为n a .(1)求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；(2)若11a =，25a =，求{}n a 的通项公式.16．在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AB DC ，122AD DC AB ===，=PC E 、F 分别为直线DC ，DP 上的动点.(1)若异面直线AD 与PC 所成的角为45︒，判断PB 与AD 是否具有垂直关系并说明理由；(2)若PB PA ==//EF PC ，求直线AC 与平面BEF 所成角的最大值.17．将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回．．．取球.(1)若每次取一个球，求：（ⅰ）前两次均取到红球的概率；（ⅱ）第2次取到红球的概率；(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：（ⅰ）另一个也为红球的概率；（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()1F ，)2F ，P 为动点，满足122PF PF -=.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点()3,1T -的直线l 与曲线C 交于两点M ，N ，连接AM ，AN .（ⅰ）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12122k k k k ++为定值；（ⅱ）直线AM ，AN 与直线12y x =-分别交于B ，C 两点，求BC 的最小值.19．莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用()n μ作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅），例如：260235=⨯⨯，对应3k =，12p =，23p =，35p =，12r =，21r =，31r =.现对任意*n ∈N ，定义莫比乌斯函数()()121,11,10, 1kk in n r r r r μ=⎧⎪=-==⋅⋅⋅==⎨⎪>⎩存在.(1)求()68μ，()985μ；(2)已知1n >，记1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅）的所有因数从小到大依次为1a ，2a ，…，m a .（ⅰ）证明：()()()122km a a a μμμ++⋅⋅⋅+=；（ⅱ）求()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+的值（用i P （1,2,,i k =⋅⋅⋅）表示）.1．D【分析】首先解对数不等式求出集合A ，解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由()3log 21x +>，即()33log 2log 3x +>，即23x +>，解得1x >，所以(){}{}3log 211A x x x x =+>=>，由()20x x -<，解得02x <<，所以(){}{}2002B x x x x x =-<=<<，所以(][)R ,02,B =-∞⋃+∞ð，则()[)R 2,A B =+∞ ð.故选：D 2．C【分析】由复数的除法运算可得1i z =-+，再由共轭复数可知问题的结果.【详解】由()()112i 5i z --=得：()()()5i 12i 5i 5i 1012i 12i 12i 12i 5z +--====-+--+，即1i z =-+，所以1i z =--，故复数z 在复平面内对应的点()1,1--位于第三象限.故选：C.3．B【分析】根据3a b - 与b垂直，可得()30a b b -⋅= ，即可求出m ，再根据模的坐标公式即可得解.【详解】()32,4a b m -= ，因为3a b - 与b垂直，所以()23240a b b m -⋅=-= ，解得22m =，所以a ==r .故选：B.4．B【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，则12n n a q -=，所以112224m n m m n n a q q q a --+-=⋅=⨯，12m n m n a q +-+=，当2q ¹时m n m n a a a +⋅≠，故充分性不成立；若m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ），不妨令1m =，则11n n a a a +⋅=，又12a =，所以12n n a a +=，即12n na a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，故必要性成立；故“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的必要不充分条件.故选：B 5．A【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，结合方差的公式，分析选项，即可求解.【详解】设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，则8012023801208012055w x y x y =+=+++，22280120[15(][10()]8012080120s x w y w =+-++-++22229346[15()][10()]12(1252552525x y x y x y =+-++-=+-≥，结合选项，可得A 项不符合.故选：A.6．C【分析】利用和差角公式展开，即可得到sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，再两边同除cos cos αβ，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ-++ππsin cos cos sinsin 44ααβ⎫=-⎪⎭，即sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin sin 2cos sin αβαβαβαβαβαβ-++=-，即sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，两边同除cos cos αβ可得tan 1tan tan tan ααββ+=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故选：C 7．D【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为710，然后可以根据7710110()xy e=，求出P 在中点、三等分点时的x ，则Q 点移动的距离可求，结合速度、时间可求．【详解】解：由题意，P 点初始速度710即为Q 点的速度．当P 在靠近A 点的三等分点时：77710211010()3xe⨯=，解得：7310ln 2x =，当P 在中点时：77710111010()2xe⨯=，解得：7n 102l x =，所以经过的时间为：7734[10(ln 2ln )]10ln 23-÷=．故选：D ．8．B【分析】设AF x =，结合已知条件和双曲线的定义求得BF ，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率.【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF .由双曲线的对称性可得：1AF BF =，1//AF BF ，则四边形1AFBF 是平行四边形，又因为120AFB ∠=︒，则160FAF ∠=︒，设AF x =，由双曲线的定义可得：12BF AF a x ==+，在AFB △中，由余弦定理可得：2222cos AB AF BF AF BF AFB=+-⋅⋅∠所以()()()22212222x a x x a x ⎛⎫=++-+⋅- ⎪⎝⎭，整理可得：2236240x ax a +-=，解得：2x a =或4x a =-（舍去），则12AF BF a ==，14BF AF a ==，在1AFF 中，由余弦定理可得：22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠所以()()()()()22212242242c a a a a =+-⋅⋅⋅，整理可得：223c a =，所以==ce a.故选：B.9．BCD【分析】由()()πf x f x +≠，可判定A 不正确；由()()πf x f x +=-，可判定B 正确；设sin cos t x x =+，得到()221tf x t =-，利用导数求得函数()f x 的单调性和最值，可判定C 正确、D 正确.【详解】对于A 中，由()()1111πsin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=--≠++，所以A 不正确；对于B 中，由()()1111π()sin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=-+=-++，可得函数()f x 关于()π,0对称，所以B 正确；对于C 中，设sin cos t x x =+，可得21sin cos 2t x x -=，则()()211sin cos 2sin cos sin cos 1x x t f x g t x x x x t +=+===-，当π(,0)2x ∈-时，可得πππ(,444x +∈-，则πsin cos (1,1)4t x x x =+=+∈-，又由()()()()()()222222222212222220111t t tt t g t ttt --⋅-+--===<---'，所以函数()g t 在()1,1-上单调递减，又π4t x =+在π(,0)2x ∈-上为单调递增函数，所以由复合函数单调性，可得函数()f x 在π(,0)2x ∈-上为单调递减函数，所以C 正确；对于D 中，当π(0,)2x ∈时，可得ππ3π(,444x +∈，则(π1,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又由()0g t '<，()g t在(为递减函数，当πππ(,)442x +∈时，即π(0,)4x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；当ππ3π(,424x +∈时，即ππ(,)42x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性，可得函数()f x 在π(0,4x ∈单调递减，在ππ(,)42x ∈上单调递增，所以()π()4f x f ≥=，所以D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，若A 与B 互斥，则A 与B 不能同时发生，即()0P AB =，因为A B ⋂表示A 与B 都不发生，则A B ⋂的对立事件为A 与B 至少有一个发生，所以()()1P A B P A B ⋂=-⋂，而()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B ⋃=+-=+，所以()()()1P A B P A P B ⋂=--，因为()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤⋅=--⎣⎦⎣⎦()()()()1P A P B P A P B =---⋅所以()()()P A B P A P B ⋂≠⋅，由此可知，A 与B 不相互独立，故A 正确；对于B ，若A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，因为()01P A <<，()01P B <<，所以()()01P A P B <⋅<，则()0P AB ≠，所以A 与B 不互斥，故B 正确；对于C ，若()()()P A B P B A P AB ⋅=，因为()()()()()()()P AB P AB P A B P B A P AB P B P A ⋅=⋅=，因为()0P AB ≠，则有()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，抛掷一枚质地均均的骰子，事件A 表示出现点数为1,3,4，事件B 表示出现点数1,5,6，事件C 表示出现点数1,2,3,5，事件ABC 表示出现点数为1,()16P ABC =，()()()33416666P A P B P C ⋅⋅=⨯⨯=，满足()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，事件AB 表示出现点数为1,()16P AB =，但()()()13316664P AB P A P B =≠⋅=⨯=则A ，B 不相互独立，故D 错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对A ，将平面1AD D 展开到与11D ABC 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当P 在1D 时，过P 点只能作一条直线与CP 垂直，可判断；对CD ，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P 坐标，利用向量的坐标运算即可判断.【详解】对于A ，当λμ=时，()11AP AD AA AD λλ=+= ，所以点P 在线段1AD 上，如图，将三角形1AD D 与矩形11D ABC 沿1CD 展成平面图形如下所示，则线段1DC 即为1C P PD +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos24C D C D DD C D DD =+-⋅⋅=+所以1C D =，即1C P PD +，故A正确；对于B ，当P 在1D 时，过点P 在平面11ADD A 内只可以作一条直线与CP 垂直，故B 错误；对于C ，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,0,)D C A B P x z ，得1(,1,1),(1,0,0)C P x z AD =--=-，11πcos 4C P AD C P AD⋅∴==⋅整理得22(1)1x z --=，为双曲线方程，故C 正确．对于D ，当1λ=时，11AP AD AA DP AA μμ=+⇒=，故点P 在线段1DD 上运动,正方体经过点A 、P 、1C 的截面为平行四边形1A P C H ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，()0,0,P μ，所以()10,1,1PC μ=- ，()11,1,1AC =- ，112PC AC μ⋅=-，1PC =，1A C = ，所以点P 到直线1AC的距离为d =，于是当12μ=时min22d =，1PAC的面积取最小值，此时截面面积为2=；当0μ=或1时max 63d =1PAC3=所以正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为2⎣，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.12．280【分析】先由二项式系数和为128，求出n ，再求出72x ⎛⎝展开式的通项，令3712r -=，即可得出答案.【详解】2nx ⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为2128n=，解得：7n =，所以72x ⎛⎝展开式的通项为：()()37772177C 2C 21rr r r r r r r T x x---+⎛==⋅- ⎝，令3712r -=，解得：4r =，所以展开式中x 的系数为：()4437C 21358280⋅-=⨯=.故答案为：280.13．=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-（写出一条即可）【分析】由圆的弦长公式求出AB =1d =，然后由圆心到直线AB 的距离分别等于半径列方程组，解出即可.【详解】设圆1C 的圆心()10,0C，半径1r 2C 的圆心()23,4C ，半径24r =；设O 到直线AB 的距离为d，则AB =0d <，则12AOB S AB d =⋅=== 所以当1d =时，AOB 的面积最大，当直线AB 的斜率不存在时，=1x -满足题意，当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，则由题意可得14⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①化简可得344k m m +-=，即334k m -=或354k m +=，代入①可解得3454k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7242524k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以满足条件的切线方程为=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-，故答案为：=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-.（写出一条即可）14．4-【分析】依题意存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，参变分离可得()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln x F x x x x =-+-，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，求出()max F x ，则()max b F x ≤，即可求出b 的最大整数.【详解】依题意对任意(],1a ∈-∞，且0x >有()g x ax b x b =+≤+，因为存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，所以存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，即()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln xF x x x x =-+-，()0,1x ∈，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭，令()1e xm x x=-，()0,1x ∈，则()m x 在()0,1上单调递增，且()1e 10m =->，121e 202m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()0001e 0x m x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时()0F x '>，当01x x <<时()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()0000000m 0ax 00212e ln 212xF x x x x x x x x x F x ⎛⎫-=-+-=-=-=+ ⎪⎝⎭，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0012,3x x +∈，所以()()()0max 001124,3F x x F x x ⎛⎫=-+∈-⎪⎭=- ⎝，依题意()max b F x ≤，又b 为整数，所以4b ≤-，所以b 的最大值为4-.故答案为：4-【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在()0,1x ∈使得()2e ln xx x x b -+≥+，即()2e ln x x x x b -+-≥.15．(1)证明见解析(2)2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得2122n n n n a a a a +++-=-进而证得21113n n n n a a a a +++-=--，即可证得数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）根据题意，求得214a a -=，求得21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合累加法，得到2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求得数列的通项公式.【详解】（1）解：由题意得2122n nn n a a a a +++-=-所以2132n n n a a a ++=+，可得21133n n n n a a a a +++-=-，又由210a a -≠，所以21113n n n n a a a a +++-=--所以数列{}1n n a a +-是首项为21a a -，公比为13-的等比数列.（2）解：因为11a =，25a =，所以214a a -=，因为数列{}1n n a a +-是公比为13-的等比数列，所以2n ≥时，21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由累加法可得2n ≥时，21114133n n a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111113433·1313n n --⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭+，即当2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，经检验，11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.16．(1)答案见解析，理由见解析(2)60︒【分析】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG ，即可说明//CG AD ，则PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，分45PCG ∠=︒和135PCG ∠=︒两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以G 为坐标原点建立空间直角坐标系，设(),2,0E t ，求出平面BEF 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出线面角的最大值.【详解】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG，因为//AB DC ，122AD DC AB ===，所以AG DC =且//AG DC ，所以四边形AGCD 为平行四边形，所以//CG AD ，所以PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，①当45PCG ∠=︒时，在PCG中，=PC 2CG =，由余弦定理可知2PG ==，所以222CG PG PC +=，所以CG PG ⊥，所以AD PG ⊥，又AD AB ⊥，AB PG G = ，AB ，PG ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.②当135PCG ∠=︒，假设AD PB ⊥，则由①有AD ⊥平面PAB ，因为PG ⊂平面PAB ，所以AD PG ⊥，CG PG ⊥，这与135PCG ∠=︒相矛盾，故此时AD 与PB 不垂直.综上所述，当45PCG ∠=︒时，AD PB ⊥；当135PCG ∠=︒时，AD 与PB 不垂直.（2）由PB PA ==G 是AB 中点，可得PG AB ⊥，从而由122GB AB ==可得2PG =，又2,GC AD PC ===所以2228GC GP PC +==，即PG GC ⊥，因为AD AB ⊥，由（1）有//GC AD ，所以GB GC ⊥，所以,,GB GC GP 两两互相垂直，故可以G 为坐标原点，GB ，GC ，GP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.故()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()2,2,0AC =.因为//EF PC ，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0,0,n BE n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 设(),2,0E t ，则()2,2,0BE t =- ，又()0,2,2PC =- ，所以有()220220t x y y z ⎧-+=⎨-=⎩令2x =，则2y z t ==-，故平面BEF 的一个法向量为()2,2,2n t t =--，设直线AC 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅==⋅===令4t s -=，则sin θ=当0s =时，sin 0θ=；当0s ≠时，sin θ（当且仅当3s =-，1t =时取“＝”）.又090θ︒≤≤︒，所以060θ︒≤≤︒.综上所述，直线AC 与平面BEF 所成角的最大值为60︒.17．(1)（ⅰ）110；（ⅱ）25(2)（ⅰ）17；（ⅱ）选择交换，理由见解析【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：()()()|P AB P A P B A =，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即()()()21212P A P A A P B A =+；（2）条件概率公式：()()|()P AB P B A P A =，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.【详解】（1）记事件i A （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到红球，事件i B （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到白球.（ⅰ）前两次均取到红球即为事件12A A ，()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=.（ⅱ）()()()()212121212P A P A A B A P A A P B A =+=+()()()12211132210545P A A P A B P B =+=+⨯=.（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件12B B ，()()()121213235410P B B P B P B B ==⨯=，所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率()()1212111071710P A A P P B B ===-.（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为117P =；若换：换后取到红球的概率记为2161207737P =⨯+⨯=；由于12P P <，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.18．(1)2214y x -=(2)【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=，2214y x -=变形可得()()2241810x x y -+--=，两式联立，设1y k x =-，可知1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，由根与系数的关系即可得出答案.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.【详解】（1）因为12122PF PF F F -=<，所以根据双曲线的定义可知点P 的轨迹为以1F ，2F 为焦点，实轴长为2的双曲线，由22a =，c =，得1a =，2224b c a =-=，所以C 的方程为2214y x -=.（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=（220m n +≠）因为直线过定点()3,1-，所以21m n -=.2214y x -=变形可得()224114x y ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2241810x x y -+--=所以()()()22418110x x m x ny y ⎡⎤-+--+-=⎣⎦整理得()()()22841810m x n x y y +-+--=（*）设1y k x =-，则（*）式除以()21x -得28480m nk k ++-=此时1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，所以1212884k k n k k m +=⎧⎨=--⎩，所以12122168816k k k k m n ++=--+=-，得证.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-，由()1112y k x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得1112B kx k =+；设直线AN ：()21y k x =-，同理可得2212c k x k =+；2212111122111112222B C k BC x k k k k =-==--+=++++.由1212216k k k k ++=-得121131224k k ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以214231k BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⋅，当且仅当2213124k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即212k -±=时取等号，故BC的最小值为31.【点睛】关键点点睛：设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.19．(1)()680μ=，()9851μ=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由268217=⨯，9851975=⨯，根据所给定义计算可得；（2）（ⅰ）依题意只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，再由组合数公式计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出111k k kx x p -=-，最后利用累乘法计算可得.【详解】（1）因为268217=⨯，因为2的指数21>，所以()680μ=；又9851975=⨯，易知2k =，1197p =，25p =，11r =，21r =，所以()()298511μ=-=；（2）（ⅰ）i a ()1,2,,i m =⋅⋅⋅的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，()0i a μ=，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，所以()()()()121m a a a μμμμ+++⋅⋅⋅+()()()()()()()12122311k k k p p p p p p p p p μμμμμμμ-⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()12k p p p μ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅01211211C C C C C C C C C 2k k k k kk k k k k k k k k --=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=.（ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，所以()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()222121212122311211111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.令()()()()22212122311211111111kk k k k k x p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()()2221112112232112111111111k k k k k k x p p p p p p p p p p p p ------⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2k ≥，*N k ∈），所以()()()()()()22233311211223211211111111(1)kk k k k k k k k k k k k kx p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ----⎡⎤⎡⎤---------⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以111k k k k x x x p ---⋅+=，111k k kx x p -=-.因为1111x p =-，所以12112112111111111k k k k k k k x x x x x x x x p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二：()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()2221212121223112111111111kk k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()22212122311211111111kk k k k p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由展开式原理可知，12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式即为上式所求.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题干所给定义，得到1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数.。

浙江省各地2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．192．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=3．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >4．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．135．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25B ．5-C 5D ．25-6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸7．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种8．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 9．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．1411．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．012．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省绍兴市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取到最大值A D．可以取到最小值第(2)题函数的反函数是（）A．B．C．D．第(3)题已知，则（）A．B．C．D．第(4)题若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．第(5)题设，则的展开式中的系数不可能是（）A．10B．40C．50D．80第(6)题随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B．2016年，快递业务量增长速度最快C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓第(7)题函数的反函数是（）A．B．C．D．第(8)题若命题p：函数（且）的图象过定点（2，1），命题q：函数在定义域内为增函数，则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A ．若函数（）的最小正周期为，则的值为2B ．函数（）是偶函数C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上的单调递增区间是第(2)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(3)题现有一组数据为1，2，4，8，16，32，则（）A．这组数据的极差为31B．这组数据的中位数为6C．这组数据的平均数为6D．去掉数据中的最大值后，方差较原来变小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，，则的最小值为__________．第(2)题在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________.第(3)题如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的体积为___________，其外接球的表面积为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点在曲线上，点在曲线上.（1）求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）求的最大值.第(2)题为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病的患者进行临床药物实验.随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：药物效果明显效果不明显合计甲药物7624100乙药物8416100合计16040200(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；(2)是否有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异？(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者按分层抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取2人做进一步药物实验，求这两人中至少有一人是注射甲药物的概率.参考公式：，其中临界值表：第(3)题某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取100人，把他们的治愈记录进行比较，结果如下表所示：治愈未治愈合计使用新药60未使用新药50合计(1)请完成列联表，是否有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？(2)把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取3人，其中被治愈的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.(3)该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由.（参考数据：，，，，，，）附：，0.100.0100.001k 2.706 6.63510.828第(4)题设，已知，求的最小值.第(5)题在中，，.(1)当时，求和；(2)求面积的最大值.。

2024年浙江省高考数学模拟卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足1i3i z=+-，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算性质求出z ，再利用共轭复数的性质求出z ，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得1i 3iz=+-，故2(1i)(3i)33i i i 2i 4z =+-=+--=+，故2i 4z =-+，显然z 在复平面上对应的点是(4,2)-，在第四象限，故D 正确.故选：D2.设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂=（）A.{}21,Z x x k k =+∈B.{}31,Z x x k k =-∈C.{}61,Z x x k k =+∈ D.{}61,Z x x k k =-∈【答案】D 【解析】【分析】利用最小公倍数排除A ，B ，利用奇数和偶数排除C ，求解即可.【详解】易知集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂中k 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A ，B ，对于C ，当1k =时，集合{}61,Z x x k k =+∈为{}7x x =，而令317k -=，可得k 不为整数，故{}31,Z N x x k k ==-∈不含有7，可得M N ⋂中不含有7，故C 错误，故选：D3.已知不共线的平面向量a ，b满足()()2a b a b λλ++∥ ，则正数λ=（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解.【详解】方法一：由已知有12λλ⋅=⋅，0λ>，解得λ=方法二：设()()2,R a b a b λμλμ+=+∈ ，由题意120μλλμ=⎧⎨=>⎩，解得λ=故选：B.4.传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1i i m Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍A.B.mC.32mD.2m 【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.【详解】由Y 服从正态分布()2,N ms m σ，则Y的信噪比为22s m σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又接收一次信号1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22s m m s σσ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的m 倍.故选：B5.已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】一方面，当，()ππ8k k θ=+∈Z 时，()ππcos 22πsin 244f x x k x θ⎛⎫+=+++=- ⎪⎝⎭是奇函数，()ππcos 22πcos 244f x x k x θ⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭是偶函数，故充分性成立，另一方面，当5π8θ=时，有()π5πcos 2sin 244f x x x θ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭是奇函数，()π5πcos 2cos 244f x x x θ⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭是偶函数，但此时关于k 的方程()π5ππ88k k +=∈Z 没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的情况下，“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +-+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（）A.12-或112-B.－1或－6C.32-或132- D.－2或－7【答案】C 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据2π3ACB ∠=，得到圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式求得t 的值即可.【详解】由题意可知，圆C ：22240x y x y +-+=，标准化后可得圆C ：()()22125x y -++=因为，2π3ACB ∠=，过点C 作AB 的垂线CD ，AB CD ⊥.如图所示，AC BC ==，在Rt ACD 中，π5cos 32CD ==.所以，圆心C 到直线l 的距离:52d ==因此，542t +=，解得，12313,22t t =-=-故选：C .7.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（）A.12 B.14C.16D.18【答案】B 【解析】【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可.【详解】依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻，当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种，情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有8614+=种，故B 正确.故选：B.8.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.)+∞B.)+∞C.()2,+∞ D.,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设点(),A x y，则可取),C ，代入双曲线方程整理可得22222233y a b x a b+=+，结合渐近线列式求解即可.【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为b y x a=±，设点(),A x y，则可取),C，则222222221331x y a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得2222222233y a b b x a b a +=<+，解得22b a >，即222c a a ->，可得222c a>，则c e a ==所以该双曲线离心率的取值范围是)∞+．故选：A.【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点(),A x y，根据垂直和长度关系可取),C；2.根据渐近线的几何意义可得：2222y b x a<.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在区间()2,-+∞上单调递增B.()f x 的最小值为21e -C.方程()2f x =的解有2个D.导函数()f x '的极值点为3-【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A ，B ，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C ，对()f x '构造函数再次求导，判断极值点即可.【详解】易知()()1e x f x x =+，可得()()2e x f x x +'=，令()0f x '<，(),2x ∞∈--，令()0f x '>，()2,x ∞∈-+，故()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，故()f x 的最小值为()212e f -=-，故A ，B 正确，若讨论方程()2f x =的解，即讨论()()1e 2xg x x =+-的零点，易知()2122eg -=--，()10g >，故()()120g g ⋅-<，故由零点存在性定理得到存在()02,1x ∈-作为()g x 的一个零点，而当x →-∞时，()g x →-2，显然()g x 在(),2∞--内无零点，故()()1e 2xg x x =+-只有一个零点，即()2f x =只有一个解，故C 错误，令()()()2e xh x f x x =+'=，故()()3e xh x x =+'，令()0h x '=，解得3x =-，而(0)0h '>，(4)0h '-<，故3x =-是()h x '的变号零点，即3x =-是()h x 的极值点，故得导函数()f x '的极值点为3-，故D 正确.故选：ABD10.南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A.由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B.1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C.1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D.此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡【答案】BCD【解析】【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的.【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,故选：BCD.11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OA OB +=恒成立，则l 始终和曲线C1+=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A.曲线C 关于直线y x =和y x =-都对称B.曲线C 上的点到11,22⎛⎫⎪⎝⎭和到直线y x =-的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦D.曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14-【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.【详解】对于A ，曲线C1+=中，0,0x y ≥≥，所以不关于直线y x =-对称，故错误；对于B ，设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy =⇔+---+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=--⇔+---+=，故正确；对于C，2221OP x y =+≤=，()22222112228x y x y ⎛⎫++ ⎪+≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭，所以221[,1]8x y +∈，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦，故正确；对于D ，(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy =-+-=+--+=+≥，故曲线C 位于圆()()22111x y -+-=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14-．故选：BCD .三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为160-，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6662166C 2(()2C r r r r r r rr a T x a x x ---+=-=-，令620r -=，可得3r =，代入可得333346()2C 160160T a a =-=-=-，解得1a =.故答案为：1.13.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =-+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．【答案】2【解析】【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到62026S S +=，进而得到132da =-，最后写出n S ，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设{}n b 的公比为q ，故()()2223414222S b b b b q =-+=-+，()()()24612561266S b b b b b b q =++=+，可得62026S S +=，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，故得110212665a d a d++=+，化简得1230a d +=，解得132da =-，故23(1)2222n d n n S n d n n d d ---=+=，故当n S 最小时，2222d n d -=-=⨯，故得2S 是n S 的最小项，即{}n S 的最小项是第2项．故答案为：214.已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC 绕点O 逆时针旋转角2π03θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ''' ，使得两三角形所在平面的距离为3，连接AA '，AC '，BA '，BB '，CB '，CC '，得到八面体ABCA B C '''，则该八面体体积的取值范围为______．【答案】3⎛ ⎝⎦【解析】【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,A C AB a C A B CAB α==∠=∠=，三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.引理的证明如下：()1111111111111111111112223C A AB C A AB C A ABB ABC A B C C ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V V V -------⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭111221111sin sin 3326ABC A B C V a h a h αα-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，引理得证.事实上上述引理等价于，若三棱锥11C A AB -满足，11A C AB a ==，异面直线11,C A AB 所成夹角为α，且异面直线11,C A AB 之间的距离为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.从而由上述引理有ABCA B C A ABC C A B C A B BC A C ACV V V V V ''''''''---''-'=+++213261π261262222sin 22sin 34363363θθ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭π1sin sin333θθ⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11sin cos 22θθ⎫=++⎪⎪⎭π1sin 6θ⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭．若2π03θ<<，则ππ5π663θ<+<，从而πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦，π1sin6ABCA B C V θ'''⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭的取值范围是3⎛ ⎝⎦.故答案为：3⎛ ⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C -．【答案】（1）12（2）24-【解析】【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得1tan 2B =；（2）由（1）得2sin cos sin sin BB A C=，再借助角B 的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.【小问1详解】因为a ，b ，c 是等比数列，所以2b ac =，有2sin sin sin B A C =，因为1tan A ，1cos B ，1tan C 是等差数列，所以211cos cos sin cos tan tan sin sin sin sin A C BB AC A C A C =+=+=.故22sin sin 1cos sin sin sin sin B B B A C B B===.所以1tan 2B =．【小问2详解】由（1）的过程可知2sin cos sin sin B B A C =，若π3B =，则13sin sin sin cos 28A CB B ==.又由()13cos cos cos cos sin sin cos cos 28B AC A C A C A C -=-=+=-=-，得1cos cos 82A C =-，故()12cos cos cos sin sin 8284A C A C A C -=+=-+=．16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分别为1+1-．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）；（3）4.【解析】【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可.（2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【小问1详解】令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.【小问2详解】记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''.【小问3详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，1222||y y m -==+，因此122|1322|||22ABFS QF y y m =-=+，令0t =>，于是24224ABF S t t =≤=+⨯ ，当且仅当2t =，即m =时取到等号，所以FAB面积的最大值4.17.如图，已知三棱台111ABC A B C -，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点.（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，利用平行四边形的性质证明AD OM ∥，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性质证明1A O OM ⊥，建立空间直角坐标系，设))1cos C αα-，利用平面11BCC B ⊥平面11ACC A 求得,0,33C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，再利用线面角的向量公式求解即可；法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N ，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义得1AVC ∠即为所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据三余弦定理求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,,CM MO CO ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得，ODAM 为平行四边形，故AD OM ∥，因为AD ⊄平面1OCC ，OM ⊂平面1OCC ，所以AD ∥平面1OCC .【小问2详解】法1（建系）：连接OA ，因为BA ∥1B O ，且1=2BA B O =，所以1BAOB 为平行四边形，故12AO BB ==，又点D 为线段1OA 的中点，所以1AO AD ⊥，由AD OM ∥得1A O OM ⊥，故以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则)()())11,0,2,0,0,2,0,1,0AA B B--，因为2AB BC CA ===，AB 的中点M ，所以AB CM ⊥，又AB OM ⊥，CM OM M = ,,CM OM ⊂平面CMO ，所以AB ⊥平面CMO ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以平面CMO ⊥平面11ABB A ，设CMO α∠=，CM =，则))1cos ,0,Cαα-，设平面11ACC A 的法向量为()1111,,n x y z =，()))1,,1cos ,2,AC A C αααα=-=-- ，则()111111cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧-+=⎪--+=，取11x =，则111cos sin y z αα+==，则平面11ACC A的法向量为11cos sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；设平面11BCC B 的法向量为()2222,,n x y z =，()))1,1cos ,2,BC B C αααα==- ，则()222222cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧+=⎪-+=，取21x =，则221cos sin y z αα+==，则平面11BCC B的法向量为21cos 1,sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，所以120n n ⋅=，即(1cos 1cos 110sin sin αααα++⨯+⨯=，即23cos 2cos 10αα+-=，解得1cos 3α=或cos 1α=-（舍去），故,0,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(21,n =，记直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为θ，()1AA =，则1212sin 2AA n AA n θ⋅===，故π4θ=，即直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角π4.法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面11BCC B 平面11ACC A ，1CA ⊂平面11ACC A ，故1CA ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin 2A C AVC AV ∠==，所以1πsin 4AVC ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小为π4.法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令OAC θ∠=，1OAB θ∠=，2BAC θ∠=，则这三个角存在一个余弦关系：12cos cos cos θθθ=(其中1θ和2θ只能是锐角)，称为三余弦定理，又称最小张角定理.证明：如上图，自点O 作OB AB ⊥于点B ，过B 作BC AC ⊥于C ，连接OC ，因为OB ⊥平面α，AC ⊂平面α，所以OB AC ⊥，又BC AC ⊥，BC OB B ⋂=，,BC OB ⊂平面CBO ，所以AC ⊥平面CBO ，又OC ⊂平面CBO ，所以AC OC ⊥，则cos ,cos ,cos AC AB ACOAC OAB BAC OA OA AB∠=∠=∠=，所以cos cos cos OAC OAB BAC ∠=∠⋅∠，即12cos cos cos θθθ=.延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，所以2111cos 2C VA ∠=，所以112cos 2C VA ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为11π4C VA ∠=.18.第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N .甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N N X i =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =-作为N 的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果.例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅-=<.（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值.当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明.【答案】（1）16（2）分布列见解析，()365E M =（3）()E M N <，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别求出()5P M =和()5P Y M M <=且，代入条件概率公式计算即得；（2）根据题意，列出M 的可能取值4,5,6,7,8，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可；（3）直观判断()E M N <，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得.【小问1详解】由5N =，3n =知，当5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C 种可能，故()2435C 35C 5P M ===，由Y M <，有215X -<，解得3X <，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故()35115C 10P Y M M <===且，因此()()()1511053565P Y M M P Y M M P M <=<=====且；【小问2详解】依题意，用M 作为N 的估计值，因8N =，则M 的可能取值有4,5,6,7,8，于是3348C 1(4)C 70P M ===，3448C 42(5)C 7035P M ====，3548C 11(6)C 707P M ====，3648C 202(7)C 707P M ====，3748C 351(8)C 702P M ====，于是M 的分布列如下：M 45678P170235172712故()12121364567870357725E M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】直观上可判断()E M N <，证明：因()()(1)(1)()E M nP M n n P M n NP M N ==++=+++= [()(1)()]N P M n P M n P M N N <=+=+++== .【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握,,M n N 的含义，求出()5P M =和()5P Y M M <=且；以及用M 作为N 的估计值时，M 的可能值的概率；最后对于()E M N <的推理证明.19.卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11N nn k n kk c a bn +-+==∈∑，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2nn b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n i d a n i+-<⎧=⎨≥⎩的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i -项，前1i -项都取为0．试找到数列(){}i n t ，使得(){}{}{}innint a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c --=-+．【答案】（1）12c =，28c =，322c =，452c =（2）()1,0,n i n i t n i=⎧=⎨≠⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列{}n c 的定义求出1c ，2c ，3c ，4c .（2）通过特例(1)n t 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般.（3）思路一：由卷积运算的交换律，得()11nkn k n k bc =+-=∑，记{}n b 的前n 项和为n S ，再利用n S 求n b .思路二：记{}n b 的前n 项和为n S ，(){}int 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列为{}nT ，易证卷积关于数列加法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得{}{}{}*n n n T b S =，1nn ii c S==∑，再利用n S 求n b .【小问1详解】因为n a n =，2nn b =，所以11a =，12b =；22a =，24b =；33a =，38b =；44a =，416b =.因为{}{}{}*n n n a b c =，()11N n n k n k k c a bn +-+==∈∑，所以12c =，28c =，322c =，452c =.【小问2详解】(1)1,10,2n n t n =⎧=⎨≥⎩，对一般的N i +∈，()1,0,n i n i t n i =⎧=⎨≠⎩.【小问3详解】方法一：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11n k n k n k b c =+-=∑,故()11n n k n k n S kbc =+-=∑，因此()()111121n n k n n k n S kb n bc +++=+--+=∑，②②－①得11n n n S c c ++=-，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．方法二：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1N n T n +∈=∀，注意（Ⅰ）易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意（Ⅱ）注意{}n T 是(){}i nt 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*n n i t T 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1n n i i c S==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中n n n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111n n i j i j i n n n n n n n j i j i i a b t t b t t b S ∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫*=**=**= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题.1、解决数列新概念问题时需注意:（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；（2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解.2、卷积运算具有的性质（1）交换律：{}{}{}{}**n n n n a b b a =.（2）结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=.（3）分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+.。

浙江省湖州市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题设集合，，则（）A．或B．C．或D．第(3)题已知全集，，则（）A．B．C．D．第(4)题不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．第(5)题已知曲线:与曲线:,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题函数的定义域是（）A．B．C．D．第(8)题设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法正确的是（）A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B．数据1，3，4，5，7，8，10第80百分位数是8C．已知变量x，y的线性回归方程，且，则D．已知随机变量，则第(3)题如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（）A．直线与直线所成角为B．直线与平面所成角为C．该几何体的体积为D．该几何体中，二面角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________第(2)题若满足约束条件则的最大值为___________.第(3)题两条直线与的夹角的大小是____四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性.第(2)题已知函数(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，且，求的最小值．第(3)题如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；(2)求点到平面的距离．第(4)题如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.(1)求证：；(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.第(5)题数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①；②；③(2)记.若，证明：；(3)若，求的最小值.。

浙江省杭州市（新版）2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）．A．B．C．D．第(3)题已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）A．1B．C．2D．第(5)题已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题中医是中华传统文化的瑰宝，中医传统补气名方“四君子汤”是由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成的，补血名方“四物汤”是由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成的，这两个方子中的八味药又组合而成“八珍汤”，现从“八珍汤”的八味药中任取四味.取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A．B．C．D．第(8)题如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（）．A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于函数，下列判断正确的是（）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则第(2)题下列说法中正确的是（）A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数C．设随机变量，，则D．设M，N为两个事件，已知，，，则第(3)题定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（）A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为6C．D．和的图象所有交点横坐标之和等于8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．第(2)题在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的最大值为___________.第(3)题已知的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，____________，展开式中的项的系数为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？第(2)题二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？完全答对部分答对合计男女合计附：，其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.072 2.7063.841 6.6357.879第(3)题四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.第(4)题已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.第(5)题已知，设向量，.（1）若，求x的值；（2）若，求的值.。