电磁场 镜像法

Topic # 8—镜像法(method ofimages)­Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constant­potential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。

场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。

该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。

2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。

在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。

3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。

二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。

解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。

由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。

§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。

该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。

在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。

Topic # 9—镜像法(method ofimages)­Part2n电轴法 (广义镜像法)n点电荷~ 无限大介质平面系统的电场n点电荷 ~ 导体球 (球面镜像法）1n计算n等位线在xoy平面内，等位线轨迹是一族偏心圆就每个等位圆轨迹而言，半径a，圆心至原点的距离h，线 电荷至原点的距离b，三者间的关系式为：h 2 = a 2 + b 2∴ a 2 = h 2 - b 2 =( h + b )( h - b)即 (±t) 电轴位置对每个等位圆的圆心来说，互为反演点。

23n 计算n 等位线­图示1K oyxt+ t- b1 h 2h 3h b2 K 3K 31 K2 1 K 1 1 K1 a 2a 3an计算n启示n如果一静电场的等位线为一族偏心圆，其电场的计算问题，可考虑等效为一对正负电轴产生的电场n电轴的位置则由上面的a,b,h关系式确定n由于共有a,b,h三个参数，因此至少给出2个等位圆，才能确定电轴的位置。

n按已知2个等位圆的不同，可得不同的等效计算模型。

45n 同半径的两线输电线电场 n 问题半径为a 的两输电线分别带有等量异号的线电荷 （±t ），计算其产生的电场oyt+ t- aa1o 2o dxn同半径的两线输电线电场n分析输电线是导体，导体为等位体、导体表面为等位面 在xoy平面，两导体的圆表面迹线为等位线等位线为同半径的两个偏心圆可用一对电轴模型计算原场的分布67n 同半径的两线输电线电场 n 电轴法模型参数b,h 必须满足相距为d 半径分别为a 的两个圆为等位 圆，即已知等位圆半径a , 等位圆圆心之间的距离d ，确 定线电荷（电轴）至原点的距离b 和y 轴的位置变量h2d h =o a a 1o 2o dxhhbb22222 d b h a aæö =-=- ç÷ èø8n 同半径的两线输电线电场 n 镜像法模型oy t+ t- b hbdxh 1r 2r (,)P x y a电轴 ±t 的位置 22222 d b h a aæö =-=- ç÷ èø9n 同半径的两线输电线电场 n 镜像法模型oyt+ t- b hbdxh 1r 2r (,)P x y a适用区域那个区域没有引入电荷==适用于那个区域不包含同半径两 导体的所有区域 任意点电位2 01ln2 P r tj e r = p10n 两个不同半径的两线输电线电场 n 问题t+ t- d1a 2o 1o 2a11n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知条件n 待求量oy t+ t- bb dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a 两等位圆半径 a 1 、a 2，及其圆心间的距离 d 两圆心与原点的距离h 1 、h 2、线电荷与原点的距离 b12n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知与待求量的关系h 2 = a 2 + b2 22211 b h a=- 12d h h =+ 222 22b h a =- oy t+ t- b b dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a13n 两个不同半径的两线输电线电场 n 已知与待求量的关系222 121 222 212 2 2 d a a h d d a a h d +- =+- =2222 1122b h a h a=-=- oyt+ t- b b dx1r 2r (,)P x y 1 a b 1h 2h b2o 1o 2a 适用区域 不包含不同半径两导体内区域14n 偏心电缆的电场 n 问题d1 a 1o 2o 2a t+ t-15n 偏心电缆的电场 n 分析仍可应用电轴法。

镜像法的整理一丶平面镜像1.平面导体的镜像场强的三个分量：E x ⃑⃑⃑⃑ =qx 4πε√x 2+y 2+(z −d)2)3−qx4πε√x 2+y 2+(z +d)2)3 E y ⃑⃑⃑⃑ =qy 4πε√x 2+y 2+(z −d)2)3−qy 4πε√x 2+y 2+(z +d)2)3E z ⃑⃑⃑⃑ =q(z −d)4πε√x 2+y 2+(z −d)2)3−q(z +d)4πε√x 2+y 2+(z +d)2)32.不同介质的镜像上下部分分别充满介电常数为ε1和ε2的均匀介质，设上下半空间电位分别为φ1 和φ2，则边值条件为： （1）∇2ϕ1= 0(除 q 点外的上半空间) ∇2ϕ2= 0(下半空间)；（2）当r 趋近无穷大时，φ1和φ2趋近与0； （3）E 1t = E 2t D 1n = D 2n ；解得：q ′=ε1−ε2ε1+ε2q q ′′=2ε2ε1+ε2q(其中，φ1为分界面上方的电位，φ2为分界面下方的电位)场强：上：E⃑=q4πεR12e1⃑⃑⃑ +q′4πεR22e2⃑⃑⃑ 下：E⃑=q‘’4πεR32e3⃑⃑⃑3.不同角域E⃑=Q4πε0（1r12e1⃑⃑⃑⃑ −1r22e2⃑⃑⃑⃑ −1r32e3⃑⃑⃑⃑ +1r42e4⃑⃑⃑⃑ ）二丶导体球面的镜像1.导体球接地由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为2.导体球不接地电轴法的整理1.相同半径边值问题：（1）A,B导体表面电位为一个常数；（2）A: ⎰s D⋅d S = τ,电荷分布不均匀；（3）B: ⎰s D⋅d S = -τ,电荷分布不均匀；电轴法：圆的半径R，圆心到原点的距离h和线电荷所在出到原点的距离b满足如下关系：R2+b2=h2则：电位为：φ=τ2πε0lnρ2ρ1电场强度：E⃑=τ2πε0(e⃑ρ1ρ1−e⃑ρ2ρ2)2.不同半径的电位为：φ=τ2πε0lnρ2ρ1电场强度：E⃑=τ2πε0(e⃑ρ1ρ1−e⃑ρ2ρ2) 此时的有效求解区为两圆柱外的区域。