已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,∞)上解读

广东省2021-2022学年高一上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分） (2020高三上·南昌月考) 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·天河模拟) 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A . 2B . 4C . 8D . 163. （2分） (2019高一上·九台期中) 幂函数的图象经过点，则（）A . 是偶函数，且在上单调递增B . 是偶函数，且在上单调递减C . 是奇函数，且在上单调递减D . 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增4. （2分） (2018高一上·遵义月考) 已知函数，则的解析式为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·安徽期中) 设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A . 函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B . 函数f（x）=2x（x∈R）存在“和谐区间”C . 函数f（x）= （x＞0）不存在“和谐区间”D . 函数f（x）=log2x（x＞0）存在“和谐区间”6. （2分） (2018高三上·河北月考) 对任意的，总有，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·滑县期末) 设f（x）是定义域为R，最小正周期为3π的函数，且在区间（﹣π，2π]上的表达式为f（x）= ，则f（﹣）+f（）=（）A .B . ﹣C . 1D . ﹣18. （2分）函数在区间上是增函数,则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·深圳月考) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）．A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·温州期中) 函数f（x）=x2-2x+t（t为常数，且t∈R）在[-2，3]上的最大值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·武威期末) 若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（）A . 6个B . 4个C . 3个D . 2个12. （2分）下列函数是偶函数又在（0，+∞）上递减的是（）A . y=x2+1B . y=|x|C . y=﹣x2+1D .13. （2分）若函数是幂函数，则m的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 2二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2018高一上·鹤岗期中) 若定义在区间上的函数为偶函数，则a=________.15. （1分） (2020高二下·宁波期末) 已知函数 .若的定义域为R，则实数a 的取值范围是________；若的值域为R，则实数a的取值范围是________.16. （1分） (2020高一上·湖南期中) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，若f(a+1)≥f(-3)，则a的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高一上·汉中期中) 已知集合S={x|log0.5（x+2）＞log0.2549}，P={x|a+1＜x＜2a+15}．（1）求集合S；（2）若S⊆P，求实数a的取值范围．18. （5分） (2019高一上·蚌埠期中) 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.19. （10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）x ．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在所给坐标系中画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间．20. （15分） (2018高一上·扬州期中) 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的均值点.（1）是否是上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，请说明理由；（2）现有函数是上的平均值函数，则求实数的取值范围.21. （10分） (2017高二上·临淄期末) 某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？22. （15分）(2018·邵东月考) 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共13题；共26分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

山西省名校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的值是（）A．B．C．D．2．简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，则这个简谐运动的初相为（）A．B．C．D．8x3．终边在直线上的角的集合为（）A．B．C．D．4．“x＝0”是“sin x＝0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则lg a+lg b的最大值为（）A．0B．C．D．16．若点P（7，m）在角α的终边上，且，则m＝（）A．25B．±25C．24D．±247．下列计算结果正确的是（）A．B．若x+x﹣1＝3，x4+x﹣4＝49C．cos2α＝cos4α﹣sin4αD．若，则8．满足不等式2cos x+1＞0成立的x的取值集合为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）不是周期函数B．函数f（x）的值域为〖﹣1，1〗C．函数f（x）的图象不关于任何点对称D．函数f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z10．定义在〖﹣7，7〗上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（2，7〗B．（﹣2，0）∪（2，7〗C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．〖﹣7，﹣2）∪（2，7〗11．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f （x）+g（x）＝x2+ax，记，若对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1〗D．（0，2〗12．＝（）A．B．2C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣4）＝．14．函数f（x）＝，x∈〖2，6〗的最大值为．15．当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则b﹣a的最大值为．16．若函数（其中ω≠0）在区间上不单调，则ω的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．（1）若A＝{1}，求a，b的值；（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．18．（12分）化简求值：（1）已知cos，求的值；（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°．19．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间〖，〗上的值域．20．（12分）（1）已知α，β都是锐角，，，求cosβ的值；（2）已知θ为锐角，φ为钝角，，tanφ＝﹣3，求θ+φ．21．（12分）已知f（x）是二次函数，且满足f（1﹣x）＝f（3+x），f（0）＝1，f（1）＝0．（1）求函数f（x）的〖解析〗式：（2）当x∈〖t，t+1〗时，表示出函数f（x）的最小值g（t），并求出g（t）的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝|2x﹣m|+n，若函数y＝f（x）有零点，且与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同．（1）证明：n＝﹣|1﹣m|；（2）求实数m的取值范围．（附：当x＜1时，2x﹣1＜2x﹣1．）▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A〖解析〗＝﹣sin＝﹣sin＝﹣．故选：A．2．B〖解析〗简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，当x＝0时，8×0﹣＝﹣，则这个简谐运动的初相为﹣．故选：B．3．B〖解析〗由直线y＝x的斜率为，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，终边落在射线y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，∴终边落在直线y＝x上的角的集合是：S＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+2kπ，k∈Z}＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+（2k+1）•π，k∈Z}＝{α|α＝+kπ，k∈Z}．故选：B．4．A〖解析〗∵“x＝0”能推出“sin x＝0”，即充分性成立；反过来，“sin x＝0”不能推出“x＝0”，例如sinπ＝0，但π≠0，即必要性不成立；若“x＝y”，一定有“sin x＝sin y”，即必要性成立；故“x＝0”是“sin x＝0”的充分不必要条件．故选：A．5．A〖解析〗∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴lg a+lg b＝lg ab≤lg1＝0，∴lg a+lg b的最大值为0．故选：A．6．D〖解析〗因为点P（7，m）在角α的终边上，且＝，则m＝±24，故选：D．7．C〖解析〗对于A，＝|e﹣3|＝3﹣e，故A错误，对于B，若x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2+2＝9，则x2+x﹣2＝7，则x4+x﹣4＝49﹣2＝47，故B错误，对于C，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cos2α+sin2α）（cos2α﹣sin2α）＝cos4α﹣sin4α，故C正确，对于D，若，则tan（α+）＝＝＝3，故D错误，故选：C．8．A〖解析〗由2cos x+1＞0可得cos x＞﹣，所以根据单位圆的性质可得x的范围为﹣，故选：A．9．C〖解析〗作出函数f（x）的图象如图，∵f（x+2π）＝f（x），即f（x）是周期函数，故A错误，由图象知函数的值域为〖，1〗，故B错误，由图象知函数不是中心对称图象，不关于任何点对称，故C正确，由图象知函数关于x＝kπ+，k∈Z对称，故D错误，故选：C．10．B〖解析〗∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7〗上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在〖﹣7，7〗上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7〗．故选：B．11．C〖解析〗由题设有：，即，解得，∴h（x）＝ax2+2x，对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，即函数h（x）＝ax2+2x在（1，2）上单调递减，∴或，解得a≤﹣1．故选：C．12．D〖解析〗sin20°（）＝sin20°×＝sin20°×＝sin20°×＝＝＝1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗根据题意，当x＞0时，，则f（4）＝2+＝，又由f（x）为奇函数，则f（﹣4）＝﹣f（4）＝；故〖答案〗为：．14．3〖解析〗在〖2，6〗上单调递减，∴f（x）max＝f（2）＝3．故〖答案〗为：3．15．6〖解析〗因为，定义域为R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），故f（x）是R上的偶函数，又根据复合函数的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，由＝0得x＝0，由＝得x＝±3，当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则0∈〖a，b〗，且a＝﹣3或b＝3，故b＝3，a＝﹣3时，b﹣a取最大值6．故〖答案〗为：6．16．（，+∞）〖解析〗∵函数＝sinωx（其中ω≠0）在区间上不单调，|﹣|＞||，∴﹣＜﹣，求得ω＞，即ω的取值范围为（，+∞），故〖答案〗为：（，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．若A＝{1}，则，解得a＝2，b＝1；（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，∴，解得a＝﹣3，b＝2．18．解：（1）＝＝sinαtanα＝，因为cos，所以sinα＝＝±，所以原式＝＝．（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°＝tan30°（﹣sin30°）﹣（﹣cos30°）sin60°+（﹣sin60°）cos45°sin45°＝×（﹣）﹣×（﹣）×+（﹣）××＝﹣+﹣＝0．19．解：（1）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调增区间为〖﹣+kπ，+kπ〗，k∈Z，单调减区间为〖+kπ，+kπ〗，k∈Z；（2）由x∈〖，〗，可得2x﹣∈〖﹣，〗，可得sin（2x﹣）∈〖﹣，1〗，可得函数f（x）在区间〖，〗上的值域为〖﹣，〗．20．解：（1）∵α，β都是锐角，，∴sinα＝，﹣＜α﹣β＜，∵，∴α﹣β∈（0，），∴cos（α﹣β）＝，∴cosβ＝cos〖（α﹣β）﹣α〗＝cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα＝×+×＝；（2）∵θ为锐角，φ为钝角，∴0＜θ＜，＜φ＜π，∴＜θ+φ＜，∵，tanφ＝﹣3，∴tan（θ+φ）＝＝﹣1，∴θ+φ＝．21．解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），因为f（1﹣x）＝f（3+x），所以函数f（x）关于x＝2对称，所以﹣＝2，又f（0）＝1，f（1）＝0，所以，解得，所以f（x）＝x2﹣x+1．（2）由（1）得，函数f（x）关于x＝2对称，当t≥2时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（t）＝t2﹣t+1＝（t﹣2）2﹣≥﹣；所以当t≥2时，g（t）＝t2﹣t+1，g（t）min＝﹣，当t+1≤2，即t≤1时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递减，所以f（x）min＝f（1+1）＝（t+1）2﹣（t+1）+1＝（t﹣1）2﹣≥﹣，所以当t≤1时，g（t）＝t2﹣t，g（t）min＝﹣，当1＜1＜2时，函数f（x）在〖t，2）上递减，在（2，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（2）＝﹣，所以当1＜1＜2时，g（t）＝﹣，综上所述，g（t）＝，g（t）min＝﹣．22．（1）证明：设y＝f（x）的零点为x＝a，由题意得f（a）＝0且f〖f（a）〗＝0，即f（0）＝0，∴|20﹣m|+n＝0，∴n＝﹣|1﹣m|；（2）解：由（1）知，n＝﹣|1﹣m|，∴f（x）＝|2x﹣m|+n＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|，∵函数y＝f（x）有零点，∴|2x﹣m|﹣|1﹣m|＝0有解，即|2x﹣m|＝|1﹣m|，等式两边同时平方并整理得：2021-2022学年期末考试试题（2x）2﹣2m•2x+2m﹣1＝0，即（2x+1﹣2m）（2x﹣1）＝0，又∵函数y＝f（x）与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同，所以（2f（x）+1﹣2m）（2f（x）﹣1）＝0，①当1﹣2m＝﹣1，即m＝1时，f（x）＝0，符合题意；②当2f（x）+1﹣2m＝0无解时，f（x）＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|≥﹣|1﹣m|，所以2f（x）≥2﹣|1﹣m|，所以2f（x）＝2m﹣1无解，则2m﹣1＜2﹣|1﹣m|，由题知，当m＜1时，2﹣|1﹣m|＝2m﹣1，即2m﹣1＜2m﹣1，符合题意，当m＞1时，2﹣|1﹣m|＝21﹣m，2m﹣1＞21﹣m，不符合题意，综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，1〗．11。

第三讲函数的性质选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．（2016年山东卷）已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=-，则f (6)=（ ） A ．−2 B ．−1C ．0D ．2【答案】D【解析】当11x -≤≤时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．2． 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2] 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤， 所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤， 即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C.3．（2017年山东卷理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.4．已知函数()()sin f x x x x R =+∈，且()()2223410f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ） A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,323⎡⎤-⎣⎦D ．1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由于()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，()'1cos 0fx x =-≥为增函数.由()()2223410f y y f x x -++-+≤得到()()()2222341fyyf -+≤-，根据函数的单调性，有222341y y x x -+≤-+-，即()()22211x y -+-≤，由于1y ≥故点(),x y 表示的是圆心为()2,1半径为1的圆的上半部分，包括圆内.1yx +的几何意义是()(),,1,0x y -两点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为14AD k =，斜率的最大值为AC k ，由于1,23AB k CAx BAx =∠=∠，利用二倍角的正切值得21223311419AB AC AB k k k ⋅===--.5．已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m为常数），则()ln5f -的值为（ ） A.4 B.-4 C.6 D.-6 【答案】B 【解析】由题意()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，即函数()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()000,1f e m m =+=∴=-则当0x ≥时，()1xf x e =-，ln50>故()()()ln5ln5ln514f f e -=-=--=-，选B6．已知函数()()5sin f x x x x R =+∈，且()()22430f x x f y -++≤，则当0y >时，y xx y+的取值范围是（ ） A ．430,3⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．43,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．[)2,+∞ 【答案】C【解析】 由函数()()5sin f x x x x R =+∈，则()5s in ()[5f x x x x x f-=-+-=-+，所以函数为奇函数，所以不等式可转化为()()22243[(3)]f x x f y f y -≤-+=-+，又因为()5cos 0f x x '=+>，所以函数()f x 为单调递增函数，所以可得224(3)x x y -≤-+22430x y x ⇒+-+≤，又0y >，所以表示圆心在(2,0)，半径为1的上半圆．设yt x=，则可得3[0,]3y t x =∈，则1y x y t x y t =+=+在区间3[0,]3t ∈上为单调递减函数，则当33t =时，433y =，所以y x x y +的取值范围是43,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选C ． 7．设函数()()32ln 1f x x x x =+++且()233ln2113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．()33,+∞C ．()33,3 D ．()()30,33,+∞【答案】C 【解析】 由函数()()32ln1f x x x x=+++，令1x =-，则()31(1)ln (21)l n (21)f -=-+-=--，所以()233ln 2113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，即()233l n 2113a a f a ⎛⎫-<--⎪-⎝⎭，即233(1)3a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，又函数()()32ln1f x x x x =+++为单调递增函数，所以23313a a a -<--，解得333a <<，故选C ．8．已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,]8-∞-B ．1(,][1,)8-∞-+∞ C ．[1,)+∞ D ．1[,1]8- 【答案】B【解析】对于函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，当1x ≤时，2111()()244f x x =--+≤；当1x >时，13()log 0f x x =<，则函数()f x 的最大值为14，则要使不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则271244m m -≥，解得1(,][1,)8m ∈-∞-+∞，故选B ． 9．已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，若动点()P x y ，满足等式()()22222830f x x f y y +++++=，则x y +的最大值为（ ）A ．63+B ．3-C ．63-D ．3 【答案】C【解析】因为对任意的x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，∴()()()000f f f =+，∴()00f =．令y x =-，∴()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，该函数为奇函数．∵()()22222830f x x f y y +++++=．∴()()()22222283283f x x f y y f y y ++=-++=---．∵()f x 是定义在R 上的单调函数．∴2222283x x y y ++=---，即22222830x x y y +++++=．整理，得()()2212142x y +++=．令2c o s 12s i nx y θθ=-=-，，∴2c o s 12sin 2x y θθ+=-+- ()6sin 3θϕ=+-，∴()min 63x y +=-，故选C ．10．已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8-- C ．17[1,)16D ．17(1,)16【答案】D【解析】当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确．当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确．当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确．故应选D ．11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件 ①对任意的x R ∈都有()()4f x f x +=；②对任意的1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <；③()2y f x =+的图象关于y 轴对称，则()()()4.5, 6.5,7f f f 的大小关系为（ ） A ．()()()7 4.5 6.5f f f << B ．()()()4.5 6.57f f f << C ．()()()6.57 4.5f f f << D ．()()()4.57 6.5f f f << 【答案】D【解析】由题意可知函数是周期为4的周期函数,且关于直线2=x 对称,因为)5.1()5.2()5.6(),1()3()7(),5.0()5.4(f f f f f f f f =====,且在区间上单调递增,所以()()()4.57 6.5f f f <<,应选D.12．函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，若当35 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（ ）A ．14-B ．14 C.4- D ．4【答案】A 【解析】因为函数()f x 对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，函数()f x 是周期为6的函数，()()()2017336611f f f =⨯+=，由()()3f x f x +=-可得()()()2321f f f -+=--=，因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，()()2112224f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以()2017f =()1f =()2f --=14-，故选A.13．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】由)(x f 是有理数⇒(())1f f x = ，故命题①正确；易得)()()(x f x f x f ⇒=-是偶函数，故②正确；易得()()f x T f x +=是偶函数，故③正确；取33(1,0),(1,1),(1,0)33A B C -+，可得ABC ∆为等边三角形 ，故④正确，综上真命题的个数有4个.二、填空题14．（2018北京高考）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】sin y x =（答案不唯一）【解析】令()(]00402x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．15．函数()3123f x x x =-+，()3xg x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是 ．【答案】14【解析】()()33631222--=+-=x x x x f ，对称轴6=x ，在区间[]51-，递减，∴()()325min -==f x f ，()()161max =-=f x f ，()m x g x -=3是增函数，∴()m x g -=1max ，()m x g -=9min ，∴只需()()min min x g x f >即可，解得：41>m ，故答案为：41．16．已知函数()2sin 1x x xe x f x x e ++=++,则 ()()()()()()()()()432101234f f f f f f f f f -+-+-+-+++++的值是 ． 【答案】9 【解析】 因xxx e e x x x f e x x x f ++--=-+++=12sin )(,12sin )(,故21212)()(=+++=-+xxx ee e xf x f ,所以()()()()()()()()()43210f f f f f -+-+-+9142=+⨯=,应填9.17．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()()1x yf x f y f xy--=-，当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，且1()12f -=．设2111()()()2,*5111m f f f n n n n =+++∈+-N ≥，则实数m 与－1的大小关系是 ．【答案】1m >- 【解析】∵函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，令0x y ==得()0=0f ；令0x =得()()f y f y -=-．∴()f x 在(1,1)-为奇函数，单调减函数且在(1,0)-时，()0f x >，则在()0,1时()0f x <．又1()12f =-，∵21111111()()()()()111(1)1111n n f f f f f n n n n n n n n -+===-+-+-+-⋅+， 2111111111111()()()[()()][()()][()()]()()1()1511123341211m f f f f f f f f f f f f n n n n n n =+++=-+-++-=-=-->-+-+++18．已知函数)(x f 是周期为2的奇函数，当01≤≤-x 时，x x x f +=2)(，则=)22017(f . 【答案】14【解析】 因为函数)(x f 是周期为2的奇函数，所以22017111111()(5042)()()()()2222224f f f f ⎡⎤=⨯+==--=--+-=⎢⎥⎣⎦，即应填14. 三、解答题19．已知函数82)(2--=x x x f ，1642)(2--=x x x g （1）求不等式0)(<x g 的解集；（2）若对一切2>x ，均有15)2()(--+≥m x m x f 成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）224160g x x x <（）＝－－， ∴（2x ＋4）（x －4）<0，∴－2<x<4，∴不等式g （x ）<0的解集为{x|－2<x<4}．（2）∵f （x ）＝x 2－2x －8． 当x>2时，f （x ）≥（m ＋2）x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥（m ＋2）x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m（x －1）．∴对一切x>2，均有不等式2471x x x -+-≥m 成立．而2471x x x -+-＝（x －1）＋41x -－2≥2()411x x -⨯-－2＝2（当x ＝3时等号成立）． ∴实数m 的取值范围是（－∞，2].B 组一、选择题1．（2017年天津卷理）已知函数设，若关于x 的不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】不等式()2xf x a ≥+为()()2x f x a f x -≤+≤(*)，当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x --≤≤+，又3232()2322x x x x --=-+≤-（当233x =时取等号），222222x x x x +≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ．2．（2016全国卷Ⅱ）已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1miii x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】由()()2f x f x -=-得()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+， ∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．3．若不等式2222x x a y y ++≥--对任意实数x ，y 都成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．3a ≥ 【答案】C 【解析】因为2222x x a y y ++≥-- 所以，()()22x +112y a ++≥-，要对任意实数x ，y 都成立，只需 20a -≤，即2a ≥，故选C .4．已知函数()()220162016log 120162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 【答案】A【解析】()()31220f x f x +-+->，设()()()22016220162016log 1x x F x f x x x -=-=-+++，()()F x F x -=-，所以()F x 为奇函数，图像关于原点对称，要()()310F x F x ++>，只需1310,4x x x ++>>-.5．已知函数()()x x x x x f ++++=1lnsin 22，若不等式()()3393-⋅+-xxxm f f <0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为（ ） A.()132,-∞- B.()132,+-∞-C.()132,132-+- D.()∞++-，132 【答案】A【解析】 因为()()0f x f x +-=，且(2s i n )2c o s 0,x x x '+=+>()2l n1x x++单调递增，所以函数()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而()()39330x x x f f m -+⋅-<()()339333933313x x x x x x x x f f m m m ⇔-<-⋅+⇔-<-⋅+⇔<-+又333123123133x xx x -+≥⋅-=-，当且仅当333x x =时取等号，所以m 的取值范围为()132,-∞-，选A. 6．已知()()()22ln 3ln 5ln11,,,22135x f x x x a f b f c f π⎛⎫⎛⎫=++-+===-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 下列结论正确的是（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【解析】因函数)()(x f x f -=-,故函数)(x f 是奇函数,且在),0(+∞单调递增,由于55ln 33ln 1,12>>>-π,所以b a c >> ,故应选B. 7．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，若对任意的,x y R ∈，等式2(3)(43)0f y f x x -+--=恒成立，则yx的取值范围是（ ）A ．22[23,23]33-+B ．2[1,23]3+C ．2[23,3]3-D ．[1,3] 【答案】C 【解析】由于“函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称”，故()f x 图象关于原点对称，为奇函数，不妨设()f x x =.根据2(3)(43)0f y f x x -+--=，得223430,343y x x y x x -+--==---，作图象如下图所示，故yx最大值为3.当1,yx y x==时，过()2,2，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.8．定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ） A ．233B ．-3C ．1D ．3 【答案】D设[]n m ,是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,∞-⊆n m 或[]()∞+⊆，0,n m ，故函数()x a a a x f 211-+=在[]n m ,上单调递增，则()()⎩⎨⎧==nn f m m f ，故n m ,是方程x xa a a =-+211的同号的相异实数根，即()01222=++-x a a x a 的同号的相异实数根，∵21a mn =，∴n m ,同号，只需()()0132>-+=∆a a a ，∴1>a 或3-<a ，()343113422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-a mn n m m n ，m n -取最大值为332．此时3=a ，故选：D ．9．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，其图像与函数111x y x x+==+的图像的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.10．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1fb f af x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】322(2)(0)2(2)(2)8222f a f a a a a a a --==-，2'()62f x x x =-，由题意方程22'()6282f x x x a a =-=-即22()340g x x x a a =--+=在[0,2]a 上有两个不等实根．所以222112(4)01026(0)40(2)80a a ag a a g a a a ⎧∆=--+>⎪⎪<<⎪⎨⎪=-+>⎪⎪=->⎩，解得1184a <<．故选B ． 11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足: )1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，且当0≥x 时恒有)21()23(+=-x f x f ，当)2,0(∈x 时，1)(-=x e x f ，则=-+)2015()2016(f f （ ）A ．e -1B ．1-eC ．e --1D ．1+e【答案】A 【解析】)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，则()f x 关于原点对称，()00f =．当0≥x 时恒有)21()23(+=-x f x f ，则函数周期为2.所以()()(2016)(2015)01011f f f f e e +-=-=-+=-. 12．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（ ）A.－1B.0C.1D.2 【答案】B 【解析】由f(x+2)=－f(x)可知函数具有周期性，周期4T = ()()()6200f f f ∴==-= 二、填空题13．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[]0,2x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①(2)0f =；②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[]8,10单调递增；④若方程()f x m =在[]6,2--上的两根为1x 、2x ，则128x x +=-． 以上命题中所有正确命题的序号为 ． 【答案】①②④ 【解析】 ①依题意，()()()42f x f x f +=+,令2x =-,则()()()()()22222f f f f f =-+=+,∴ ()20f =；②()()4f x f x +=,∴函数周期为4,偶函数的对称轴是0x =,∴4x =-是()f x 的对称轴；③()f x 在[]0,2上递减,又函数周期为4，∴函数在[]8,10上递减；④()f x 在[]0,2上递增，且为偶函数,∴()f x 在[]2,0-上递减,∴() f x 在[]6,4--上递减,图象关于4x =-对称,∴ 两个根的和为128x x +=-,故正确的有①②④.14．函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间是________.【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.15．给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x +在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）为真，令21x x x=-=即可；（2）为真，不妨设12x x >，则1212()()()()f x f xg x g x ->-即211212()()()()()()f x f xg x g x f x f x -<-<-即1122()()()()f x g x f x g x +>+．（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉72，加大可得正确答案17,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭（4）为真，方程与函数图象结合，关于t 的方程若一正一负，正大于1，此时有2根；若一零一1，此时有5根；若判别式0=，此时有4根；若两个均为正，则有8个根． 三、解答题16．已知函数21()log 1xf x x x-=-++. （1）求20162016()()20152015f f +-的值； （2）当[,]x a a ∈-（其中(0,1)a ∈，且a 是常数）时，若()xm e f x --≤恒成立，求m 的取值范围.【解析】 （1）由).1,1()(11011-∴<<->+-的定义域为，得x f x xx又)()11log (11log )(22x f xxx x x x x f -=+-+--=-++=-， )(x f ∴为奇函数.)20152016()20152016(-+f f =0 （2）设1121<<<-x x ，则)1)(1()(2111121122211x x x x x x x x ++-=+--+-， 0)1)(1(,0,11211221>++>-∴<<<-x x x x x x ，011112211>+--+-∴x x x x ，即22111111x x x x +->+- 21log (1,1)1xy x-∴=-+函数在上是减函数，21()log (1,1).1xf x x x-=-+-+从而得在上也是减函数 )(x f e m x ≤--恒成立，即x e x f m -+≤)(恒成立令xex f x h -+=)()(，则xex f x h -+=)()(在定义域上是减函数，则a e aa a h x h m -+-+-==≤1log )()(2min17．已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t ，那么该函数在),0(t 上是减函数，在),[+∞t 上是增函数．（1）已知]1,0[,123124)(2∈+--=x x x x x f ，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数a x x g 2)(--=，若对任意1x ∈[0,1]，总存在2x ∈[0,1]，使得)(2x g =)(1x f 成立，求实数a 的值． 【解析】（1）812412123124)(2-+++=+--==x x x x x x f y ， 设],1,0[,12∈+=x x u 则31≤≤u 则84-+=uu y ，]3,1[∈u ． 由已知性质得，当21≤≤u ，即210≤≤x 时，)(x f 单调递减； 所以减区间为]21,0[；当32≤≤u ，即121≤≤x 时，)(x f 单调递增；所以增区间为]1,21[；由311)1(,4)21(,3)0(-=-=-=f f f ，得)(x f 的值域为]3,4[--．a x x g 2)(--=为减函数，故]1,0[],2,21[)(∈--∈x a a x g ．由题意，)(x f 的值域是)(x g 的值域的子集，∴⎩⎨⎧-≥--≤--.32,421a a 23=∴aC 组一、选择题1．()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5 D ．()()2,33,4【答案】D【解析】当03x <<时，不等式()()30x f x ->即为()()22l o g 20fx x =-+<，所以()2log 22,2x 3x +>∴<<；当30x -<<时，03x <-<，所以()()()22log 2,f x f x x -=-=--()()22log 2f x x ∴=-+-，当36x <<时，360x -<-<，由()()33f x f x -=+可得()()()262l o g 80fx f x x =-=-+->，不等式()()30x f x ->可转化为()0f x >即()22log 80x -+->，所以34x <<，综上所述：不等式()()30x f x ->的解集是()()2,33,4，故选D.2．已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-，2()2(0)g x x bx x =+->，b R ∈，若()f x 图象上存在A ，B 两个不同的点与()g x 图象上'A ，'B 两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ）A ．(425,)--+∞B ．(425,)-+∞C ．(425,1)--D ．(425,1)- 【答案】D. 【解析】设()g x 函数图象上任一点2(,2)x x bx +-，其关于y 轴的对称点为2(,2)x x bx -+-， ∴由题意可知方程22242(1)(1)201xx bx x x b x b x x -+-=+-⇒-++-=--在(0,)+∞上有两个不等实根，∴2(1)8(1)0104251102(1)b b b b b b ⎧⎪∆=++->⎪⎪-<⇒-<<⎨⎪+⎪->-⎪⎩，即实数b 的取值范围是(425,1)-，故选D ．3．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 4．设()x f 和()x g 是定义在同一个区间[]b ,a 上的两个函数，若函数()()x g x f y -=在[]b ,a x ∈上有两个不同的零点，则称()x f 和()x g 在[]b ,a 上是“关联函数”，区间[]b ,a 称为“关联区间”．若()432+-=x x x f 与()m x x g +=2在[]30,上是“关联函数”，则m 的取值范围是（ ） A ．]2,49(--B ．[]01,-C ．(]2-∞-,D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,49 【答案】A 【解析】由题意，方程2()()54f x g x x x m -=-+-0=在[0,3]上有两不等实根，设2()54h x x x m =-+-，则254(4)0(0)40(3)205032m h m h m ∆=-->⎧⎪=-≥⎪⎪⎨=--≥⎪⎪<<⎪⎩，解得924m -<≤-．故选A ．5．已知函数()244+=x x x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20152014201532015220151f f f f （ ）【答案】A 【解析】函数()244+=x x x f ，则()()()1111444441424242424x x x x xx x x xx f x f x ----⋅+-=+=+++++⋅ 44142424x x x=+=++⋅，所以12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112014220132014112014100722015201520152015201520152f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 6．设函数1 (2() 1 (02),x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩1()(),[2,2]2g x f x x x =-∈-，若2121(log )(log )2()2g a g a g +≤,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．[1,2]C ．1[,2]2D ．2[,2]2【答案】D【解析】由题11(212()()=121(2x x g x f x xx x ⎧---≤≤⎪⎪=-⎨⎪-<≤⎪⎩若2121(log )(log )2()2g a g a g +≤即22113(log )(log )21222g a g a ⎛⎫+-≤⋅-=- ⎪⎝⎭当22log 0a -≤≤时20log 2a ≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()222113121l o g l o g 1 l o g 22222a a a a --+--≤-∴≥-∴≥结合22l o g 0a -≤≤即212a ≤≤，可知此时2,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当20log 2a <≤时22log 0a -≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()()222113l og1222a a a⎡⎤-+---≤-∴≤∴<≤⎢⎥⎣⎦结合20l o g 2a <≤即14a <≤，取交集即为12a <≤，综上 实数a 的取值范围是2[,2]27．已知2()22f x x x =-+，在21[,2]4m m -+上任取三个数a ，b ，c ，均存在以(),(),()f a f b f c 为三边的三角形，则m 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．2[0,)2C ．2(0,]2D ．2[,2]2【答案】A 【解析】设2()22f x x x =-+，在21[,2]4m m -+上的最大值为max ，最小值为min ，则题意等价于2min max >，又22172()24m m m -+=-+74≥，所以min (1)1f ==，又131()416f =，311216⨯>成立，()f x 在[1,)+∞上单调递增，(2)2f =，由2(2)122f m m -+<⨯=得222m m -+<，得01m <<，故选A ．8．已知函数()22 03 0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17 116⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．17 28⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.191 16⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．171 16⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】由题意，问题转化为函数()30y x a a x =-++<与()220y x x =-<的图象恰有三个公共点，显然0a ≤时，不满足条件，当0a >时，画出草图如图，方程2234x x a -=+，即23420x x a ++-=有两个小于a -的实数根.结合图形，有()29442020a a aa ∆=-->⎧⎪>-⎨⎪>⎩，∴17116a <<.选D 。

IT高考真题•母题解密」I［分项汇编•逐一击破』专题06 比较大小母题呈现【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设a = 3°\人= ［：］，c = log07 0.8,则的大小关系为( )A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】D母题揭秘【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系.【详解】因为a = 3°'> 1 , 人== 3°'8 > 3°'7 = a > c = log。

,? 0.8 < log。

.? 0.7 = 1,所以c< .故选：D.【命题意图】本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现.试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点.考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幕函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对蓦形式的数的大小关系，常用方法：(1)利用指数函数的单调性：y^a x,当。

>1时，函数递增；当0<。

< 1时，函数递减；(2)利用对数函数的单调性：y = log^ X,当a>l时，函数递增；当0<。

< 1时，函数递减；(3)借助于中间值，例如：0或1等.1. [2020-天津九校高三下学期4月联考】设fl = log05 0.8,力=/。

&」0.8, c = l.l08则( ).A. b<a<cB. b<c<aC. a<b<cD. a<c<b【答案】A【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与。

2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2} D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题正确的是（ ） A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝26．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√27．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥328．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3B ．16的4次方根是±2C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a 在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 ．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ ．15．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−1√2)−6= ． 16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）已知函数f （x ）＝ka x （k 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象过点A （0，1）和点B （2，16）． （1）求函数的解析式； （2）g （x ）＝b +1f(x)+1是奇函数，求常数b 的值；（3）对任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，试比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小． 2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：D ． 2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}解：由题意得：{2x −1≥0x 2−1≠0，解得：x ≥12且x ≠1，故函数的定义域是{x |12≤x ＜1或x ＞1}．故选：C ．3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，所以f （0）＝03+1＝1，所以f （f （0））＝f （1）＝1﹣a ＝﹣2，解得a ＝3． 故选：C ．4．下列命题正确的是（ ）A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同解：对于A ：y ＝x 2定义域为R ，由二次函数y ＝x 2的图像可知，y ＝x 2在（0，+∞）是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，故A 错误；对于B ：由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，但在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故B 错误；对于C ：y ＝x 2在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，y ＝|x |，当x ≥0时，y ＝x ，易知为增函数，当x ＜0时，y ＝﹣x ，易知为减函数，所以函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同，故C 正确；对于D ：y =1x 定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，设y =f(x)=x +1x定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−x 2−1x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 1x 1x 2=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−1x 1x 2， 当0＜x 1＜x 2＜1时，f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递减， 当1＜x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x ）在（1，+∞）上单调递增，同理可证，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故D 错误． 故选：C ．5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝2解：A ．y =−1x是奇函数，满足条件．B ．y ＝x 2是偶函数，不满足条件．C ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．y ＝2为偶函数，不满足条件． 故选：A ．6．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√2解：因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以y =2x +3+1x−1=2(x −1)+1x−1+5=2(x −1)+1x−1+5≥2√2(x −1)⋅1x−1+5=5+2√2， 当且仅当2(x −1)=1x−1，即x =1+√22时，等号成立． 故选：B ．7．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥32解：当a ＝0时，不等式化为：﹣3x ≥0，不等式不恒成立，所以a ＝0不符题意， 当a ≠0时，要使不等式恒成立，只需{a ＞0Δ=9−4a 2≤0，解得a ≥32，综上，实数a 的范围为a ≥32．故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]解：由f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，得f （a •2x ）≤f （4x +1）， 因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （a •2x ）≤f （4x +1）可化为f （|a •2x |）≤f （|4x +1|）， 因为f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， 所以|a •2x |≤|4x +1|，所以|a |2x ≤4x +1， 所以|a|≤2x +12x ， 因为2x +12x ≥2√2x ⋅12x =2，当且仅当2x =12x ，即x ＝0时取等号， 所以|a |≤2，解得﹣2≤a ≤2， 即a 的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3 B ．16的4次方根是±2 C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|解：负数的3次方根是一个负数，√−273=√(−3)33=−3，故A 错误；16的4次方根有两个，为±2，故B 正确；√814=√344=|3|=3，故C 错误；√(x +y)2是非负数，所以√(x +y)2=|x +y|，故D 正确． 故选：BD ．10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件解：∵中“a ＝b ”⇒“ac ＝bc ”为真命题， 但当c ＝0时，“ac ＝bc ”⇒“a ＝b ”为假命题，故“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 为假命题； ∵中“a +5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题， “a 是无理数”⇒“a +5是无理数”也为真命题，故“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题； ∵中“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题， “a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的即充分也不必要条件，故C 为假命题；∵中{a |a ＜5}⊉{a |a ＜3}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D 为真命题． 故选：BD ．11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以c 2＜cd ，故A 正确；令a ＝2、b ＝1、c ＝﹣1、d ＝﹣2，满足a ＞b ＞0＞c ＞d ，此时a ﹣c ＝b ﹣d ，故B 错误； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以ad ＜bd ，bd ＜bc ，所以ad ＜bc ，故C 正确； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，则c a −d b =cb−adab ，因为cb ﹣ad ＞0，ab ＞0，所以c a −d b =cb−ad ab ＞0，即c a ＞db，故D 正确．故选：ACD ．12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0解：设幂函数f （x ）＝x α，由图像过点A(3，127)可得3α=127可得α＝﹣3，即f （x ）＝x ﹣3，A 正确； 若函数f(x)={x ，x ＜a x 2，x ≥a在R 上单调递增，则{a ≥0a ≤a 2，解得a ≥1或a ＝0，B 错误；若x ＞0，y ＞0，且1x +3y =1，则x +2y ＝（x +2y ）（1x +3y）＝7+2y x +3x y ≥7+2√2y x ⋅3xy =7+2√6，当且仅当2y x =3x y 且1x +3y=1，即x ＝1+√6，y ＝3+√62时取等号，C 正确；因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ）， 当x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）（1﹣x ）＝x （1﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝x （x ﹣1），又f （0）＝0，D 错误． 故选：AC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 存在一个矩形的对角线不相等 ．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“矩形的对角线相等”的否定：存在一个矩形的对角线不相等．故答案为：存在一个矩形的对角线不相等．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ 4 ．解：由x−a x+1≥0，得（x ﹣a ）（x +1≥0，故﹣1，4是方程（x ﹣a ）（x +1）＝0的根，故a ＝4，故答案为：415．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−12)−6= ﹣3 ．解：√(−6)33−(12)0+0.2512×(2)−6=−6﹣1+12×8=−3． 故答案为：﹣3．16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 （0，1） ．解：当x ＜0时，f （x ）＝﹣2x +1单调递减；当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +1＝﹣（x ﹣1）2+2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；故答案为：（0，1）．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集．解：（1）由题设U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，5，6}，A ∩B ＝{4}．（2）由（1）知：∁U A ＝{1，3，5，6}，则（∁U A ）∩B ＝{3，5，6}， 对应子集有∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：（1）函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9， 所以函数f （x ）的对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣9）， 单调递递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）；（2）由（1）可知当x ＝﹣1时，函数的最小值为f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣9， 又f （﹣2）＝﹣8，f （2）＝0，所以函数的最大值为f （x ）max ＝0． 19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．解：（1）f （x ）＝|x ﹣1|﹣2={−x −1，x ≤1x −3，x ＞1；（2）f （x ）的图象如图：（3）由图可知，f （x ）的值域为[﹣2，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．解：（1）单调递增，由题意证明如下， 函数f(x)=x +m x ，且f （1）＝5，有1+m1=5，解得m ＝4， 所以f （x ）的解析式为：f(x)=x +4x．设∀x 1，x 2∈（2，+∞），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2． 由x 1，x 2∈（2，+∞），x 1＜x 2，得x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＜0，则(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．所以f （x ）在区间（2，+∞）上单调递增． （2）由（1）知f （x ）在[52，103]上是增函数，所以f （x ）在区间[52，103]上的最小值为f(52)=52+452=4110，最大值为f(103)=103+4103=6815，所以f （x ）在[52，103]上的值域为[4110，6815]．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g(x)=k2√x，由图知f（2）＝1，即2k1＝1，解得k1=1 2，又g（4）＝4，即2k2＝4，解得k2＝2．从而f(x)=12x(x≥0)，g(x)=2√x(x≥0)．（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元，则y=f(x)+g(10−x)=12x+2√10−x(0≤x≤10)，令t=√10−x，则y=−12(t−2)2+7(0≤t≤√10)，当t＝2时，y max＝7，此时x＝6．所以A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．22．（12分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+1f(x)+1是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小．解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：{k=1k⋅a2=16，解得：{k=1a=4，故f（x）＝4x；（2）由（1）g（x）＝b+14x+1，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）＝b+14−x+1=b+4x4x+1=−b−14x+1，解得：b=−12；（3）∵f（x）的图象是凹函数，∴f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，证明如下：f(x1+x22)=4x1+x22，f(x1)+f(x2)2=4x1+4x22≥2√4x1+x22=4x1+x22，故f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．。

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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

第3讲 利用导数研究函数的性质【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==， 若0x >，()202f =，所以2x >； 若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<， 综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（ ）A ．1-B ．1e- C ．ln 2 D ．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21xf x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x x f x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-， 由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-． 故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A ．2k > B ．1k C ．1k > D ．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴'在区间(1,)+∞上恒成立． 1kx ∴， 而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴．选项中只有0k >是1k 的必要不充分条件. 选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件. 故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<， 故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>， 即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log )(log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<． 故选：B ．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10e k -<<，故选：D ．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()xf x xe ax =+．则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，()min 1f x e=-B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C ．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e ≤-【答案】ABD 【详解】解：对于A ：当0a =时，()xf x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令'0f x，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e-≥-=-=-，所以()min 1f x e =-，故A 正确；对于B ：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1xx f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x xx y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C ：由函数()xf x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0xf x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D ：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()xh x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（ ） A ．实数k 的取值范围为()0,1 B ．实数k 的取值范围为()0,e C ．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭D ．123x x x 的取值范围为()e,+∞ 【答案】AC 【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解， 所以16160,k =->解得)1(0k ∈，； 由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设1)0(1lnx t =∈-，，则()24te e g t t⋅=-， 所以()()22421'0t g tt e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增， 又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为f x ，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ） A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD 【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>， 所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==， 故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e +>，()0f x >， 所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->， 令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20xf x f x h x e ''--=>， 所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-， 故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x '>，则（ ）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD 【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>． 构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误； 因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确， 故选：AD. 三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________. 【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃. 故答案为：(1,0)(0,2)-.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立， ∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数； 3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e ah x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立； 30x x xe e a ∴-+-；即3x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数； ()g x g ∴（1）0=； 30a ∴-；3a ∴．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】 令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<， 所以函数()()f xg x x=在(0,)+∞上是减函数， 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=， ∴()()()f x g x g x x--==--， ∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， ∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==， 则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ， 当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立， ∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞． 故答案为：(2,0)(2,)-+∞.16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a -- (],2-∞ 【详解】 （1）()()()223391x x g x x x +-'=-=， 当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-， 故()g x 的值域是[]6,10a a --； （2）()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 综上，实数t 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。

【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。

函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。

1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。

2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。

4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。

2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。

函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。

若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。

2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。

2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。

2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。

2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。

2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。

2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。

2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。

2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。

1 / 11高中数学专题：函数的基本性质探考情 悟真题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等.4.预计高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 函数的单调性与最值1.下列函数中,在(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=|x -1x |答案 C2 / 112.若函数f(x)=lo g 12(x 2+ax+6)在[-2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( ) A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)答案 B3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x答案 A考点二 函数的奇偶性与周期性1.已知函数y=f(x)+cos x 是奇函数,且f (π3)=1,则f (-π3)=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 A2.已知a,b ∈R,则“a>|b|”是“a ·2a -12a +1>b ·2b -12b +1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A炼技法 提能力【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)·[f(x 2)-f(x 1)]>0.则当n ∈N *时,有()A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案C2.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=ln x+x 是k倍值函数,则实数k的取值范围是.答案(1,1+1)e方法2判断函数奇偶性的方法1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xD.y=x+e xC.y=2x+12x答案D2.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B3 / 113.设函数f(x)=2+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()a-1A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案D方法3函数周期性的解题方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=()A.-2B.0C.2D.2018答案C2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f(x)=x2+1,则f(2020)=()A.-1B.0C.1D.2答案A【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组已知a∈R,函数f(x)=|x+4-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.x答案(-∞,9]2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值4 / 111.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log314)答案C3.设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]4.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.5 / 11答案(12,3 2 )考点二函数的奇偶性与周期性1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案D2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.6 / 116.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.答案-25C组教师专用题组1.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C3.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-24.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案125.若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.7 / 116.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共32分)1.设不为1的实数a,b,c满足a>b>c>0,则()A.log c b>log a bB.log a b>log a cC.b a>b cD.a b>c b答案D2.下列函数中,既是奇函数又在R上具有单调性的是()A.y=x3B.y=cos xC.y=2|x|D.y=1x答案A3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则有()A.f(x)是偶函数,递增区间为(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间为(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间为(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间为(-∞,0)8 / 119 / 114.若∀m,n ∈N,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,则f(x)=x √1−x 2x 2+1+g(x)的最大值与最小值之和是( )A.4B.6C.8D.10答案 B5.函数f(x)=3x-x 3在区间(a 2-12,a)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,√11)B.(-1,2]C.(-1,4)D.(-1,4]答案 B6.设f(x)=2x 2x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g(x 0)=f(x 1)成立,则a 的取值范围是( )A.[52,4]B.[4,+∞)C.(0,52]D.[52,+∞)答案 A7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:(1)对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;(2)对一切x>0,有f(x)+1x >0;(3)对任意的x ∈(0,+∞),有f(x)·f (f(x)+1x )=1.则f(1)的值是( )10 / 11A.1+√52B.1−√52C.1±√52D.-1+√52答案 B8.函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对任意x,y ∈(-1,1)均有f(x)-f(y)=f (x -y 1−xy ),f (12)=-1,且对任意x>0均有f(x)<0,则下列选项正确的是( )A.存在x 1x 2<0,使得f(x 1)f(x 2)>0B.f(x)为偶函数C.f (-18)>14D.对任意的ε>0,总存在x ∈(-1,1)使得|f(x)|>ε答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)9.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x 为奇函数,则a= .答案 210.若函数f(x)=x (x+2)(x -a)为奇函数,则实数a 的值为 ;且当x ≥4时, f(x)的最大值为 .答案 2;1311.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f (0)= ; 若当x>0时,f(x)=x 3+5,则f(-2)= . 答案 0;-1312.已知f(x)=ax x -x+1,若对任意的x ∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案[-3,1]13.已知函数f(x)=|√1−x2-ax-b|(a,b∈R),当x∈[0,1]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案√2-1211 / 11。

考纲解读 1.根据函数奇偶性定义和图象判断简单函数的奇偶性；2.根据函数奇偶性求函数值、求参数、解与函数有关的不等式；3.综合应用函数的周期性、奇偶性、单调性、求解抽象函数问题．[基础梳理]1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．[三基自测]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案：A2．函数f (x )＝1－x1＋x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案：D3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x | 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝__________. 答案：05．(必修1·第一章复习参考题改编)函数f (x )＝4x 2－kx －8为偶函数，则k 为________．[考点例题]考点一 函数奇偶性的判断|易错突破[例1] (1)(2018·肇庆模拟)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2⊕x2－(x ⊗2)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[解析] (1)y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.(2)因为2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2， 所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－|2－x |，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2x ，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数． [答案] (1)B (2)A [易错提醒]1．函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x －1＞0，知x ＞1，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．答案：C2．函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2，则f (x )为( ) A ．奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． 答案：C考点二 函数的周期性|方法突破[例2] (1)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝__________.(3)函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为__________．[解析] (1)∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的周期为π.故选C. (2)∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. (3)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 故f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0， ∴f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. [答案] (1)C (2)－2 (3)4 1．求函数周期的方法 [方法提升](1)函数f (x )满足f (a ＋x )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a 的函数； (2)若f (x ＋a )＝±1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2a ； (4)若f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )，则T ＝4a .[母题变式]将本例(3)改为已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解析：由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2<2.5<3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. [答案] 2.5考点三 函数奇偶性、周期性应用|模型突破角度1 求函数解析式[例3] (1)函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.[解析] ∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， ∴f (x )＝－－x －1. [答案] －－x －1(2)f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝e x ，求f (x )和g (x )的解析式． [解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝e x ，① 得f (－x )＋g (－x )＝e －x ， 即－f (x )＋g (x )＝e －x .②由①＋②得g (x )＝e x ＋e －x 2，①－②得f (x )＝e x －e －x 2.[模型解法]角度2 求参数值[例4] 若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.[解析] 法一：∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k ， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1. 法二：f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0， ∴k －21＋2k＋k －121＋k 2＝0，即k 2＝1，∴k ＝±1.[答案] ±1 [模型解法]角度3 求函数值[例5] 已知f (x )＝22x＋1＋sin x ，则f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)的值是__________．[解析] 因为f (x )－1＝1－2x1＋2x ＋sin x 是奇函数，所以f (－x )－1＝－[f (x )－1]＝1－f (x )，故f (－x )＋f (x )＝2，且f (0)＝1，所以f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (－4)＋f (4)]＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝2×4＋1＝9.[答案] 9[模型解法][高考类题]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝__________.解析：依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.答案：122．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x ，解得a ＝1.答案：1[真题感悟]1.[考点一](2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数解析：由f (－x )＝⎝⎛⎭⎫13x－3x＝－f (x )，知f (x )为奇函数，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数，又y ＝3x 在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数，故选B.答案：B2.[考点二、三](2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.答案：D3.[考点一](2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.答案：C4.[考点三](2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x－a ，即1－a ·2x ＝－2x＋a ，化简得a ·(1＋2x)＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C5.[考点二、三](2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝__________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.答案：6。

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，2，3}，B＝{x|2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2}C．{﹣1，2}D．{2，3}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（）A．{x|x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x＞2}3．已知a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，c＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．已知函数f（x）={x+1，x≤0−2x，x＞0，则“x0＝﹣2”是“f（x0）＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）6．若函数f(x)={x2−ax+32，x≥1(a−1)x+1，x＜1在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[54，2]C．(54，2]D．(1，54]7．若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4＜m2−3m有解，则实数m的取值范围是（）A．{m|﹣1＜m＜4}B．{m|m＜0或m＞3} C．{m|﹣4＜m＜1}D．{m|m＜﹣1或m＞4}8．已知函数f(x)=3x−13x+1+3x+3，且f（a2）+f（3a﹣4）＞6，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，1）B．（﹣3，2）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f(x)=|x|，g(x)=√x2B．f（x）＝x0，g（x）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =010．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 11．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= ．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝ ．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x=m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，3}B ．{﹣2，2}C ．{﹣1，2}D ．{2，3}解：A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}＝{x |x ≥2}，则A ∩B ＝{2，3}． 故选：D ．2．不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是（ ） A ．{x |x ＜1}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |x ＞2}解：由不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0，则（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，解得1＜x ＜2， 所以不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜2}． 故选：B ． 3．已知a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，c ＝2﹣0.01，则下列正确的是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b解：因为y ＝0.3x 在R 上单调递减，a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，所以a ＞b ，且b ＝0.3﹣0.2＞0.30＝1，而y ＝2x 在R 上单调递增，所以c ＝2﹣0.01＜20＝1，所以a ＞b ＞c ．故选：A ．4．已知函数f （x ）={x +1，x ≤0−2x，x ＞0，则“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵f （﹣2）＝﹣2+1＝﹣1，∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分条件， ∵f （x 0）＝﹣1，∴当x 0≤0时，则x 0+1＝﹣1，解得x 0＝﹣2，当x 0＞0时，则−2x 0=−1，解得x 0＝2，故“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的不必要条件， ∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣2）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）解：由f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 可得f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增， 由f （﹣2）＝0，可得f （2）＝0， 当2＞x ＞0时，f （x ）＞0， 当﹣2＜x ＜0时，f （x ）＞0，∴xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A ． 6．若函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．[54，2]C ．(54，2] D ．(1，54]解：根据题意，函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则有{ a2≤1a −1＞01−a +32≥(a −1)+1，解可得1＜a ≤54，即a 的取值范围为（1，54]．故选：D ．7．若两个正实数x ，y 满足1x +4y=1，且不等式x +y4＜m 2−3m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{m |﹣1＜m ＜4}B ．{m |m ＜0或m ＞3}C ．{m |﹣4＜m ＜1}D ．{m |m ＜﹣1或m ＞4}解：∵x ＞0，y ＞0，且1x +4y=1，∴x +y 4=（x +y 4）（1x +4y ）＝2+4x y +y 4x ≥2+2√4x y ⋅y4x =4，当且仅当4x y =y 4x，即x ＝2，y ＝8时，等号成立，∴x +y4的最小值为4，∵不等式x +y4＜m 2−3m 有解，∴m 2﹣3m ＞4，解得m ＜﹣1或m ＞4， 即实数m 的取值范围是{m |m ＜﹣1或m ＞4}，故选：D ．8．已知函数f(x)=3x−13x +1+3x +3，且f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣4，1）B ．（﹣3，2）C ．（0，5）D ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）解：令g(x)=3x−13x +1+3x ，则g （x ）＝f （x ）﹣3，因为x ∈R ，g(x)+g(−x)=3x−13x +1+3x +3−x−13−x +1−3x =3x−13x +1+1−3x3x +1=0，∴g （x ）为奇函数， 又因为g(x)=1−23x+1+3x ，由复合函数单调性知g （x ）为x ∈R 的增函数， ∵f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则f （a 2）﹣3+f （3a ﹣4）﹣3＞0， ∴g （a 2）+g （3a ﹣4）＞0，g （a 2）＞﹣g （3a ﹣4）＝g （4﹣3a ）， ∴a 2＞4﹣3a ，解得a ＜﹣4或a ＞1，故a ∈（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．f(x)=|x|，g(x)=√x 2B ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =0解：对于A ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且f （x ）＝|x |，g （x ）＝|x |，A 正确； 对于B ，函数f （x ）＝x 0的定义域为{x ∈R |x ≠0}，而g （x ）＝1的定义域为R ，B 错误； 对于C ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为{x ∈R |x ≠0}，而x(x−2)x 2=1−2x，C 正确；对于D ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，而当x ＜0时，x|x|=−1，当x ＞0时，x |x|=1，因此g(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，D 正确．故选：ACD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 解：对于A ，命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1≥0”，故错误； 对于B ，当a ＝0时，集合A ={⬚}={x |x +1＝0}＝{﹣1}也只有一个元素，故错误； 对于C ，不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则﹣2，3是ax 2+bx +c ＝0的两个根， 所以{−ba=1c a =−6a ＜0，c ＝﹣6a ，b ＝﹣a ，所以cx 2﹣bx +a ＜0⇔﹣6ax 2+ax +a ＜0⇔6x 2﹣x ﹣1＜0⇔（3x +1）（2x ﹣1）＜0，解得−13＜x ＜12， 所以不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)，故正确；对于D ，y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）满足﹣2≤2x ﹣1≤3，解得−12≤x ≤2， 所以函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2]，D 正确． 故选：CD ．11．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1． 解：对于A ，由于√x 2+4≥2，所以√x 2+4√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=√x 2+4，即x 2+4＝1时等号成立，但x 2+4＝1无实根，故等号取不到，故A 错误； 对于B ，由于t ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≥﹣1， 所以y =(12)x2−2x≤(12)−1=2，又y =(12)x2−2x＞0，故函数y =(12)x2−2x的值域为（0，2]，故B 错误；对于C ，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 由于f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2﹣2x ，故x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，C 正确；对于D ，幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数， 则{m 2+m −1=1m +1＞0，解得m ＝1，故D 正确． 故选：CD ．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x解：对于①②可知：“理想函数”f （x ）在定义域内为奇函数且单调递减． 对于选项A ：f （x ）＝﹣x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故A 正确； 对于选项B ：f(x)=−√x 3定义域R 内为奇函数且单调递减，故B 正确； 对于选项C ：因为y ＝x 3，y ＝x 定义域R 内均为奇函数且单调递增， 所以f （x ）＝x 3+x 定义域R 内为奇函数且单调递增，故C 错误；对于选项D ：因为f （x ）+f （﹣x ）＝（e ﹣x ﹣e x ）+（e x ﹣e ﹣x ）＝0，故f （x ）为R 上的奇函数．而y ＝e ﹣x ，y ＝﹣e x 定义域R 内均为单调递减，所以f （x ）＝e ﹣x ﹣e x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= 16 ．解：原式=√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23=52−1−32+16＝16故答案为：16．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝ ﹣8 ．解：由（x +4）（2x +a ）≠0得x ≠﹣4或x ≠−a2，因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）的定义域关于原点对称，所以−a2=4，即a ＝﹣8．当a ＝﹣8时，f(−x)=2−x−2x(−x+4)(−2x−8)=−(2x−2−x)(x−4)(2x+8)=−(2x−2−x)(x+4)(2x−8)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数． 故答案为：﹣8．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 （﹣2，2] ． 解：∵不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立， ∴当a ＝2时，﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，满足题意； 当a ≠2时，则{a −2＜0[2(a −2)]2−4(a −2)×(−4)＜0，即{a ＜2a 2−4＜0，解得﹣2＜a ＜2；综上所述，实数a 的取值范围是﹣2＜a ≤2，即a ∈（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]．16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是 5+2√62． 解：a +2b ﹣2ab ＝0，则2a+1b=2，故a +3b =12(a +3b)(2a +1b )=12(5+ab +6ba )≥12(5+2√a b ⋅6ba )=5+2√62，当且仅当a b =6b a，即a =√6b =1+√62时，等号成立，故a +3b 的最小值是5+2√62．故答案为：5+2√62．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝3时，B ＝{x |2≤x ≤6}，故∁U B ＝{x |x ＜2或x ＞6}， 而A ＝{x |0≤x ≤3}，故A ∩（∁U B ）＝[0，2）；（2）由“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，可得B ⫋A ， 故当B ＝∅时，m ﹣1＞2m ，可得m ＜﹣1，符合题意；当B ≠∅时，需满足{0≤m −12m ≤3m −1≤2m ，且等号不能同时成立，解得1≤m ≤32，综合以上，m 的取值范围为m ＜﹣1或1≤m ≤32．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．解：（1）若p 是真命题，则m ≤x 2﹣2x 在[0，2]上恒成立， 当x ∈[0，2]时，则（x 2﹣2x ）min ＝﹣1， 故m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]； （2）对于q ，当x ＞0时，x +4x ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x ＝2时，等号成立， ∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立，则m ≥4， 若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，{m ≤−1m ＜4，解得m ≤﹣1，当p 假q 真时，{m ＞−1m ≥4，解得m ≥4，综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域． 解：（1）∵f （x ）是指数函数， ∴3a 2﹣10a +4＝1，解得a ＝3或a =13， 又∵f （x ）在其定义域内单调递增，所以a ＝3， ∴f （x ）＝3x ；（2）g （x ）＝32x ﹣4•3x ﹣3＝（3x ）2﹣4（3x ）﹣3， ∵x ∈[0，2]，∴3x ∈[1，9]，令t ＝3x ，t ∈[1，9]， ∴g （t ）＝t 2﹣4t ﹣3，t ∈[1，9]， ∴g （t ）min ＝g （2）＝﹣7，g(t)max =g(9)=92−4×9−3=42， ∴g （x ）的值域为[﹣7，42]．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．（1）解：由题意知，f （0）＝0=a−1b+1，所以a ＝1，所以f （x ）=1−2xb+2x ， 因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以1−2−xb+2−x =−1−2xb+2x ，化简得2x −1b⋅2x +1=2x −1b+2x ，所以b •2x +1＝b +2x ，即b （2x ﹣1）＝（2x ﹣1），所以b ＝1．（2）证明：f （x ）在R 上单调递减，证明过程如下：由（1）知，f （x ）=1−2x 1+2x =2−(1+2x)1+2x =21+2x −1， 任取x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=21+2x 1−1−21+2x 2+1=2(2x 2−2x1)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，1+2x 2＞0，1+2x 1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．（3）解：因为f （x ）是奇函数，所以不等式f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0可化为f （k +t 2）＜﹣f （4t ﹣2t 2）＝f （2t 2﹣4t ），又f （x ）在R 上单调递减，所以k +t 2＞2t 2﹣4t ，即k ＞t 2﹣4t ，原问题等价于存在t ∈[0，4]，使k ＞t 2﹣4t ，设g （t ）＝t 2﹣4t ，是开口向上，对称轴为t ＝2的二次函数，所以g （t ）在[0，2）上递减，在（2，4]上递增，所以g （t ）min ＝g （2）＝4﹣8＝﹣4，所以k ＞﹣4，故k 的取值范围为（﹣4，+∞）．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）由已知f （x ）＝10W （x ）﹣（20x +10），又W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5， ∴f （x ）={20(x 2+17)−(20x +10)，0≤x ≤2500−80x−1−(20x +10)，2＜x ≤5， 整理得：f （x ）={20x 2−20x +330，0≤x ≤2490−80x−1−20x ，2＜x ≤5； （2）当0≤x ≤2时，f （x ）=20x 2−20x +330=20(x −12)2+325， ∴当0≤x ≤2时，f （x ）≤f （2）＝370；当2＜x ≤5时，f （x ）＝490−80x−1−20x =490﹣[80x−1+20(x −1)+20] ＝470﹣[80x−1+20(x −1)]≤470−2√80x−1⋅20(x −1)=390． 当且仅当80x−1=20(x −1)，即x ＝3时，f （x ）max ＝390． ∵370＜390，∴f （x ）的最大值为390．故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x ²﹣x |={x 2−x ，x ∈(−∞，0)∪(1，+∞)x −x 2，x ∈[0，1]， 所以当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ﹣x ²，则对于抛物线开口向下，对称轴为x =12， 所以f （x ）在x ∈（0，12）单调递增，在（12，1）上单调递减， 即函数在x ∈[0，1]上的单调递增区间为（0，12），递减区间为（12，1）； （2）x ∈[0，1]，若a ≥0时，f （x ）＝x ²+ax ，对称轴为x =−a 2≤0， 则f （x ）在[0，1]上递增，则M （a ）＝1+a ；若a ＜0，则f （x ）在[0，−a 2]递增，在（−a 2，﹣a ）递减，在（﹣a ，+∞）递增， 若1≤−a 2，即a ≤﹣2，时，f （x ）在[0，1]递增，可得M （a ）＝﹣a ﹣1； 由a ＜0可得f （x ）在（0，−a 2）递增，在（−a 2，﹣a ）递减，即有f （x ）在x =−a 2时取最大值a 24， 当x ＞﹣a 时，由x ²+ax =a 24，解得x =−1+√22a ，若−a 2＜1≤−1+√22a ，即﹣2＜a ≤2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）=a 24； 若1＞−1+√22a ，即a ＞2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）＝1+a ， 则M （a ）={ 1+a ，a ＞2−2√2−a −1，a ≤−2a 24，−2＜a ≤2−2√2， 当a ＞2﹣2√2时，M （a ）＞3﹣2√2；当a ≤﹣2时，M （a ）≥1；当﹣2＜a ≤2﹣2√2时，M （a ）≥14（2﹣2√2）²＝3﹣2√2；综上M （a ）的最小值为3﹣2√2．。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期中数学试卷一、单选题：每小题满分40分，共8个小题，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题目要求.1．设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝（）A．{1，2，5}B．{2，5}C．{2，3，5，7，10}D．{1，2，3，5，7，10}2．设命题p：∃n∈N，n2+n＜2，则下列表示的¬p正确的是（）A．∀n∈N，n2+n＞2B．∀n∉N，n2+n≥2C．∃n∉N，n2+n≥2D．∀n∈N，n2+n≥23．下列四个条件中，是“x＜y”成立的充分不必要的条件为（）A．x＜y﹣1B．x＜y+1C．x2＜y2D．x3＜y34．设函数f(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q，g(x)={1，x＞00，x=0−1，x＜0，则g[f(√121)]的值为（）A．√2B．1C．0D．﹣15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如[﹣2.8]＝﹣3，[3.6]＝3．若不等式4[x]2+24[x]﹣45＜0成立，则实数x的取值范围是（）A．(−152，32)B．[﹣8，2]C．（﹣8，1]D．[﹣7，2）6．设函数f（x）={x+1x+t，x＞0x2+2tx+t2，x≤0，若f（0）是f（x）的最小值，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]7．某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求：每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同．已知三个居室的粉刷面积（单位：m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax+by+cz B．ay+bz+cx C．az+by+cx D．ay+bx+cz8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x2+1，则f（﹣2023）＝（）A．﹣3B．﹣1C．0D．1二、多选题：每小题满分20分，共4个小题，满分20分.每个小题均有四个选项，其中有多项符合题目要求，多选、错选均得0分，少选得2分.9．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列表示正确的是（ ） A ．∅⊆BB ．∅∈BC ．A ⊆BD ．A ∈B10．已知函数f(x)=√t−x 2|x+2|−2是奇函数，则实数t 的可能取值为（ ） A ．1B ．4C ．9D ．1611．设a ＞0＞b ，若a ﹣b ＝2，且a +b ≠0，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ＜﹣1 B ．1a−1b＞2C ．a 2+b 2＞2D ．a +b ＜012．对于分式不等式x 2−x−2x 2−4x+3＞0有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，然后将对应方程（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）＝0的所有根标注在数轴上，形成（﹣∞，﹣1），（﹣1，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）五个区间，其中最右边的区间使得f （x ）＝（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）的值为正值，并且可得x 在从右向左的各个区间内取值时f （x ）的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间（a ，b ）、[a ，b ）、（a ，b ]、[a ，b ]的长度均为b ﹣a （b ＞a ），若满足(x+1)(x−t)x(x+2)≤0的x 构成的区间的长度为2，则实数t 的取值可以是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1三、填空题：每小题满分20分，共4个小题，满分20分. 13．若关于x 的不等式ax−1x−b＞0的解集是{x|−12＜x ＜3}，则a ﹣b 的值为 ．14．若函数f （x ）＝ax 2+2x ﹣3在[1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．15．对于任意实数a ，b ，定义max {a ，b }={a ，a ≥b b ，a ＜b ，设函数f （x ）＝|x |，g(x)=1x (x ≠0)，则函数h（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（x ＞0）的最小值为 ．16．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文x →加密密钥系统密文t →发送密文t→解密密钥系统明文y ．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为 ．四、解答题：共6个小题，满分70分.解答每个题时均要写出必要的文字说明、语言描述和解题过程. 17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ={x|x−3x−1≤0}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }．（1）若m ＝﹣1，求A ∪B ；（2）若集合A ，B 满足条件_____（从下列三个条件中任选一个作答），求实数m 的取值集合． 条件①x ∈A 是x ∈B 的充分条件；②A ∩（∁U B ）＝∅；③∀x 1∈A ，∃x 2∈B ，使得x 1＝x 2． 18．（12分）已知实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，且ab ﹣a ﹣2b ＝0． （1）求a +b 的最小值；（2）若不等式a(b +1)−4√2≥x 2+x 恒成立，求实数x 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=(a −1)√4−ax(a ≠1)． （1）若a ＜0时，求函数f （x ）的定义域；（2）若对∀x ∈（0，1]时，函数f （x ）均有意义，求实数a 的取值范围； （3）若函数f （x ）在区间（0，1]上为减函数，求实数a 的取值范围．20．（12分）随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召．为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为C(x)=k50x+250(x ≥0，k 为常数)．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）．（1）试解释C （0）的实际意义，根据题意求出y 关于x 的函数关系式； （2）要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围； （3）当设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？21．（12分）学习与探究问题：正实数x ，y ，满足x +y ＝1，求1x+4y 的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：1x+4y =(1x +4y )(x +y)=5+y x +4x y ≥5+2√y x ⋅4xy =9，当且仅当y x =4x y ，即y ＝2x ，而x +y ＝1时，即x =13，y =23且时取等号成 立．这种解题方法叫作“1”的代换．（1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数a ，b ，x ，y 满足x 2a 2−y 2b 2=1，试比较a 2﹣b 2与（x ﹣y ）2的大小，并注明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求T =√9t −8−√t −1的最小值，并注明使得T 取得最小值时t 的值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x 2﹣ax +1，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|．（1）若命题：∃x∈R，f（x）＜﹣3为假命题，求实数a的取值范围；（2）求函数g（x）的最小值；（3）若∃x＞0，∀t∈R，不等式f(x)+xg(x)+4√2xt−4t2＜0恒成立，求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：每小题满分40分，共8个小题，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题目要求.1．设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝（）A．{1，2，5}B．{2，5}C．{2，3，5，7，10}D．{1，2，3，5，7，10}解：集合A＝{x|x是10的正约数}＝{1，2，5，10}，B＝{x|x是小于10的素数}＝{2，3，5，7}，所以A∩B＝{2，5}．故选：B．2．设命题p：∃n∈N，n2+n＜2，则下列表示的¬p正确的是（）A．∀n∈N，n2+n＞2B．∀n∉N，n2+n≥2C．∃n∉N，n2+n≥2D．∀n∈N，n2+n≥2解：因为特称命题的否定是全称命题，所以¬p是：∀n∈N，n2+n≥2．故选：D．3．下列四个条件中，是“x＜y”成立的充分不必要的条件为（）A．x＜y﹣1B．x＜y+1C．x2＜y2D．x3＜y3解：当x＜y﹣1时，x+1＜y，可推出x＜y，反之由x＜y不能得到x＜y﹣1，故“x＜y﹣1”是“x＜y”成立的充分不必要的条件，A正确；当x＜y+1时，不能推出x＜y，反之由x＜y可以得到x＜y+1，故“x＜y+1”是“x＜y”成立的必要不充分的条件，B不正确；当x2＜y2时，可能x＝﹣1，y＝﹣2，不可推出x＜y，反之，当x＜y时，可能x＝﹣2，y＝﹣1，也不能得到x2＜y2，故“x＜y﹣1”是“x＜y”成立的充分不必要的条件，C不正确；根据幂函数f（x）＝x3是R上增函数，可知“x3＜y3”是“x＜y”的充分必要条件，D不正确．故选：A．4．设函数f(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q，g(x)={1，x＞00，x=0−1，x＜0，则g[f(√121)]的值为（）A．√2B．1C．0D．﹣1解：由题意得f（√121）＝f（11）＝1，故g[f(√121)]=g（1）＝1．故选：B ．5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如[﹣2.8]＝﹣3，[3.6]＝3．若不等式4[x ]2+24[x ]﹣45＜0成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(−152，32)B ．[﹣8，2]C ．（﹣8，1]D ．[﹣7，2）解：不等式4[x ]2+24[x ]﹣45＜0可化为（2[x ]+15）（2[x ]﹣3）＜0， 解得−152＜[x ]＜32，所以﹣7≤[x ]≤1，则实数x 的取值范围是[﹣7，2）． 故选：D ． 6．设函数f （x ）={x +1x+t ，x ＞0x 2+2tx +t 2，x ≤0，若f （0）是f （x ）的最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解：f （x ）={x +1x +t ，x ＞0x 2+2tx +t 2，x ≤0，当x ＞0时，f(x)=x +1x+t ≥2√x ⋅1x+t =2+t ， 当且仅当x =1x，即x ＝1时，等号成立；当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2tx +t 2＝（x +t ）2，要使f （0）是f （x ）的最小值， 只需f （x ）＝x 2+2tx +t 2在（﹣∞，0]上单调递减，且2+t ≥f （0）＝t 2， 即{−t ≥0t 2−t −2≤0，解得﹣1≤t ≤0． 故选：B ．7．某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求：每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同．已知三个居室的粉刷面积（单位：m 2）分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m 2）分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A ．ax +by +czB ．ay +bz +cxC ．az +by +cxD ．ay +bx +cz解：因为0＜a ＜b ＜c ，0＜x ＜y ＜z ，所以费用最低的涂料粉刷面积最大的房间，费用最高的涂料粉刷面积最小的房间，此时总费用最低， 即最低的总费用为az +cx +by ． 故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x +2）＝﹣f （x ），且当﹣1≤x ≤0时，f （x ）＝﹣x2+1，则f（﹣2023）＝（）A．﹣3B．﹣1C．0D．1解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数的周期T＝4，当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x2+1，则f（﹣2023）＝f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝f（﹣1）＝0．故选：C．二、多选题：每小题满分20分，共4个小题，满分20分.每个小题均有四个选项，其中有多项符合题目要求，多选、错选均得0分，少选得2分.9．已知集合A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x⊆A}，则下列表示正确的是（）A．∅⊆B B．∅∈B C．A⊆B D．A∈B解：集合A＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，又∵B＝{x|x⊆A}，∴B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}．故选：ABD．10．已知函数f(x)=√t−x2|x+2|−2是奇函数，则实数t的可能取值为（）A．1B．4C．9D．16解：由函数f(x)=√t−x2|x+2|−2，可得t≥x2且x≠0，且x≠﹣4，因为函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）﹣0，即√t−x2|−x+2|−2+√t−x2|x+2|−2=0，整理得|x﹣2|+|x+2|＝4，则﹣2≤x≤2，要使得函数f（x）的定义域关于原点对称，只需0＜t≤4．结合选项，A、B符合题意．故选：AB．11．设a＞0＞b，若a﹣b＝2，且a+b≠0，则下列不等式恒成立的是（）A．ab＜﹣1B．1a −1b＞2C．a2+b2＞2D．a+b＜0解：根据题意，a＞0＞b，若a﹣b＝2，且a+b≠0，则a≠1且b≠﹣1，依次分析选项：对于A，当a=12，b=−32时，ab=−34，A错误；对于B，当a=12，b=−32时，1a−1b=2﹣（﹣3）＝5，B错误；对于C ，a ﹣b ＝2，则a ＝b +2，则a 2+b 2＝（b +2）2+b 2＝2b 2+4b +4＝2（b 2+2b +1）+2， 由于b ≠﹣1，则有a 2+b 2＞2，C 正确；对于D ，当a =32，b =−12时，a +b ＝1，D 错误． 故选：C ． 12．对于分式不等式x 2−x−2x 2−4x+3＞0有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，然后将对应方程（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）＝0的所有根标注在数轴上，形成（﹣∞，﹣1），（﹣1，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）五个区间，其中最右边的区间使得f （x ）＝（x +1）（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）的值为正值，并且可得x 在从右向左的各个区间内取值时f （x ）的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间（a ，b ）、[a ，b ）、（a ，b ]、[a ，b ]的长度均为b ﹣a （b ＞a ），若满足(x+1)(x−t)x(x+2)≤0的x 构成的区间的长度为2，则实数t 的取值可以是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1解：(x+1)(x−t)x(x+2)≤0等价于x （x +1）（x +2）（x ﹣t ）≤0且x ≠0，且x ≠﹣2，当t ＝﹣3时满足条件的x 构成的区间为[﹣3，﹣2）∪[﹣1，0），长度为2，符合题意，A 正确； 当t ＝﹣2时满足条件的x 构成的区间为[﹣1，0），长度为1，不符合题意，B 不正确； 当t ＝﹣1时满足条件的x 构成的区间为（﹣2，0），长度为2，符合题意，C 正确；当t ＝1时满足条件的x 构成的区间为（﹣2，﹣1]∪（0，1]，长度为2，符合题意，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：每小题满分20分，共4个小题，满分20分. 13．若关于x 的不等式ax−1x−b ＞0的解集是{x|−12＜x ＜3}，则a ﹣b 的值为 ﹣5 ． 解：关于x 的不等式ax−1x−b＞0，即（ax ﹣1）（x ﹣b ）＞0．∵它的解集是{x|−12＜x ＜3}，∴−12和3是方程（ax ﹣1）（x ﹣b ）＝0的两个实数根，且a ＜0． 即−12和3是方程（x −1a ）（x ﹣b ）＝0的两个实数根，且1a＜0．∴1a=−12且b ＝3，即a ＝﹣2且b ＝3，则a ﹣b ＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．若函数f （x ）＝ax 2+2x ﹣3在[1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为 [0，+∞） ． 解：当a ＝0时，函数f （x ）＝2x +3，显然在[1，+∞）上单调递增，符合题意； 当a ≠0，由题意可得a ＞0，即函数开口向上，对称轴x =−1a ＜1， 即函数在[1，+∞）上单调递增． 所以a 的范围为：[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．15．对于任意实数a ，b ，定义max {a ，b }={a ，a ≥b b ，a ＜b ，设函数f （x ）＝|x |，g(x)=1x (x ≠0)，则函数h（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（x ＞0）的最小值为 1 ． 解：令f （x ）＝g （x ），x ＞0，即|x|=1x，x ＞0，得x ＝1， 当x ∈（0，1]，|x|=x ＜1x， 当x ∈（1，+∞），|x|=x ＞1x ，所以h （x ）={1x，x ∈(0，1]x ，x ∈(1，+∞)，当x ∈（0，1]时，h （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，函数h （x ）单调递增， 所以当x ＝1时，h （x ）min ＝1． 故答案为：1．16．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文x →加密密钥系统密文t →发送密文t→解密密钥系统明文y ．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为 9 ． 解：设加密密钥为幂函数y 1＝x α，4α＝2， 则α=12，y 1=x 12，解密密钥为反比例函数y 2=k x ，6=k2，k ＝12， 则y 2=12x ，∴通过逆运算，得接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为9． 故答案为：9．四、解答题：共6个小题，满分70分.解答每个题时均要写出必要的文字说明、语言描述和解题过程.17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ={x|x−3x−1≤0}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }． （1）若m ＝﹣1，求A ∪B ；（2）若集合A ，B 满足条件_____（从下列三个条件中任选一个作答），求实数m 的取值集合． 条件①x ∈A 是x ∈B 的充分条件；②A ∩（∁U B ）＝∅；③∀x 1∈A ，∃x 2∈B ，使得x 1＝x 2． 解：（1）由题意得A ＝{x |x ﹣1＜x ≤3}， 当m ＝﹣1时，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}， 故A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤3}；（2）集合A ＝{x |1＜x ≤3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }，当选择条件①时，由题意得A ⊆B ，则集合B ≠∅，即2m ＜1﹣m ，m ＜13， 要使A ⊆B ，只需{2m ≤11−m ＞3，解得m ＜﹣2，所以m ＜﹣2，即实数m 的取值集合是{m |m ＜﹣2}；选择条件②时，A ∩（∁U B ）＝∅，则集合B ≠∅，即2m ＜1﹣m ，即m ＜13， 由集合B ＝{x |2m ＜x ＜1﹣m }得∁U B ＝{x |x ≤2m 或x ≥1﹣m }， 要使A ∩（∁U B ）＝∅， 只需{2m ≤11−m ＞3，解得m ＜﹣2，所以m ＜﹣2，即实数m 的取值集合是{m |m ＜﹣2}； 当选择条件③时，∀x 1∈A ，∃x 2∈B ，使得x 1＝x 2， 则集合B ≠∅，即2m ＜1﹣m ，即m ＜13，且A ⊆B ， 要使A ⊆B ，只需{2m ≤11−m ＞3，解得m ＜﹣2，所以m ＜﹣2，即实数m 的取值集合是{m |m ＜﹣2}．18．（12分）已知实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，且ab ﹣a ﹣2b ＝0． （1）求a +b 的最小值；（2）若不等式a(b +1)−4√2≥x 2+x 恒成立，求实数x 的取值范围． 解：（1）因为实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， 所以ab ＝a +2b ，所以2a +1b=1，则a +b ＝（a +b ）（2a+1b）＝3+2b a +a b ≥3+2√2b a ⋅ab=3+2√2，（当且仅当a =√2b =2+√2时取等号）， 所以a +b 的最小值为3+2√2．（2）由已知得：a （b +1）＝2（a +b ）≥6+4√2，所以若不等式a(b+1)−4√2≥x2+x恒成立，只需x2+x≤6+4√2−4√2=6即可，所以x2+x﹣6≤0，解得﹣3≤x≤2，故x的取值范围是[﹣3，2]．19．（12分）已知函数f(x)=(a−1)√4−ax(a≠1)．（1）若a＜0时，求函数f（x）的定义域；（2）若对∀x∈（0，1]时，函数f（x）均有意义，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（0，1]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（1）当a＜0时，由4﹣ax≥0可得，x≥4 a ，故函数的定义域为{x|x≥4a }；（2）对∀x∈（0，1]时，函数f（x）均有意义，则4﹣ax≥0在（0，1）上恒成立，即a≤4 x ，故a≤4，所以a的范围为{a|a≤4且a≠1}；（3）若函数f（x）在区间（0，1]上为减函数，当a＞1时，y＝4﹣ax单调递减，a﹣1＞0，根据复合函数单调性可知，若f（x）在（0，1]上单调递减，则4﹣a≥0，故1＜a≤4，当0＜a＜1时，a﹣1＜0，y=√4−ax单调递减，根据复合函数单调性可知，f（x）不可能单调递减，当a＝0时，f（x）＝﹣2为常函数，不单调，不符合题意，当a＜0时，a﹣1＜0，y=√4−ax单调递增且4﹣ax≥0恒成立，符合题意，故a的范围为{a|a＜0或1＜a≤4}．20．（12分）随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召．为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)=k50x+250(x≥0，k为常数)．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．（1）试解释C （0）的实际意义，根据题意求出y 关于x 的函数关系式；（2）要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围；（3）当设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？解：（1）因为C(x)=k 50x+250(x ≥0，k 为常数)是企业每年需缴纳的水费与设备占地面积x 之间的函数关系，所以C （0）表示没有净水设备时该企业每年需缴纳的水费；根据C （0）=k 250=4，解得k ＝1000， 所以y 关于x 的函数关系式为y ＝0.2x +100050x+250×4＝0.2x +80x+5，x ≥0； （2）要使y 不超过7.2万元，则y ＝0.2x +80x+5≤7.2，化简得x 2﹣31x +220≤0，解得11≤x ≤20， 即设备占地面积x 的取值范围是[11，20]．（3）y ＝0.2x +80x+5=x+55+80x+5−1≥2√x+55⋅80x+5−1＝7，当且仅当x+55=80x+5，即x ＝15时等号成立；所以设备占地面积为15平方米时，y 的值最小．21．（12分）学习与探究问题：正实数x ，y ，满足x +y ＝1，求1x +4y的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：1x +4y =(1x +4y )(x +y)=5+y x +4x y ≥5+2√y x ⋅4x y =9，当且仅当y x =4x y ，即y ＝2x ，而x +y ＝1时，即x =13，y =23且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换．（1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数a ，b ，x ，y 满足x 2a 2−y 2b 2=1，试比较a 2﹣b 2与（x ﹣y ）2的大小，并注明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求T =√9t −8−√t −1的最小值，并注明使得T 取得最小值时t 的值． 解：（1）因为x 2a 2−y 2b 2=1， 所以a 2﹣b 2＝（a 2﹣b 2）（x 2a 2−y 2b 2）＝x 2+y 2﹣（b 2x 2a 2+a 2y 2b 2）≤x 2+y 2﹣2|xy |≤x 2+y 2﹣2xy ＝（x ﹣y ）2， 当且仅当b 2x 2a 2=a 2y 2b 2且xy ＞0时取等号； （2）令x =√9t −8，y =√t −1， 则9t−81−t−119=1，T ＞0，所以T ＝x ﹣y ≥√a 2−b 2=√1−19=2√23，当且仅当x ＝9y ＞0，即x =3√24，y =√212时等号成立，此时t =73 72，T的最小值为2√23．22．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣ax+1，g（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）若命题：∃x∈R，f（x）＜﹣3为假命题，求实数a的取值范围；（2）求函数g（x）的最小值；（3）若∃x＞0，∀t∈R，不等式f(x)+xg(x)+4√2xt−4t2＜0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由命题：∃x∈R，f（x）＜﹣3为假命题，可得∀x∈R，2x2﹣ax+1≥﹣3为真命题，即2x2﹣ax+4≥0，所以Δ＝a2﹣32≤0，解得−4√2≤a≤4√2，即实数a的取值范围是[−4√2，4√2]；（2）g(x)=|x+1|+|x−2|={3x−1，x＞2，3，−1≤x≤2，−2x+1，x＜−1，{2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1，当x＞2时，g（x）＞3；当﹣1≤x≤2时，g（x）＝3；当x＜﹣1时，g（x）＞3．则g（x）min＝3，当且仅当﹣1≤x≤2时成立；（3）∀t∈R，f（x）+xg（x）+4√2xt﹣4t2＜0，即4t2−4√2xt−[f(x)+xg(x)]＞0，则Δ＝32x2+16[f（x）+xg（x）]＜0，即4x2﹣ax+1+x|x+1|+x|x﹣2|＜0，则∃x＞0，a＞4x+1x+|x+1|+|x−2|，而4x+1x≥4，当且仅当x=12时等号成立；又由（2）知当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3，即当x=12时，4x+1x+|x+1|+|x−2|的最小值为7．所以a＞(4x+1x+|x+1|+|x−2|)min=7．故实数a的取值范围是（7，+∞）．。

章末检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.下列函数①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A.①② B.③④ C.②③ D.④答案 D解析 分别作出这四个函数的图象(图略)，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，故选D.2.函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A.1,2,3 B.1，－1,3 C.1，－1，－3 D.无零点 答案 B解析 令y ＝0，即(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝3.故选B. 3.设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 在同一坐标系中分别画出函数y 1＝|x 2－3|和y 2＝a 的图象，如图所示.可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解.4.已知函数f (x )＝2x ＋14x －5，则f (x )的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 C解析 f (0)＝20－5＜0，f (1)＝21＋14－5＜0，f (2)＝22＋12－5＜0，f (3)＝8＋34－5＞0，f (4)＞0，则有f (2)·f (3)＜0.故选C.5.若函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜－3B.－32＜a ＜－34C.－3＜a ＜－34D.－32＜a ＜－12答案 C解析 ∵函数y ＝log 2x ，y ＝4x 在其定义域上单调递增，∴函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调且连续，∴由零点存在性定理可得f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0，即(－a ＋2a ＋3)(4a ＋3)＜0，解得－3＜a ＜－34.6.某企业2017年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2017年度产值的月平均增长率为( ) A.P P －1 B.11P －1C.11PD.P －111答案 B解析 设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.7.已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( ) A.y ＝c －a c －b xB.y ＝c －a b －c xC.y ＝c －b c －a xD.y ＝b －c c －ax答案 B解析 根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －c x .8.下列函数中，在某个区间(x 0，＋∞)内随x 增大而增长速度最快的是( ) A.y ＝2 017ln x B.y ＝x 2 017 C.y ＝e x2 017D.y ＝2 017·2x答案 C解析 当x >x 0时，指数型函数增长速度呈“爆炸式”增长，又e>2，∴增长速度最快的是y ＝e x 2 017.9.今有一组数据，如下表所示：A.指数函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数答案 C解析由表中数据知随着自变量每增加1，函数值约增加2，所以一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.10.有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)() A.19 B.20 C.21 D.22答案 C解析操作次数为n时的浓度为(910)n＋1，由(910)n＋1<10%，得n＋1>－1lg910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n≥21.11.用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)()A.0.25B.0.375C.0.635D.0.825答案 C解析令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意.12.我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是()A.跌1.99%B.涨1.99%C.跌0.99%D.涨0.99%答案 A解析设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________. 答案 y ＝x 2解析 y ＝x 2＝x ·x ，y ＝x ·ln x ，其中y ＝x 比y ＝ln x 在(1，＋∞)上增长较快，也可取特殊值验证.14.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 答案 0＜b ＜2解析 由函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点可得|2x －2|＝b 有两个不等的根，从而可得函数y ＝|2x －2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得0＜b ＜2.故答案为0＜b ＜2.15.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________. 答案 (－2,2)解析 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2).16.已知函数f (x )＝a |log 2x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，f (－x )，x ＜0.给出下列四个命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是偶函数；③当a ＜0时，若0＜m ＜n ＜1，则有F (m )－F (n )＜0成立；④当a ＞0时，函数y ＝F (x )－2有4个零点.其中真命题的序号是________. 答案 ②③④解析 易知F (x )＝f (|x |)，故F (x )＝|f (x )|不正确；②∵F (x )＝f (|x |)，∴F (－x )＝F (x )，∴函数F (x )是偶函数；③当a ＜0时，若0＜m ＜n ＜1，则F (m )－F (n )＝－a log 2m ＋1－(－a log 2n ＋1)＝a (log 2n －log 2m )＜0；④当a ＞0时，F (x )＝2可化为f (|x |)＝2，即a |log 2|x ||＋1＝2，即|log 2|x ||＝1a ，故|x |＝21a 或|x |＝2－1a ，故函数y ＝F (x )－2有4个零点，故②③④正确. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由. 解 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数， ∵f (1)＝4＋1－15＝－10＜0， f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解.18.(12分)截至2017年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x 年后，此市人口数为y (万). (1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数？解 (1)由题设条件知，经过x 年后此市人口总数为 80(1＋1%)x (万)， ∴y ＝f (x )＝80(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间， ∴此函数的定义域是N *.(3)y ＝f (x )＝80(1＋1%)x 是指数型函数， ∵1＋1%>1，∴y ＝80(1＋1%)x 是增函数.19.(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5(x －14)，x >15.(2)∵x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5， 又y ＝5.5>1.5，∴x >15，∴1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39. 答 老张的销售利润是39万元.20.(12分)已知函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的零点至少有一个大于0，求实数m 的取值范围. 解 ①当m ＝0时，由f (x )＝0得x ＝13，符合题意，②当m ≠0时，(ⅰ)由Δ＝9－4m ＝0，得m ＝94，令f (x )＝0解得x ＝23，符合题意；(ⅱ)Δ＞0，即9－4m ＞0时，m ＜94.设f (x )＝0的两根为x 1、x 2且x 1＜x 2，若0＜m ＜94，则x 1＋x 2＝3m ＞0，x 1·x 2＝1m＞0，即x 1＞0，x 2＞0，符合题意， 若m ＜0，则x 1＋x 2＝3m ＜0，x 1·x 2＝1m＜0，即x 1＜0，x 2＞0，符合题意，综上m ≤94，即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，94. 21.(12分)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )，恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，求x 1x 2x 3的取值范围.解 当x ≤0，即2x －1≤x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(2x －1)2－(2x －1)(x －1)＝2x 2－x ，当x ＞0，即2x －1＞x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，画出大致图象如图，可知当m ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，其中x 2，x 3是方程－x 2＋x －m ＝0的根，x 1是方程2x 2－x －m ＝0的一个根，则x 2x 3＝m ，x 1＝1－1＋8m 4，所以x 1x 2x 3＝－m (1＋8m －1)4，显然，该式随m 的增大而减小， 因此，当m ＝0时，(x 1x 2x 3)max ＝0； 当m ＝14时，(x 1x 2x 3)min ＝1－316.由以上可知x 1x 2x 3的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.22.(12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用.已知每服用m (1≤m ≤4且m ∈R )个单位的药剂，药剂在血液中的含量y (克)随着时间x (小时)变化的函数关系式近似为y ＝m ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧104＋x，0≤x ＜6，4－x2，6≤x ≤8.(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值.解 (1)因为m ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧304＋x ，0≤x ＜6，12－3x2，6≤x ≤8.当0≤x ＜6时，由304＋x ≥2，解得x ≤11，此时0≤x ＜6；当6≤x ≤8时，由12－3x2≥2，解得x ≤203，此时6≤x ≤203.综上所述，0≤x ≤203.故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时.(2)方法一 当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝⎛⎭⎫4－12x ＋m ⎣⎡⎦⎤104＋(x －6)＝8－x ＋10m x －2，因为8－x ＋10m x －2≥2对6≤x ≤8恒成立，即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，等价于m ≥⎝⎛⎭⎫x 2－8x ＋1210max (6≤x ≤8).令g (x )＝x 2－8x ＋1210，则函数g (x )＝(x －4)2－410在[6,8]上是单调递增函数，当x ＝8时，函数g (x )＝x 2－8x ＋1210取得最大值为65，所以m ≥65，所以所求m 的最小值为65.方法二 当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝⎛⎭⎫4－12x ＋m ⎣⎡⎦⎤104＋(x －6)＝8－x ＋10m x －2，注意到y 1＝8－x 及y 2＝10m x －2(1≤m ≤4且m ∈R )均关于x 在[6,8]上单调递减，则y ＝8－x ＋10mx －2关于x 在[6,8]上单调递减，故y ≥8－8＋10m 8－2＝5m 3，由5m 3≥2得m ≥65，所以所求m 的最小值为65.。

第3讲函数的奇偶性与周期性［考纲解读］ 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)［考向预测］从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有错误!f（－x)＝f(x)，那么函数f（x)就叫做偶函数关于错误!y轴对称奇函一般地，如果对于函数f关于错误!原点数（x)的定义域内任意一个对称x，都有错误!f（－x）＝－f（x），那么函数f（x)就叫做奇函数2．周期性（1）周期函数：对于函数y＝f（x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有错误!f(x＋T)＝f（x）,那么就称函数y＝f(x）为周期函数,称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个错误!最小的正数，那么这个错误!最小正数就叫做f（x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0”是“函数f（x）在区间［a，b]（a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(）(2）若函数f（x）是奇函数，则必有f（0）＝0。

()（3）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称．（）（4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．(）(5）已知函数y＝f（x)是定义在R上的偶函数，若在（－∞，0)上是减函数，则在（0，＋∞）上是增函数．()(6)若T为y＝f（x)的一个周期,那么nT（n∈Z）也是函数f(x）的周期．()答案（1）√(2)×(3)√（4）√（5)√（6）×2．小题热身（1)下列函数中为奇函数的是(）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝｜ln x｜D．y＝2－x答案A解析A是奇函数,B是偶函数,C，D是非奇非偶函数．(2）若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1）＝1,f(2)＝2,则f(3）－f(4）＝________。