高考数学二轮复习 考前回扣5 立体几何学案
- 格式：doc
- 大小：357.00 KB
- 文档页数：8
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————5.立体几何1．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题1] 底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为________． 答案 3 3解析 由题意作出图形如图．∵三棱锥P －ABC 是正三棱锥，顶点P 在底面上的射影D 是底面的中心，取BC 的中点F ，连结PF ，DF ，PD . 在△PDF 中，PD ＝1，DF ＝33， ∴PF ＝1＋13＝233， ∴棱锥的侧面积S 侧＝3×12×2×233＝23，∵底面积为3，∴表面积为3 3. 2．空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题2] 下列命题正确的是________．(填序号)①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.答案④3．空间垂直问题的转化关系线线垂直线面垂直的判定线面垂直的定义线面垂直面面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[问题3] 已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是________．答案 1易错点1 旋转体辨识不清例1 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．易错分析注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．解 由题图中数据及圆台和球的体积公式，得V 圆台＝13×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×23×12＝163π(cm 3)．所以旋转体的体积为V ＝V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)． 易错点2 线面关系把握不准例2 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且a ⊄α，a ⊄β，则下列结论中正确的个数为________．①若b ⊂β，a ∥b ，则a ∥β； ②若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α； ③若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α.易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a ⊄α，a ⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如①中忽视已知条件中的a ⊄β，误以为该项错误等． 解析 对于①，若有b ⊂β，a ∥b ，且已知a ⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a ∥β，故①正确；对于②，若a ⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知，a ⊂α或a ∥α，而由已知可知a ⊄α，所以a ∥α，故②正确；对于③，若a ⊥b ，b ⊥α，所以a ⊂α或a ∥α，而由已知可得a ⊄α，所以a ∥α，故③正确． 答案 3易错点3 线面关系论证不严谨例3 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点． (1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C .易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题． 证明 (1)连结BD 1，如图所示．在△DD 1B 中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧EF ∥D 1B ，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，EF ⊄平面ABC 1D 1⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥平面BCC 1B 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ，BC 1⊂平面ABC 1D 1，AB ∩BC 1＝B⇒⎩⎪⎨⎪⎧B 1C ⊥平面ABC 1D 1，BD 1⊂平面ABC 1D 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧B 1C ⊥BD 1，EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C.1．已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号) ①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. 答案 ①④解析 ①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m ，n 没有公共点，有可能异面，错误；③当m ⊂α时，才能保证m ⊥β，错误；④由m ⊥α，n ⊥α，得m ∥n ，又n ⊥β，所以m ⊥β，正确．2．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________． 答案263π 解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝2π，πrl ＝4π，解得r ＝2，l ＝22，所以高h ＝l 2－r 2＝6，所以V ＝13πr 2h ＝13π×2×6＝263π.3．(2018·江苏扬州中学模拟)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________． 答案 1解析 111111111223A B DC A B BCC B BCC V V S ⨯⨯－－＝＝×3＝12×13×2×3×3＝1.4.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1－A 1BD 的体积为________ cm 3.答案 32解析 因为在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，所以三棱锥D 1－A 1BD 的体积11111113D A BD B A D D A D DV V SAB ⨯－－＝＝＝13×12×A 1D 1×D 1D ×AB ＝16×3×1×3＝32(cm 3)． 5．设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________． 答案 2解析 由题意可得正四棱锥的高为2，体积为13×(23)2×2＝8，所以正方体的体积为8，所以棱长为2.6．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列三个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③均正确，故正确答案为②③.7．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________. 答案 5解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为5π3，10π3，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r 1＝56，r 2＝53，r 3＝52，所以r 1＋r 2＋r 3＝56＋53＋52＝5.8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，CBB 1C 1都是矩形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝4，∠ABC ＝60°，D 为BC 的中点，则四面体ADC 1A 1的体积为________．答案233解析 由侧面ABB 1A 1，CBB 1C 1都是矩形， 得BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又AB ，BC 是底面ABC 内的两条相交直线， 所以BB 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 又AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°， 则△ABC 是边长为2的等边三角形，则点B 到平面AA 1C 1的距离等于正三角形ABC 的高3， 又D 为BC 的中点，所以点D 到平面AA 1C 1的距离为32， 则四面体ADC 1A 1的体积11D AA C V －＝13×12×2×4×32＝233.9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)直线PA ∥平面BDE ； (2)平面BDE ⊥平面PCD . 证明 (1)连结OE ，如图所示．因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点． 又E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC . 又PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ， 所以OE ⊥平面PCD .因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .10．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连结PA ，PB ，PD ，得到如图的五棱锥P －ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥PA ；(2)求四棱锥P －BFED 的体积．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC . ∴EF ⊥AC ，∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO .∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ， 又PA ⊂平面POA ，∴BD ⊥PA . (2)解 设AO ∩BD ＝H ，连结BO .∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt△BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ， 梯形BFED 的面积S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P －BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.。
