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三维图像投影变换——平⾏投影（2）平⾏投影【太阳光线产⽣的投影为平⾏投影】如果把透视【投影的中⼼】移⾄【⽆穷远处】，则各【投影线】成为【相互平⾏】的直线，这种投影法称为平⾏投影。

平⾏投影可以根据投影⽅向与投影⾯的夹⾓分成两类：正投影和斜投影1>正投影根据投影⾯与坐标轴的【夹⾓】⼜可分为：三视图和正轴侧图当投影⾯与某⼀坐标轴【垂直】时，得到的投影为三视图，投影⽅向和这个坐标轴的⽅向⼀致；否则得到的投影为正轴侧图。

『1』.三视图1.主视图——>XOZ⾯（也称为V⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系，变换矩阵为：由三维物体到主视图的投影变换矩阵表⽰为：[x' y' z' 1]=[x y z 1]•T v=[x 0 z 1]2.侧视图——>YOZ⾯（也称为W⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系，变换矩阵为：为使侧视图与主视图都画在⼀个平⾯内，就要使W⾯绕Z轴正转90°，即应有⼀个旋转变换，其变换矩阵为：为使主视图和侧视图有⼀定的间距，还要使W⾯沿负X⽅向平移⼀段距离-X o，其变换矩阵为：——>俯视图的投影变换矩阵为：3.俯视图——>XOY⾯（也称为H⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系，变换矩阵为：由三维物体到主视图的投影变换矩阵表⽰为：[x' y' z' 1]=[x y z 1]•T h=[x y 0 1]为使俯视图与主视图都画在⼀个平⾯内，就要使H⾯绕X轴顺时针转90°，即应有⼀个旋转变换，其变换矩阵为：为使主视图和俯视图有⼀定的间距，还要使H⾯沿Z⽅向平移⼀段距离-Z o，其变换矩阵为：——>俯视图的投影变换矩阵为：【三视图的计算】a.确定三维物体上【各点】的位置坐标；b.引⼊齐次坐标，求出所做变换相应的【变换矩阵】；c.将所作变换⽤矩阵表⽰，通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值；d.由变换后得到的⼆维点【绘出】三维物体投影后的三视图。

3.1.2 三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。

三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。

下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。

并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。

一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。

在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。

1 绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。

2 绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)2 绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为Ry(θ)。

如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。

首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。

然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。

最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。

这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。

设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。

旋转角度为 (图3.6)。

这7个基本变换是：1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5 R y(－β)，作3的逆变换；6 R x(－α)，作2的逆变换；7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。

第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。

xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。

二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。

矩阵运算的维数被扩展为四维。

三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。

(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。

平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。