华师大版初中九年级数学 分式

初三数学第一学期可化为一元一次方程的分式方程一. 本周教学内容：可化为一元一次方程的分式方程二. 教学重点及难点重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法及应用。

难点：分式方程产生增根的原因和可化为一元一次方程的分式方程的应用问题。

三. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1. 分式方程分母里含有未知数的方程叫分式方程，判断一个方程是否是分式方程，关键是看其分母是否含有未知数，不要把类似x a b x a b a a b +++--=-11222的方程看做分式方程。

2. 分式方程的解法解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：（1）在分式方程的两边都乘以方程中各分母的最简公分母，约去分母，化为整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）把整式方程的根代入最简公分母或分式方程中的各个分母中，看其结果是否为零，若是零，这就是原分式方程的增根，要舍去。

解分式方程比分式运算更具有技巧性，它是方程知识与分式知识的有机结合，如解分式方程x x x --=--11111，一种方法可以在方程两边同乘以x -1，约去分母，转化为整式方程求解，另一种方法可在方程两边同时加上11x -，转化为最简方程x =1。

这种方法显然比第一种方法要简单，但是要注意观察题目的结构特点，才有可能找到技巧，另外，不管用什么方法，解分式方程都要检验。

3. 增根与验根解分式方程比解整式方程的步骤多一步检验，这种检验不是检查过程是否有失误，而是检验是否会出现增根。

解分式方程产生增根的原因就是解分式方程的第一步去分母造成的。

根据等式性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），所得结果仍是等式。

这就是说，方程两边不能乘以（或除以）零。

解方程的过程中，如果在方程两边同时乘以的整式有可能为零，就有可能产生增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根。

检验时只需代入最简公分母检验即可。

使最简公分母为零的根就是原方程的增根。

第1讲分式及分式方程【学习目标】1.理解分式的意义，明确分式与整式的区别2.掌握分式的计算3.解分式方程4.运用分式方程解决问题【基础知识】考点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.考点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.考点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 考点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.考点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 考点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【考点剖析】 考点一：分式及其基本性质例1．在中，分式的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C ； 【解析】是分式.【总结】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 例2、当x 为何值时，分式的值为0？【思路】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值． 【答案】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得 解得3x =． ∴ 当3x =时，分式的值为0．【总结】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______； （2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2； （2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 考点二：分式运算例3．计算：．【答案】 解：．【总结】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键． 举一反三：【变式】化简：÷（﹣）【答案】 解：原式=÷=• =﹣． 考点三：分式方程的解法例4．解方程：．【思路】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【答案】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x+1），得 3x+3﹣x ﹣3=0， 解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x+1）=﹣1≠0． ∴原方程的解为：x=0．【总结】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 举一反三： 【变式】， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 考点四：分式方程的应用例4．某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 【答案】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5， 解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解． 答：原计划每天铺设20米管道．【总结】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意． 当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．【真题演练】1．下列各式：（﹣m ）2，，，x 2+y 2，5，，中，分式有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案】B ；【解析】解：（﹣m ）2，，x 2+y 2，5，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式．故选B ．2.把分式yx x+2中的x y 、都扩大3倍，则分式的值( )． A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的31D.不变【答案】D ； 【解析】.3．下列各式中，正确的是( )． A. B. C. D.【答案】A ； 【解析】. 4.式子222x x x +--的值为0，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．－2C ．±2D ．不存在【答案】B ；【解析】由题意+2=0x 且220x x --≠，解得2x =-. 5．化简﹣等于（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣ 【答案】B ；【解析】解：原式=+=+==，故选B. 6.下列分式中，最简分式是( )．A.21521yxyB.y x y x +-22C.222x xy y x y-+-D.y x y x -+22【答案】D ；7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D ；【解析】原方程的最简公分母为. 8.方程的解是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．无解【答案】D ；【解析】解分式方程得3x =，经检验，3x =为原方程的增根. 二.填空题9．若x ＞，那么的值是______________． 【答案】1； 【解析】若x ＞，不等式两边同时乘以5，得到5x ＞2， 则2﹣5x ＜0， ∴|2﹣5x|=5x ﹣2， 那么==1．.10．当x ______时，分式有意义． 【答案】12≠； 11．当x ______时，分式的值为正． 【答案】；【解析】要使分式的值为正，需210x +<，解得12x <-. 12．2232)()(yx y x -÷＝______．【答案】4x y ； 【解析】.13.化简：（+）= ． 【答案】a ；【解析】解：原式=•=（a+3）•=a ． 14.写出下列分式中的未知的分子或分母： （1）；（2）；（3）．【答案】（1）4n （2）2a ab - （3）x15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 【答案】21x -16．方程的解是______． 【答案】10x =；【解析】去分母得，，化简得：10x =，经检验，10x =是原方程的根. 三.解答题 17.计算；（2）． 【解析】 解：（1）．（2）原式．18.已知1x = 【解析】 解：原式．当1x =2==-． 19. 已知345x y z ==，求23x yx y z+-+的值． 【解析】解： 设345x y zk ===，则3x k =，4y k =，5z k =． 所以347723324351010x y k k k x y z k k k k ++===-+-⨯+⨯．20.济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度． 【解析】解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：﹣=4， 解得：x=80，经检验：x=80是原分式方程的解， 3x=3×80=240，答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．【过关检测】 一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C ；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式. 2．的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．1【答案】B ； 【解析】2222()()()()a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--. 3．分式方程的解是（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．无解【答案】D ；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根. 4．关于x 的分式方程=2+有增根，则实数k 的值为（ ） A ． 3 B .0C.±3D ． 无法确定【答案】A ；【解析】解：分式方程去分母得：x=2x ﹣6+k ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：k=3． 故选A ．5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A ；【解析】原计划所用时间为，实际所用时间为，选A ． 6．化简的结果是( )． A ．yx +1B ．yx +-1C ．x y -D ．y x -【答案】B ； 【解析】.7. 若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1 C ．a ≥1且a ≠4 D ．a ＞1且a ≠4 【答案】C ；【解析】去分母得：2（2x ﹣a ）=x ﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a ≥1且a ≠4，故选：C ．8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）A ．倍B ．ba b+倍 C ．倍 D ．倍【答案】C ；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，则根据题意有于是 1212()()a v v b v v +=-，所以 ，即12v a b v b a +=-．甲的速度是乙的倍．二.填空题9．若分式的值为0，则x 的值为______．【答案】0；【解析】由题意20x x -=且，解得0x =.10．若2212x y xy -=，且xy ＞0，则分式y x y x -+23的值为______． 【答案】1；【解析】由2212x y xy -=得，因为xy ＞0，所以4x y =，代入原式得312x y x y+=-. 11．化简2222936a b a b ab =-______；＝______． 【答案】；312b a-； 【解析】；.12．化简﹣的结果是__________．【答案】a+1；【解析】﹣=.13．a ，b 互为倒数，代数式÷（+）的值为____________．【答案】1；【解析】原式=÷=（a+b ）•=ab ，∵a ，b 互为倒数，∴a •b=1，∴原式=1．14．已知，则= ．【答案】；【解析】解：设=k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，则===．15．若分式方程的解是0x =，则a =______．【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.16．a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________． 【答案】2a c； 【解析】每人每天做c ab 个零件，b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是 ．三.解答题17.（1）已知13a a +=，求221a a +，441a a+的值； （2）已知2217a a +=，求1a a-的值． 【解析】 解：（1）因为13a a +=，所以0a ≠， 所以2213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22129a a ++=． 所以2217a a +=．同理可得44147a a +=． （2）因为2217a a +=，所以22125a a +-=，所以215a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1a a -= 18.已知x 2﹣x ﹣6=0，求的值．【解析】解：∵x 2﹣x ﹣6=0，∴x 2=x+6，∴把x 2=x+6代入：原式===== =18所以原式的值是18. 19.a 为何值时，关于x 的方程会产生增根？【解析】解：方程两边都乘以，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-．当1a =时，方程无解．当1a ≠时，．如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-； 当2x =-时，1021a -=--，所以6a =． 所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根．20. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？【解析】解：（1）设第一批购进书包的单价为x 元，则第二批购进书包的单价为元，第一批购进书包个，第二批购进书包个．依题意，得，整理，得20(4)21x x +=，解得80x =．经检验80x =是原方程的根.（2）（元）．答：第一批购进书包的单价为80元．商店共盈利3700元．。

华师大九年级第2章分式全部教案节一、教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的性质及运算规则。

2.能够运用分式解决实际问题，提高学生的数学思维能力。

3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。

二、教学重点与难点1.教学重点：分式的概念、性质及运算。

2.教学难点：分式的运算规则、分式方程的解法。

三、教学过程第一课时：分式的概念与性质1.导入新课利用生活中的实例，如蛋糕分配问题，引导学生思考如何表示不完整的数量。

学生讨论后，引入分式的概念。

2.教学内容讲解分式的定义：分式是表示两个数相除的式子，分子在上，分母在下，中间画一横线。

讲解分式的性质：分式的值不变，分子分母同时乘以或除以同一个非零数。

举例说明分式的性质，让学生通过实际操作感受分式的性质。

3.练习与讨论让学生完成教材上的练习题，巩固分式的概念。

分组讨论，互相检查答案，共同解决问题。

第二课时：分式的运算1.教学内容讲解分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。

讲解分式的乘除运算：分式相乘，分子乘分子，分母乘分母；分式相除，分子乘分母，分母乘分子。

举例说明分式的运算规则，让学生通过实际操作掌握分式的运算。

2.练习与讨论让学生完成教材上的练习题，巩固分式的运算。

分组讨论，互相检查答案，共同解决问题。

第三课时：分式的应用1.教学内容讲解分式方程的解法：将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，再检验解是否满足分式方程的条件。

举例说明分式方程的解法，让学生通过实际操作掌握分式方程的解法。

2.练习与讨论让学生完成教材上的练习题，巩固分式方程的解法。

分组讨论，互相检查答案，共同解决问题。

第四课时：综合练习与拓展1.练习让学生完成教材上的综合练习题，检测学生对本章知识的掌握情况。

2.拓展引导学生思考分式在实际生活中的应用，如速度、浓度问题等。

让学生举例说明分式在实际问题中的应用，提高学生的数学思维能力。

学生分享学习心得，反思本章学习过程中的困惑与收获。

初三数学分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第21章 分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算［知识与技能］1. 知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；2. 能用单项式除以单项式性质进行计算；3. 能进行多项式除以单项式的计算；4. 掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；5. 会运用分式的基本性质进行约分和通分；6. 熟练进行分式的加减乘除运算；7. 掌握分式的乘方；8. 会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

［教学过程］ （一）知识点回顾1. 同底数幂的除法法则：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为a a a m n m n ÷=-（m ，n 为正整数，m n a >，≠0）2. 单项式除以单项式：是将系数及同底数幂分别相除，如果某个字母只在被除式里出现，则将该字母及其指数直接写到商里面。

3. 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（注意：①不要漏项，即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同；②要注意商的符号，弄清多项式中每一项的符号是什么，相除时要带着符号与单项式相除。

）4. ①分式的概念：形如AB（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式，其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母（注意：分式的典型特征是分式的分母中含有字母） ②分式有意义的条件：分式的分母必须不等于零。

③分式的值是零的条件：分母不等于零，分子等于零。

④分式的基本性质：即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零 的整式，分式的值不变。

用式子表示为A B A M B M A B A M B M==××，÷÷。

（这里要求B ≠0，M ≠0） ⑤约分：根据分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去，使分式变得简单。

（注意：如果分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分；约分时一定要彻底。