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《解析几何》专题讲座一、专题内容分析（一）本专题知识体系的梳理本专题内容在高中数学中衔接几何与代数，充分体现了数形结合，重点研究如何用代数方法解决几何问题，如何在代数与几何之间实现问题与解答的转化．从学习者的角度来看，解析几何的学习需要培养数形结合的思想、较强的运算能力和一定的几何与代数的转化能力；从教学者的角度来看，解析几何的教学除了遵循学习者的要求外，还需要重视常规与规范的训练．本专题的知识体系结构为：（二）本专题中研究的核心问题本专题研究的核心问题是如何用代数语言表示几何元素，进而用解析方法（坐标法）解决几何问题．因而，首先要复习直线、圆、圆锥曲线的方程，然后要用方程研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，能够在数和形之间相互转化，综合运用几何方法与解析方法解决几何问题．解析法是借助代数方法解决几何问题的一种方法，解决几何就是利用坐标方法解决几何问题过程中形成的一门学科，它对贯穿代数与几何起着十分重要的作用．（三）本专题蕴含的核心观点、思想和方法解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，它把形与数有机地结合起来．一方面，将几何问题代数化------用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；另一方面，将代数问题几何化------分析代数语言的几何含义，使代数语言更直观、更形象地表达出来．解析几何的核心观点就是用恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐标法．数形结合思想和坐标法是统领全局的，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，让“形”与“数”对应起来，将“形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来．用图可以简略表示为：例如，直角三角形ABC 中，CB ＞CA ，点D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足BE ＝CA ，AD ＝CE ，AE 与BD 交于点F ，求∠AFD 的度数．二、教学目标定位与分析 （一）学习目标与要求D CBA 点 坐标 曲线 方程几何特征数式和数量关系（二）考查要求、类型及考题分析1.平面解析几何初步。
第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。
姓名，年级：时间：复习课（二) 解析几何初步一、直线与方程我们是如何建立直线的点斜式方程的？你能总结建立这个方程的一般步骤吗？写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中系数的几何意义．结合直线方程一般式的讨论,体会分类讨论的思想；选择合适的分类标准，使讨论不重不漏．【典例1】光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上，被y＝x 反射后的光线所在的直线方程是（)A．y＝错误!x－错误!B．y＝2x＋错误!C．y＝错误!x＋错误!D．y＝错误!x＋1［解析] 解法一：解方程组错误!得交点P（－1，－1),如图，在入射线y＝2x＋1上任取一点A（1，3)，A点关于直线y＝x 的对称点为B，则B点的坐标为(3,1)，由光学知识可知反射线经过P、B 两点．∴反射光线的方程是错误!＝错误!即y＝错误!x－错误!.选A.解法二：解方程组错误!得交点P（－1,－1)．由于入射线的斜率等于2大于1，所以反射线的斜率必小于1，过点P(－1，－1）且斜率小于1的反射线所在直线方程的纵截距必小于0，从而排除B、C、D，选A.[答案］A本题主要应用直线的斜率、倾斜角、截距、两直线所成的角及轴对称等概念．解法一是应用光学知识和轴对称概念而求解的；解法二是由已知条件判断反射线的纵截距必为负值,从而用排除法求解的．二、求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E,F)的方程（组）．第三步：解出a,b，r(或D，E，F)．第四步:代入圆的方程．【典例2】根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A（6,5），B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2）求半径为错误!，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4错误!的圆的方程．［解］（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由错误!解得错误!∴圆心C（7，－3），半径为r＝|AC｜＝错误!。
高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。
高中数学学习材料唐玲出品第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．倾斜角的概念和范围在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．2．斜率的概念及斜率公式定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α取值范围当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k 越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率________．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝__________ (x 1≠x 2)．一、选择题1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是()A．mn>0 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是______________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB |＋|BC |＝|AC |，也可断定A ，B ，C 三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率答案知识梳理 1．逆时针 2．定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜 角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α 取值范围当α＝0°时，k ＝0；当0°<α<90°时，k >0；且α越大，k 越大； 当90°<α<180°时，k <0；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率不存在．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．作业设计1．C [①②③正确．]2．C [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．]3．D [因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180° ＝α－135°．]4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]5．D [由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大． ∴k 1<k 3<k 2．]6．C [由题意知，直线与x 轴不垂直，故n ≠0．直线方程化为y ＝－m n x ＋1n ，则－mn>0，且1n<0，即m >0，n <0．] 7．30°或150° 33或－338．0 9．20°≤α<200°解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)， 所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°， αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3．11．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x， 解得x ＝2，即P (2,0)． 12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f (c )c >f (b )b >f (a )a解析 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．。
高2数学必修2解析几何考点考点1：直线和圆名师圈点在求过某点A(m，n)的圆的切线方程时，应先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，切线有且只有一条;若点在圆外，切线必有两条，此时如果仅求得一条。
则漏了斜率不存在的情况，即x=m，应补上。
考点2：圆锥曲线的定义、标准方程与图形的几何性质命题点(1)圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程与图形的几何性质;(2)离心率的计算方法;(3)焦半径的范围;(4)轨迹方程的求法.名师圈点焦点三角形PFlF2中，常常想到圆锥曲线的定义，从而通过己一知建立a，b，c的关系以便解出离心率。
名师圈点如果所给几何条件能够确定动点轨迹符合椭圆、双曲线、抛物线。
圆等曲线的定义，则?可直接利用，曲线定义写出方程.这种方法称为定义法(条件中常含有两对称的定点。
一定点和一定直线、线段的中垂线、两圆相切等几何条件)。
考点3：圆锥曲线中的最值问题(1)求数量积的最值;(2)求线段长度的最值; (3)求三角形面积的最值.常常要注意字母隐含的范围(如直线与圆锥曲线相交时，△>0;图形上的点的坐标的约束范围等)考点4：圆锥曲线中的存在性问题(1)探究符合某条件的点的存在性;(2)探究符合某条件的直线的存在性;(3)探究符合某条件的图形的存在性.名师圈点解决存在性问题的方法为：先假设存在，由已知或假设等推出矛盾则不存在;找到了存在的对象且没有推出矛盾.则由推理论证可知存在。
考点5：圆锥曲线中的定点定值问题(1)探究某图形过定点;(2)探究某代数式为定值.名师圈点证明或探究定值问题，常常设出相关点的坐标或相关直线的方程，结合几何图形通过代数运算化简消参得定值。
高2数学必修2解析几何知识结构图高2数学必修2解析几何考试常见问题问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢?解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。
如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决?总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。
《平面解析几何初步》全章复习与巩固：：【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有：①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+；③一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠；④直线系方程：111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)． 要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。
2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= 。
北师大高一数学必修2第二章解析几何知识点解析几何是北师大版本的高一数学必修2第二章的内容，需呀掌握哪些相关内容?下面是店铺给大家带来的高一数学必修2第二章解析几何知识点，希望对你有帮助。
北师大高一数学必修2第二章解析几何知识点两点距离公式：根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2直线的斜率倾斜角不是90°的直线`，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作：k=tga(0°≤a<180°且a≠90°)倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是90°的直线都有斜率并且是确定的.点斜式:y-y1=k(x-x1);斜截式：y=kx+b;截距式：x/a+y/b=1直线的标准方程：Ax+Bx+C=0圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 《2表示平方》圆与圆的位置关系：1 点在圆上(点到半径的距离等于半径)点在圆外(点到半径的距离大于半径)点在圆内(点到半径的距离小于半径)2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径(2)相交:圆心到直线的距离小于半径(3)相离:圆心到直线的距离大于半径3 圆的切线是指垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r两圆外切 Q=R+r两圆内切 Q=R-r (用大减小)两圆相交 Q两圆外离 Q>R+r两圆内含 Q直线与圆的位置关系有三种:相离,相交,相切.有如下关系相离则d>r,反之d>r则相离,相切则d=r,反之d=r则相切,相交则d空间直角坐标系的定义ABCD –A′B′C′O是长方体，以O为原点，分别以射线OB、OA‘、OB‘为正方向，以线段OB、OA‘、OB‘建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O –xyz，点O叫做坐标原点，x、y、z轴叫做坐标轴，由两条坐标轴组成的平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平面、yOz平zOx平面，这种坐标系叫做右手直角坐标空间直角坐标系内点的坐标表示方法设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x、y、z轴的平面，依次交x、y、z轴于点P、Q、R设点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M对应惟一确定的有序实数组(x，y，z)，有序实数组(x，y，z)叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)，其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。
学习目标核心素养１．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．（重点）２．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．（易错点）３．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．（难点）通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系１．几何法：若两圆的半径分别为r１，r２，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r１，r２的关系d>r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|<d<r１＋r２d＝|r１—r２|d<|r１—r２|错误!错误!错误!错误!１．思考辨析（１）两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．（）（２）若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．（）（３）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．（）（４）若两圆有公共点，则|r１—r２|≤d≤r１＋r２. （）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）√２．两圆x２＋y２＋6x＋４y＝0及x２＋y２＋４x＋２y—４＝0的公共弦所在的直线方程为______________．x＋y＋２＝0 [联立错误!１—２得：x＋y＋２＝0．]３．圆x２＋y２＝１与圆x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0的交点坐标为________．（—１，0）和（0，—１）[由错误!解得错误!或错误!]４．圆C１：x２＋y２＋４x—４y＋7＝0和圆C２：x２＋y２—４x—１0y＋１３＝0的公切线有________条．３[圆C１的圆心坐标为C１（—２，２），半径r１＝１．∵圆C２的圆心坐标为C２（２，５），半径r２＝４．∴|C１C２|＝错误!＝５，r１＋r２＝５，∴两圆外切．故公切线有３条．]两圆位置关系的判定１２２２２２２（１）m＝１时，圆C１与圆C２有什么位置关系？（２）是否存在m使得圆C１与圆C２内含？思路探究：（１）参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r１＋r和|r１—r２|的大小关系．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则圆心距d<|r１—r２|.２[解] （１）∵m＝１，∴两圆的方程分别可化为：C１：（x—１）２＋（y＋２）２＝9．C２：（x＋１）２＋y２＝１．两圆的圆心距d＝错误!＝２错误!，又∵r１＋r２＝３＋１＝４，r１—r２＝３—１＝２，∴r１—r２<d<r１＋r２，所以圆C１与圆C２相交．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则错误!<３—１，即（m＋１）２<0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C１与圆C２内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．１．已知圆C１：x２＋y２—２ax—２y＋a２—１５＝0，C２：x２＋y２—４ax—２y＋４a２＝0（a>0）．试求a为何值时两圆C１，C２（１）相切；（２）相交；（３）相离；（４）内含．[解] 对圆C１，C２的方程，经配方后可得：C１：（x—a）２＋（y—１）２＝１6，C２：（x—２a）２＋（y—１）２＝１，∴圆心C１（a，１），r１＝４，C２（２a，１），r２＝１，∴|C１C２|＝错误!＝a，（１）当|C１C２|＝r１＋r２＝５，即a＝５时，两圆外切，当|C１C２|＝r１—r２＝３，即a＝３时，两圆内切．（２）当３<|C１C２|<５，即３<a<５，时，两圆相交．（３）当|C１C２|>５，即a>５时，两圆外离．（４）当|C１C２|<３，即0<a<３时，两圆内含．两圆相交的问题１２２２２２（１）求公共弦所在直线的方程；（２）求公共弦的长．思路探究：错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）设两圆的交点分别为A（x１，y１），B（x２，y２）．将点A的坐标代入两圆方程，得错误!１—２，得x１—２y１＋４＝0，故点A在直线x—２y＋４＝0上．同理，点B也在直线x—２y＋４＝0上，即点A，B均在直线x—２y＋４＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x—２y＋４＝0，即公共弦所在直线的方程为x—２y＋４＝0．（２）圆C１的方程可化为（x—１）２＋（y＋５）２＝５0，所以C１（１，—５），半径r１＝５错误!.C１（１，—５）到公共弦的距离d＝错误!＝３错误!.设公共弦的长为l，则l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.１．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．２．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．２．求圆心在直线x—y—４＝0上，且经过两圆x２＋y２—４x—6＝0和x２＋y２—４y—6＝0的交点的圆的方程．[解] 由错误!得错误!或错误!即两圆的交点坐标为A（—１，—１），B（３，３）．设所求圆的圆心坐标C为（a，a—４），由题意可知CA＝CB，即错误!＝错误!，解得a＝３，∴C（３，—１）．∴CA＝错误!＝４，所以，所求圆的方程为（x—３）２＋（y＋１）２＝１6．两圆相切的问题１．若已知圆C１：x２＋y２＝a２（a>0）和C２：（x—２）２＋y２＝１，那么a取何值时C１与C２相外切？[提示] 由|C１C２|＝a＋１，得a＋１＝２，∴a＝１．２．若将探究１中，C２的方程改为（x—２）２＋y２＝r２（r>0），那么a与r满足什么条件时两圆相切？[提示] 若两圆外切，则a＋r＝|C１C２|＝２，即a＋r＝２时外切．若两圆内切，则|r—a|＝|C１C２|＝２．∴r—a＝２或a—r＝２．【例３】已知圆C１：x２＋y２＋４x—４y—５＝0与圆C２：x２＋y２—8x＋４y＋7＝0．（１）证明：圆C１与圆C２相切，并求过切点的公切线的方程；（２）求过点（２，３）且与两圆相切于（１）中切点的圆的方程．思路探究：（１）证明|C１C２|＝r１＋r２，两圆方程相减得公切线方程．（２）由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．[解] （１）把圆C１与圆C２都化为标准方程形式，得（x＋２）２＋（y—２）２＝１３，（x—４）２＋（y＋２）２＝１３；圆心与半径长分别为C１（—２，２），r１＝错误!；C２（４，—２），r２＝错误!，因为|C１C２|＝错误!＝２错误!＝r１＋r２，所以圆C１与圆C２相切．由错误!得１２x—8y—１２＝0，即３x—２y—３＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．（２）由圆系方程，可设所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋λ（３x—２y—３）＝0．点（２，３）在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝错误!.所以所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋错误!（３x—２y—３）＝0，即x２＋y２＋8x—错误!y—9＝0．两圆相切有如下性质（１）设两圆的圆心分别为O１，O２，半径分别为r１，r２，则两圆相切错误!（２）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦）．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．３．求与圆C：x２＋y２—２x＝0外切且与直线l：x＋错误!y＝0相切于点M（３，—错误!）的圆的方程．[解] 圆C的方程可化为（x—１）２＋y２＝１，圆心C（１，0），半径为１．设所求圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），由题意可知错误!解得错误!或错误!所以所求圆的方程为（x—４）２＋y２＝４或x２＋（y＋４错误!）２＝３6．１．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）判断两圆位置关系的方法及应用．（２）求两圆公共弦长的方法．３．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．１．圆（x＋２）２＋y２＝４与圆（x—２）２＋（y—１）２＝9的位置关系为（）Ａ．相离Ｂ．相切Ｃ．相交Ｄ．内含C[两圆圆心分别为（—２，0），（２，１），半径分别为２和３，圆心距d＝错误!＝错误!.∵３—２<d<３＋２，∴两圆相交．]２．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋m２＝１与圆C２：x２＋y２＋２y＝8外离，则实数m的取值范围是________．（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）[圆C１可化为（x—m）２＋y２＝１，圆C２可化为x２＋（y ＋１）２＝9，所以圆心C１（m，0），C２（0，—１），半径r１＝１，r２＝３，因为两圆外离，所以应有C１C２>r１＋r２＝１＋３＝４，即错误!>４，解得m>错误!或m<—错误!.]３．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x２＋（y—３）２＝１内切，则此圆的方程为________．（x±４）２＋（y—6）２＝３6 [设圆心坐标为（a，b），由题意知b＝6，错误!＝５，可以解得a ＝±４，故所求圆的方程为（x±４）２＋（y—6）２＝３6．]４．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋４y＋m２—５＝0，圆C２：x２＋y２＋２x—２my＋m２—３＝0，m为何值时，（１）圆C１与圆C２外切；（２）圆C１与圆C２内含．[解] 将圆C１，圆C２化为标准形式得C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9，C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４．则C１（m，—２），C２（—１，m），r１＝３，r２＝２，C１C２＝错误!＝错误!.（１）当圆C１与圆C２外切时，有r１＋r２＝C１C２，则错误!＝５，解得m＝—５或２，即当m＝—５或２时，两圆外切．（２）当圆C１与圆C２内含时，C１C２<r１—r２，∴错误!<１，即m２＋３m＋２<0．∵f（m）＝m２＋３m＋２的图象与横坐标轴的交点是（—２，0），（—１，0），∴由m２＋３m＋２<0，可得—２<m<—１，即当—２<m<—１时，两圆内含．。
1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：BC x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．(3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),(2222BA A BA B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a bba a ++； ab k =；22||||b a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则222121||||b a t t P P +-=； ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。
高中数学必修二解析几何考点分析总结考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况： 由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0rb y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例2 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？ 解析：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d23=<如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
1.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一直线方程的点斜式思考1如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？★答案☆由斜率公式得k＝y－y0 x－x0，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．思考2经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？★答案☆斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理点斜式方程知识点二直线方程的斜截式思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？★答案☆将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？★答案☆y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零．思考3对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.梳理斜截式方程1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线方程的点斜式例1根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．考点题点解(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图(1)所示．(2)k ＝tan 45°＝1，∴y －0＝x －0，即y ＝x .如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.如图(3)所示． (4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.如图(4)所示．反思与感悟 求直线的点斜式方程的思路跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程． (1)过点(－1，2)，倾斜角为135°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为－7. 考点 题点解 (1)y －2＝－(x ＋1)． (2)y ＋1＝0. (3)y ＝32(x ＋7)． 类型二 直线方程的斜截式例2 求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过点P (0，4)，斜率为2；(2)与直线y ＝－x ＋1在y 轴上的截距相等，且过点Q (2，2)； (3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 考点 题点解 (1)y ＝2x ＋4.(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q (2，2)， 故k ＝2－12－0＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋1.(3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.反思与感悟直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.跟踪训练2(1)直线y＝ax－1a的图像可能是()考点题点★答案☆B解析由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B.(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值．考点题点解由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.∵直线l过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1.1．斜率为4，且过点(2，－3)的直线方程是( ) A ．y ＋3＝4(x －2) B ．y －3＝4(x －2) C ．y －3＝4(x ＋2) D ．y ＋3＝4(x ＋2)考点 题点 ★答案☆ A2．已知直线x －ay ＝4在y 轴上的截距是2，则a 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2考点 题点 ★答案☆ C解析 直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a＝2，得a ＝－2.3．某直线l 1过点A (2，－3)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则这条直线l 1的点斜式方程为______________________． 考点 题点★答案☆ y ＋3＝3(x －2)4．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标为________． 考点 题点★答案☆(2，3)解析直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2，3)．5．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，且该直线的斜率是直线y＝x＋7斜率的2倍；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．考点题点解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.一、选择题1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2，0)的所有直线B．通过点(2，0)的所有直线C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 ★答案☆ C解析 易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0考点 直线的斜截式方程题点 直线斜截式方程与图像的关系 ★答案☆ B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.3．直线3x ＋2y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－23，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3考点 题点 ★答案☆ C解析 由3x ＋2y ＋6＝0，得y ＝－32x －3，则k ＝－32，b ＝－3.4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A．k1<k2且b1<b2B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2D．k1>k2且b1<b2考点题点★答案☆A解析设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A.5．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)考点题点★答案☆D解析如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，k OA＝3，k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．6．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．(1，2) B ．(－2，1) C ．(2，－1) D ．(2，1)考点 题点 ★答案☆ B解析 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2，1)． 7．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 直线的点斜式方程 题点 直线点斜式方程的应用 ★答案☆ B解析 ①中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．8．方程y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 表示的直线可能是( )考点题点★答案☆D解析在A中，一条直线的斜率与y轴上的截距均大于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，在y轴上的截距小于零，即ab<0，故A不可能．经分析知B和C也均不可能，故选D.二、填空题9．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.考点直线的点斜式方程题点直线点斜式方程的应用★答案☆4解析直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，∴2m －1＝7，得m ＝4.10．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． 考点 直线的斜截式方程题点 直线的斜截式方程与图像的关系 ★答案☆ ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.11．设直线l 的倾斜角是直线y ＝3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程为______________________． 考点 题点 ★答案☆ y ＝33x ±3 解析 直线y ＝3x ＋1的倾斜角为60°， 则l 的倾斜角为30°， ∴l 的斜率为tan 30°＝33. 又l 与y 轴的交点到x 轴的距离为3， ∴l 在y 轴的截距为±3， ∴l 的方程为y ＝33x ±3. 12．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 考点 题点★答案☆ [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2，2]． 三、解答题13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.四、探究与拓展14．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．考点 直线的斜截式方程 题点 求直线的斜截式方程 ★答案☆ y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0，得x ＝－4b3，由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12，|b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.15．如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1，2)，求过点P 且与直线l 所夹的角为30°的直线l ′的方程．考点 题点解 设直线l ′的倾斜角为α′，由直线l 的方程y －2＝3(x －1)知，直线l 的斜率为3，则倾斜角为60°.当α′＝90°时，满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的方程为x ＝1；当α′＝30°时，也满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l ′的方程为y －2＝33(x －1)，即y ＝33(x －1)＋2. 综上，所求直线l ′的方程为x ＝1或y ＝33(x －1)＋2.。
