平方根和开平方

解平方根的常见方法与技巧在数学中，平方根是一种常见的运算，求解平方根的方法与技巧是非常重要的数学基础知识。

本文将介绍一些常见的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和运用平方根的概念。

1. 直接开平方直接开平方是最常见的方法之一，简单直接。

对于一个正实数a，其平方根记作√a，即a的平方根等于b。

举个例子，√25=5，因为5的平方等于25。

2. 分解质因数法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，可以运用分解质因数的方法。

首先，将原数分解成质因数的乘积形式，并对每个质因数的指数进行除2操作。

最后将所得的结果相乘，并开方，即可得到原数的平方根。

例如，对于数100，先将其分解成2^2乘以5^2，然后进行除2操作，结果为2乘以5，即10，最后开方得到√100=10。

3. 二分查找法二分查找法是一种高效的找根方法，特别适用于近似解的求解过程。

该方法基于数值的中间值，通过不断缩小范围来逼近平方根的值。

具体步骤如下：- 确定平方根的上下限，例如对于求解根号2，可以将上限a设置为2，下限b设置为1。

- 求取平方根的中间值c，即(a+b)/2。

- 判断中间值的平方是否接近原数，若平方值大于目标数，将上限a 设置为c，若平方值小于目标数，将下限b设置为c。

- 重复以上步骤，不断缩小范围直至所求的平方根满足要求。

4. 迭代法迭代法是一种逐步逼近平方根的方法，通过不断迭代优化来达到精确解。

该方法使用下面的迭代公式：(x + a / x) / 2，其中x为初始近似解，a为原数。

通过不断迭代，不断更新x的值，最终得到原数的平方根。

迭代法适用于对较大的正实数进行近似求根。

5. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值分析中常用的方法，也适合用来解决平方根的问题。

其基本思想是通过切线逼近曲线来求解函数的根。

对于求解根号a，可以选取初始近似解x，然后通过不断迭代优化来逼近平方根。

具体迭代公式如下：x = (x + a / x) /2。

不断迭代，直到满足精度要求。

12.2 平方根和开平方（2）教学目标：1、经历2是无限不循环小数的探索过程，尝试用夹逼方法估计一个无理数的大小；2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.教学重点：1、会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.教学难点：尝试用逐步逼近法探索2的近似值.教学过程：一、复习引入：1．问题：2的意义是什么？（面积为2的正方形的边长可用根号2来表示，它是一个无理数）根据其意义，你能否猜测2有多大？2．书第9页的探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<2<2，即2的整数部分为1.3．规律总结：当 c>a>b>0时，b>.c>a二、新授：1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；2、思考：（1）观察计算结果，你有什么发现？小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<2<1.5，所以2的十分位为4.（2）：如何求2的百分位？方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.因为1.412<2<1.422，所以1.41<2<1.42，得2的百分位为1. （3）请求出2的千分位.师：从中可以看出，随着左右夹逼根号2的两个小数的位数不断增加，根号2与这两个小数的差别越来越小。

书第9页下半段：……3、师：在实数范围内，任意一个正数都有两个平方根，求出了它的正平方根，可知它的相反数就是另一个平方根。

对于任意给定的一个正数a，可以利用计算器来求它的正平方根或求得正平方根的近似值。

平方根和开平方（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）是25的算术平方根是l的一个平方根C.的平方根是－4 的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】（2015•凉山州）的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.3、使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。

开平方的计算方法开平方是数学中常见的一种运算方法，它在数学中有着广泛的应用。

在实际生活中，我们经常会遇到需要计算开平方的情况，比如在物理学、工程学、经济学等领域。

因此，了解开平方的计算方法对我们来说是非常有用的。

首先，我们来介绍一下开平方的定义。

开平方就是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

开平方的符号通常用√来表示，如√9=3。

在实际计算中，我们可以利用不同的方法来求一个数的平方根，下面我们将介绍几种常见的计算方法。

一、牛顿迭代法。

牛顿迭代法是一种用于逼近实数的方法。

对于求一个数的平方根，可以利用牛顿迭代法来进行计算。

其计算步骤如下：1. 首先，我们假设要求的数的平方根为x，即√a=x。

2. 然后，我们可以利用牛顿迭代公式进行迭代计算，x = (x +a / x) / 2。

3. 重复进行迭代计算，直到计算结果收敛为止。

牛顿迭代法是一种非常有效的方法，它的收敛速度很快，能够在很少的迭代次数内得到较为精确的结果。

二、二分法。

二分法是一种通过逐步缩小范围来逼近目标值的方法。

对于求一个数的平方根，可以利用二分法来进行计算。

其计算步骤如下：1. 首先，我们确定一个范围[a, b]，使得a^2小于要求的数，b^2大于要求的数。

2. 然后，我们取中间值c=(a+b)/2，计算c的平方。

3. 如果c^2等于要求的数，则c就是要求的平方根；如果c^2小于要求的数，则更新范围[a, c]；如果c^2大于要求的数，则更新范围[c, b]。

4. 重复进行范围更新和计算，直到得到较为精确的结果。

二分法是一种简单而有效的方法，它能够在有限次迭代内得到目标值的近似解。

三、牛顿-拉弗森方法。

牛顿-拉弗森方法是一种用于求解方程根的迭代方法，对于求一个数的平方根同样适用。

其计算步骤如下：1. 首先，我们假设要求的数的平方根为x，即√a=x。

2. 然后，我们可以利用牛顿-拉弗森迭代公式进行迭代计算，x = (x + a / x) / 2。

平方与平方根的计算无题计算平方与平方根是数学中常见的运算，其涉及到数字的平方和平方根的求解。

平方是指数字乘以自身的结果，如2的平方为4，记作2²=4。

而平方根则是指一个数字的平方等于给定的数，如4的平方根为2，记作√4=2。

以下将介绍平方和平方根的计算方法及应用。

一、平方的计算方法平方是将一个数字乘以自身得到的结果。

在计算平方时，可通过直接计算或使用计算器来求解。

下面通过几个例子来演示平方的计算方法：1. 例如，计算3的平方，即3²：解：3²=3 × 3=9。

2. 当数字是负数时，平方的结果也为正数，例如：(-2)²=4。

3. 分数的平方可通过将分子和分母分别进行平方再简化得到。

例如：(4/5)²= (4²)/(5²)= 16/25。

二、平方根的计算方法平方根是一个数字，它的平方等于给定的数。

平方根的计算可通过手算或使用计算器来完成。

下面通过几个例子演示平方根的计算方法：1. 例如，计算16的平方根，即√16：解：√16=4，因为4²=16。

2. 当数字不能完全平方时，平方根为无理数，需通过近似值进行计算。

例如：√2≈1.414。

3. 分数的平方根可通过分子和分母分别求平方根再简化得到。

例如：√(25/36)=√25/√36=5/6。

三、平方与平方根的应用领域1. 几何学中，平方和平方根广泛应用于计算图形的面积和长度。

例如，正方形的边长为a，则它的面积为a²。

而正方形的对角线长度则是边长的平方根的两倍，即2√a。

2. 物理学中，平方可用于计算速度、加速度等物理量的平方。

例如，速度的平方表示物体的动能。

3. 工程学中，平方和平方根可应用于计算电阻、电压、功率等电子元件的数值。

4. 统计学中，平方和平方根常用于计算标准差和方差等统计指标。

小结平方与平方根是数学中常用的运算，可通过直接计算或使用计算器来求解。

平方根和开平方（基础)【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1。

平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。

求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。

a 叫做被开方数。

平方与开平方互为逆运算。

2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同:a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2)被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．(2）正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根。

要点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。

例如：62500250=,62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C 。

()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A 。

平方根公式计算公式1.正平方根公式：正平方根公式可以表示为：√a=b，其中a是被开方数，b是正的平方根。

计算一个正数的平方根的一种方法是使用二分法。

首先，确定一个区间[a,b]，其中a是0，b是这个正数。

然后计算区间的中点c，如果c的平方等于这个数，那么c就是这个数的平方根；如果c的平方小于这个数，那么新的区间为[c,b]；如果c的平方大于这个数，那么新的区间为[a,c]。

然后继续重复这个步骤，直到找到满足条件的平方根。

另一种常见的计算正平方根的方法是使用牛顿法。

牛顿法的思想是通过不断逼近函数的零点来计算一个函数的根。

对于计算平方根，可以将问题转化为求解方程x^2-a=0。

然后使用牛顿法的迭代公式：x_n+1=x_n-(f(x_n)/f'(x_n))，其中x_n是前一次的迭代结果，x_n+1是下一次的迭代结果，f(x_n)是函数在x_n处的值，f'(x_n)是函数在x_n处的导数值。

重复使用这个迭代公式直到满足精度要求。

2.负平方根公式：负平方根公式可以表示为：√a=-b，其中a是被开方数，b是正的平方根。

负平方根可以通过正平方根乘以虚数单位i来表示。

虚数单位i是一个虚数，定义为i^2=-1、所以负平方根可以表示为：√a=√(a*-1)=i*√(-a)。

因此，计算负平方根可以先计算被开方数的绝对值的正平方根，然后乘以虚数单位i即可。

例如，计算-9的平方根：首先计算9的正平方根：√9=3然后乘以虚数单位i：√-9=3i。

计算平方根的公式有很多应用，例如在几何学中可以用来计算三角形的边长或者求解圆的半径；在物理学中可以用来计算物体的速度或者求解方程等。

不同的方法和公式可以根据具体的问题和需求来选择使用。

授课T 数的开方T 开平方和平方根T 开立方和立方根类型教学内容——数的开方1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示；2．了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根；3．估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算；4．能灵活运用平方根、绝对值的性质．一、复习引入1．我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算? (加、减、乘、除、乘方5种)2．你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。

如一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算? (面积25平方米，运算是乘方运算)3．加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)二、问题引入例1：小丽家的正方形的桌面面积是64平方分米,其边长是多少分米?如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根求一个数a的平方根的运算叫做开平方, a叫做被开方数24 a=解得：2 a=±4的平方根是±264的平方根是±8 949的平方根是±37例2例2 求下列各数的平方根(1) 25 (2) 0.09 (3)9116(4) 0总结：正数有两个平方根,它们互为相反数0只有一个平方根,就是0.负数没有平方根.正数a的两个平方根可以用a±表示a表示a的正平方根(算术平方根),读作根号a-表示a的负平方根,读作负根号()()22a a a a>=-=当时，（3）21418232383-+-．例题7 一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8个同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积.题型Ⅰ 概念题从1到100之间所有自然数的平方根的和为________．一个正数的算术平方根与立方根是同一个数，则这个数是 . ．若2)2,22+=+x x 则（的平方根是 （ ）A 16B ±16C ±4D ±2一个数的平方根是3x +和 12-，求x 的值.数a 的小数点向右移动三位，它的立方根的小数点就（ ）A ．向右移动两位；B ．向右移动一位；C ．向左移动一位；D ．向左移动三位．已知x a =，下列计算正确的是 （ ） A x a 10100-= B x a 10100= C x a 10100±= D x a 10100= ．题型Ⅱ 计算求下列各数的平方根。

第十二章 第2讲 平方根和开平方学习目标理解平方根、开平方运算、被开方数、根指数的概念和意义，掌握“一个数的平方和平方根”的区别，掌握平方根的符号表示方法；经历平方根的意义推导过程，感受求一个数的平方和平方根的互逆运算，体会文字语言和符号语言的对应关系；在加减、乘除互逆运算基础上，扩充到乘方和开方的互逆运算，而且运算符号法则遵循有理数的法则，知识间存在联系。

知识精要1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的两个平方根可以用a ±来表示，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。

2.算术平方根：正数a 的正平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。

平方根与算术平方根的区别与联系：区别：(1)定义不同；(2)结果不同；a ±和a 。

联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负实数；(3)0的平方根和算术平方根均为0。

注意：在平方根的概念中，涉及到平方运算。

我们规定无理数的平方遵循同有理数一样的符号法则。

3.开平方：求一个数a )0(≥a 的平方根的运算，叫做开平方。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

平方与开平方互为逆运算。

求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。

另外，还可以利用计算器求任意一个正数的正平方根或它的近似值，具体按键顺序参考计算器的使用说明书。

通常使用计算器求a ，正数a 的位数不超过十个。

如果所显示的结果其位数超过5个，那么这个结果是a 的一个近似值；否则是准确值。

4.平方根的性质(1)当0>a 时，a a =2)(，a a =-2)(。

(2)当0≥a 时，a a =2；当0<a 时，a a -=2。

即 ⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,2a a a a a a经典题型精讲(一)计算平方根例1.写出下列各数的平方根：(1)1219 (2)2)9(- (3)16925 (4)81 (5)3 (6)51 (7)49.0 (8))0(>a a例2.从1到100之间所有自然数的平方根的和为________．举一反三：一个数的平方根是3x +和12-，求x 的值.例3.写出下列各数的算术平方根(1)225 (2)9 (3)49151 (4)64.0例4.若4a -没有平方根，则a 的取值范围是__________.举一反三：若___________。