四川省眉山中学2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)

眉山中学高2017届高二4月半期测试数学试题理工农医类数学试题卷共3页．满分150分．考试时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()x x f cos =，则=⎪⎭⎫⎝⎛'2πf （ ） .A 1- .B 1 .C 0 .D 22 2.过椭圆13422=+y x 的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（ ） .A 43.B 32 .C 3 .D 3383.函数()x f y =的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）.A ()()()()1221f f f f -<'<' .B ()()()()1212f f f f -<'<' .C ()()()()1122f f f f '<-<' .D ()()()()2112f f f f '<'<-4.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，3=OM ，则=1PF （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 55.函数()b bx x x f 363+-=在()1,0内有极小值，则b 的取值范围是( ).A 10<<b .B 210<<b .C 1<b .D b <0 6.已知O 为坐标原点，F 为抛物线y x C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24=PF ，则POF ∆的面积为( ).A 2 .B 22 .C 32 .D 47.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线过点()3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为( ).A 1282122=-y x .B 1212822=-y x .C 14322=-y x .D 13422=-y x 8.设三次函数()x f 的导函数为()x f ',函数()x f x y '=的图像的一部分如图所示,则( ).A ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f .B ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f .C ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f.D ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f9. 给出以下数阵，按各数排列规律，则n 的值为( ).A 66 .B 257 .C 256 .D 32610.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的中心为O ，左焦点为F ,A 是椭圆上的一点，0=⋅AF OA 且221OF OF OA =⋅,则该椭圆的离心率是( )．.A 2210- .B 2210+ .C 53- .D 53+11.已知结论：“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等，则2=GDAG”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OMAO( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 412.设()()x g x f ,分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时()()()()0>'+'x g x f x g x f ，且()03=-g ，则不等式()()0<x g x f 的解集是（ ）xyO33-3-3.A ()()+∞-,30,3 .B ()()3,00,3 - .C ()()+∞-∞-,33, .D ()()3,03, -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13.函数()x x x f ln 22-=的单调递减区间是14.已知椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 相交于B A ,两点,过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22,则=nm15.如图所示，已知C 为圆()4222=++yx 的圆心，点()0,2A ，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且AM AP AP MQ 2,0==⋅.当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹方程为 .16.对于三次函数()()023≠+++=a d cx bx ax x f 给出定义：设()x f '是函数()x f y =的导数，()x f ''是函数()x f '的导数，若方程()0=''x f 有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()x f y =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()1253213123-+-=x x x x f ， 请你根据上面探究结果，计算=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20162015 (2016)32016220161f f f f . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本题满分10分)已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为3，点()0,3是双曲线的一个顶点⑴求双曲线的方程；⑵经过双曲线的右焦点2F 作斜率为1的直线l 与双曲线交于B A ,两点，求线段AB 的长.18.(本题满分12分)已知函数()29323-++-=x x x x f⑴求()x f 的单调递增区间；（2）求()x f 在区间]22[，-上的最大值和最小值. 19. (本题满分12分) 已知椭圆()222210y x a b a b+=>>，过点()(),0,0,A b B a -的直线倾斜角为3π，原点到该直线的距离为23⑴求椭圆的方程；⑵斜率大于零的直线过()0,1D 与椭圆交于()()2211,,,y x F y x E 两点，且212x x -=,求直线EF 的方程；20.(本题满分12分)已知函数()12++=x bax x f 在点()()1,1--f 处的切线方程为03=++y x ⑴求函数()x f 的解析式；⑵设()()1ln -=x x g ，求证:()()()x f x x g 122+<在()+∞∈,1x 上恒成立.21. (本题满分12分)如图所示，已知抛物线y x 42=的焦点为F ，过点F 任作直线l (l 与x 轴不平行)交抛物线于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为点C ⑴求证：直线BC 与y 轴的交点D 必为定点；⑵过点B A ,分别作抛物线的切线，两条切线交于点E ，求DEAB 的最小值及此时直线l 的方程.22. (本题满分12分)设函数11ln )(--+-=xaax x x f ⑴若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上单调递增,求实数a 的取值范围；⑵当13a >时，设函数2()21g x x x =--，若[][]121,2,0,2x x ∀∈∃∈，使)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.。

2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为（）A．70 户B．17 户C．56 户D．25 户3．（5分）下列求导运算错误的是（）A．（x2+4）′＝2x+4B．C．（cos x）′＝﹣sin x D．4．（5分）A、B、C、D、E共5人站成一排，如果A、B中间隔一人，那么排法种数有（）A．60B．36C．48D．245．（5分）曲线y＝e x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为（）A．1B．C．D．6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣7．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f′（x），的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，4]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为4；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（）A．1B．2C．3D．49．（5分）设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣10．（5分）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种11．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b 12．（5分）设集合S＝{1，2，3，4，5，6}，定义集合对（A，B）：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置. 13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．15．（5分）在安排语文、数学、英语、物理、化学、生物6个学科的6堂考试时，若语文、数学两个学科均安排在生物学科之前，则不同的安排方法共有种．16．（5分）有下列命题：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2则复数z所对应点Z的轨迹是一个椭圆；②f′（x0）＝＝；③将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有53种；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是4和3；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值为9其中正确的有：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）解方程：；（2）复数z满足．18．（12分）2013年4月初眉山市“体彩杯”中小学生田径运动会圆满落幕，市文体局举行表彰大会．某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人参加表彰会，下列情形各有多少种选派方法（结果用数字作答）．（1）男3名，女2名（2）队长至少有1人参加（3）至少1名女运动员（4）既要有队长，又要有女运动员．19．（12分）已知函数（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．20．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．21．（12分）已知函数与g（x）＝xlnx．（1）若f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为﹣1求f（x）的解析式；（2）当a＝1，c＝2时，若函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．22．（12分）已知函数，m＜0．（I）当m＝﹣1时，求函数的单调区间；（II）已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；（III）证明：．2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为．故选：C．2．（5分）某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为（）A．70 户B．17 户C．56 户D．25 户【解答】解：由已知可得中等收入家庭中应抽选出的户数＝＝56．故选：C．3．（5分）下列求导运算错误的是（）A．（x2+4）′＝2x+4B．C．（cos x）′＝﹣sin x D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（x2+4）′＝2x，故A错误；对于B、（log2x）′＝，故B正确；对于C、（cos x）′＝﹣sin x，故C正确；对于D、（）′＝（x﹣1）′＝﹣（x﹣2）＝﹣，D正确；故选：A．4．（5分）A、B、C、D、E共5人站成一排，如果A、B中间隔一人，那么排法种数有（）A．60B．36C．48D．24【解答】解：因为A、B、C、D、E共5人站成一排，A、B中间隔一人的不同站法＝36，故选：B．5．（5分）曲线y＝e x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵y＝e x+1，∴y′＝e x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，且过点（0，2），∴切线为：y﹣2＝x，∴x﹣y+2＝0，∴切线与x轴交点为：（﹣2，0），与y＝﹣x的交点为（﹣1，1），∴切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为：S＝×2×1＝1，故选：A．6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣【解答】解：∵f（k）＝+…+，f（k+1）＝+…+∴f（k+1）﹣f（k）＝∵f（k+1）＝f（k）+g（k），∴g（k）＝故选：B．7．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f′（x），的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，4]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为4；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解由导函数的图象可得，f（x）在（﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，5）递减，由函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，可得f（x）的最大值为4，最小值为1，值域为[1，4]，故①、②对；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为5，故③错；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点，故④对．综上可得，正确个数为3．故选：D．8．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：推广到空间，则有结论：“＝3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM＝，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r＝，可求得r即OM＝，所以AO＝AM﹣OM＝，所以＝3故选：C．9．（5分）设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【解答】解：∵复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|＝≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P＝＝故选：D．10．（5分）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种【解答】解：甲在上海、杭州、广州中任选一个，有3种方法，在这个前提下，剩下4个人可以到北京、上海、杭州、广州等4个城市种各一个城市，就是＝24，也可以在除了甲去的之外的3个城市旅游，就是＝36，∴不同的安排方案共有3（24+36）＝180．故选：A．11．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵定义域为R的奇函数y＝f（x），∴F（x）＝xf（x）为R上的偶函数，F′（x）＝f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）＝a＝f（）＝F（ln），F（﹣2）＝b＝﹣2f（﹣2）＝F（2），F（ln）＝c＝（ln）f（ln）＝F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：B．12．（5分）设集合S＝{1，2，3，4，5，6}，定义集合对（A，B）：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A ∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵S＝{1，2，3，4，5，6}，A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素，且A∪B＝S，∴A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，∴满足A∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m＝2满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论A＝{1，2，3}时，B＝{3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，4，5，6}，有7个，A＝{1，2，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A＝{1，3，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A＝{2，3，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个当A＝{1，2，5}或A＝{1，3，5}或A＝{1，4，5}或A＝{1，2，3，5}或A＝{2，4，5}或A ＝{3，4，5}时，B＝{5，6}，有6个，故满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n＝22，则＝故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置. 13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是 1.75百吨．【解答】解：＝＝2.5，＝＝3.5．∴3.5＝﹣0.7×2.5+a，解得a＝5.25．∴线性回归方程是y＝﹣0.7x+5.25．当x＝5时，y＝﹣0.7×5+5.25＝1.75．故答案为：1.75．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）＝4，阴影部分的面积为＝（4x﹣）＝，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．15．（5分）在安排语文、数学、英语、物理、化学、生物6个学科的6堂考试时，若语文、数学两个学科均安排在生物学科之前，则不同的安排方法共有240种．【解答】解：根据题意，分4步进行分析：①、先将语文、数学、生物排好，按要求语文、数学均安排在生物之前，有A22＝2种情况；排好后有4个空位，②、在4个空位中任选1个，安排英语，有4种情况，排好后有5个空位；③、在5个空位中任选1个，安排物理，有5种情况，排好后有6个空位；④、在6个空位中任选1个，安排化学，有6种情况，则不同的安排方法有2×4×5×6＝240种；故答案为：240．16．（5分）有下列命题：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2则复数z所对应点Z的轨迹是一个椭圆；②f′（x0）＝＝；③将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有53种；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是4和3；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值为9其中正确的有：②④⑤．【解答】解：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，表示点Z与点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离和为2，由于2＝1﹣（﹣1），则复数z所对应点Z的轨迹是线段AB，故①错；②由导数的极限定义可得f′（x0）＝＝，故②对；③将5封信投入3个邮筒，由于每封信都有3种方法，不同的投法共有35种，故③错；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3×2﹣2＝4，方差为9×＝3，故④对；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，由f′（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，可得12﹣2a﹣2b＝0，即有a+b＝6，则ab≤（）2＝9，当且仅当a＝b＝3取得最大值为9，故⑤对．故答案为：②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）解方程：；（2）复数z满足．【解答】解：（1）∵，∴3x（x﹣1）（x﹣2）＝2（x+1）x+12×，∴3x2﹣17x+10＝0，解得x＝或x＝5，∴x≥3，且x∈N，∴x＝5．（2）令z＝a+bi，∵复数z满足，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴，解得a＝，b＝2，∴z＝．18．（12分）2013年4月初眉山市“体彩杯”中小学生田径运动会圆满落幕，市文体局举行表彰大会．某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人参加表彰会，下列情形各有多少种选派方法（结果用数字作答）．（1）男3名，女2名（2）队长至少有1人参加（3）至少1名女运动员（4）既要有队长，又要有女运动员．【解答】解：（1）从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C63C42＝120 （种）．（2）从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有C21C84+C22C83＝2×70+56＝196（种）．（3）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C105（种），没有女运动员的选法有C65（种），故其中至少有1名女运动员参加的选法有C105﹣C65＝2462 （种）．（4）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C105（种），没有队长的选法有C85（种），有男队长但没有女运动员的选法有C54（种），故既要有队长又要有女运动员的选法有C105﹣C85﹣C54＝191（种）．19．（12分）已知函数（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝0时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0，又∵f（）＝2ln+2＝2﹣2ln2，∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（2）f′（x）＝﹣+2a＝，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a＝﹣2时，f′（x）≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．20．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．…（4分）（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．…（6分）设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，…（7分）有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．…（8分）所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝＝．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．…（10分）（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．…（11分）所以P（F）＝．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是．…（13分）21．（12分）已知函数与g（x）＝xlnx．（1）若f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为﹣1求f（x）的解析式；（2）当a＝1，c＝2时，若函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝ax2+bx+c．f（x）的减区间是（1，3），∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，3），又f'（x）的最小值为﹣1，则，解得．∴f（x）＝；（2）当a＝1，c＝2时，f（x）＝，f′（x）＝x2+bx+2，又g（x）＝xlnx，∴ϕ（x）＝f'（x）+g（x）＝x2+bx+2+xlnx，函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，即x2+bx+2+xlnx＝0在（0，+∞）上有根．∴在（0，+∞）上有根．令h（x）＝（x＞0），h′（x）＝＝．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）的极大值也是最大值为h（1）＝﹣3．又当x→+∞时，h（x）→﹣∞．∴b≤﹣3，则实数b的最大值为﹣3．22．（12分）已知函数，m＜0．（I）当m＝﹣1时，求函数的单调区间；（II）已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；（III）证明：．【解答】解：（Ⅰ）当m＝﹣1时，f（x）＝，∴y＝．∵，∴x，∴此函数的定义域为{x|}．∵y′＝＝．令y′＝0，得或x＝1．又，当，或x＞1时，y′＞0；当时，y′＜0．∴函数y＝f（x）﹣在区间或（1，+∞）上单调递增；在区间上单调递减．．（Ⅱ）∵已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，∴上述问题等价于已知m，当时，使f（x）max＞e+1成立，下面求当时，函数求（x）的最大值．∵，∴．∵＝，∴令f′（x）＝0解得x1＝0，．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减．故函数f（x）在x＝0时取得最大值，且f（0）＝﹣2m，∴﹣2m＞e+1，即2m+e+1＜0．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当m＝﹣1时，函数y＝f（x）﹣在区间上单调递减，∴函数y＝f（x）﹣在（0，1]上为减函数．又函数y＝f（x）﹣在x＝0处连续，∴f（x）﹣＜f（0）．即，亦即＜0．∴．∴当x∈（0，1]时，有．当n∈N*时，，∴，即．∴+…+＝，故结论成立．。

四川省眉山市万胜中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是▲；参考答案：略2. 如果直线y = k x – 1和椭圆+= 1仅有一个交点，则k和a的取值范围分别是（）（A）( –，) 和 ( 0，1 ] （B）(–，) 和 ( 0，1 )（C）[–，] 和 [ 0，1 ] （D）[ –，] 和 ( 0，1 )参考答案：A3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．②③Ｃ．①④Ｄ．②④参考答案：D4. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义5. 为虚数单位，若，则的值为（）A． B． C．D．参考答案：C6. 某学校高二年级共有编号为1班，2班，3班，a，10班等10个班，每个班均有50个学生，现在需要用系统抽样的方法从每个班中抽取1人，得到一个容量为10的样本．首先，在给全体学生编号时，规定从1班到10班，各个学生的编号从小到大，即按1班从001到050，2班从051到100，3班从101到150，p，以此类推，一直到10班的50个学生编号为451到500．若用简单随机抽样的方法从1班抽到的编号为6号，则在6班中应抽取学生的编号为（）A．12 B．56 C．256 D．306参考答案：C【考点】简单随机抽样．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从500名学生中抽出10名学生，组距是50，∵从1班抽到的编号为6号，∴在6班中应抽取学生的编号为6+5×50=256，故选C．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念7. 已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）．若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（）A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3参考答案：C【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】，分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，由此猜想a n=，并用用数学归纳法证明．由a n=．知b n+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，再由b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解：∵，∴a2==，a3==，a4==，由此猜想a n=．用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即，则当n=k=1时，a k+1===，成立．∴a n=．∴b n+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，∴b2=（1﹣λ）?2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，故选C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．8. 已知双曲线中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率.其中与参数无关的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④参考答案：D略9. 若，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案。

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考试卷（理科数学）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．42．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件B．“a=2”是“函数f（x）=logaC．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．57．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π8．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则的常数项为（）A．240 B．﹣240 C．60 D．1610．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（﹣，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（）A．2π2B．π2C．2 D．以上答案均不正确11．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的可导函数，并满足以下条件：①g（x）≠0②f（x）=2a x g（x）（a＞0，a≠1）③f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）若+=5，则a= ．15．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．16．艾萨克•牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设Sn 是数列的前n项和，已知a1=3an+1=2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，其中a为实数．（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；（3）设ak ，bk（k=1，2…，n）均为正数，且a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：a1a2…an≤1．选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．【解答】解：∵集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}={0，1，2}，∴集合A∩B={0，2}，∴集合A∩B的子集个数为n=22=4．故选：D．2．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件B．“a=2”是“函数f（x）=logaC．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【考点】特称命题；全称命题．【分析】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=loga x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选D．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．5．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．6．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，∴．故选：C．7．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∴xy•3x=6，∴y=，∴AB+AD+AA1=4x+≥3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为=，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积=14π，故选C．8．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF=31∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．9．已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则的常数项为（）A．240 B．﹣240 C．60 D．16【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．∴=．由=．令6﹣，解得r=4．∴的常数项为．故选：A．10．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（﹣，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（）A．2π2B．π2C．2 D．以上答案均不正确【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，利用周期性求得ω，可得C、B 的坐标，再根据线段EF关于点B对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值．【解答】解：根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象可得•=﹣（﹣），∴ω=2．∵2•（﹣）+φ=π，∴φ=，函数y=2sin（2x+），可得C（，0），故AC的中点B（，0）．由题意可得线段EF关于点B对称，则（﹣）•（ω）=（+）•（ω）=2•2=4|AB|•|AC|=4••T=2T2=2•=2π2，故选：A．11．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，，结合图象可知，函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，故选C．12．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，得到f（x）=t+log2016x，结合f（x）是增函数判断a，b，c的大小即可．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数，由题意得∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，则f（x）=t+log2016x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5∴a＞b＞c，故选：D．二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，求出圆柱体积加三棱锥体积，可得该几何体的体积．【解答】解：已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的半径r=2，高为2，其体积为：．三棱锥底面S=×2×2=2，高为2，其体积为：∴该几何体的体积V=．故答案为．14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的可导函数，并满足以下条件：①g（x）≠0②f（x）=2a x g（x）（a＞0，a≠1）③f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）若+=5，则a= 2 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设h（x）=，分析可得h（x）==2a x，对其求导分析可得h′（x）=＞0，可得h（x）=2a x为增函数，由+=5可得2a+=5，计算可得a的值，结合a的范围取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，设h（x）=，由f（x）=2a x g（x）可得h（x）==2a x，则其导数h′（x）=，又由f（x）g′（x）＜f′（x）g（x），则h′（x）=＞0，即h（x）=2a x为增函数，故a＞1，若+=5，即2a+=5，解可得a=2或，又由a＞1，则a=2；故答案为：2．15．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围（2，4] ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得： ==，解出a，b代入a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，可得cosC==，C∈（0，π），∴C=．由正弦定理可得： ==，∴a=sinA，b=sinB，B=﹣A．则a+b=sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=4sin，A∈，∴∈，∴sin∈，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．16．艾萨克•牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an= 2n．【考点】数列递推式．【分析】由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求导后代入，整理可得，两边取对数，可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，∴，解得：．∴f（x）=ax2﹣3ax+2a．则f′（x）=2ax﹣3a．则==，∴，则是以2为公比的等比数列，∵，且a1=2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故答案为：2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设Sn 是数列的前n项和，已知a1=3an+1=2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列是等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和，求解即可．【解答】解：（1）当n≥2时，由an+1=2Sn+3，得an=2Sn﹣1+3，两式相减，得an+1﹣an=2sn﹣2sn﹣1=2an，∴an+1=3an，，当n=1时，a1=3，a2=2S1+3=9，则．∴数列{an}是以3为首项，3 为公比的等比数列，∴an=3n．（2）由（1）得bn =（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n．∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，3T=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣1）3n+1，n=1×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）3n+1，错位相减得：﹣2Tn=﹣6﹣（2n﹣2）3n+1∴．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，从而求出该样本中空气质量优良的频率，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，），由此能求出结果．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为天．（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，），，，∴ξ的分布列为：E（ξ）==1.8．19．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）证明：∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；（2）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…∴EH=EP=．∴H为EB的中点．…（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=．…20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a 的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x，k（x﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x≥1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=，整理得：，即8k2≥3．≤∴或．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，其中a为实数．（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；（3）设ak ，bk（k=1，2…，n）均为正数，且a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：a1a2…an≤1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f'（x）=e x﹣1，由f'（x）=0得x=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；（2）先求出f'（x）=e x﹣a（0＜x≤2），再讨论①当a≤1时，②当a≥e2时，③当1＜a＜e2时的情况，从而求出a的范围；（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e x＞x+1，得bk lnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得ln＜ak bk﹣bk≤0．从而问题得证．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣1，由f'（x）=0得x=0当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内递增；当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）内递减；故函数f（x）在x=0处取得最小值f（1）=0．（2）f'（x）=e x﹣a（0＜x≤2）①当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]内递增；f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；②当a≥e2时，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]内递减；f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；③当1＜a＜e2时，由f'（x）=0，得x=lna，当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增；又f（0）=0，f（2）=e2﹣2a﹣1由f（2）=e2﹣2a﹣1≥0得1＜a≤，故a的取值范围为（1，]（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e x＞x+1，即ln（x+1）＜x．∵ak ，bk＞0，从而有lnak＜ak﹣1，得bk lnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得ln＜ak bk﹣bk≤0，ln（…）＜0，故a1a2…an≤1．选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将参数方程两式相加消去参数t得到直线l的普通方程，将极坐标方程展开两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴x+y=1．即直线l的普通方程为x+y﹣1=0．∵ρ=2cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣2y，即x2+y2﹣2x+2y=0．（2）将代入x2+y2﹣2x+2y=0得t2﹣t﹣1=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣1．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式组的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a+2b=1，结合基本不等式的性质判断即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥x，即为|2x﹣1|﹣|2x﹣2|﹣x≥0，∴或或，解得：x≤﹣1或x∈∅或x=1，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣1或x=1}；（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣1﹣2x+2|=1，当且仅当x≥1时取“=”，故k=1，假设存在符合条件的正数a，b，则a+2b=1，++=++=2（+）=8++≥8+2=16，当且仅当a=，b=时取“=”号，∴++的最小值是16，即+≥16﹣＞4﹣，∴不存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣同时成立．。