数学史著名公式定理在初中数学中的运用(Word版含答案解析)

勾股定理计算方法勾股定理的运用方法你真的懂勾股定理吗数是什么？毕达哥拉斯会告诉你，数是众神之母，万物之源——节选自《数学之旅· 闪耀人类的54个数学家》一般人看来，勾股定理只存在于特定的三角形或几何图形中。

但实际上，绝大多数人都小看了这条有2600年历史的公式，很多看似不可能的图形，只要涉及到了平方数，勾股定理就能插上一手！什么？你不信？今天，超模君就来讲一下勾股定理背后隐藏的大学问，不过在讲之前，超模君先带模友们重新认识一下“面积”这个词。

面积是怎么计算？何谓面积？当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小就叫做该物体的面积。

举个简单的例子：正方形的面积 = 边长 x 边长对此，相信模友们也能快速地列举出大量的图形面积公式，但你真的理解面积的性质吗？实际上，除了我们熟知的图形面积公式，还有一种鲜为人知的面积计算方法——通过计算任意线段的平方来得到任意图形的面积。

先不要质疑，继续往下看。

举个例子：正方形的面积为边长a的平方，平方项即边长a（边为5，那么面积就是25）；圆的面积为πr²，平方项为半径r（半径是5，那么面积就是25π）；接下来，超模君要做一个大胆的假设：如果把半径 r 当做边长a的“替代品”，那么圆的面积也可看成某条线段的平方，但由于线段选取和图形的不同，在此过程中会产生一个“面积系数π”。

也就是说，任意图形的面积公式将会变成这个样子：面积＝系数×(线段)²然后我们再来看看，正方形和圆形的面积是怎么算的：如果用周长“p”作为线段，则面积为 p² /16，面积系数为1/16；如果用对角线“d”作为线段，则面积为 d²/2，面积系数为1/2 。

也就是说，我们可以通过正方形上任意一条线段计算出正方形的面积。

因为在被选取的任意一条线段总可以通过一定的关系（比如说正方形的周长，正好是边长的四倍）与通常意义上计算面积的线段相联系起来。

初一、初二数学常用定理及公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

初一初二初三数学定律定理与习题讲解一、初一数学定律定理1. 乘法交换律：对于任意的实数a和b，a乘以b等于b乘以a。

2. 加法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a加上b)再加上c等于a加上(b再加上c)。

3. 减法法则：对于任意的实数a，b和c，a减去(b再减去c)等于a加上c减去b。

4. 乘法分配律：对于任意的实数a、b和c，a乘以(b加上c)等于a乘以b再加上a乘以c。

5. 整除定理：对于任意的正整数a和b，如果a能够整除b，则存在一个整数c，使得b等于a乘以c。

二、初二数学定律定理1. 次序交换律：对于任意的实数a、b和c，如果a小于b，那么a加上c就小于b加上c；如果a大于b，那么a减去c就大于b减去c。

2. 倍数性质：对于任意的整数a和正整数n，如果a能够被n整除，则a是n的倍数。

3. 相反数性质：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a加上b等于0。

4. 反比例性质：对于任意的实数a和b，如果a乘以b等于1，则a 和b互为倒数。

5. 平方根性质：对于任意的非负实数a，存在一个非负实数b，使得b的平方等于a。

三、初三数学定律定理1. 同底数幂的乘法：对于任意的非零实数a和整数m、n，a的m次方乘以a的n次方等于a的(m加上n)次方。

2. 同底数幂的除法：对于任意的非零实数a和整数m、n，a的m次方除以a的n次方等于a的(m减去n)次方。

3. 对数的乘法：对于任意的正数a、b和正整数m，log(a的m乘以b)等于log(a的m)加上log(b)。

4. 对数的除法：对于任意的正数a、b和正整数m，log(a除以b的m)等于log(a)减去log(b的m)。

5. 二次根式性质：对于任意的实数a和非负实数b，如果a平方等于b，则a等于正根号b或负根号b。

以上是初一、初二和初三阶段数学学习中涉及的一些重要的数学定律和定理。

通过对这些定律和定理的学习，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。

初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)初中数学竞赛：XXX定理韦达定理是一元二次方程的根与系数的关系，最初由16世纪法国数学家XXX发现。

它包含了丰富的数学内容，并有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：求方程中参数的值、求代数式的值、讨论根的符号特征、构造一元二次方程辅助解题等。

XXX定理具有对称性，可以通过设而不求、整体代入的方法解题。

它与代数、几何中的许多知识结合，可以生成丰富多彩的数学问题，解这些问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

例题求解】例1】已知α、β是方程x^2-x-1=0的两个实数根，则代数式α^2+α(β^2-2)的值为。

思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为α、β的对称式，即α^2+β^2和αβ，然后代入已知条件求解。

例2】如果a、b都是质数，且a^2-13a+m=0，b^2-13b+m=0，那么ba/(ab+2)的值为(。

)。

思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x^2-13x+m=0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

例3】已知关于x的方程：x-(m-2)x^4=01)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2.思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。

例4】设x1、x2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x1^2+x2^2有最小值?并求出这个最小值。

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即判别式△≥0.转化是数学中重要的思想方法，但需注意转化前后问题的等价性。

已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x^2-2mx+(m-2)^2的两个根。

初中数学全部公式定理推论归纳总结数学是一门科学，它研究的是数量、结构、空间以及变化等一切与运算和度量有关的概念和规律。

在初中数学中，我们学习了许多重要的公式、定理、推论和归纳方法，在解决问题中起到重要的作用。

下面是对这些知识点的一个总结，希望能够帮助大家更好地理解初中数学。

一、代数公式：1. 二项式定理：(a + b)^n = Cn0 * a^n + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnk * a^(n-k) * b^k + ... + Cnn *b^n2.平方差公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^23.平方根公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2二、几何公式：1.勾股定理：直角三角形中，a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边的长度。

2.相似三角形定理：(1)AAA相似定理：两个三角形对应的角分别相等，则这两个三角形相似。

(2)SAS相似定理：两个三角形对应的两条边成比例并且夹角相等，则这两个三角形相似。

(3)SSS相似定理：两个三角形对应的三条边成比例，则这两个三角形相似。

3. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

4. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角的角度。

5.正弦定理：A=π*r^2，其中r为圆的半径。

6.弧长公式：L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角的弧度数。

7.扇形面积公式：S=1/2*r^2*θ，其中S为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的弧度数。

三、推论与定理：1.同位角定理：当两条直线被一条截线所交叉时，同位角相等。

2.内切圆定理：一个三角形的内切圆的半径等于三角形的周长与面积之比的一半。

3.外接圆定理：一个三角形的外接圆的半径等于三角形三边长度的乘积与面积的比的一半。

1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S -秦九韶公式．若5p =，4c =，则此三角形面积的最大值为（ ）AB ．4C ．D ．5【答案】C【解析】把5p =，4c =代入S =S =2a b c p ++=，所以210a b c p ++==，而4c =，所以6a b +=，∴6b a =-，把6b a =-代入S 可得S =，当3a =时，S 最大，=考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方2. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ）A. 46383548x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 46483538y x y x +=⎧⎨+=⎩C. 46485338x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】D【解析】设马每匹x 两，牛每头y 两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价三十八两列方程组即可．【详解】设马每匹x 两，牛每头y 两，由题意得46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．3．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．【答案】6x+14＝8x．【解析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．设有牧童x人，依题意得：6x+14＝8x．故答案为：6x+14＝8x．4．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°【答案】C【解析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP ＝PD ，且∠COP ＝22.5°，设正八边形的边长为a ，则a+2×a ＝4， 解得a ＝4（﹣1），在Rt △OCP 中，OC ＝＝， ∴d ＝2OC ＝， 由πd ≈8CD ， 则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故选：C ．5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）．A. 5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D.35251x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A 【解析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.6．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x 人，y辆车，则可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：设共有x人，y辆车，依题意得：．7.九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设共有y人，x辆车，依题意得：．8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为x尺，所列方程正确的是（）A. 50.455x =+B. 50.45x =C. 550.4x x =+D.550.40.4x -= 【答案】A【解析】如图，设AD 交BE 于K ．利用相似三角形的性质求解即可．如图，设AD 交BE 于K ．∵DK ∥BC ，∴△EKD ∽△EBC ，∴DK ED BC EC=， ∴0.4555x=+． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得AB ＝1米，AC ＝1.6米，AE ＝0.4米，那么CD 为 米．【答案】3．【解析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米．10．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．11．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【答案】见解析。

数学史知识点及答案正文：数学作为一门古老而重要的学科，在人类历史的发展中起着举足轻重的作用。

它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。

在数学的长时间发展过程中，不断涌现出一系列重要的数学理论和定理。

本文将介绍一些数学史的重要知识点和对应的答案。

1. 费马大定理费马大定理是数学史上的一座丰碑，由法国数学家费尔马在17世纪提出。

它阐述了当n大于2时，对于方程xⁿ + yⁿ = zⁿ没有整数解。

虽然费马在提出该定理后并未给出详细的证明，但这一问题引发了许多数学家的兴趣，并且一直成为数学界最具吸引力的问题之一。

2. 黄金分割黄金分割是一个神秘而美丽的数学概念，它常常出现在自然界和艺术中。

黄金分割比值约等于1.6180339887。

它可以通过求解 x^2 = x + 1 的正根得到。

黄金分割具有独特的美学吸引力，因此广泛应用于建筑设计、艺术创作和金融领域等。

3. 平方根的发现平方根的发现是古代数学中的一个重要成就。

最早的平方根发现可以追溯到巴比伦文化中的孟德尔逊法则。

而古希腊数学家毕达哥拉斯提出了勾股定理，揭示了直角三角形中平方根的关系。

此后，数学家们不断发展并完善了关于平方根的理论，最终形成了我们今天所熟知的平方根运算规则。

4. 导数和微积分导数和微积分是现代数学的重要分支，它们在17世纪由牛顿和莱布尼兹独立发展而成。

导数可以用于计算函数的变化率和曲线的斜率，微积分则是对连续变化的量进行研究的数学工具。

导数和微积分在物理学、工程学以及经济学等领域具有广泛的应用。

5. 贝尔特拉米数贝尔特拉米数是数学中的一个特殊数列，由意大利数学家贝尔特拉米引入。

该数列的前几个项为0、1、2、1、2、1、2……它的规律是每隔两个数重复一次1和2。

贝尔特拉米数被广泛研究，并应用于数论等领域。

6. 黎曼猜想黎曼猜想是数论中的一个重要问题，由德国数学家黎曼在19世纪提出。

该猜想关于素数的分布规律，即描述素数分布的函数具有与素数分布相关的零点。

初中数学常用公式定理1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n．⑥a－n＝1na，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(－)0＝1．7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念）8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式是x＝242b b aca-±-，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)．③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0．9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么： ①平均数为：12......nx x x xn；②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x 、2x ……, n x 的方差为2s ，则2s =222121.....nx xx xx xn标准差：方差的算术平方根.数据1x 、2x ……, n x 的标准差s ，则s =222121.....nx xx xx xn一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

1.解析几何产生的背景是什么?在那个时期哪些问题导致了人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣?解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了．2、笛卡尔研究解析几何的出发点是什么？他又是怎么得到解析几何思想的?答：笛卡儿对数学方法的深入研究，是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。

他分析了古代已有的几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于抽象，并且过多地依靠图形,而代数则使人受到某些规则和公式的约束.他提出“寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有他们的缺点的方法。

”当他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，便着手把代数用到几何上去。

在《几何学》一书中,他仿造韦达的方法,用代数来解决几何作图的问题,比希腊人有了明显进展。

（在变量的理解和应用上。

希腊人无法处理三个以上变量的乘积.而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量的乘积。

)笛卡儿之所以能创立解析几何,主要是他勇于探索，勤于思考.运用科学方法的必然结果。

3。

阐述费马的主要数学成就。

（1）对解析几何的贡献费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。

1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。

【关键字】精品孙子算经●“”《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。

卷下第31题，是后世“”题的始祖，后来传到，变成“鹤龟算”。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？趣题1：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内几多僧？●“荡杯问题”“今有妇人河上荡杯。

津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘有客。

’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。

不知客几何？”“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。

这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。

其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。

通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。

因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。

●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论）《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”这个问题也被称为“物不知数”问题。

西方数学史将其称为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。

与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。

此题相当于求大概方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。

孙子算经给出了算法：N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。

这里105是模数3、5、7的最小公倍数。

这里给出的是符合条件的最小正整数。

对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。