浙江省重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版缺答案

2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∪（∁R N）=（）A．{x|x＜1}B．{x|x≥﹣1}C．∅D．（x|﹣1≤x＜1} 2．（5分）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，则（）A．函数f（x2）是奇函数B．函数[f（x）]2是奇函数C．函数f（x）•x2是奇函数D．函数f（x）+x2是奇函数3．（5分）“sinα=”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面α，β垂直，则过α内一点有无数条直线与β垂直D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5．（5分）已知点P是函数f（x）=sin（ωx+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．6．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．57．（5分）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1B．ω≥1C．0＜ω≤1或ω=3D．0＜ω≤38．（5分）已知函数f（x）=m•9x﹣3x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）=f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m≥2C．0＜m＜2D．0＜m＜9．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可能为（）A．5个B．6个C．7个D．8个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）=．12．（4分）已知log2（x+y）=log2x+log2y，则=．13．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±3x，则该双曲线的离心率为．14．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V=．15．（4分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．16．（4分）函数的值域为．17．（4分）已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且b2=a2+c2﹣ac，b=1；（Ⅰ）若A﹣C=，求边长c的值．（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．19．（14分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．21．（15分）如图，设椭圆+=1的右焦点为F（1，0），A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为﹣1．过F作椭圆的弦PQ，直线AP，AQ分别交直线x﹣y﹣2=0于点M，N．（1）求椭圆的方程；（2）求当|MN|最小时，直线PQ的方程．22．（15分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=﹣1时，证明f（x）在区间（0，+∞）是增函数；（2）当a∈[3，4]，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m 的取值范围；（3）当a∈[1，2]，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]，求实数k的取值范围．2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∪（∁R N）=（）A．{x|x＜1}B．{x|x≥﹣1}C．∅D．（x|﹣1≤x＜1}【解答】解：因为函数的定义域为M={x|﹣1＜x＜1}；g（x）=ln（1+x）的定义域为N={x|x＞﹣1}，所以C R N={x|x≤﹣1}M∪（C R N）={x|﹣1＜x＜1}∪{x|x≤﹣1}={x|x＜1}．故选：A．2．（5分）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，则（）A．函数f（x2）是奇函数B．函数[f（x）]2是奇函数C．函数f（x）•x2是奇函数D．函数f（x）+x2是奇函数【解答】解：f（（﹣x）2）=f（x2），则函数f（x2）是偶函数，故A错误，[f（﹣x）]2=[﹣f（x）]2，则函数[f（x）]2是偶函数，故B错误，函数f（﹣x）•（﹣x）2=﹣f（x）•x2，则函数f（x）•x2是奇函数，故C正确，f（﹣x）+（﹣x）2≠f（x）+x2，且f（﹣x）+（﹣x）2≠﹣f（x）﹣x2，则函数f （x）+x2是奇函数错误，故D错误，故选：C．3．（5分）“sinα=”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由可得1﹣2sin2α=，即sin2α=，∴sinα=±，故是成立的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面α，β垂直，则过α内一点有无数条直线与β垂直D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【解答】解：选项A：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个面相交，正确；反证法：假设a∥α或a⊂α内，则由α∥β可知，a∥β或a⊂β，与a∩β=A相矛盾，故假设不成立；选项B：平行于同一平面的两条直线不一定平行，正确；例如正方体中的A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，但它们相交；选项C：平面α，β垂直，则过α内一点有一条直线与β垂直，故C错误；选项D：如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面，正确；是线面垂直判定定理的逆否命题；故选：C．5．（5分）已知点P是函数f（x）=sin（ωx+）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴距离的最小值为，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．【解答】解：已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，∴由正弦函数的图象和性质可知：=∴解得：T=π，故选：B．6．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选：D．7．（5分）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1B．ω≥1C．0＜ω≤1或ω=3D．0＜ω≤3【解答】解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=m•9x﹣3x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）=f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m≥2C．0＜m＜2D．0＜m＜【解答】解：由题意可得m•9x﹣3x=m•9﹣x﹣3﹣x有解，即m（9x﹣9﹣x）=（3x﹣3﹣x）有解．可得=3x+3﹣x≥2 ①，求得0＜m≤．再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜，故选：D．9．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S+S△AFO=••y1+••|y2△BFO=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可能为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【解答】解：因为f（x）=1时，x=1或3或或﹣4，则当a=1时，x+﹣2=1或3或或﹣4，又因为，x+﹣2≥0或≤﹣4，所以当，x+﹣2=﹣4时只有一个x=﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根．当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，故有8个根；当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，故有6个根；综上：方程不可能有5个根，故选A．其图象如图所示：故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（9）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（），∴，解得．∴f（x）=，∴f（9）==，故答案为：．12．（4分）已知log2（x+y）=log2x+log2y，则=1．【解答】解：log2（x+y）=log2x+log2y即为log2（x+y）=log2（xy），即有x+y=xy，则=1，故答案为：1．13．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±3x，则该双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，=3∴双曲线的离心率e===．故答案为：．14．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V=．【解答】解：由题知斜高h′=，则h=，故V=Sh=•1•=．故答案为：15．（4分）已知cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵cos（θ+）=﹣，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=﹣cos（2θ+）=1﹣2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=﹣，sin（2θ﹣）=sin2θcos﹣cos2θsin=+=，故答案为：．16．（4分）函数的值域为[﹣4，3]．【解答】解：y=3sin x+4cos x，可得y′=3cos x﹣4sin x，，可得：y′＜0，函数是减函数，∵，∴x=时，函数取得最大值：3sin+4cos=3，x=π时，函数取得最小值3sinπ+4cosπ=﹣4，∴y∈[﹣4，3]．故答案为：[﹣4，3]．17．（4分）已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是．【解答】解：由得=2a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且b2=a2+c2﹣ac，b=1；（Ⅰ）若A﹣C=，求边长c的值．（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由b2=a2+c2﹣ac得，a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理得cos B==，因为0＜B＜π，所以B=，则A+C=，又A﹣C=，解得A=、C=，由得，c===，（2）∵a=2c，∴b2=a2+c2﹣ac=3c2，则，∴a2=b2+c2，则三角形为直角三角形，则A=，由b=1得，c=，∴△ABC的面积S==．19．（14分）已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）∵点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，∴，∴cos2α﹣sin2α=1∴cos2α﹣1=sin2α，∴﹣2sin2α=2sinαcosα，∴sinα=0，或tanα=﹣1．∵∴α=0．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）∴====∵，∴．∴，∴．即函数h（x）的值域为．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又P A不包含于平面BDE，P A∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．21．（15分）如图，设椭圆+=1的右焦点为F（1，0），A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为﹣1．过F作椭圆的弦PQ，直线AP，AQ分别交直线x﹣y﹣2=0于点M，N．（1）求椭圆的方程；（2）求当|MN|最小时，直线PQ的方程．【解答】解：（1）∵椭圆+=1的右焦点为F（1，0），A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为﹣1．∴由题意知，c=1，a﹣c=﹣1，解得a=，b=1，∴椭圆方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ：x﹣my﹣1=0，由．消去x，得（m2+2）y2+2my﹣1=0，∴，，设点M，N的坐标分别为（x M，y M），（x N，y N）．因为直线AP的方程为y﹣1=x，由，得x M=，同理，x N=，∴|MN|==12•，设m﹣7=t，则|MN|=12•，当，即m=﹣时，|MN|取最小值．∴当|MN|取最小值时PQ的方程为y=﹣7x+7．22．（15分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=﹣1时，证明f（x）在区间（0，+∞）是增函数；（2）当a∈[3，4]，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m 的取值范围；（3）当a∈[1，2]，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x﹣﹣4，设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=（m﹣﹣4）﹣（n﹣﹣4）=（m﹣n）﹣（﹣）=（m﹣n）（1+），由0＜m＜n，可得m﹣n＜0，mn＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．则有f（x）在区间（0，+∞）是增函数；（2）∵a∈[3，4]，f（x）=x+﹣4的导数为f′（x）=1﹣，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（1）当x∈[2，2]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（2）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．。

镇海中学2014学年第二学期高二数学（理）期中试卷第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.1．已知集合2{|20}A x x x =->，{|33}B x x =-<<，则（ ）A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2．“0x <”是“ln(1)0x +<”的 ( )条件A ．充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3．与函数y x =有相同图象的一个函数是（ ）A ．32x y x= B. log a x y a =C. yD. log x a y a = 4．设(2,)P y 为角α的终边上一点，且cos α=，则tan α=（ ） A.1 B.1- C.2 D.2-5．函数3,(,1]33,(1,)x x y x x⎧∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的值域为 ( ) A.(0,3) B.(0,3] C.(0,)+∞ D.[0,)+∞6．已知锐角α的终边上一点(sin 40,1cos 40)P ︒︒+，则α等于（ ）A.10︒B.20︒C.70︒D.80︒7.已知函数()cos f x x =，若()f x m =在区间()0,3π上恰有三个不同的实根，且 三个实根从小到大依次成等比数列，则这三个实根之和为 ( ) A. 92π B. 134π C. 73π D. 143π 8．已知平面内两个非零向量,a b 互相垂直，若向量c 满足：2ac b c a b -=-=-=,则b c⋅的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 D ．3第II 卷（非选择题）二、填空题:本大题共7小题，前3题每空2分，后4题每空3分，共24分。

将正确答案填在答题卷的横线上.9．已知向量(2,)a m =-，(1,1)b m =-，若a b ⊥，则m = ；若(32)(2)a b a b -+，则m =___________.10．已知函数()sin f x x x =，在[0,2]π内的零点个数为 _______；若[0,]x π∈，则它的值域为______________.11．若函数()f x 满足22()2102(1)3f x x x xf x ++=++，则(1)f = ；并写出一个满足条件的函数解析式()f x =________________.12．将函数sin y x =的图象先向左平移6π个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的单调递增区间为 ．13．已知关于x的函数()1f x a =-(1)a ≠，在x ∈(0,3]上是减函数，则a 的取值范围为___________.14．设函数()||f x x x bx c =++，给出四个命题：①当0c =时，有()()f x f x -=-成立；②当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根；③()y f x =图象关于点(0,)c 对称； ④方程()0f x =，至多有两个实数根. (第15题图)上述四个命题中所有正确的命题序号是 .15．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1AB EF ==,2CA CB ==,若2AB AE AC AF ⋅+⋅=,则EF 与BC 的夹角的余弦值是_____________。

2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知M＝{x|y＝x2﹣1}，N＝{y|y＝x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．1﹣3．（3分）“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+6＝0与直线4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 5．（3分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线l 的斜率是（）A．6B．C．D．﹣6．（3分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（3分）直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A、B两点，与抛物线y2＝8x 交于C、D两点，则|AB|+|CD|＝（）A．16B．14C．18D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（）①D1O∥平面A1BC1②D1O⊥平面MAC③BC1异面直线与AC所成的角等于60°④二面角M﹣AC﹣B等于60°．A．①②B．①②③C．②③D．②③④9．（3分）设定点M（3，）与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（2，2）D．（）10．（3分）设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M 点轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知椭圆过点，则离心率为．12．（4分）抛物线的焦点坐标为．13．（4分）双曲线的顶点到渐近线的距离为．14．（4分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是．15．（4分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为．16．（4分）下列四个命题：①函数的值域为（0，1]；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，则b2﹣8a＜0且a＞0；③函数y＝x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④函数和是相同的函数；其中正确命题为．17．（4分）已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝5，AB＝6，AA1＝8，A∈l，B1∈α，则OC1的最大值为．三．简答题：（本大题共42分．）18．（8分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p 且q”为真命题，求a的取值范围．19．（10分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log2[g（x）﹣f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若P A＝AB，求PB与平面P AC所成角的余弦值；（3）若P A＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．21．（12分）设P为椭圆+＝1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y＝x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知M＝{x|y＝x2﹣1}，N＝{y|y＝x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅【解答】解：∵M＝{x|y＝x2﹣1}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，∴M∩N＝{y|y≥﹣1}＝N故选：A．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．1﹣【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的几何体，正方体的体积V＝1×1×1＝1，圆锥的底面直径为1，故底面面积为＝，高为1，故体积为：××1＝，故组合体的体积V＝1﹣，故选：B．3．（3分）“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+6＝0与直线4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝﹣1时，直线分别为x﹣y+6＝0与4x+4y+9＝0，则两直线垂直；当直线a2x﹣y+6＝0与4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直时，则有4a2+（a﹣3）＝0，解得a＝﹣1或，故选：A．4．（3分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．5．（3分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线l 的斜率是（）A．6B．C．D．﹣【解答】解：圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故3a﹣12﹣6＝0，∴a＝6，∴k＝﹣，故选：C．6．（3分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．7．（3分）直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A、B两点，与抛物线y2＝8x 交于C、D两点，则|AB|+|CD|＝（）A．16B．14C．18D．【解答】解：由已知圆的方程为（x﹣2）2+y2＝1，抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），直线y＝x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|＝|AD|﹣2，直线代入抛物线方程，有x2﹣12x+4＝0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝12，则有|AD|＝（x1+x2）+4＝16，故|AB|+|CD|＝16﹣2＝14，故选：C．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（）①D1O∥平面A1BC1②D1O⊥平面MAC③BC1异面直线与AC所成的角等于60°④二面角M﹣AC﹣B等于60°．A．①②B．①②③C．②③D．②③④【解答】解：对于①，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O ∥平面A1BC1，故正确；对于②，连接C1D，∵O为底面ABCD的中心，即有AC⊥BD，易得AC⊥平面BDD1B1，即有AC⊥D1O，由tan∠D1OD•tan∠MOB＝•＝1，即有D1O⊥MO，可得D1O⊥平面MAC，②正确；对于③，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，∴∠A1C1B＝60°，故正确；对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，显然不等于60°，故不正确；故选：B．9．（3分）设定点M（3，）与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（2，2）D．（）【解答】解：∵（3，）在抛物线y2＝2x上且∴M（3，）在抛物线y2＝2x的外部∵抛物线y2＝2x的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣∴在抛物线y2＝2x上任取点P过p作PN⊥直线x＝则PN＝d2，∴根据抛物线的定义可得d2＝PF∴d1+d2＝PM+PF∵PM+PF≥MF∴当P，M，F三点共线时d1+d2取最小值此时MF所在的直线方程为y﹣＝（x﹣3）即4x﹣3y﹣2＝0令则即当点的坐标为（2，2）时d1+d2取最小值故选：C．10．（3分）设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M 点轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【解答】解：不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P，在△QPF2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|＝|QF2|，又|QF1|﹣|QF2|＝2a，∴|QF1|﹣|QP|＝2a即|PF1|＝2a，在△PF1F2中，MO是中位线，∴|MO|＝a，∴M点轨迹是圆的一部分故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知椭圆过点，则离心率为．【解答】解：将点（2，）代入椭圆方程，可得+＝1，解得a＝4，则椭圆+＝1的a＝4，b＝3，c＝，离心率e＝＝．故答案为：．12．（4分）抛物线的焦点坐标为．【解答】解：抛物线即为x2＝my，当m＞0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴，且为（0，）；当m＜0时，抛物线x2＝﹣（﹣m）y的焦点在y轴的正半轴，且为（0，﹣）即为（0，）．则焦点为（0，）．13．（4分）双曲线的顶点到渐近线的距离为．【解答】解：由已知得到双曲线的一个顶点为（0，2），一条渐近线方程为y ＝x，即x﹣y＝0，所以顶点到渐近线的距离为＝．故答案为：．14．（4分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）＝的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m＝0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤415．（4分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为3x﹣4y+5＝0或x ＝1．【解答】解：设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝，其方程为3x﹣4y+5＝0．又，当斜率不存在时，切线方程为x＝1．故答案为：3x﹣4y+5＝0或x＝1．16．（4分）下列四个命题：①函数的值域为（0，1]；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，则b2﹣8a＜0且a＞0；③函数y＝x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④函数和是相同的函数；其中正确命题为①．【解答】解：①f（x）＝，当x＝1时，f（x）max＝1，当x→∞时，f（x）→0，∴函数f（x）的值域是：（0，1]；故①正确；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，即f（x）和x轴无交点，则△＝b2﹣8a＜0，故②错误；③x≥0时，y＝x2﹣2x﹣3，对称轴x＝1，开口向上，∴递增区间是[1，+∞），x＜0时，y＝x2+2x﹣3，对称轴x＝﹣1，开口向上，∴递增区间是：[﹣1，0），故③错误；④函数的定义域是：{x|x≥1}，的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，故不是相同的函数，故④错误；故答案为：①．17．（4分）已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝5，AB＝6，AA1＝8，A∈l，B1∈α，则OC1的最大值为5+5．【解答】解：∵直线AO（即l）垂直于α，直线B1O⊂α，∴三角形AOB1为直角三角形，∴O点在以|AB1|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB1|的中点；又长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AD|＝5，|AB|＝6，|AA1|＝8，∴|AB1|＝10，，此时所求变为求球外一点至球面上一点的距离；显然当C1，P，O三点共线时|C1O|最大，∵在直角三角形C1B1P，线段|C1P|为斜边（点C1至球心P的距离），∴，∴|C1O|max＝|C1P|+|OP|＝．故答案为：．三．简答题：（本大题共42分．）18．（8分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p 且q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：若函数在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，即p：0＜a＜1．若y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，则判别式△＝（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或0＜a＜，即q：a＞或0＜a＜，若“￢p且q”为真命题，则￢p，q都为真命题，即p是假命题，q是真命题，则，解得a＞．19．（10分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log2[g（x）﹣f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（0）＝1⇒c＝1，f（1）＝4⇒a+b+c＝4（2）F（x）＝log2（g（x）﹣f（x））＝log2（﹣x2+（k﹣2）x）由F（x）在区间[1，2]上是增函数得h（x）＝﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上为增函数且恒正故，实数k的取值范围k≥6．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若P A＝AB，求PB与平面P AC所成角的余弦值；（3）若P A＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：BD⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）BD⊥P A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）P A∩AC＝A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴BD⊥面P AC（2）解：令BD∩AC＝O，连PO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BPO即为PB与面P AC所成角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）cos∠BPO＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（3）解：建系：以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设面PBC的法向量，面PDC的法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵二面角所成角为锐角∴平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）21．（12分）设P为椭圆+＝1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y＝x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可得2a＝PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又c＝ae＝＝，所以b＝＝＝，所以椭圆的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x c，y c），将直线l：y＝kx+m代入方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0 （*）由韦达定理可知x c＝＝，从而y c＝kx c+m＝，又线段AB的中点C的直线y＝x上，所以＝，解得k＝﹣1，则（*）变为3x2﹣4mx+2m2﹣4＝0，所以|AB|＝＝，则△OAB底边AB的高h＝，所以S＝，∵（6﹣m2）m2≤，∴S，即S得最大值为．。

2014年度第二学期期中测试卷高二数学(理)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =I UA{}1,2,3 B {}1,2,4C{}2,3,4D{}1,2,3,42.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x3.在△ABC 中，“B A sin sin >”是“b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A ．πB ．2πC ．3πD ．6π5.已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21D ．416.设a 、b 、g 为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若a g ⊥，b g ⊥，则//a b ；② 若m a ⊂，n a ⊂，//m b ，//n b ，则//a b ；（第4题）侧视俯视2③ 若//a b ，l a ⊂，则//l b ；④ 若l a b =I ，m b g =I ，n g a =I ，//l g ，则//m n ． 其中真命题的个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个7.设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-b y ax 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为A ．321B ．319C ．35D ．38.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,420,1)(x x x x f x，若函数])([a x f f y +=有四个零点，则实数a 的取值范围为A ．)2,2[-B ．)5,1[C ．)2,1[D ．)5,2[-二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）已知函数21log (),0()3,0x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则=)1(f _______，=-)64(f ___________， 若51cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θsin ___________,=θ2cos ___________11．若向量→a 与→b 满足2||,2||==→→b a ，→→→⊥+a b a )(．则向量→a 与→b 的夹角等于 ___________；=-→→||b a ___________12.数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则1S =___________，2015S =___________.（第7题）y13.在正四面体ABCD 中,M 是AB 中点,N 是CD 上的动点 记直线MN 与BD 所成的角为α，则αcos 的取值范围是__________14.设0,,>z y x ，满足822=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是_______． 15.形如(0,0)by a b x a=>>-的函数，因其图像类似于汉字 “囧”，故而生动地称之为“囧函数”，并把其与y 轴交点关于原点的对称点称为“囧点”。