山东省济宁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

第I卷（选择题，共36分）一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，第1-6题只有一项符合题目要求，第7-9题有多项符合题目要求。

全选对的得4分；选对但不全的得2分；有选错或不答的得0分）1. 交流发电机发电的示意图如图所示，线圈的AB边连在金属滑环上，CD边连在金属滑环L上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路相连。

线圈转动过程中，下列说法中正确的是（）A. 转到图甲位置时，通过线圈的磁通量变化率最大B. 转到图乙位置时，线圈中产生的感应电动势为零C. 转到图丙位置时，线圈中产生的感应电流最大→D. 转到图丁位置时，AB边感应电流方向为A B2. 根据玻尔理论，氢原子的电子由外层轨道跃迁到内层轨道时（）A. 放出光子，电子的动能减小B. 放出光子，电子的动能增大C. 吸收光子，电子的动能减小D. 吸收光子，电子的动能增大3. 下列说法中错误的是（）A. 光电效应实验揭示了光的粒子性B. 原子核经过一次α衰变后，核子数减少4C. 电子的衍射实验证实了物质波的假设是成立的D. 动能相等的质子和电子，它们的德布罗意波波长也相等4. 氢原子的能级图如图所示，一群氢原子处于n=4的能级状态。

关于这群氢原子，下列说法中正确的是（ ）A. 这群氢原子向低能级跃迁时最多能辐射出4种频率的光B. 由n=4能级向基态跃迁时辐射光的波长最短C. 处于n=4能级的氢原子电离至少需要12.75eV 的能量D. 从n=4能级跃迁到n=3能级释放光子的能量大于从n=3能级跃迁到n=2能级释放光子的能量5. 如图所示，理想变压器原、副线圈接有三个完全相同的灯泡，其额定电压均为U ，且三个灯泡均能正常发光。

下列说法正确中的是（ ）A. 原、副线圈匝数比为3：1B. 原、副线圈匝数比为1：3C. AB 端的输入电压为3UD. AB 端的输入电压为4U6. 如图所示，面积为20.08m 、匝数为10匝的矩形线圈，处在磁感应强度为2T π的匀强磁场中，通过电刷与理想变压器的原线圈相连。

济宁市第一中学2023—2024学年度第二学期质量检测（三）高二数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}21,,31,A x x k k B x x k k ==+∈==+∈Z Z ∣∣，则A B ∩=（ ）A.∅B.{}6,xx k k =∈Z ∣ C.{}61,xx k k =+∈Z ∣ D.{}62,x x k k =+∈Z ∣ 2.命题“1,1ln x x x ∀>−≥”的否定是（ ） A.1,1ln x x x ∀≤−< B.1,1ln x x x ∀>−< C.0001,1ln x x x ∃>−< D.0001,1ln x x x ∃≤−< 3.下列说法错误的是（ ）A.决定系数2R 越大，模型的拟合效果越好B.若变量x 和y 之间的样本相关系数为0.982r =−，则变量x 和y 之间的负相关程度很强C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好D.在经验回归方程30.8y x =−+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y 平均增加3个单位 4.已知随机变量()()2,,6,X N Y B p µσ∼∼，且()()()13,2P X E X E Y ≥==，则p =（ ） A.16 B.14 C.13 D.125.在()631(1)x x −+的展开式中，3x 的系数为（ ） A.20 B.25 C.30 D.35 6.“04a <<”是“函数()211f x ax ax =−+的定义域为R ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）A.72B.96C.108D.1448.已知函数()2e ,02,0x x x f x x x x <= −+≥ ，若关于x 的方程()()()2220f x t f x t −++=有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）A.1,e ∞ −−B.1,0e −C.1,1e− D.()e,2−二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.e e a b b a < B.11b a< C.11b b a a +<+ D.11a b a b−<− 10.已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，()()0,1P A P B <<，则（ ）A.()()||1P B A P B A += B.()()()||P B A P B A P A +=C.若,A B 互斥，则()|0P A B =D.若()()()1P AB P A P B =⋅− ，则,A B 独立11.已知函数()e xf x x =−，则下列说法正确的是（ ）A.()exf 在R 上是增函数B.1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC.若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D.若过点()1,M m 恰有2条与曲线()y f x =相切的直线，则1e 1m −<<−三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.有7把相同的椅子排成一排，要求3个人坐下且不相邻，共__________种坐法.13.已知正实数,x y 满足3xy x y −−=，则2x y +的最小值为__________. 14.关于x 的方程()eln e ln ex xt t x x +=+−有解，则实数t 的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{}260,{123}A xx x B x m x m =+−<=−<<+∣∣. （1）若A B A ∩=，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 16.（15分）已知函数()26e 3xf x x ax =−−.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为560x y −+=，求a ； （2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.17.（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：（1）求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量； （2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据： 了解 不了解 合计 男生 25 女生 20 合计（i ）根据已知条件，填写上述22×列联表；（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？ 参考公式：1.回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==−−==−−∑∑ 2.()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ−==+++++++. α0.050 0.010 0.001 x α3.8416.63510.82818.（17分）某省2023年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分：思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为,,,A B C D E ､共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%35%35%13%､､､和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.（1）其中一所学校某班生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望：（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y 近似服从正态分布()266.7,13.3N .现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当()P k ξ=取得最大值时k 的值.()k +∈N 附，若()2,N ηµσ∼，则()()0.68,220.95P P µσηµσµσηµσ−≤≤+≈−≤≤+≈.19.（17分）已知函数()()()11ln f x a x ax a x=−++−∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =−时，()()()12e x g x f x x x x =+−++，记函数()y g x =在1,14上的最大值为m ，证明：43m −<<−.济宁市第一中学2023—2024学年度第二学期质量检测（三）高二数学答案一､单项选择题1-4CCDD 5-8BBBB1.C 【详解】设x A B ∈∩，因为{}{}21,,31,A x x k k B x x k k ==+∈==+∈Z Z ∣∣，所以2131,,x k n k n =+=+∈Z ，故23k n =，故2,n s s =∈Z ，所以61,x s s =+∈Z ，所以{}61,A B xx k k ∩==+∈Z ∣.故选：C.2.C 【详解】由命题“1,1ln x x x ∀>−≥”则该命题的否定为：0001,1ln x x x ∃>−<.3.D 【详解】用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A 正确；若变量x 和y 之间的样本相关系数为0.982,r r =−接近-1，则变量x 和y 之间的负相关很强，故B 正确；比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C 正确；在经验回归方程30.8y x =−+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y 平均减小3个单位，故D 错误.4.D 【详解】由于X 服从正态分布()2,N µσ，且()132P X ≥=，故其均值()3E X µ==.而Y 服从二项分布()6,B p ，故()6E Y p =，再由()()E X E Y =，就有36p =，得12p =. 5.B 【解析】因为6(1)x +的通项为616C r rr T x−+=，当()31x −内取3x 时，624r r −=⇒=，则42256C 15T xx ==，此时系数为31545×=；当()31x −内取-1时，633r r −=⇒=， 则33246C 20T xx ==，此时系数为12020=−′−；所以系数为452025−=.故选：B. 6.B 【解析】因为函数()211f x ax ax =−+的定义域为R ，所以210ax ax −+≠对任意x ∈R 恒成立. i .0a =时，10≠对任意x ∈R 恒成立；ii .0a ≠时，只需2Δ40a a =−<，解得：04a <<；所以04a ≤<.记集合()[)0,4,0,4A B ==.因为AB ，所以“04a <<”是“函数()211f x ax ax =−+的定义域为R ”的充分不必要条件.7.B 【详解】设四种颜料为1,2,3,4，①先涂区域B ，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1； ②再涂区域C ，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2； ③再涂区域E ，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A 填涂颜色2，则区域D ､F 填涂颜色1，4，或4，3，若区域A 填涂颜色4，则区域D ､F 填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法， 综合①②③④，由分步计数原理可得，共有432496×××=种不同的填涂法.故选：B.8.B 【详解】因为当0x <时，()e x f x x =，所以()()1e x f x x =+′，所以当(),1x ∞∈−−时，()()0,f x f x ′<单调递减；当()1,0x ∈−时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以()()11ef x f ≥−=−，且()0f x <； 又因为当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =−+=−−+， 所以()f x 在()0,1x ∈时单调递增，在()1,x ∞∈+时单调递减，且.()()11f x f ≤=， 所以作出函数()2e ,0,2,0x x x f x x x x <= −+≥ 的大致图象如图：由()()()2220fx t f x t −++=得()()20f x f x t −−=，所以()2f x =或()f x t =，则()2f x =无解，所以只有方程()f x t =有3个不同的实数根，数形结合可知10et −<<.二､多项选择题9.BD 10.ACD 11.ABD 9.BD 解：110,0a b b a<<∴<< ，且110a b b a <+<+，故选项B 和D 正确；()()110,1111b b ab b ab a b a b b a a a a a a a a ++−−−+−==>∴>++++ ，故选项C 错误； 构造函数()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x−=′， 当01x <<时，()()0,f x f x ′<在()0,∞+上单调递减；当1x >时，()()0,f x f x φ>在()0,∞+上单调递增；而,a b 与1的大小未知，故选项A 不确定，错误；10.ACD 【解析】因为()()()()()()()()||1,P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A +=+==A 正确，B 不正确； 若,A B 互斥，则()0P AB =，所以()()()|0,P AB PA B C P B ==正确； 因为()()1P B P B =−，所以()()()P AB P A P B =⋅，即,A B 独立，D 正确.故选：ACD 11.ABD 【详解】对A ：因为()e xf x x =−，所以()e 1xf x ′=−，由()e 100xf x x ′−>⇒>.所以()e xf x x =−在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增.设e x t =，则0t >且e x t =在R 上单调递增.由“同增异减”可知()exf R 上单调递增.故A 正确；对B ：因为a 为正实数，1x >，所以20,ln 0ax x >>，结合函数()f x 的单调性，可知：()()22ln ln (1)f ax f x ax x x ≥⇔≥>.所以2ln x a x ≥.设()2ln (1)xh x x x =>，则()()221ln x h x x−=′，由 ()()221ln 0x h x x−=>′可得：e x <.所以()h x 在()1,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以()max 2()e e h x h ==.所以正实数a 的最小值为2e，故B 正确； 对C ：如图：因为()f x t =有两个零点12,x x ，结合函数()f x 的单调性，不妨设120,0x x <>.则10x −>.设()()(),(0)g x f x f x x =−−>，那么()00g =且()e 1e 1e e 20x x x x g x −−=−+−=+−>′在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()0f x f x −−>在()0,∞+上恒成立，所()()(0)f x f x x >−>.由()()()122f x f x f x =>−，且()f x 在(),0∞−上单调递减，所以12120x x x x <−⇒+<.故C 错误；对D ：设切点为()000,e xx x −，切线斜率为0e 1x −，所以函数在0x x =处的切线方程为：()()0000e e1x x y x x x −+=−−，因为切线过点()1,m ，所以()()()000000e e11e 21x x x m x x m x −+=−−⇒=−−设()()e 21x x x ϕ=−−，所以()()e 1x x x ϕ=−′，由()()e 101xx x x ϕ=−>⇒<′，所以()x ϕ在(),1∞−上递增，在()1,∞+上递减，且()1e 1ϕ=−，当0x <时()1x ϕ>−，且x ∞→−时，()1x ϕ→−.因为()00e 21xm x =−−有两解，则1e 1m −<<−.故D正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.6013.3 【详解】正实数,x y 满足3xy x y −−=，故()13x y x −=+，所以31xy x +=−， 则301xx +>−，又0x >，解得1x >，故()344222121333111x x y x x x x x x ++=+=++=−++≥=+−−−，当且仅当()4211x x −=−，即1x =2x y +的最小值为3+.故答案为：314.10,e【详解】由()eln e ln ex xt t x x +=+−，得()ln ln eeln e e ln tx x t x x −+=+−令()e e x f x x =+则()()ln ln f t f x x =−，易知()f x 单调递增，所以ln ln t x x =−，令()()ln ,0,g x x x x ∞=−∈+，则()1xg x x′−=，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x ′>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x ′<单调递减，所以()ln 11t g ≤=−，得10e t <≤.实数t 的取值范围为10,e .故答案为：10,e四､解答题15.（13分）（1）由题意知{32}A xx −<<∣， 因为A B A ∩=，所以A B ⊆， 则13232m m −≤−+≥ ，解得4m ≥，则实数m 的取值范围是[)4,∞+；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 当B =∅时，123m m −≥+解得23m ≤−； 当B ≠∅时，13232123m m m m −≥−+≤ −<+（等号不能同时取得），解得2132m −<≤−，综上，1,2m ∞ ∈−−.16.（15分）解：（1）因为()26e 3xf x x ax =−−，所以()6e 6xf x x a =−−′，因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为560x y −+=， 所以()05f ′=，即65a −=，解得1a =.（2）因为()6e 6xf x x a =−−′，又函数()f x 在R 上单调递增，所以()6e 60xf x x a =−−≥′恒成立，即6e 6x a x ≤−在R 上恒成立，令()6e 6,xg x x x =−∈R ，则()()6e 66e 1xxg x =−=−′，所以当0x >时()0g x ′>， 当0x <时()0g x ′<，所以()g x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()g x 在0x =处取得极小值即最小值，即()min ()06g x g ==，所以6a ≤，即实数a 的取值范围为(],6∞−.17.（15分） 【详解】（1）年份x 的平均数2020x =，销量y 的平均数5y =，所以()52222121(2)(1)01210i i x x =−=−+−+++=∑，()()51iii x x y y =−−∑()()()()()()201820202520192020 3.5520202020 2.55=−×−+−×−+−×− ()()()()2021202085202220209518.5+−×−+−×−=，所以()()()5152118.5ˆ 1.8510iii i i x x y y b x x ==−−===−∑∑， 所以ˆˆ5 1.852*******a y bx =−=−×=−，所以氢能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性回归方程为ˆ 1.853732y x −，令2024x =，得ˆ 1.852*********.4y=×−=. 所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台. （2）（i ）根据男生和女生各6022×列联表为： 了解 不了解 合计 男生 35 25 60 女生 20 40 60 合计5565120（ii ）零假设0H ：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关， 根据22×列联表中的数据可得，22120(35402520)7.55 6.63560605565χ××−×≈>×××，依据0.01α=的独立性检验，可以推断0H 不成立， 即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.18.（17分）解：（1）据题意可知：X 服从参数为10,4,3的超几何分布，因此()()346310C C 0,1,2,3C k k P X k k −⋅===， 则()()312646331010C C C 2016010,1C 1206C 1202P X P X ========， ()()213464331010C C C 363412,3C 12010C 12030P X P X ========， 所以X 的分布列为X 的数学期望为()1131601236210305E X =×+×+×+×=. （2）据题意可知()()10.68800.162P Y P Y µσ−≥=≥+==， 那么()99,0.16B ξ∼有()9999C 0.160.84k k k P k ξ−=⋅⋅，要使()P K ξ=取最大值，只需991198999999111009999C 0.160.84C 0.160.840.160.84C 0.160.84k k k k k kk k k k k k −++−−−−− ≥ ≥ ， 得：0.840.162121396499115160.160.84400421100k k k k k k k k k ≥ +≥− −+⇒⇒≤≤ −≥ ≥ − 且N k +∈， 故：当15k =或16时，()P k ξ=取得最大值.19.（17分）解：（1）()()11ln f x a x ax x =−++−的定义域为()0,∞+，又()()()221111x ax a f x a x x x−−+′=−++=， ①当0a ≤时，10ax −<，若()0,1x ∈，则()0f x ′>，若()1,x ∞∈+，则()0f x ′<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减； ②当0a >时，若11a >，即01a <<时，同理可得，()f x 在()10,1,,a ∞ + 上单调递增，在11,a 上单调递减； 若11a=，即1a =时，()()0,f x f x ′≥在()0,∞+上单调递增； 若101a <<，即1a >时，同理可得，()f x 在()10,,1,a ∞ + 上单调递增，在1,1a 上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+； 当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()10,1,,a ∞ + ；单调递减区间为1,1a ； 当1a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当1a >时，()f x 的单调递增区间为()10,,1,a ∞ + ；单调递减区间为1,1a； （2）证明：当2a =−时，()()()()()1112e ln 22e ln 2e x x x g x f x x x x x x x x x x x x x =+−++=−−+−++=−+−， 则()()(111e 11e x x g x x x x x =−−+=−′， 当114x <<时，10x −<， 令()1e x h x x =−，则()21e 0x h x x=+>′， 所以()h x 在1,14上单调递增. 因为()121e 20,1e 102h h =−<=−>， 所以存在01,12x ∈，使得()00h x =，即001e x x =，即00ln x x =−， 故当01,4x x ∈ 时，()()0,0h x g x <>′；当()0,1x x ∈时，()()0,0h x g x ><′；即()g x 在01,4x上单调递增，在()0,1x 上单调递减. 所以()()()()0max 0000000000000112()2e ln 22212x m g x g x x x x x x x x x x x x x ===−−+=−−−=−−=−+. 令()2112,,12G x x x x =−−∈ ，则()()22221220x G x x x −=−=>′， 所以()G x 在1,12 上单调递增，所以()()()14,132G x G G x G>=−<=− ，所以43m −<<−.。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

5
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6