2012年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2012•安徽）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，B=，知，6．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）向左平移向右平移个单位）个单8．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（），表示的可行域如图，，，、）9．（5分）（2012•安徽）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范的距离为10．（5分）（2012•安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白B=；二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2012•安徽）设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||=．===，知，由（+）⊥）|==，+）⊥，），即．故答案为：12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于56．=5613．（5分）（2012•安徽）若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．关于直线关于直线14．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=．=⇔=故答案为：．15．（5分）（2012•安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则②④⑤（写出所有正确结论编号）①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．，，易知能构成三角形．，，，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．16．（12分）（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．A=，可求B=cosA=A=A=B=．17．（12分）（2012•安徽）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．y==ax+x=，可得：，∴a++b=﹣=18．（13分）（2012•安徽）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3]内的概率；（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为19．（12分）（2012•安徽）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；（Ⅱ）如果AB=2，AE=，OE⊥EC1，求AA1的长．，求出AE=⇔=320．（13分）（2012•安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．40=|BA||F=40b=521．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n}．（Ⅰ）求数列{x n}．（Ⅱ）设{x n}的前n项和为S n，求sinS n．）﹣，再分类讨论，求，可得；，可得；．）﹣，=；=﹣。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数z满足( z－i)i＝2+i，则z＝（）A.－1－iB.1－IC.－1+3iD.1－2i【答案】B【解析】由题意可得，z－i＝＝1－2i，所以z＝1－i．2.设集合A＝{ x|－3≤2 x－1≤3}，集合B为函数y＝lg( x－1)的定义域，则A∩B＝（）A.(1,2)B.［1,2］C.［1,2)D.(1,2］【答案】D【解析】由－3≤2 x－1≤3得，－1≤x≤2；要使函数y＝lg( x－1)有意义，须x－1＞0，∴x＞1．∴集合A＝{ x|－1≤x≤2}，B＝{ x| x＞1}，∴A∩B＝{ x|1＜x≤2}．3.(log29)·(log34)＝（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)＝．4.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A.对任意实数x，都有x＞1B.不存在实数x，使x≤1C.对任意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤1【答案】C【解析】该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．5.公比为2的等比数列{ a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】由题意可得，a3·a11＝a72＝16，∴a7＝4．∴．6.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是（）A.3B.4C.5D.8【答案】B【解析】由程序框图依次可得，x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→输出y＝4．7.要得到函数y＝cos(2 x+1)的图象，只要将函数y＝cos2 x的图象（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】C【解析】∵y＝cos(2 x+1)＝cos［2( x+)］，∴只须将y＝cos2 x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2 x+1)的图象．8.若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是（）A.－3B.0C.D.3【答案】A【解析】作出可行域如图所示，令z=0，得l0：x－y=0，平移l0，当l0过点A(0,3)时满足z最小，此时z min=0－3=－3．9.若直线x－y+1＝0与圆( x－a)2+ y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（）A.［－3，－1］B.［－1,3］C.［－3,1］D.(－∞，－3］∪［1，+∞)【答案】C【解析】由题意可得，圆的圆心为( a,0)，半径为，∴，即| a+1|≤2，解得－3≤a≤1．10.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记1个红球为A,2个白球为B1，B2，3个黑球为C1，C2，C3，则从中任取2个球，基本事件空间Ω＝{( A，B1)，( A，B2)，( A，C1)，( A，C2)，( A，C3)，( B1，B2)，( B1，C1)，( B1，C2)，( B1，C3)，( B2，C1)，( B2，C2)，( B2，C3)，( C1，C2)，( C1，C3)，( C2，C3)}，共计15种，而两球颜色为一白一黑的有如下6种：( B1，C1)，( B1，C2)，( B1，C3)，( B2，C1)，( B2，C2)，( B2，C3)，所以所求概率为．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.设向量a＝(1,2 m)，b＝( m+1,1)，c＝(2，m)，若( a+ c)⊥b，则| a|＝__________．【答案】【解析】由题意可得，a+ c＝(3,3 m)．由( a+ c)⊥b得，( a+ c)·b＝0，即(3,3 m)·( m+1,1)＝3( m+1)+3 m＝0，解之，得．∴a＝(1，－1)，．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________．【答案】56【解析】由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，且侧棱垂直于底面的棱柱，∴V柱＝×(2+5)×4×4＝56．13.若函数f( x)＝|2 x+ a|的单调递增区间是［3，+∞)，则a＝__________．【答案】－6【解析】，∵函数f( x)的增区间是［3，+∞)，∴，即a＝－6．14.过抛物线y2＝4 x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若| AF|＝3，则| BF|＝__________．【答案】【解析】设点A( x1，y1)，B( x2，y2)，由| AF|＝3及抛物线定义可得，x1+1＝3，∴x1＝2．∴A 点坐标为(2,)，则直线AB的斜率为．∴直线AB的方程为y＝( x－1)．由消去y得，2 x2－5 x+2＝0，解得x1＝2，．∴| BF|＝x2+1＝．15.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则__________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】②④⑤【解析】如图所示，四面体ABCD中，AB= CD，AC= BD，AD= BC，则△ABC≌△CDA≌△DCB≌△BAD，故②正确；∵△ABC≌△CDA≌△BAD，∴∠BAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，故③错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN= QP=AC，NP= MQ=BD，∵BD= AC，∴MN= QP= MQ= NP，∴四边形MNPQ为菱形，∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD可作为△ABC 的三边．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C．(1).求角A的大小；(2).若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】解：（1）方法一：由题设知，2sin B cos A＝sin( A+ C)＝sin B，因为sin B≠0，所以．由于0＜A＜π，故．方法二：由题设可知，，于是b2+ c2－a2＝bc，所以．由于0＜A＜π，故．（2）方法一：因为＝(1+4+2×1×2×)＝，所以，从而．方法二：因为a2＝b2+ c2－2bccos A＝4+1－2×2×1×＝3，所以a2+ c2＝b2，．因为，AB＝1，所以．【解析】略17.设定义在(0，+∞)上的函数f( x)＝ax++ b( a＞0)．(1).求f( x)的最小值；(2).若曲线y＝f( x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，求a，b的值．【答案】解：（1）方法一：由题设和均值不等式可知，f( x)＝ax++ b≥2+ b，其中当且仅当ax＝1时，等号成立，即当时，f( x)取最小值为2+ b．方法二：f( x)的导数，当时，f′( x)＞0，f( x)在(，+∞)上递增；当0＜x＜时，f′( x)＜0，f( x)在(0，)上递减．所以当时，f( x)取最小值为2+ b．（2）f′( x)＝a－．由题设知，，解得a＝2或(不合题意，舍去)．将a＝2代入f（1）＝a++ b＝，解得b＝－1．所以a＝2，b＝－1．【解析】略18.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1).将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；(2).估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3］内的概率；(3).现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．【答案】解：（1）频率分布表（2）由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3］内的概率约为0.50+0.20＝0.70．（3）设这批产品中的合格品数为x件，依题意有，解得．所以该批产品的合格品件数估计是1980件．【解析】略19.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．(1).证明：BD⊥EC1；(2).如果AB＝2，，OE⊥EC1，求AA1的长．【答案】（1）证明：连接AC，A1C1．由底面是正方形知，BD⊥AC．因为AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD．又由AA1∩AC= A，所以BD⊥平面AA1C1C．再由EC1平面AA1C1C知，BD⊥EC1．（2）解：设AA1的长为h，连接OC1．在R t△OAE中，，，故．在R t△EA1C1中，，，故．在R t△OCC1中，，CC1= h，OC12= h2+()2，因为OE⊥EC1，所以OE2+ EC12= OC12，即，解得．所以AA1的长为．【解析】略20.如图，F1，F2分别是椭圆C：( a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．(1).求椭圆C的离心率；(2).已知△AF1B的面积为，求a，b的值．【答案】解：（1）由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以．（2）方法一：a2＝4c2，b2＝3c2．直线AB的方程可为：．将其代入椭圆方程3x2+4y2＝12c2，得B(，)．所以．由＝| AF1|·| AB|sin∠F1AB＝，解得a＝10，．方法二：设| AB|＝t．因为| AF2|＝a，所以| BF2|＝t－a．由椭圆定义| BF1|+| BF2|＝2a可知，| BF1|＝3a－t．再由余弦定理(3a－t)2＝a2+ t2－2atcos60°可得，．由得，a＝10，．【解析】略21.设函数f( x)＝+sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{ x n}．(1).求数列{ x n}的通项公式；(2).设{ x n}的前n项和为S n，求sin S n．【答案】解：（1）f′( x)＝+cos x＝0．令f′( x)＝0，则，解得x＝2kπ±( k∈Z)．由x n是f( x)的第n个正极小值点知x n＝2nπ－( n∈N*)．（2）由（1）可知，S n＝2π(1+2+…+ n)－＝n( n+1)π－，所以sin S n＝sin［n( n+1)π－］．因为n( n+1)表示两个连续正整数的乘积，n( n+1)一定为偶数，所以．当n＝3m－2( m∈N*)时，sin S n＝－sin(2mπ－)＝；当n＝3m－1( m∈N*)时，sin S n＝－sin(2mπ－)＝；当n＝3m( m∈N*)时，sin S n＝－sin2mπ＝0．综上所述，【解析】略高中数学试卷第11页，共11页。
