直线与方程专题复习上课讲义

直线与方程（讲义）一、基础知识梳理1、直线方程的几种形式2、两条直线的位置关系3、两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 4、距离问题5、对称问题题型总结一、直线方程1、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 2、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 3、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

4、若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0二、垂直与平行1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y x3、(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=04、（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或25、（05北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件三、直线系问题（1）过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）（3）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=（4）过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）1、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1；2、经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；3、经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.4、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，250x y +-=平行5、经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是6、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.四、对称问题点关于点的对称问题1、求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.点关于直线的对称问题1、求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标2、在直线y =－2上有一点P ，它到点A (－3, 1)和点B (5, －1)的距离之和最小，则点P 的坐标为3、已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||P A |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4、从点P (3, －2)发出的光线，经过直线l 1: x －y －2=0反射，若反射光线恰好通过点Q (5, 1)，则光线l 所在的直线方程是 .5、（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；直线关于某点对称的问题1、求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.直线关于直线的对称问题1、求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.2、求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.3、求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.五、最值问题1.设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cosα+y sinα=2的最大距离是（A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）22．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为（A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）23．已知两点P (cosα, sinα), Q (cosβ, sinβ)，则|PQ |的最大值为（A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=05．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|P A |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)7．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||P A|－|PB||最大，则点P坐标为.。

第三章 直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称 方程 适用条件 参数几何意义 斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率 点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B．60° C．120° D．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7．7．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l： 3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A 、1B 、2C 、3D 、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。

直线与方程【考点审视】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。

考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；层次三：考查直线与其它知识的综合。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，【知识网络】一、回顾与复习：思考1倾斜角（O°WaV 180°），斜率（a =90°时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与X、y轴的交点（a, 0）, （0, b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。

截距和距离不同，截距的值有正、负、零。

距离的值是非负数。

截距是实数，不是“距离”,可正可负）。

知识点梳理:1•倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

2.斜率：k tany 2 y i x 2 %斜率k 与倾斜角之间的关系:a 0 k tan0 0 0 a 90 k ta na 0 a 90tana （不存在）k 不存在90 a 180 k ta na 0又回到原来的位置，那么直线I 的斜率是 11B 3C .-3 3I 直线x=3的倾斜角是（直线的方程：（1） 点斜式：已知直线过点（x °,y 0）斜率为k ，则直线方程为y y k （x x °）,它不包括垂 直于x 轴的直线。

（2） 斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b ,它不包括垂 直于x 轴的直线。

（x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。

必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥； 90180,tan 0k αα︒<<︒=<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是211221()y y k x x x x -=≠-. ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y += k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式 121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+b y a x a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示）3、两条直线平行与垂直的判定（1） 两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有121212//,l l k k b b ⇔=≠注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠注：1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则0212121=+⇔⊥B B A A l l4、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 5、 直线系方程（1）过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中（2）平行垂直直线系①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++=②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+=6、两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7、几种距离（1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=（2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=（3）两条平行线间的距离 两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； ②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题（1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程.（2）轴对称①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ？ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠）②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f9、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：（1）在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , .)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , .)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.10、直线过定点问题（1）含有一个未知参数，12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1）令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-（2）含有两个未知参数 0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x ，从而该直线必过定点)73,71(-.赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。

直线与方程第1课：倾斜角与斜率一．学习目标 二．知识梳理： （1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3） 过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 三．典例分析与练习题1．在直角坐标系中，直线30x +-=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若直线过点(1,1)，(2,1+则此直线的倾斜角是 （ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°310y +-=的倾斜角是（）． A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于（ ） A ．11-B ．11C ．3-D ．35．直线cos sin 10x y αα++=，(0,)2πα∈的倾斜角是（ ）A ．αB ．2πα-C ．2πα+D ．πα-第2课：直线与方程一．学习目标二．知识梳理：直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数. 三．典例分析与练习例1．根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.例2．ABC ∆中，顶点(3,4),(5,2)B C ，AC 边所在直线方程为430x y -+=，AB 边上的高所在直线方程为23160x y +-=． （1）求AB 边所在直线的方程； （2）求AC 边的中线所在直线的方程．四．练习题1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．过点(3,4)A 且与直线l ：210x y --=平行的直线的方程是（ ） A ．2110x y +-= B ．2100x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y --=4．已知ABC ∆中有()1,3B ，(5,1)C ，且AB AC =，则BC 边上的中线所在直线方程为()A ．1322y x =-+ B ．1722y x =-+ C ．24y x =+ D ．24y x =-5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-7．过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（） A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=9．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为A ．BC ．2D ．10．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈. （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程.第3课：直线与直线位置关系一．学习目标 二．知识梳理 1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定 （1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直. （2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 三．典例分析与练习1．若直线()1120a x y a +-+-=与()()211150a x a y -+--=平行,则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-1或2D ．±12．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1l ：230mx y m --+=，2l ：0x my m -+=，若12l l //，则m =（ ） A ．±1B ．1C ．-1D ．不存在4．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=，若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为( ) A ．10-B ．10C ．2-D ．26．已知直线()1:1310l a x y ++-=，直线2:210l x ay ++=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值； （2）若12//l l ，求实数a 的值．7．已知直线1:210l ax y +-=，与直线()21:102l x a y +++=． （1）若12l l ⊥，求a 的值； （2）若12l l //，求a 的值.8．已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求 （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.9．已知ABC △中，(2,2)A ，(4,0)B -，(3,1)C -，AD BC ⊥，垂足为D ． （1）求直线AD 的方程；（2）求过点D 且平行于边AC 的直线方程．10．已知直线l ：310kx y k --+=，k ∈R ． （1）证明：直线l 恒过定点；（2）设O 是坐标原点，()1,1A --，若OA l ⊥，求k 的值．第4课：距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题 （1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --.②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程.(2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -.②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行.三．典例分析与练习题1．点(39)，关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ） A ．(13)--， B ．(179)-， C ．(13)-， D ．(179)-，2．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )AB ．4 C．D3．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(17，27)C ．(27，17)D ．(17，114) 4．已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（ ）A B C D ．5．平行线3410x y -+=与3440x y -+=之间的距离等于（ ）．A ．23B ．14C ．35D ．16．若点(3,)P a 到直线40x -=的距离为1，则a 的值为（ ）A B ．3-C ．3或D 3- 7．已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于8．已知直线l ：x ＋2y －2＝0.（1）求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；（2）求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．9．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．本章知识结构直线的倾斜角和斜率 两条直线平行和垂直的判定 直线与方程 两条直线的位置关系 两条平行线间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 相交求交点 平行求距离 直线的斜截式方程直角坐标系中画图直线的截距式方程 方程之间互化 直线的方程 直线的两点式方程 应用直线的点斜式方程直线的一般式方程。

直线与方程讲义(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除直线与方程【考点审视】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。

考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；层次三：考查直线与其它知识的综合。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，【知识网络】一、回顾与复习：思考1：倾斜角（0°≤α＜180°），斜率（α=90°时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与x、y轴的交点（a，0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。

截距和距离不同，截距的值有正、负、零。

距离的值是非负数。

截距是实数，不是“距离”，可正可负）。

知识点梳理：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

001800<≤α 2. 斜率：αtan =k 1212x x y y k --=斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a不存在不存在例1 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A -13B 3- C13D 3变式训练1直线x=3的倾斜角是（ ）B.2πC.πD.不存在2、直线x y 3 = 0的倾斜角是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60°（D ）90°直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

此文档下载后即可编辑直线与方程专题复习一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.2.直 线 的 方 程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等）（2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l ) 知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？一、基础巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.A ．B ．C ． D2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。

必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的围000180α≤<.④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥； 90180,tan 0k αα︒<<︒=< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是211221()y y k x x x x -=≠-.③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有121212//,l l k k b b ⇔=≠注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠注：1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则0212121=+⇔⊥B B A A l l4、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x5、 直线系方程 （1）过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中（2）平行垂直直线系①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++= ②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+= 6、两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 7、几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=（2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题 （1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程.（2）轴对称 ①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ？ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f9、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： （1）在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , ② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点. ② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”. 10、直线过定点问题 （1）含有一个未知参数，12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1）令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(- （2）含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x ，从而该直线必过定点)73,71(-.。

直线与直线的方程（一）本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】1．倾斜角 (1)定义在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角. 当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角相同的直线是一组平行线．确定一条直线的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不可． 2．斜率 (1)定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即．倾斜角是90°的直线的斜率不存在． (2)符号当倾斜角00900<≤α时，斜率k 是非负的（α=0时，k =0），倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角018090<<α时，斜率k 是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大。

(3)公式给定两点，，且，则经过P 1P 2的直线的斜率．注意：当直线P 1P 2与x 轴平行或重合时，k=0；当直线P 1P 2与y 轴平行或重合时，斜率不存在，则公式在此种情况下不适用． 3．直线的方程 (1)点斜式方程直线l 经过点，斜率为k ，则可得直线l 的方程为．注意：因为垂直于x 轴的直线斜率不存在，故凡是垂直于x 轴的直线，其方程都不能用点斜式来表示． (2)斜截式方程直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），则直线l 的方程为y=kx ＋b ． 直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．注意：“截距”并不是“距离”，即截距并不一定是直线与坐标轴的交点与原点的距离．而是直线与x 轴交点的横坐标或y 轴交点的纵坐标． 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线. (3)两点式方程直线l 经过两点（其中），那么直线l 的方程为．注意：两点式方程既不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线． (4)截距式方程直线l 与x 轴的交点为(a ，0)，与y 轴的交点为(0，b)，那么直线l 的方程为．(5)一般式方程二元一次方程Ax ＋By ＋C=0（A ，B 不同时为0）称为直线的一般式方程． 注意：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线． 4．两条直线平行（1）两条直线平行的判定如图所示，斜率相等的两条不重合直线1l 与2l 的倾斜角相等，这两条直线的位置关系是相互平行的；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相等，若倾斜角不为90°，由αtan =k 知它们的斜率相等，于是得到以下结论：Ⅰ. 两条不重合直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=)(22b b ≠，若1l ∥2l ，则21k k =；反之，若21k k =，则1l ∥2l 。

锂电池修复方法
锂电池修复方法：
1. 电池重启：将电池从设备中拿出，清洁电池和设备接触处的灰尘和污垢，然后重新放入设备中。

这样做可以重置电池并消除一些无关的问题。

2. 深度放电与充电：将电池完全耗尽，然后将其连接到电源进行充电，确保使用正确的充电器。

这个过程有助于校准电池的电量指示，并可能改善电池的性能。

3. 温度管理：使用锂电池时，尽量避免将电池长时间暴露在极端温度下。

高温会导致电池过热，降低电池寿命，低温则会影响电池的性能。

在寒冷或炎热环境中，可以使用保温袋或散热器来帮助调节电池温度。

4. 调整充电习惯：避免频繁的微充电和插电插拔操作。

锂电池在经常性的不完全充电和放电下会逐渐失去容量。

尽量将电池用到接近空载状态后再进行充电，并避免在电池充电未完成时强行使用。

5. 更新系统与应用：如果你的设备使用的是可升级的软件系统或应用，及时更新系统与应用程序以提高电池的优化和性能。

6. 保持电池通风透气：不要让电池过热或过冷，并保持电池通风良好，避免长时间处于密闭空间或高温环境中。

7. 避免过度充放电：不要让电池充电过度或放电过度，及时拔掉电源或停止使用设备。

过度充放电会损害锂电池的性能和寿命。

请注意，这些方法并不能保证修复所有问题，如果电池问题严重或无法修复，建议咨询专业技术人员或更换电池。