福州市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题A卷

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（ ）A ．最小值―3B ．最小值3C ．最大值―3D ．最大值3【答案】A【解析】把点（-1，-3）代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n=-4+m ，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n ，∴n=-4+m ，代入mn+1，得mn+1=m 2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn+1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．2．已知x ＝5是分式方程1a x -＝52x 的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．4 【答案】C【分析】现将x=5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可．【详解】∵x ＝5是分式方程1a x -＝52x的解， ∴51a -＝525⨯， ∴4a ＝12， 解得a ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【答案】C【详解】解：连接AD,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．4．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数 【答案】B【解析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y ，顶角为x ，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣12x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.5．若关于x 的一元二次方程220x x m --= 有实数根，则m 的值不可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．2018 【答案】A【分析】由题意直接根据一元二次方程根的判别式，进行分析计算即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△=24b ac -=4+4m ≥0，∴m ≥-1, m 的值不可能是-2.故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式进行分析求解．6．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是正方体展开图，符合题意；B 、是正方体展开图，不符合题意；C 、是正方体展开图，不符合题意；D 、是正方体展开图，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．7．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；④c ＝﹣3a ，其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①③④【答案】D 【分析】①观察图象可得，当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0；②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a＝﹣1，b ＝2a ； ③抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，即可得ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1； ④当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a ＝﹣1，b ＝2a ，即可得c ＝﹣3a ． 【详解】解：观察图象可知：①当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，∴①正确；②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a ＝﹣1，b ＝2a ， ∴②错误；③∵抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0）∴ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1，∴③正确；④∵当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a＝﹣1，b ＝2a ， ∴c ＝﹣3a ，∴④正确．所以正确的命题是①③④．故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 8．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )A ．60°B ．75°C ．87°D ．120°【答案】C 【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.9．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.故应选A.10．下列说法正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过三个点一定可以作圆C．圆的切线垂直于圆的半径D．每个三角形都有一个内切圆【答案】D【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断．【详解】A．垂直于半径且经过切点的直线是圆的切线，注意要强调“经过切点”，故本选项错误；B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误；C．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误；D．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确，故选D．【点睛】本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调．11．已知反比例函数y＝abx的图象如图所示，则二次函数y =ax 2－2x和一次函数y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．【详解】∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y=ab x的图象在第一、三象限， ∴ab ＞0，即a 、b 同号， 当a ＜0时，抛物线y=ax 2-2x 的对称轴x=1a ＜0，对称轴在y 轴左边，故D 错误； 当a ＞0时，b ＞0，直线y=bx+a 经过第一、二、三象限，故B 错误；C 正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．12．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）A ．3B ．±3C ．9D ．±9 【答案】B【解析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案．【详解】解：29x =，两边直接开平方得：3x =±，则13x =，23x =-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．二、填空题（本题包括8个小题）13．计算：cos 245°-tan30°sin60°=______．【答案】0【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】2cos 45tan30sin60︒-︒︒=2110222-=-= . 故答案为0.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．随机摸出一只球记下颜色后放回，不断重复上述实验，统计数据如下：摸球的次数n100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率n m0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 共有白球___________只．【答案】30【分析】根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为60%，然后根据概率公式计算n 的值．【详解】白球的个数=5060%30⨯=只故答案为：30【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率15．如图，过O 上一点C 作O 的切线，与O 直径AB 的延长线交于点D ，若38D ∠=︒，则E ∠的度数为__________．【答案】26°【分析】连接OC ，利用切线的性质可求得∠COD 的度数，然后利用圆周角定理可得出答案．【详解】解：连接OC ，∵CD 与⊙O 相切于点D ，与直径AB 的延长线交于点D ，∴∠DCO=90°，∵∠D=38°，∴∠COD=52°，∴∠E=12∠COD =26°， 故答案为：26°．【点睛】此题考查切线的性质以及圆周角定理，关键是通过连接半径构造直角三角形求出∠COD的度数．16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且BC=3BE，AF平分∠DAE，交DC于点F，若AB=3，则点F到AE的距离为___________．【答案】101-【分析】延长AE交DC延长线于M，关键相似求出CM的长，求出AM长，根据角平分线性质得出比例式，代入求出即可．【详解】延长AE交DC延长线于M，∵四边形ABCD是正方形，BC=3BE，BC=3，∴AD=DC=BC=AB=3，∠D=90°，BE=1，CE=2，AB∥DC，∴△ABE∽△MCE，∴21 CM CEAB BE==，∴CM=2AB=6，即DM=3+6=9，由勾股定理得：22310AM AD DM=+=∵AF平分∠DAE，∴AD DF AM FM =， ∴9310DF DF=-， 解得：101DF =-，∵AF 平分∠DAE，∠D=90°，∴点F 到AE 的距离=101DF =-，故答案为：101-．【点睛】本题考查了角平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．17．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．【答案】1【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB＝AE AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.18．抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．【答案】（﹣2，1）【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．三、解答题（本题包括8个小题）19．某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5:4:1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg 、20元／kg 、27元／kg ．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．【答案】这样定价不合理,理由见解析【分析】根据加权平均数的概念即可解题.【详解】解：这样定价不合理．54116202718.7101010x =⨯+⨯+⨯=（元／kg ）． 答：该什锦糖果合理的单价为18.7元／kg ．【点睛】本题考查了加权平均数的实际计算,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键.20．已知二次函数y=x 2+4x+k-1.（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围；（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的值.【答案】k ＜1；k=1．【解析】试题分析：(1)、当抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k 的取值范围；(2)、顶点在x 轴上则说明顶点的纵坐标为0.试题解析：(1)、∵抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴b 2-4ac ＞0，即16-4k+4＞0.解得k ＜1.(2)、∵抛物线的顶点在x 轴上， ∴顶点纵坐标为0，即244ac b a-=0.解得k=1. 考点：二次函数的顶点21．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-） 【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得， 03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==， 又∵DH//y 轴，∴25 CH DC DH OC ACOA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73-）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．（1）图中AC边上的高为个单位长度；（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．【答案】（1）32；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；②利用矩形的判定方法即可画出．【详解】解：（1）由图可知225552AC=+=,设AC边上的高为x，则由三角形面积公式可得：116552 22x⨯⨯=⨯解得32x=，即AC边上的高为32. （2）①如图所示：△DEC即为所求．②如图所示：矩形ABMN即为所求．【点睛】本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝1．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝45；②CF＝1．【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC ＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，△ACG的的底边AC 上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，∵AG AG，∴∠GCM＝∠ADM，又∵∠GMC＝∠AMD，∴△GMC∽△AMD，∴GCAD＝CMDM＝26＝13，设CM＝x，则DM＝3x，由（1）知，AC＝AD，∴AC＝1，AM＝1﹣x，在Rt△AMD中，AM2+DM2＝AD2，∴（1﹣x）2+（3x）2＝12，解得，x1＝0（舍去），x2＝65，∴AM＝1﹣65＝245，∴sin∠ADG＝AMAD＝2456＝45；②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，∵点G是AC上一动点，∴当点G在AC的中点时，△ACG的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，∴∠GAC＝∠GCA，∵∠GCD ＝∠F+∠FGC ，由（1）知，∠FGC ＝∠ACD ，且∠GCD ＝∠ACD+∠GCA ，∴∠F ＝∠GCA ，∴∠F ＝∠GAC ，∴FC ＝AC ＝1．【点睛】本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键．24．如图，AB 是⊙O 的直径，P 、C 是圆周上的点，PA PC =，弦PC 交AB 于点D .(1)求证：A C ∠=∠；(2)若OD DC =，求A ∠的度数.【答案】（1）详见解析；（2）36°【分析】（1）连接OP ，由已知条件证明POA POC ∆≅∆，可推出A C ∠=∠；（2）设=A C x ∠=∠，因为OD=DC 推出DOC C ∠=∠，由OP=OC 推出=OPC C ∠∠，根据三角形内角和解关于x 的方程即可；【详解】（1）证明：连接OP .∵PA PC =，∴PA=PC ，在POA POC ∆∆与中，PA PC OA OC OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴POA POC ∆≅∆（SSS ），∴A C ∠=∠；（2）解：设=A C x ∠=∠°，则22POB A x ∠=∠=°，∵OD=DC ，∴DOC C x ∠=∠=°，∵OP=OC ，∴=OPC C x ∠∠=°，在POC ∆中，180OPC C POC ∠+∠+∠=°，∴x+x+3x=180°，解得x=36°，∴A ∠=36°.【点睛】本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键. 25．如图,在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()2,2A ,()4,0B , ()4,4C -.（1）以点O 为位似中心,将ABC ∆缩小为原来的12得到111A B C ∆,请在y 轴右侧画出111A B C ∆; （2） 111AC B ∠的正弦值为 .【答案】（1）见解析；（210 【分析】（1）连接OA 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点即可画出△111A B C ，（2）利用正弦函数的定义可知．由111sin sin AC B ACB ∠=∠AD AC =，即可解决问题． 【详解】解：（1）连接OA 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点1A 、1B 、1C ，顺次连接1A 、1B 、1C ，△111A B C 即为所求，如图所示，（2）(2,2)A ，(4,4)C -，(4,0)B ，∴22210AC CD AD =+=90ADC ∠=︒，10sin 210A AD ACB C ∴∠===． 111AC B ACB ∠=∠，11110sin sin AC B ACB ∴∠=∠=． 【点睛】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．26．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BE 平分∠ABC ，连接CE ，已知DE ＝6，CE ＝8，AE ＝1．（1）求AB 的长；（2）求平行四边形ABCD 的面积；（3）求cos ∠AEB ．【答案】（1）1；（2）128；（325． 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB ＝AE ，进而再利用题中数据即可求解结论；（2）易证CED 为直角三角形，则CE ⊥AD ，基础CE 为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可；（3）易证∠BCE ＝90°，求cos ∠AEB 的值可转化为求cos ∠EBC 的值，利用勾股定理求出BE 的长即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ＝1，（2）∵四边形ABCD 是平行四边形．∴CD ＝AB ＝1， 在CED 中，CD ＝1，DE ＝6，CE ＝8，∴ED 2+CE 2＝CD 2，∴∠CED ＝90°．∴CE ⊥AD ，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD•CE ＝(1+6)×8＝128；（3）∵四边形ABCD 是平行四边形．∴BC ∥AD ，BC ＝AD ，∴∠BCE ＝∠CED ＝90°，AD ＝16，∴Rt BCE 中，BE ＝22BC CE +＝85，∴cos ∠AEB ＝cos ∠EBC ＝BC BE ＝85＝25． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、解直角三角形的有关知识及角平分线的性质等问题，应熟练掌握．27．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2 (m 是常数，且m≠0)的图象可能是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】关键是m 的正负的确定，对于二次函数y=ax 2+bx+c ，当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下．对称轴为x=−2b a，与y 轴的交点坐标为（0，c ）． 【详解】A ．由函数y=mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y=mx 2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−2122b a m m-=-＝＞0，则对称轴应在y 轴右侧，与图象不符，故A 选项错误； B ．由函数y=mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y=mx 2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B 选项错误；C ．由函数y=mx+m 的图象可知m ＞0，即函数y=mx 2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−2122b a m m -=-＝＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故C 选项错误；D ．由函数y=mx+m 的图象可知m ＜0，即函数y=mx 2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−2122b a m m -=-＝ ＞0，则对称轴应在y 轴右侧，与图象相符，故D 选项正确．故选D ．【点睛】此题考查一次函数和二次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它们的性质才能灵活解题． 2．将二次函数 243y x x =-+ 通过配方可化为 2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ）A ．2(2)1y x =--B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =++D ．2(2)1y x =+- 【答案】A【分析】根据完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+配方即可．【详解】解：243y x x =-+=2441x x -+-=()221x --故选A ．【点睛】 此题考查的是利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 3．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程210x kx +-=的两个根，且满足12112x x +=-，则k 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.【详解】由题意可得，a=1，b=k ，c=-1， ∵1，2x x 满足12112x x +=-， ∴121212x x 11==2x x x x ++- ① 根据韦达定理1212x x =1k x x =-1⎧-⎪⎨+⎪⎩ ② 把②式代入①式，可得：k=-2故选B.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.4．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．6【答案】C【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是1，即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、1、6、7，则中位数为1．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．5．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2C．x2+3x﹣5＝0 D．x2＝0【答案】D【解析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1．逐一判断即可．【详解】解：A、当a＝0时，ax1+bx+c＝0，不是一元二次方程；B、x1﹣1＝（x+3）1整理得，6x+11＝0，不是一元二次方程；C、2350xx+-=，不是整式方程，不是一元二次方程；D、x1＝0，是一元二次方程；故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．6．已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（）A．32-≤a＜﹣1 B．32-≤a≤﹣1 C．32-＜a＜﹣1 D．32-＜a≤﹣1【答案】A【分析】根据题意，先将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的取值范围，然后再求得抛物y＝x2﹣ax+a+1经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围．【详解】解：∵点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），∴直线AB为y＝x，令x＝x2﹣ax+a+1，则x2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直线y＝x与抛物线x2﹣ax+a+1有两个不同的交点，则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，把点A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣32，由上可得﹣32≤a＜﹣1，【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．7．已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为（）A．30米B．60米C．40米D．25米【答案】C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC，代入数据可得答案．【详解】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE=12 BC，∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（）A．425B．925C．310D．110【答案】C【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6，所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=63= 2010．故选：C．本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即m Pn =.9．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°．AB＝4，则⊙O的半径为( )A．22B．4C．23D．5【答案】A【解析】试题解析：连接OA，OB．45,C∠=︒90AOB∴∠=︒，∴在Rt AOB△中，2 2.OA OB==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.10．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（）A．42 B．45 C．46 D．48【答案】C【解析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48∴中位数为4646462+=.故答案为：46.【点睛】找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.11．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣10＝0的一个根为2，则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x 2+bx ﹣10=0得4+2b ﹣10=0解得b=1．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3cm ，c ＝8cm ，d ＝12cm ，则a ＝（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 【答案】A【解析】由四条线段a 、b 、c 、d 成比例，根据比例线段的定义，即可得a cb d =， 又由b=3cm ，c=8cm ，d=12cm ，即可求得a 的值．【详解】∵四条线段a 、b 、c 、d 成比例， ∴a c b d= ∵b=3cm ，c=8cm ，d=12cm ， ∴8312a = 解得：a=2cm ．故答案为A ．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．二、填空题（本题包括8个小题）13．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式_____．【答案】y=﹣x 2+4.【解析】试题解析：开口向下，则0.a <y 轴的交点坐标为()04,，4.c = 这个抛物线可以是24.y x =-+故答案为2 4.y x =-+14．已知1是一元二次方程230xx p -+=的一个根，则p=_______.【答案】2 【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将1x =代入方程230x x p -+=中，即可得到关于p 的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵1是一元二次方程230xx p -+=的一个根∴21310p -⨯+= ∴2p =故答案是：2【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：当x ＝－1时，y ＝__________．【答案】3【解析】试题解析：将点()()()0,0,2,0,3,3代入2y ax bx c =++，得 0{42093 3.c a b a b =+=+=解得：1{20.a b c ==-=∴二次函数的解析式为：22.y x x =-当1x =-时，()()2121 3.y =--⨯-=故答案为：3.16．小芳的房间有一面积为3 m 2的玻璃窗,她站在室内离窗子4 m 的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m 2(楼之间的距离为20 m).【答案】108【解析】考点：平行投影；相似三角形的应用．分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．解答：解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为246=6， 故面积的比为36；故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108m 1． 点评：本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例17．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90N 和0.3m ，则动力1F （单位：N ）与动力臂1L （单位：m ）之间的函数解析式是__________． 【答案】1127F L = 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解．【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴11900.3F L ⨯=⨯ ∴1127F L = 故答案为：1127F L =． 【点睛】本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力×阻力臂=动力×动力臂．18．设m,n 分别为一元二次方程x 2+2x-2 020=0的两个实数根,则m 2+3m+n=______.【答案】2018.【解析】根据题意得. m 2+3m+n=2020+m+n ，再根据m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x-2020=0的两个实数根，得m+n=-2，带入m 2+3m+n 计算即可.【详解】解：∵m 为一元二次方程x 2+2x-2020=0的实数根，∴m 2+2m-2020=0，即m 2=-2m+2020，∴m 2+3m+n=-2m+2020+3m+n=2020+m+n ，∵m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x-2020=0的两个实数根，∴m+n=-2，∴m 2+3m+n=2020-2=2018.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着CD在C 点到D点间运动（当达D点后则停止运动），同时点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着DA在D点到A点间运动（当达到A点后则停止运动）．设运动时间为t秒，则按下列要求解决有关的时间t．（1）△PQD的面积为5时，求出相应的时间t；（2）△PQD与△ABC可否相似，如能相似求出相应的时间t，如不能说明理由；（3）△PQD的面积可否为10，说明理由．【答案】（1）t=1; （2）t=2.4或1811t=; （3）△PQD的面积不能为1，理由见解析．【分析】（1）△PQD的两直角边分别用含t的代数式表示，由△PQD的面积为5得到关于t的方程，由此可解得t的值；（2）设△PQD与相似△ABC，由图形形状考虑可知有两种可能性，对两种可能性分别给予讨论可以求得答案；（3）与（1）类似，可以用含t的表达式表示△PQD的面积，令其等于1，由所得方程解的情况可以作出判断．【详解】因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，4t≤（1）S△PQD = 16)25 2t t-=（解得：t1=1 t2=5(舍去）（2）①当DQ DPBC AB=时△PDQ~△ABC即2686t t-=得t=2.4②当DQ DPAB BC=时△PQ D̰~△CBA即2668t t-=得1811t=;（3）△PQD的面积为1时，1(6)210 2t t-⋅=,此方程无实数根，即△PQD的面积不能为1．【点睛】本题综合考查三角形相似、面积计算与动点几何问题，利用方程的思想方法解题是关键所在．20．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？【答案】（1）20%；（2）12.1．【解析】试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x）2本，即可列方程求解；（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得7100（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）10800（1+0.2）=12960（本）10800÷1310=8（本）12960÷1440=9（本）（9﹣8）÷8×100%=12.1%．故a的值至少是12.1．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．21．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先运用平行四边形的知识得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可证明△ABD≌△BEC；（2）由四边形BECD为平行四边形可得OD=OE，OC=OB，再结合四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠OCD，再结合已知条件可得OC=OD，即BC=ED；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．【详解】证明：(1)∵在平行四边形ABCD∴AD=BC ，AB=CD ，AB ∥CD ，即BE ∥CD ．又∵AB=BE ，∴BE=DC ．∴四边形BECD 为平行四边形．∴BD=EC ．在△ABD 与△BEC 中，AB BE BD EC AD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△BEC(SSS)；(2)∵四边形BECD 为平行四边形，∴ OD=OE ，OC=OB ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠A=∠BCD ．即∠A=∠OCD ．又∵∠BOD=2∠A ，∠BOD=∠OCD+∠ODC ，∴∠OCD=∠ODC∴OC=OD ．∴OC+OB=OD+OE ，即BC=ED ．∴四边形BECD 为矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．22．如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，求山高AD 的长度．（测角仪高度忽略不计）【答案】3031)米【解析】设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，根据正切的概念用x 表示出CD ，在Rt △ABD 中，根据正切的概念列出方程求出x 的值即可．【详解】由题意得，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝60m ，设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD， ∴CD ＝AD ＝x ，∴BD ＝BC+CD ＝x+60，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD，∴(60)3x x =+，∴1)x =米，答：山高AD 为301)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23． (1)计算：2sin30°+cos30°•tan60°.(2)已知 23a b = ，且a+b=20，求a ，b 的值. 【答案】 (1)52； (2) a=8，b=12 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）设 23a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，求出k 的值，即可求出a ，b 的值.【详解】（1）原式=122⨯+ =1+32=52； （2）设 23a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，得 2k+3k=20,∴k=4,∴a=8,b=12.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.24．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【答案】（1）见解析；（2）EM＝5 4【分析】（1）通过证明四边形AHGD是平行四边形，可得AH=DG，AD=HG=CD，由“SAS”可证△DCG≌△HGF，可得DG=HF，∠HFG=∠HGD，可证AH⊥HF，AH=HF，即可得结论；（2）由题意可得DE=2，由平行线分线段成比例可得53EM EFDM AD==，即可求EM的长．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG，∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，∴△DCG≌△HGF（SAS），∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°，∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG，∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝1，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝1．∵AD∥EF，∴53EM EFDM AD==，且DE＝2．∴EM＝54．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．25．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．【答案】245y x x =-++，（4，1），（1，0）【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c ． 把（-1，0）（0，1），（2，9）代得到05429a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次数解析式y=-x +4x+1．当x=4时，y=1,当y=0时，x=-1或1.26．解方程：（1）（x -2）（x -3）=12（2）3y 2+1=3【答案】（1）11x =-，26x =；（2）123y y ==【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）方程变形为：25612x x -+=即2560x x --=，因式分解得：()()160x x +-=，则10x +=或60x -=，解得：11x =-，26x =；（2）方程变形为：23310y y -+=， 因式分解得：)2310-=， 310y -=， 解得：123y y ==． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程的步骤．27．一个箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的，且这4瓶牛奶的外包装完全相同．（1）现从这4瓶牛奶中随机拿1瓶，求恰好拿到过期牛奶的概率；（2）现从这4瓶牛奶中不放回地随机拿2瓶，求拿到的2瓶牛奶中恰好有过期牛奶的概率．【答案】（1）14；（2）12【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得【详解】解：（1）任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是14，故答案为：14；（2）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，∴抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为61 122=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．2020年的除夕是晴天B ．太阳从东边升起C ．打开电视正在播放新闻联播D ．在一个都是白球的盒子里，摸到红球 【答案】B【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析．【详解】A 选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；B 选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；C 选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；D 选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意．故选：B ．【点睛】考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．2．二次函数21y x mx =++的图象的顶点在坐标轴上，则m 的值（ ）A ．0B ．2C ．2±D ．0或2±【答案】D【解析】试题解析: 当图象的顶点在x 轴上时，∵二次函数21y x mx =++的图象的顶点在x 轴上，∴二次函数的解析式为：2(1)y x =±， ∴m=±2.当图象的顶点在y 轴上时，m=0，故选D.3．小马虎在计算16-13x 时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（ ） A ．15B ．13C ．7D ．1- 【答案】A【详解】试题分析：由错误的结果求出x 的值，代入原式计算即可得到正确结果．解：根据题意得：16+13x=17， 解得：x=3，则原式=16﹣13x=16﹣1=15， 故选A 考点：解一元一次方程．4．如图，点A 的坐标是()40，，ABO ∆是等边角形，点B 在第一象限，若反比例函数 k y x=的图象经过点B ，则k 的值是（ ）A ．1B ．3C ．23D ．43【答案】D 【分析】首先过点B 作BC 垂直OA 于C,根据AO=4，△ABO 是等辺三角形，得出B 点坐标，迸而求出k 的值.【详解】解：过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是(2,0) ，AO=4，∵△ABO 是等边三角形∴OC= 2，BC=3∴点B 的坐标是(2，23把(2，23代入k y x=，得: k=xy=3故选：D【点睛】 本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k 值．5．计算2(3)-的结果等于（ ）A ．-6B ．6C ．-9D ．9【答案】D【分析】根据有理数乘方运算的法则计算即可．【详解】解：2(93)-=，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键．6．抛物线y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（3，﹣1） 【答案】A【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A ．【点晴】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．7．如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（ ）A ．9πB ．18πC ．24πD ．36π 【答案】B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：圆锥的侧面积＝12×2π×3×6＝18π． 故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处 【答案】B【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”“车”②之间的距离为212== ∴马应该落在②的位置，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 9．若抛物线2y x bx =+的对称轴是直线2x =，则方程25x bx +=的解是（ ）A ．11x =，25x =B ．11x =，25x =-C ．11x =-，25x =D ．11x =-，25x =- 【答案】C【分析】利用对称轴公式求出b 的值，然后解方程. 【详解】解：由题意：22b x =-= 解得：b=-4∴25x bx += 2450x x --=(5)(1)0x x -+=解得：11x =-，25x =故选：C【点睛】本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.10．已知反比例函数k y x =的图象经过点()21P -，，则这个函数的图象位于（ ） A ．第二、三象限B ．第一、三象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】D【分析】首先将点P 的坐标代入k y x=确定函数的表达式，再根据k ＞0时，函数图象位于第一、三象限；k ＜0时函数图象位于第二、四象限解答即可．【详解】解：∵反比例函数k y x=的图象经过点P （-2，1）， ∴k=-2＜0， ∴函数图象位于第二，四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点以及反比例函数图象的性质，掌握基本概念和性质是解题的关键． 11．一元二次方程3x 2＝8x 化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（ ）A ．3，8B ．3，0C ．3，－8D ．－3，－8【答案】C【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．【详解】解：238x x = 2380x x -=∴二次项系数是3，一次项系数是8-．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是( )A ．必有3次正面朝上B ．可能有3次正面朝上C ．至少有1次正面朝上D ．不可能有6次正面朝上【答案】B【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．【详解】解：掷硬币问题，正、反面朝上的次数属于随机事件，不是确定事件，故A,C,D 错误. 故选：B ．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（本题包括8个小题）13．在一次夏令营中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为_________km．【答案】103 3【分析】由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．【详解】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF//PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°−∠1−∠2=180°−60°−30°=90°，∴△ABC是直角三角形．又∵MN//PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sin AB ACB= 3103(km)，103．【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．14．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝_________.（结果保留根号）【答案】21【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF=2，∠CFDE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=2-1．故答案为2-1．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．15．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC 的长为__________．【答案】3【分析】连接AB，根据PA，PB是⊙O的切线可得PA=PB，从而得出AB=6，然后利用∠P＝60°得出∠CAB 为30°，最后根据直角三角形中30°角的正切值进一步计算即可.。

2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。

福州市2019-2020年九年级上期末质量检测数学试卷及答案—学年度第一学期九年级期末质量检测数 学 试 卷(满分150分；考试时间120分钟)一、选择题(共10小题，每小题4分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)1．下列根式中，不是最简二次根式的是 A ．10 B ．8 C ． 6 D ． 22．下列图形依次是圆、正方形、平行四边形、正三角形，其中不是中心对称图形的是3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是 A ．100° B ．80° C ．50° D ．40° 4．下列事件中，为必然事件的是A ．购买一张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放广告C ．一个袋中只有装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D ．抛掷一枚硬币，正面向上5．用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5 6．方程x 2＝x 的解是A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝－1，x 2＝07．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是A ．y ＝(x －2)2＋2B ．y ＝(x ―2)2―2C ．y ＝(x ＋2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－2 8．若n (n ≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋3n ＝0的一个根，则m ＋n 的值是 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．39．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2－6x ＋5＝0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点A (4a ＋2b ＋c ，abc )在 A ．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D ．第四象限A BCD 第3题图第5题图 第10题图 ABC D O 第14题图二、填空题(共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置) 11．使x －1有意义的x 的取值范围是_______________．12．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字为6的概率是______________．13．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0(k 为常数)有两个相等的实数根，则k ＝_________．14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的⌒AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是⌒AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝160m ，CD ＝40m ，则这段弯路的半径是___________m ．15．已知二次函数y ＝―x 2―4x ＋3，则y 的最大值是____________；x ＋y 的最大值是____________．三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑)16．计算：(每小题7分，共14分)(1) 8×12×18÷27； (2) 9x ＋6 x 4－2x 1x．17．(本题15分)如图，△ABC 的顶点坐标分别为A (－3，1)，B (0，1)，C (0，3)，将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1．(1) 画出△A 1B 1C 1；(2) 直接写出△A 1B 1C 1各顶点坐标；(3) 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点C 、B 1、C 1，求二次函数的解析式；(4) 请在右边的平面直角坐标系中画出(3)的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c18．(本题12分)在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x ，小强摸出球的标号为y ．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x 与y 的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．(1) 若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；(2) 若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由． 19．(本题10分)据媒体报道，某年旅游纯收入约2000万元，年旅游纯收入约2880万元，若年、年旅游纯收入逐年递增，请解答下列问题：(1) 求这两年该旅游纯收入的年平均增长率；(2) 如果今后两年仍保持相同的年平均增长率，请你预测到年该旅游纯收入约多少万元？20．(本题12分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，且∠A ＝∠PCB ．(1) 求证：PC 是⊙O 的切线； (2) 若CA ＝CP ，PB ＝1，求⌒BC 的弧长．第20题图21．(本题13分)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交边AC 、CB 于点D 、E ．(1) 如图①，当PD ⊥AC 时，则DC ＋CE 的值是____________．(2) 如图②，当PD 与AC 不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图③，在∠DPE 内作∠MPN ＝45°，使得PM 、PN 分别交DC 、CE 于点M 、N ，连接MN ．那么△CMN 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．(本题14分)如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1) 求点A 、B 的坐标及线段AB 的长； (2) 求△ABC 的外接圆⊙D 的半径；(3) 若(2)中的⊙D 交抛物线的对称轴于M 、N 两点(点M 在点N 的上方)，在对称轴右边的抛物线上有一动点P ，连接PM 、PN 、PC ，线段PC 交弦MN 于点G ．若PC 把图形PMCN (指圆弧⌒MCN 和线段PM 、PN 组成的图形)分成两部分，当这两部分面积之差等于4时，求出点P 的坐标．A C DEP 第21题图① 第21题图② A B C DE P 第21题图③ A C D E MPN 第22题图①第22题图②福州市—学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(每小题4分，共40分)1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 二、填空题(每小题4分，共20分)：11．x ≥1 12． 1 6 13．1 14．100 15．7； 214(正确一个得2分)三、解答题：(满分90分) 16．(每小题7分，共14分)解：(1) 8×12×18÷27＝22×23×32÷3 3 ……………………………………………………………4分 ＝8． ……………………………………………………………………………………7分(2) 9x ＋6x 4－2x 1 x＝3x ＋3x －2x ……………………………………………………………………6分＝4x ． …………………………………………………………………………………7分17．解：(1) △A 1B 1C 1如右下图； ………………………………………………………………3分(2) A 1(1，3)，B 1(1，0)，C 1(3，0)； …………………………………………………6分(3) 由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点C 、B 1、C 1，可得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＋b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0， ………………………………………………………………9分解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4c ＝3， …………………………………10分∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3． ……………11分 (答案用一般式或顶点式表示，否则扣2分)18．解：(1) 列树状图如下：………………3分由树状图可知：所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x 与y 的积为偶数有6种．…………………………………………………………………………………4分∴小明获胜的概率P (x 与y 的积为偶数)＝6 12 ＝ 12． (6)分(2) 列树状图如下：……………9分由树状图可知，所有可能出现的结果共16种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x 与y 的积为偶数有7种． ……………………………………………………………………………10分∴小明获胜的概率P (x 与y 的积为偶数)＝7 16 ＜ 12， (11)1 2 3 51 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 小明 小强 小明 小强 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5分(或证明7 16 ≠916也可) ∴游戏规则不公平． ……………………………………………………………………12分19．解：(1) 设这两年该旅游纯收入的年平均增长率为x ．根据题意得： ………………1分2000(1＋x )2＝2880． (4)分解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2 (不合题意，舍去)． ………………………6分答：这两年该旅游纯收入的年平均增长率为20%． (7)分(2) 如果到2015年仍保持相同的年平均增长率，则2015年该旅游纯收入为 2880(1＋0.2)2＝4147.2(万元)． ………………………9分答：预测2015年该旅游纯收入约4147.2万元． ………………………10分 20．解：(1) 连接OC ． …………………………………………1分∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°． ………2分 ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ………………………………3分 ∵∠A ＝∠PCB ，∴∠ACO ＝∠PCB ． ………………………………4分 ∴∠PCB ＋∠OCB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝90°，即∠PCO ＝90°． ∴PC ⊥OC ． ………………………………5分 又∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线． ………………………………6分(2) ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ， ………………………………………7分 ∴∠PCB ＝∠A ＝∠P ．∴BC ＝BP ＝1． ………………………………………8分 ∴∠CBO ＝∠P ＋∠PCB ＝2∠PCB ． 又∵∠COB ＝2∠A ＝2∠PCB ，∴∠COB ＝∠CBO ， …………………………………9分 ∴BC ＝OC ． 又∵OB ＝OC ，∴OB ＝OC ＝BC ＝1，即△OBC 为等边三角形． ……10分 ∴∠COB ＝60°． ………………………………11分∴l ⌒BC ＝ 1×60π 180＝ 13π． ……………………………12分 21．解：(1) DC ＋CE ＝2； …………………………………3分(2) 结论成立.连接PC ，如图． …………………………4分 ∵△ABC 是等腰直角三角形，P 是AB 的中点，∴CP ＝PB ，CP ⊥AB ，∠ACP ＝ 12∠ACB ＝45°．∴∠ACP ＝∠B ＝45°，∠CPB ＝90°． …………………5分A B C OA DP∴∠BPE ＝90°－∠CPE ． 又∵∠DPC ＝90°－∠CPE ，∴∠DPC ＝∠EPB ． ………………………………6分 ∴△PCD ≌△PBE ．∴DC ＝EB ， …………………………………………7分 ∴DC ＋CE ＝EB ＋CE ＝BC ＝2． ……………………8分(3) △CMN 的周长为定值，且周长为2． …………9分在EB 上截取EF ＝DM ，如图， …………………10分 由(2)可知：PD ＝PE ，∠PDC ＝∠PEB ，∴△PDM ≌△PEF ， ………………………………11分∴∠DPM ＝∠EPF ，PM ＝PF ． ∵∠NPF ＝∠NPE ＋∠EPF ＝∠NPE ＋∠DPM ＝∠DPE －∠MPN ＝45°＝∠NPM ．∴△PMN ≌△PFN ，∴MN ＝NF ． ……………………………………………12分 ∴MC ＋CN ＋NM ＝MC ＋CN ＋NE ＋EF＝MC ＋CE ＋DM ＝DC ＋CE ＝2．∴△CMN 的周长是2． …………………………………13分 22．解：(1) 令y ＝0，得：x 2－4x ＋1＝0， …………………1分解得：x 1＝2＋3，x 2＝2－3． …………………3分∴点A 的坐标为(2－3，0)，点B 的坐标为(2＋3，0)． …4分 ∴AB 的长为23． ………………………………5分 (由韦达定理求出AB 也可)(2) 由已知得点C 的坐标为(0，1)，由y ＝x 2－4x ＋1＝(x ―2)2―3， 可知抛物线的对称轴为直线x ＝2， ……………………6分 设△ABC 的外接圆圆心D 的坐标为(2，n )，连接AD 、CD ，∴DC ＝DA ，即22＋(n －1)2＝[2―(2―3)]2＋n 2，……………8分 解得：n ＝1， …………………………………………9分 ∴点D 的坐标为(2，1)，∴△ABC 的外接圆⊙D 半径为2． ……………………10分 (3) 解法一：由(2)知，C 是弧MN 的中点．在半径DN 上截取EN ＝ MG ， ……………………11分 又∵DM ＝DN ，∴DG ＝DE ．则点G 与点E 关于点D 对称，连接CD 、CE 、PD 、PE ．由圆的对称性可得：图形PMC 的面积与图形PECN 的面积相等． …………………………………………12分 由PC 把图形PMCN (指圆弧⌒MCN 和线段PM 、PN 组成的图形)分成两部分，这两部分面积之差为4．可知△PCE 的面积为4．设点P 坐标为(m ，n ) ∴S △CEP ＝2S △CDP ＝2× 12·CD ·n －1＝4，∴n 1＝3，n 2＝－1． ……………………………………13分由点P 在抛物线y ＝x 2－4x ＋1上，得：x 2－4x ＋1＝3，解得：x 1＝2＋6，x 2＝2－6(舍去)；A CD E MP N F或x 2－4x ＋1＝－1，解得：x 3＝2＋2，x 4＝2－2(舍去)．∴点P 的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6，3)． ……………14分 解法二：设点P 坐标为(m ，n )，点G 坐标为(2，c )，直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，得：⎩⎨⎧b ＝1n ＝km ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝ n －1 m b ＝1， ∴直线PC 的解析式为y ＝ n －1mx ＋1． …………………11分当x ＝2时，c ＝ 2(n －1)m＋1．由(2)知，C 是弧MN 的中点，连接CD ， 图形PCN 的面积与图形PMC 的面积差为： ＝S 扇形DCN ＋S △GCD ＋S △PGN －(S 扇形MCD －S △GCD ＋S △PMG ) ＝2S △GCD ＋S △PGN －S △PMG＝2×1 2 ×2(c －1)＋1 2 (1＋c )(m ―2)―12 (3―c )(m ―2)＝2(c －1)＋12 (2c ―2)(m ―2)＝(c －1)(2＋m ―2) ＝[ 2(c －1) m ＋1―1]m＝2(n －1)＝4．∴n 1＝3，n 2＝－1． ……………………………………13分 由点P 在抛物线y ＝x 2－4x ＋1上，得：x 2－4x ＋1＝3，解得：x 1＝2＋6，x 2＝2－6(舍去)；或x 2－4x ＋1＝－1，解得：x 3＝2＋2，x 4＝2－2(舍去)．∴点P 的坐标为(2＋2，－1)或(2＋6，3)． ……………14分。