南昌市2019-2020年度九年级上学期期中数学试题A卷

2019-2020学年江西省南昌二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列计算结果等于0的是（ ）A ．（﹣1）+（﹣1）B ．（﹣1）﹣（﹣1）C ．（﹣1）×（﹣1）D ．（﹣1）÷（﹣1） 2．下列计算中正确的是（ ） A ．√9=±3B ．√(−5)2=−5C ．√−16=−4D ．√−173=−√1733．下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（ ） A ．∠1＝∠4 B ．∠2＝∠3C ．∠5＝∠BD ．∠BAD +∠D ＝180°4．已知三元一次方程组{x +y =10y +z =20z +x =40，则x +y +z ＝（ ）A ．20B ．30C ．35D ．705．已知点M （2x ﹣3，3﹣x ），在第一、三象限的角平分线上，则M 点的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣1）．B ．（﹣1，1）C ．（1，1）D ．（1，﹣1）6．点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）是关于x 的函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +m +1（m 为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：①不论m 为何实数，关于x 的方程mx 2﹣（2m +1）x +m +1＝0必有一个根为x ＝1； ②当m ＝0时，（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0成立； ③当x 1+x 2＝0时，若y 1+y 2＝0，则m ＝﹣1； ④当m ≠0时，抛物线顶点在直线y =−12x +1上． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．③④D ．①②④二、填空题（每小题3分，共18分）7．已知有理数a 、b 满足（a +2）2+|2b ﹣6|＝0，则a ﹣b ＝ ．8．如图，弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为 cm ．9．在平面直角坐标系中，将点P （﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P 1，则点P 1的坐标为 ．10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己23的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x ，乙持钱为y ，可列方程组为 ．11．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为 ． 12．给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y =1x 的图象．（如图所示） ①如图1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1；②如图a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1； ③如图a ＞a 2＞1a，那么﹣1＜a ＜0； ④如图a 2＞1a ＞a ，那么a ＜﹣1． 则正确的是 （序号）．三、解答题（共5小题，每题6分，满分30分） 13．（6分）（1）化简：x +（5x ﹣3y ）﹣（x ﹣2y ）；（2）已知：如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，求证：∠A ＝∠C ．14．（6分）1−2x 3=3x+17−315．（6分）如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF ，证明： （1）CF ＝EB ． （2）AB ＝AF +2EB ．16．（6分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．17．（6分）分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为AB 上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD 上找出另一点Q ，使AP ＝CQ ；（2）如图②，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为BD 上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD 上找出一点Q ，使BP ＝DQ ．18．（8分）如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BD=23DC．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．19．（8分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次参加跳绳测试的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．21．（9分）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．22．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式．（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为15，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．六.（本大题共12分）23．（12分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2√2，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．B ．2．D ．3．B ．4．C ．5．C ．6．解：当x ＝1时，y ＝mx 2﹣（2m +1）x +m +1＝m ﹣2m ﹣1+m +1＝0，则方程mx 2﹣（2m +1）x +m +1＝0必有一个根为x ＝1，所以①正确；当m ＝0时，y ＝﹣x +1，则y 1＝﹣x 1+1，y 2＝﹣x 2+1，所以（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＝（x 1﹣x 2）（﹣x 1+x 2）＝﹣（x 1﹣x 2）2，而点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）是两个不同的点，则（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＝﹣（x 1﹣x 2）2＜0，所以②正确；当m ＝﹣1时，y ＝﹣x 2+x ，则y 1＝﹣x 12+x 1，y 2＝﹣x 22+x 2，所以y 1+y 2＝﹣x 12+x 1﹣x 22+x 2＝﹣（x 1+x 2）2+2x 1x 2+（x 1+x 2）＝2x 1x 2≠0，所以③错误； 当m ≠0时，顶点的横坐标为2m+12m，纵坐标为4m(m+1)−(2m+1)24m=−14m，当x =2m+12m 时，y =−12x +1=−12•2m+12m +1=2m−14m ，所以抛物线的顶点不在直线y =−12x +1上，所以④错误． 故选：A ．二、填空题（每小题3分，共18分）7．﹣5． 8．12cm ．9．（1，1）．10．{x +y2=50y +23x =50．11．3． 12．解：①1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1，本说法正确；②a 2＞a ＞1a ，那么a ＞1或﹣1＜a ＜0，本说法错误； ③a ＞a 2＞1a ，那么a 不存在，本说法错误；④a 2＞1a ＞a ，那么a ＜﹣1，本说法正确；故答案为：①④． 三、解答题（共5小题，每题6分，满分30分） 13．（1）解：原式＝x +5x ﹣x ﹣3y +2y ＝5x ﹣y ．（2）证明：∵AD ＝BC ，AB ＝DC ，∴四边形 ADCB 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ． 14．解：去分母得：7（1﹣2x ）＝3（3x +1）﹣63，7﹣14x ＝9x +3﹣63， 则﹣23x ＝﹣67，解得：x =6723．15．证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ， 在Rt △CDF 和Rt △EDB 中，{BD =DF DC =DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ）．∴CF ＝EB ；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE ． 在Rt △ADC 与Rt △ADE 中，{CD =DE AD =AD，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE （HL ），∴AC ＝AE ， ∴AB ＝AE +BE ＝AC +EB ＝AF +CF +EB ＝AF +2EB ． 16．解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是12；故答案为：12；（2）列表如下：红 红 白 黑 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （白，红） （黑，红） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （白，红） （黑，红） 白 （红，白） （红，白） ﹣﹣﹣ （黑，白） 黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能， 则P （两次摸到红球）=212=16． 17．解：（1）如图①，点Q 即为所求；（2）如图②，点Q 即为所求．四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．解：（1）∵AD ＝6，DC ＝2AD ，∴DC ＝12， ∵BD =23DC ，∴BD ＝8；（2）在△ABD 中，AB ＝10，AD ＝6，BD ＝8， ∵AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 为直角三角形，即AD ⊥BC ， ∵BC ＝BD +DC ＝8+12＝20，AD ＝6， ∴S △ABC =12×20×6＝60．19．解：（Ⅰ）本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10＝50（人）， m ＝100×550=10．故答案是：50，10； （Ⅱ）平均数是：150（10×2+5×3+25×4+10×5）＝3.7（分），众数是：4分；中位数是：4分；（Ⅲ）该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200×10%＝120（人）． 答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人．20．解：（1）由{y =12x +5y =−2x得{x =−2y =4，∴A （﹣2，4），∵反比例函数y =k x的图象经过点A ，∴k ＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数的表达式是y =−8x ；（2）解{y =−8x y =12x +5得{x =−2y =4或{x =−8y =1，∴B （﹣8，1），由直线AB 的解析式为y =12x +5得到直线与x 轴的交点为（﹣10，0）， ∴S △AOB =12×10×4−12×10×1＝15． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．解：（1）∵BC 为⊙O 直径，∴∠DBA ＝90°，∠CAB ＝90°，∵AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠DAB =12∠CAB =45°，∴∠ADB ＝45°，∴△ADB 为等腰直角三角形， ∵AD ＝10，∴BD =5√2． （2）连接OD 、OB ，∵⊙O 直径为10，∴OB ＝OD ＝5，∴BD ＝5，∴OB ＝OD ＝BD ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠BOD ＝60°， ∵CD̂=DB ̂，∴∠ACD ＝∠BAD ＝30°，∴∠BAC ＝60°， ∵四边形CABD 是圆内接四边形，∴∠CDB +∠BAC ＝180°，∴∠CDB ＝120°．22．解：（1）由题意得，{c =4−b2a=14a −2b +c =0，解得，{a =−12b =1c =4，则抛物线的解析式为：y =−12x 2+x +4；（2）连接BF 、CF 、OF ，作FG ⊥x 轴于点G ， 设点F 的坐标为（t ，−12t 2+t +4），∵A （﹣2，0），抛物线的对称轴是直线 x ＝1，∴B （4，0）． ∴S △OBF =12×4×（−12t 2+t +4）＝﹣t 2+2t +8， S △OCF =12×4×t ＝2t ，S △AOC =12×2×4＝4， ∵S 四边形ABFC ＝S △AOC +S △OBF +S △OCF ＝﹣t 2+2t +8， 由题意得，﹣t 2+2t +8＝15，解得，t 1＝1，t 2＝3，∴存在点F 使四边形ABFC 的面积为15，此时，点F 的坐标为（1，92）或（3，52）．六.（本大题共12分） 23．解：（1）①如图1，∵把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ＝90°， ∵∠ADC ＝90°，∴∠ADC +∠ADG ＝90°∴F 、D 、G 共线， ∵∠BAD ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°， ∴∠DAG +∠DAF ＝45°，即∠EAF ＝∠GAF ＝45°， 在△EAF 和△GAF 中，∵{AF =AF∠EAF =∠GAF AE =AG ，∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝GF ， ∵BE ＝DG ，∴EF ＝GF ＝DF +DG ＝BE +DF ； ②解：∠B +∠D ＝180°，理由是：如图2，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合， 则AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠B +∠ADC ＝180°，∴∠ADC +∠ADG ＝180°，∴C 、D 、G 在一条直线上， 与①同理得，∠EAF ＝∠GAF ＝45°， 在△EAF 和△GAF 中{AF =AF∠EAF =∠GAF AE =AG∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝GF ，11 ∵BE ＝DG ，∴EF ＝GF ＝BE +DF ；故答案为：∠B +∠D ＝180°；（2）解：∵△ABC 中，AB ＝AC ＝2√2，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ＝45°， 由勾股定理得：BC =√AB 2+AC 2=4，如图3，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，∵∠DAE ＝45°，∴∠F AD ＝∠F AB +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°，在△F AD 和△EAD 中{AD =AD ∠FAD =∠EAD AF =AE，∴△F AD ≌△EAD （SAS ），∴DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，∵BC ＝4，∴BF ＝CE ＝4﹣1﹣x ＝3﹣x ，∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝90°，由勾股定理得：DF 2＝BF 2+BD 2，x 2＝（3﹣x ）2+12，解得：x =53，即DE =53．。

江西省南昌市南昌县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=x2+2x−2的图象的顶点坐标是()A. (2,−2)B. (1,−2)C. (1,−3)D. (−1,−3)3.若m，n是方程x2+2x−1=0的两个实数根，则m2+3m+n的值为()A. 3B. −1C. 1D. 04.当ab>0时，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2与y=ax+b的图像大致是()A. B.C. D.5.钟表在3点半时，它的时针与分针所成锐角是()A. 70°B. 85°C. 75°D. 90°6.一元二次方程x2−7x−2=0的实数根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定7.近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是()A. 2500x2=3600B. 2500(1+x)2=3600C. 2500(1+x%)2=3600D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=36008.把抛物线y=3(x+1)2−1向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的抛物线顶点坐标是()A. (0,1)B. (0,−3)C. (−2,1)D. (−2,−3)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.平面直角坐标系中，点P(−4,2)与P1关于原点对称，则P1的坐标是______．10.若关于x的方程x2+bx−3=0的一个根是−1，则b的值是______．11.已知点A，B的坐标分别为(−2,3)、(1,−2)，将线段AB平移，得到线段A′B′，其中点A与点A′对应，点B与点B′对应，若点A′的坐标为(2,−3)，则点B′的坐标为______．12.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过两点A(2,6)，B(−6,6)，则抛物线的对称轴为直线______13.已知一个三角形的三边都是方程x2−8x+12=0的根，则此三角形的周长为______ ．14.如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为______．三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）15.(1)解方程：x2+2x=0；(2)用配方法解方程：x2+6x+3=0．16.已知关于x的一元二次方程x2−x+a−1=0．(1)当a=−11时，解这个方程；(2)若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；(3)若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1(1−x1)][2+x2(1−x2)]=9，求a的值．17.已知关于x的二次函数y=x2+(k−1)x+3，其图象经过点(1,8)．(1)求k的值；(2)求出函数图象的顶点坐标．18.图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．(1)以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积等于20．(2)以EG为对角线，画一个成轴对称的四边形EFGH，使其面积等于20.并直接写出这个四边形的周长．19.如图，△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．(1)求证：△ABC≌△AEC；(2)若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．20.每年的11月11日是“中国单身网民的疯狂购物日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．渝北重百商场的A商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于15%？(2)据内部员工爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.乙卖家也销售A商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高3m%，再大幅降价26m元，使得A商品在3月15日当天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了2m%，这样一天的利润达到了16800元，求m．21.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件降价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？22.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线解析式为y=−x+3．(1)求该二次函数的关系式；(2)Q是直线BC下方抛物线上一动点，△BQC的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时点Q的坐标；若无，请说明理由；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A.此图案是中心对称图形，符合题意；B.此图案不是中心对称图形，不合题意；C.此图案不是中心对称图形，不合题意；D.此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D解析：解：∵y=x2+2x−2=(x+1)2−3，∴抛物线顶点坐标为(−1,−3)，故选D．把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ．3.答案：B解析：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m−1=0，则m2+2m=1，所求代数式可化简为m2+2m+m+n=1+m+n，然后根据根与系数的关系得到m+n=−2，再利用整体代入的方法计算．解：∵m是一元二次方程x2+2x−1=0的根，∴m2+2m−1=0，∴m2+2m=1，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=1+m+n，∵m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，∴m+n=−2，∴m2+3m+n=1+(−2)=−1．故选B．4.答案：D解析：本题考查了一次函数和二次函数的图象与系数的关系．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象与系数的关系．分a>0和a<0两种情况讨论，得到b的正负，结合一次函数和二次函数的图象，运用排除法，即可得到答案．解：当a>0时，抛物线开口向上，因为ab>0，所以b>0，一次函数图象应过一、二、三象限，A、B都不符合条件；当a<0时，抛物线开口向下，因为ab>0，所以b<0，一次函数图象应过二、三、四象限，C不符合条件，D选项符号条件;故选D．5.答案：C解析：解：∵3点半时，时针指向3和4中间，分针指向6．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，∴3点半时，分针与时针的夹角正好是30°×2+15°=75度．故选C．此题是一个钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°.借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．本题是一个钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30度．6.答案：A解析：解：∵Δ=(−7)2−4×1×(−2)=57>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．7.答案：B解析：本题主要考查根据实际问题列方程的能力，属于基础题．设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据：2013年投入资金×(1+x)2=2015年投入资金，列出方程即可．解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：2500(1+x)2=3600，故选：B．8.答案：C解析：本题考查了二次函数图象与几何变换，是基础题．先求出抛物线的顶点坐标，再根据点的平移规律求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解：抛物线y=3(x+1)2−1的顶点坐标为(−1,−1)，∵向上平移2个单位，再向左平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(−1−1,−1+2)，即为(−2,1)故选C．9.答案：(4,−2)解析：本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点解答．解：点P(−4,2)与(4,−2)关于原点对称，∴P1的坐标是(4,−2)，故答案为：(4,−2)．10.答案：−2解析：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解得意义，利用方程的思想解答．根据关于x的方程x2+bx−3=0的一个根是−1，将x=−1代入方程即可求得b的值，本题得以解决．解：∵关于x的方程x2+bx−3=0的一个根是−1，∴(−1)2+b×(−1)−3=0，解得，b=−2，故答案为：−2．11.答案：(5,−8)解析：解：由A(−2,3)的对应点A′的坐标为(2,−13)，坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加4，纵坐标减6，∴点B′的横坐标为1+4=5；纵坐标为−2−6=−8；即所求点B′的坐标为(5,−8)．故答案为(5,−8)各对应点之间的关系是横坐标加4，纵坐标减6，那么让点B的横坐标加4，纵坐标减6即为点B′的坐标．此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．12.答案：x=−2解析：解：∵点A(2,6)与点B(−6,6)的纵坐标相等，∴点A、B关于抛物线对称轴对称，=−2．∴抛物线的对称轴为直线x=2−62故答案为：x=−2．由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．13.答案：6或14或18解析：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．首先解方程求得方程的解，然后确定三角形的三边长，从而确定三角形的周长．解：x2−8x+12=0(x−2)(x−6)=0，则x−2=0或x−6=0，则x1=2，x2=6．当三边长都是2时，三角形的周长是6；当三边长都是6时，三角形的周长是18；当有两边长是6，一边长是2时，周长是14．故答案是：6或14或18．14.答案：−5<x<3解析：解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−5,0)，根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=−1对称，即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(−5,0)关于直线x=−1对称，∴另一个交点的坐标为(3,0)，∵不等式ax2+bx+c>0，即y=ax2+bx+c>0，∴抛物线y=ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c>0的解集是−5<x<3．故答案为：−5<x<3．先根据抛物线的对称性得到A点坐标(3,0)，由y=ax2+bx+c>0得函数值为正数，即抛物线在x 轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c>0的解集．此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．15.答案：解：(1)因式分解得：x(x+2)=0，所以x=0或x+2=0，解得：x=0或x=−2；(2)移项得：x2+6x=−3，配方得：(x+3)2=6，由此得：x+3=±√6，于是得：∴x1=−3+√6,x2=−3−√6．解析：(1)因式分解法求解可得；(2)常数项移到方程的右边，两边都加上9配成完全平方式，然后开平方即可得出答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16.答案：解：(1)把a=−11代入方程，得x2−x−12=0，(x+3)(x−4)=0，x+3=0或x−4=0，∴x1=−3，x2=4；(2)∵方程有两个实数根x1, x2，∴△≥0，；即(−1)2−4×1×(a−1)≥0，解得a≤54(3)∵x1, x2是方程的两个实数根，x12−x1+a−1=0, x22−x2+a−1=0，∴x1−x12=a−1, x2−x22=a−1．∵[2+x1(1−x1)][2+x2(1−x2)]=9，∴[2+x1−x12][2+x2−x22]=9，把x1−x12=a−1, x2−x22=a−1代入，得：[2+a−1][2+a−1]=9，即(1+a)2=9，解得a=−4，a=2(舍去)，所以a的值为−4．解析：(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案．(2)根据根的判别式即可求出a的范围．(3)根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．17.答案：解：(1)把(1,8)代入二次函数y=x2+(k−1)x+3得：8=1+k−1+3解得：k=5；(2)把k=5代入二次函数得：y=x2+4x+3，则y=x2+4x+3=(x+2)2−1．∴二次函数得顶点坐标为(−2,−1)．解析：此题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上的点都适合解析式，反之也是成立的．(1)把(1,8)代入二次函数y=x2+(k−1)x+3求得k即可；(2)得出二次函数，化为顶点式求得答案即可．18.答案：解：(1)如图1所示，平行四边形ABCD即为所求；(2)如图2所示，正方形EFGH即为所求，周长为8√5．解析：本题主要考查作图−旋转变换和轴对称变换，熟练掌握旋转变换与轴对称变换的定义和性质及平行四边形和正方形的性质是解题的关键．(1)以AB为边，作一个平行四边形，使其另一边长为5，且这条边上的高为4即可得；(2)作一线段FH，使其平分EG，且等于EG，首尾顺次连接E，F，G，H即可得．19.答案：(1)证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴BC=EC，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，∴∠ACE=60°−30°=30°，∴∠ACE=∠ACB．在△ABC与△AEC中，{BC=EC∠ACB=∠ACE AC=AC，∴△ABC≌△AEC(SAS)；(2)解：四边形ACDE是菱形．理由如下：由(1)得△ABC≌△AEC，∴AE=AB，∴AB=AC，∴AE=AB=AC．∵△DEC是由△ABC旋转而得，∴△DEC≌△ABC，∴CD=AC=AB，DE=AB，∴AC=CD=DE=AE，∴四边形ACDE是菱形．解析：(1)根据旋转的性质得出BC=EC，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，那么∠ACE=30°=∠ACB.再根据SAS即可证明△ABC≌△AEC；(2)由(1)得△ABC≌△AEC，那么AE=AB，而AB=AC，等量代换得出AE=AB=AC.根据旋转的性质得出△DEC≌△ABC，那么CD=AC=AB，DE=AB，从而得出AC=CD=DE=AE，进而得到四边形ACDE是菱形．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．20.答案：解：(1)设降价x元，列不等式为(800×0.9−x)≥500(1+15%)，解得：x≤145，答：问最多降价145元，才能使利润率不低于15%；(2)[800(1+3m%)−500−26m]×50(1+2m%)=16800，∴m2−100m+900=0，∴m1=10，m2=90，∵m=90时，26m>500(舍去)，∴m=10．解析：本题考查的知识点有一元二次方程的应用、一元一次不等式(组)的应用.解题关键是根据题意列出相关的不等式和一元二次方程．(1)设降价x元，根据“利润率不低于15%”列出不等式求解即可；(2)由题意得[800(1+3m%)−500−26m]×50(1+2m%)=16800，解方程即可求得m的值．21.答案：解：(1)y=30x+300；(2)设每星期利润为W元，W=(60−x−40)(30x+300)=−30x2+300x+6000=−30(x−5)2+6750．∴x=5，售价定为55元时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；(3)由题意：(x−40)(30x+300)=6480时，x=8或x=2，当(x−40)(30x+300)≥6480时，2≤x≤8，∴要获得不低于6480元的利润时，2≤x≤8，∴y=30x+300，y随x的增大而增大，∴当x=2时，300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件． 解析：(1)根据售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系即可得到结论．(2))设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．(3)列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．22.答案：解：(1)当x =0时，y =−x +3=3，则C(0,3)，当y =0时，−x +3=0，解得x =3，则B(3,0)，把B(3,0)，C(0,3)代入y =x 2+bx +c ，得{9+3b +c =0c =３，解得{b =−4c =3， ∴抛物线的解析式为y =x 2−4x +3；(2)作QH//y 轴交BC 于H ，如图，设Q(x,x 2−4x +3)(0<x <3)，则H(x,−x +3)，∴HQ =−x +3−(x 2−4x +3)=−x 2+3x ，∴S △QBC =12×3×HQ =−32x 2+92x =−32(x −32)2+278， 当x =32时，S △QBC 的值有最大值278，此时Q 点的坐标为(32,−34)；(3)y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，则P(2,−1)，抛物线的对称轴为直线x =2，设M(2,t)，当PM =PC 时，△PMC 为等腰三角形，即(t +1)2=22+(−1−3)2，解得t 1=−1+2√5，t 2=−1−2√5，此时M 点坐标为(2,−1+2√5)或(2,−1−2√5)；当PM =MC 时，△PMC 为等腰三角形，即(t +1)2=22+(t −3)2，解得t =32，此时M 点坐标为(2,32)；当CM =PC 时，△PMC 为等腰三角形，即22+(t −3)2=22+(−1−3)2，解得t 1=−1(舍去)，t 2=7，此时M 点坐标为(2,7)．综上所述，M 点坐标为(2,−1+2√5)或(2,−1−2√5)或(2,32)或(2,7)．解析：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．(1)先利用一次函数解析式确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；(2)作QH//y轴交BC于H，如图，设Q(x,x2−4x+3)(0<x<3)，则H(x,−x+3)，利用三角形面积公式得到S△QBC=−32x2+92x，然后利用二次函数的性质解决问题；(3)先配方得到y=(x−2)2−1，则P(2,−1)，抛物线的对称轴为直线x=2，设M(2,t)，利用等腰三角形的性质，当PM=PC时，即(t+1)2=22+(−1−3)2；当PM=MC时，即(t+1)2=22+(t−3)2；当CM=PC时，即22+(t−3)2=22+(−1−3)2，然后分别解关于t的方程即可得到对应的M 点坐标．。

2019-2020学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）3．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015B．B、2013C．﹣2015D．40304．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）A．150°B．120°C．25°D．12.5°6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝5x+7的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝2108．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c’B．将抛物线c沿x轴向右平移3个单位得到抛物线c’C．将抛物线c沿x轴向右平移5个单位得到抛物线c’D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c’二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．平面直角坐标系中，点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为．10．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为．11．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为．12．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝．13．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是．14．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解为．三、解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）15．（1）解方程：x（x+5）+x+5＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+21＝016．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k+3＝0有两个根分别为x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝15，求k的值．17．已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．18．如图，在正方形网格中，有格点三角形ABC（顶点都是格点）和直线MN．（1）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1（2）将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB2C2，在正方形网格中画出三角形AB2C2．（不要求写作法）四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）19．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝4，则CQ等于多少？20．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？21．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？五、解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年江西省南昌市南昌县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．2．函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），故选：A．3．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015B．B、2013C．﹣2015D．4030【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B．4．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．5．时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）A．150°B．120°C．25°D．12.5°【解答】解：如图所示：因为分针每分钟转6°，所以25分钟旋转了6°×25＝150度．故选：A．6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝5x+7的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝5x+7x2﹣1﹣5x﹣7＝0，则x2﹣5x﹣8＝0，∵b2﹣4ac＝57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，故选：B．8．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c’B．将抛物线c沿x轴向右平移3个单位得到抛物线c’C．将抛物线c沿x轴向右平移5个单位得到抛物线c’D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c’【解答】解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线C的顶点P为（﹣1，﹣4），若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将P点平移后以对称轴x＝1与P点对称．则P点平移后坐标应为（3，﹣4）．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：A．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．平面直角坐标系中，点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为（5，﹣8）．【解答】解：点（﹣5，8）关于原点对称的点的坐标为：（5，﹣8）．故答案为：（5，﹣8）．10．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为﹣9．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2﹣3m＝5，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×5＝1﹣10＝﹣9，故答案为：﹣9．11．边长为1的正方形网格在平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB平移得到的，已知A，B两点的坐标分别为A（3，3），B（5，0），若A1的坐标为（﹣5，﹣3），则B1的坐标为（﹣3，﹣7）．【解答】解：由点A到A1可知：各对应点之间的关系是横坐标加﹣8，纵坐标加﹣7，那点B到B1的移动规律也如此，则B1的横坐标为5+（﹣8）＝﹣3；纵坐标为0+（﹣7）＝﹣7；∴B1的坐标为（﹣3，﹣7）．故答案为：（﹣3，﹣7）．12．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．【解答】解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，故答案为：﹣313．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是12或6或15．【解答】解：方程x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或1514．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解为﹣6≤x≤2．【解答】解：把（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得4a﹣4a+c＝﹣3，即c＝﹣3，把x＝3代入ax2﹣2ax+c＝0得9a﹣6a+c＝0，解3a﹣3＝0，得a＝1，所以抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，解方程x2﹣2x﹣3＝﹣6x+9，解得x1＝﹣6，x2＝2，所以抛物线为y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣6x+9的交点的横坐标分别为﹣6，2，当﹣6≤x≤2时，ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9，即不等式ax2﹣2ax+c≤﹣6x+9的解集为﹣6≤x≤2．故答案为﹣6≤x≤2．三、解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）15．（1）解方程：x（x+5）+x+5＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+21＝0【解答】解：（1）x（x+5）+x+5＝0，（x+5）（x+1）＝0，∴x+5＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝﹣1；（2）x2﹣10x+21＝0，x2﹣10x＝﹣21，x2﹣10x+25＝﹣21+25，即（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2，∴x1＝7，x2＝3．16．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k+3＝0有两个根分别为x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝15，求k的值．【解答】解：（1）由题意可知：△＝4（k﹣1）2﹣4（k+3）≥0，∴k2﹣3k﹣2≥0，∴k＜或k＞；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k+3，∵（x1+2）（x2+2）＝15，∴x1x2+2x1+2x2＝11，∴k+3+4（k﹣1）＝11，解得：k＝；17．已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．【解答】解：（1）∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，∴13＝9a+b，∵当x＝﹣2时，y＝8，∴8＝4a+b，，解得：；（2）∵a＝1，b＝4，∴函数解析式为y＝x2+4，∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，∴n＝±4，则m＝40，n＝±4．18．如图，在正方形网格中，有格点三角形ABC（顶点都是格点）和直线MN．（1）画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1（2）将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB2C2，在正方形网格中画出三角形AB2C2．（不要求写作法）【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△AB2C2即为所求．四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）19．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝4，则CQ等于多少？【解答】解：（1）∵将△A1B1C顺时针旋转45°，∴∠ACA1＝45°，AC＝A1C，∠A＝∠A1，∵∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∴∠BCA1＝∠ACA1＝45°，且AC＝A1C，∠A＝∠A1，∴△A1CQ≌△ACP1（ASA）∴CP1＝CQ；（2）如图②，过点P1作P1E⊥AC，∵∠A＝30°，AP1＝4，P1E⊥AC，∴P1E＝2，∵∠ACA1＝45°，P1E⊥AC，∴CE＝P1E＝2，∴P1C＝2，∴CP1＝CQ＝2．20．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：1000（1﹣x）2＝810，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣x）件，依题意，得：[1000×（1﹣10%）﹣800]m+（810﹣800）（100﹣m）≥7300，解得：m≥70．答：第一次降价后至少要售出该种商品70件．21．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？【解答】解：（1）由题意得：y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤10）（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，∵13＞10，a＝﹣5＜0，∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴当x＝10时，y最大值＝﹣5×102+130×10+1800＝2600，∴售价＝40+10＝50元答：当售价为50元时，可获得最大利润2600元．（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）∴售价＝40+3＝43元．答：售价为43元时，每周利润为2145元．五、解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，∵过点A（﹣3，0），E（0，1），∴，解得：，∴直线AE解析式为y＝x+1，如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m﹣3），则F（m，m+1），∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝×DF×AG+DF×OG＝×DF×（AG+OG）＝×3×DF＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设P（﹣1，n），∵A（﹣3，0），E（0，1），∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，∴P（﹣1，﹣1）；③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．。

人教版2019--2020学年第一学期九年级数学期中测试试卷数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．以下是“回收”、“节水”、“绿色包装”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的方程(a－1)x2－1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a<1B．a≠1C．a>1D．a≠03．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．14．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定5．如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．106．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝（ ）A．100° B．110° C．120° D．140°7.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,半径OD∥AC,如果∠BOD=130°，那么∠B 的度（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°8．在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为 （ ）A ．30°B ．.60°C ．30°或150°D ．60°或120°9.在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 按顺 时针方向绕点C 旋转90°，得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°， 则∠EFD 的度数为( ).A.10°B. 15°C. 20°D. 25°10．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中，①4ac ＜b 2； ②a ＞b ＞c ； ③一次函数y ＝a +c 的图象不经第四象限；④3b +2c ＞0；⑤m （am +b ）+b≤a （m 是任意实数）；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．在平面直角坐标系中，点P (2，－3)关于原点对称的点P ′的坐标是 ．12．已知x =1是方程x 2－a =0的根，则a = ．13．如图，AC 是⊙O 的直径，∠1＝46°，∠2＝28°，则∠BCD ＝ ．14．如图，是⊙O 的直径，点在的延长线上，过点作⊙O 的切线，切点为，若，则AB AB C 25A = ∠______．D =∠15．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上（半圆的圆心为O ），四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC =a ，EF =b ，HN =c ，则a 、b 、c 的大小关系为 ．16．对于2≤x ≤5范围内的每一个值，不等式ax 2+2ax +7a －3>0总成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x 2－7x －1=0．（2）x (2x －5)=4x －10．18.已知二次函数 的图象经过点(2，0)和(－1，6).b ax y +=2（1）求二次函数的解析式；（2）求它的对称轴和顶点坐标.19、如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E ，连接 AC 、OC 、BC 。