高等数学附录

2012年考研数学一高等数学考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。

高等数学教材附录部分内容附：常用数学符号表本附录为高等数学教材的附带部分，旨在为读者提供常用的数学符号表，方便理解和应用高等数学中的概念和表达方式。

以下是一些常见的数学符号及其含义：1. 数学符号① Σ（Sigma）: 表示求和，常用于表示一系列数的和。

例子：1 + 2 + 3 + ... + n可用Σ表示为∑(i=1 to n) i。

② ∫（Integral）: 表示积分，常用于表示求函数在某一区间上的面积或变化率。

例子：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的积分可以表示为∫(a to b) f(x) dx。

③ Δ（Delta）: 表示差分或增量，常用于表示两个数或量之间的变化。

例子：△x表示x的增量，△y表示y的增量。

④ θ（Theta）: 表示角度，常用于表示平面或空间中的角。

例子：在三角函数中，sinθ和cosθ表示角度θ的正弦和余弦值。

⑤ π（Pi）: 表示圆周率，常用于表示圆的周长与直径的比值。

例子：π≈3.14159，是一个无理数。

2. 数学运算符① +（加号）: 表示加法运算，用于表示两个数相加。

例子：a + b表示a和b的和。

② -（减号）: 表示减法运算，用于表示两个数相减。

例子：a - b表示a和b的差。

③ ×（乘号）: 表示乘法运算，用于表示两个数相乘。

例子：a × b表示a和b的积。

④ ÷（除号）: 表示除法运算，用于表示一个数除以另一个数。

例子：a ÷ b表示a除以b的商。

⑤ =（等号）: 表示相等关系，用于表示两个数或表达式相等。

例子：a = b表示a等于b。

以上是常见的数学符号和运算符，它们在高等数学中发挥着重要的作用，帮助我们准确地表达和计算数学问题。

熟练掌握这些符号和运算符的含义和用法，对于理解和应用高等数学知识将起到积极的推动作用。

附录部分的内容至此结束，希望读者能够通过对常用数学符号和运算符的学习，提升对高等数学教材的理解和掌握。

高等数学同济第七版上册附录第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题一第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法Γ函数总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用总习题六第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程总习题七附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介附录Ⅱ基本初等函数的图形附录Ⅲ几种常用的曲线附录Ⅳ积分表习题答案与提示。

314 附 自我测试题参考答案第一章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 二、填空题1．[1,)+∞． 2．()x ϕ(,0]x ∈-∞． 3．6e ． 4．2e -． 5．5n =． 6．1-．三、1．1-． 2．1023⎛⎫⎪⎝⎭． 3．1． 4．4． 5．ln2．四、0x =是()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点，1x =是()f x 的第二类间断点中的无穷间断点． 五、2a =，1b =．六、1．证明 用单调有界准则证明．由于1111111n nn n k k x x n k n k ++==-=-+++∑∑=11121221n n n +-+++=102(21)(1)n n >++，其中1,2,n =．所以{}n x 单调增加．又11111nnn k k x n k n===≤=+∑∑，所以{}n x 有上界，根据单调有界准则知{}n x 收敛．证毕．2．证明 设()1cos f x x x =++，显然（1）()f x 在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续； （2）2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭=12π-+=102π-<， 2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12π+0>，所以由零点定理知()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个零点，即1c o s 0x x ++=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个根．证毕．B 级自测题一、选择题1．A ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．B ． 6．D ． 二、填空题1．2,11, 1x x x +<-⎧⎨≥-⎩． 2．1． 3．2． 4． 1x =，1x =-． 5．2a =，b 任意．三、1．1． 2．． 3． 1． 4． 2e ． 5． 6． 6．14． 7． 1． 四、当0a >时，()f x 在(,)-∞+∞内连续；当0a ≤时，()f x 在(,0)(0,)-∞+∞内连续，在点0x =处间断．五、1．证明:因为130,2x <<设30,2n x <<又1n x +(3)3,22nn x x +-=即 301.2n x <+<下证1n n x x +>.,n x 亦即01n x +<32<.成立所以1n n x x +>.由单调有界定理知数列{}n x 有极限.设lim .n n x A →∞=对1n x +A =解得123,02A A ==(舍掉).2．证明 设221121()1n n n f x x a xa x --=+++-．则(0)10f =-<，则对于1n >，由于 lim ()x f x →+∞=+∞，则0,0M X ∀>∃>，当x X >时，有()0f x M >>，现任意取一点0x ，使0x X >，则0()0f x >．所以()f x 在0(0,)x 上连续且0(0)()0f f x ⋅<，根据零点定理可知，()0f x =在0(0,)x内至少有一315个实根，从而()0f x =在(0,)+∞内至少有一个实根；同理可证()0f x =在(,0)-∞内至少有一个实根．即方程 22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个不同实根．证毕．第二章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．A ． 5．B ． 二、填空题1．1． 2．高阶无穷小． 3．1!(1)(1)n n n x +-⋅+．4．1(1)42y x π-=-，2(1)4y x π-=--． 5． 三、()f x 在区间[,ln3)2π-，(ln 3,3)上连续且可导，在ln3x =处不连续，不可导．四、1．2．d y x, y ''．3． 32(270)cos (30720)sin x x x x x ----． 4． ()()e (e )e (e )e ()f x x x x f x f f f x ''⋅⋅+⋅⋅． 5．4(1)(15)(1)x x x --+．6． 31e 2t --．7. sin()1sin()x y x y +-++，3[1sin()]yx y -++ ．五、1．证明 由于()()()()()l i ml i m l i m ()x a x a xaf x f a x a x f a x x ax aϕϕ→→→--'===--，又()x ϕ为连续函数则有lim ()()x ax a ϕϕ→=．故()()f a a ϕ'=．证毕．2．证明d d d d d d y y tx t x=，22d d d d d d d d d d d d d d d d y y y t y x x x t x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（1）其中2d d d d d d d d d d y y t x t t t ⎛⎫== ⎪⎝⎭， （2）其中2d d (sec )sec tan d d 1xt t t t t x ===-， （3） 将（3）代入（2）得22d d d d d d 1y y xt x t x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭．（4）将（4）代入（1）得22222d d 1d d 1y y x t x =-将d d yx ，22d d y x 代入原方程得222d 0d y a y t+=．证毕． B 级自测题一、选择题1．D ． 2．B ． 3．D ． 4．B ． 二、填空题1．!n ． 2．34π．3．sin n n θ．316 三、1．y '=231[(1(1]27x -⋅⋅．2．2(1tan )ln(sec )d x x x x x x+．3．21[(ln )(ln )]f x f x x '''-． 4．1011011100!100!3(4)(1)x x ⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦．5． 1(ln )ln(ln )ln x x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．6．11e [cot ]22(1e )xxx x -++- 7．sin e cos 2t t t ， 3e (cose e sine cose )4t t t t t t t t --． 8．3(1)f f '''-．四、(3)25()()3[()][()]f x f x f x f x '''--'．五、1．证明 用数学归纳法．当1n =时，11112d d 1e e e d d n n x xx n x x x x -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．假设当自然数n k ≤时，公式都成立，即1111d (1)e e d n n n x xn n x x x -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．那么，当1n k =+时 111d e d k k xk x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭=1d d e d d k k xkx xx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1112d e e d k k k x x k kx x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭ =111121d d d e e d d d kk k k x x kk k x x xx x ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1111(1)d (1)e e d k k x x k kk x x x -+⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ =1111112(1)(1)(1)e e e k k k x x xk k k k k x x x ++++----+=112(1)e k x k x++-．即当1n k =+时，等式也成立．2．证明 由于对任何(,)x y ∈-∞+∞、有()()()f x y f x f y +=⋅．取0y =，则有()()(0)()[1(0)]0f x f x f f x f =⋅⇒-=．由x 的任意性及(0)1f '=，知(0)1f =．所以对任何(,)x ∈-∞+∞有()f x '=0()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆=0()()()lim x f x f x f x x∆→∆-∆=0()[()1]lim x f x f x x ∆→∆-∆=0()[()(0)]lim x f x f x f x∆→∆-∆=()(0)f x f '⋅=()f x ． 3. 证明:利用参数形式所表示的函数的求导公式.得d (cos cos sin )tan .d (sin sin cos )y a t t t t t x a t t t t -+==-++曲线在对应于参数t 点处的法线方程为(sin cost)cot ((cos sin )),y a t t t x a t t t --=--+简化后为cos sin 0t x t y a ⋅+⋅-=，法线到原点的距离为22d ||co sin aa r t t==+.第三章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．D ． 二、填空题1．12ξ=． 2．1-． 3．2e π． 4．16 ；0． 5．12．317三、1．12 2． 16． 3． 在1(,1],52⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦及上单调减；在11,[5,)2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦及上单调增．在15x x =-=及处取得极小值，分别为(1)0f -=及(5)0f =，在12x =处取得极大值12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．(,1)-∞-与(1,1]-是曲线的凸区间；[1,)+∞是曲线的凹区间．(1,0)是拐点．5．2356ln 11(1)(1)(1)23!x x x ξ+-+-+-四、用反证法, 假设()f x 在[0,1]上有两个零点12,x x , 不妨设12x x <,则()f x 在区间12[,]x x , 满足罗尔定理条件, 于是至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得()0f ξ'=, 而当(0,1)x ∈时, 2()330f x x '=-<,这与()0f ξ'=矛盾, 故假设不成立, 命题得证.五、先证存在性.令()()1,F x f x x =+-则()F x 在[0,1]内连续,且(0)(0)10,(1)(1)0.F f F f =-<=>由闭区间上连续函数的零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使()0,F ξ=即ξ为方程()1f x x =-的实根.唯一性(用反证法证)若()1f x x =-在(0,1)内有两个不等实根1212,(01)x x x x <<<,即1122()1,()1f x x f x x =-=-.对12(),]f x x x 在[上利用拉格朗日中值定理,至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得21212121()()(1)(1)() 1.f x f x x x f x x x x ξ----'===---这与题设条件()1f x '≠-矛盾.唯一性得证.证华.六、提示:构造辅助函数()ln ()F x f x =, 对()F x 在[,]a b 用拉格朗日中值定理即可证.七、设224()ln e x x x ϕ=-，2e e x <<，则2ln 4()2e x x x ϕ'=-，21ln ()2xx x ϕ-''=，所以当e x >时，()0x ϕ''<，故()x ϕ''单调减小．从而当2e e x <<时，22244()(e )0e ex ϕϕ''>=-=，即当2e e x <<时，()x ϕ单调增加．因此当2e e a b <<<时，()()b a ϕϕ>，即222244ln ln e e b b a a ->-．故2224ln ln ()eb a b a ->-．八、设切点的坐标为(,)P x y ,切线方程为2(4)2()Y x x X x --=--,即221442X Yx x x+=++.故所求三角形面积为2232214116116()(4)8, ()=38,2244x S x x x x S x x x x x ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫'=+=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3132()64S x x x ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭. 由22116()3804S x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭,得x0S ''>,,当x 时,83y =,故所求点P为83⎫⎪⎭. B 级自测题一、选择题1． C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 二、填空题1．1 680． 2．12-； 3．1． 4．11(1),en n +-+- ． 5．1[1,e ]e ．三、1．14 2．21()2[()]f a f a ''-' 3. 112- 4．单调增加区间(,1)-∞和(3,)+∞, 单调减少区间(1,3)，(,0)-∞是凸的, (0,1)和(1,)+∞是凹的，极小值318 3274x y ==, 拐点(0,0), 铅直渐近线:1x =, 斜渐近线: 2y x =+． 5．7a 四、()f x 在[,]a b (0)a b <<满足拉格朗日中值定理, 从而存在一点(,)a b ξ∈, 使()()()()f b f a f b a ξ'-=-, 故问题归结为2()()()f b f a f b a abηη-'=-,即2()()()()111f b f a f f b a ηηηη'-'==---上式只要()f x 和1()g x x=在[,]a b 上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果．五、证法1 设2e()e (1)2x f x x =-+,显然()f x 在[1,)+∞上连续且可导，()e e x f x x '=-，在[1,)+∞上连续且可导，在[1,)+∞上有()e e 0x f x ''=->，所以()f x '单调递增，当1x >时,()(1)0f x f ''>=，从而有()f x 单调递增，所以1x >时,()(1)0f x f >=，即2ee (1)2x x >+.证法2 设()e t f t =，2()g t t =，显然它们在[1,]x 上满足柯西中值定理条件，所以有 2e e ()(1)()e 1()(1)()2x f x f f x g x g g ξξξξ'--==='--, 1x ξ<<.再令e ()x x x ϕ=，显然()x ϕ在[1,)+∞上连续且可导,2(1)e ()0xx x x ϕ-'=≥．所以()x ϕ在[1,)+∞单调递增．当1x >时,()(1)e x ϕϕ>=．故在1ξ>时有e ()e ξϕξξ=>，即2e e (1)2x x >+.证法3 展开()e x f x =为1x =点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式23e e e e e(1)(1)(1)2!3!xx x x ξ=+-+-+-, 1x ξ<<，所以 22e ee e e(1)(1)(1)2!2x x x x >+-+-=+.六、证明 (1)令()()x f x x Φ=-,显然它在[0,1]上连续, 又(1)(1)110f Φ=-=-<, 11()022Φ=>,根据零点定理知存在1(,1)2η∈, 使()0ηΦ=, 即()f ηη=.(2)令()()[()]xx F x e x e f x x λλ--=Φ=-, 它在[0,]η上满足罗尔定理的条件, 故存(0,)ξη∈, 使()0F ξ'=, 即{()[())]1}0e f f λξξλξξ-'---=, 故()[())]1f f ξλξξ'--=．七、证明 对()f x 在[0,](0)x x >上利用拉格朗日中值定理, 并注意到()0f x k '≥>, 有()(0)()(0)f x f f x kx x ξξ'-=≥<<，()(0)(0)f x f kx x ξ≥+<<，于是lim ()x f x →+∞=+∞. 故存在00x >,使得 0()0f x >，又(0)0f <, 由零点定理知, 存在0(0,)(0,)x ξ∈⊂+∞, 使得 ()0f ξ=；再由 ()0f x k '≥>知, ()f x 单调增加, 因此, ()f x 不可能有第二个零点, 故方程()0f x =在(0,)+∞内有唯一的实根.八、由[0,2](1)min ()x f f x ∈=，可知(1)f 是()f x 在[0,2]上的最小值．又()f x 在(0,2)内可导，从而有(1)0f '=．由于()f x 在(0,2)内有三阶导数，所以有231(1)()(0)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-， 101ξ<<，231(1)()(2)(1)(1)(21)(21)(21)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-，212ξ<<． 于是121(2)(0)[()()]13!f f f f ξξ''''''-=+=,即12()()6f f ξξ''''''+=．由()f x '''的连续性可知， ()f x '''在12[,]ξξ上有最大值M及最小值m，于是12()()2f fm Mξξ''''''+≤≤．再由连续函数的介值性定理知，至少存在一点12(,)(0,2)ξξξ∈⊂，使12()()()32f ffξξξ''''''+'''==．第四章A级自测题一、选择题1．B． 2．C． 3．B． 4．D． 5．B．二、填空题1．()f x C=．2．x C+． 3．31e3x C+．4．ln csc cotx x C-+．5．()e xf x C+．三、1．1722ln72x C+．2．cos secx x C-++．3．101(41)40x C-+．4．ln1xCx x--+．5．5222152x x x C+--．6．ln(1x C-+．7．csc cot22x xC-+．8．C．9．213ln2(22)2(1)2x ln x x arctg x C++++-++. 10．2111)]2C++．11．311ln tan3cos cos2xCx x+++． 12．222ln1ln2(1)41x xCx x-++++．四、111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰，令1()t f x-=，然后积分111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰1()()xf x f t dt-=-⎰1()()xf x F t C-=-+11()[()]xf x F f x C--=-+．B级自测题一、选择题1．A．2．C．3．C．二、填空题1．162e(7)12xx--+．2．22e(21)x x C---+．三、1．arcsin e ex C+．2．[sin(ln)cos(ln)]2xx x C++．3．21arctan(1)2x C++．4．1111sin2sin4sin6481624x x x x C++++．5C+．6．71ln17x C--++．7．ln1ee1xxxC---+++．8．e ln(e1)ln(e1)x x x C---+-++．9．2e C．10．12C-．319320 1111ln 21x C x-++． 12ln x C +．13．2C ．14．1tan 22C x -++． 四、2112dcos cos cos (1)d sin sin sin n n n n x x xI n x x x x+++=-=--+⎰⎰12cos d d (1)(1)sin sin sin n n n x x x n n x x x ++-=-+++⎰⎰， 21cos (1)(1)sin n n n xn I n I x++=--+++，从而，21cos (1)sin 1n n n x nI I n x n ++-=+++，1n =，2，． 五、先分别在(,1)-∞和(1,)+∞内求原函数21221,1()2,1x x x C F x x x C ⎧≤++⎪=⎨>⎪+⎩，由于()f x 在1x =处连续，因此，原函数()F x 在这点有定义且连续，从而得(1)(1)F F -+=，即12312C C +=+，211122C C C =+=+．故221,12()d 1,12x x C x f x x x x C⎧++⎪≤⎪=⎨>⎪++⎪⎩⎰． 六、提示22tan (sec 1)d n n I x x x -=-⎰．第五章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．A ． 3．B ． 4．D ． 5．C ． 二、填空题1．13． 2．ln2 3．4π-π． 4．22(e 1)+． 5．32a π．三、1．1-． 2．0 3．1,0,2a b c ===-．或1,0,0a b c ≠==．4．sin , 02()1,22x x x c x x π⎧≤≤⎪⎪Φ=⎨ππ⎛⎫⎪+-<≤π ⎪⎪⎝⎭⎩，()x Φ在[0,]π上连续．5．1arctan 2． 6．e 12-． 7．2a． 8．π． 四、1．94． 2．12a π，22a π，12ln 22a ⎛⎫-π ⎪⎝⎭． 3．0x=2(3a π，032y a =．五、证明 根据积分中值定理得，存在1(0,)a ξ∈与2(,)a b ξ∈满足()d ()d a bab f x x a f x x -⎰⎰=12()()()b af a b a f ξξ⋅-⋅-=2122[()()]()ab f f a f ξξξ-+0>，（由()0f x >且递减）．即得 0()d a b f x x >⎰()d baa f x x ⎰．B 级自测题一、选择题3211．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 二、填空题1．2x ． 2．3． 3．163． 4．444b a -． 5．22a π．三1．316π． 2．1(16． 3．22π+． 4．22ln2-． 5．5221e e 2-．6．2ln 2x．四、1．54a =，b =16-，0c =． 2．45πm/m in ．五、1．若令2x t =，则2221d aa x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221a a f t t ⎛+ ⎝⎰=22211d d []2a a a a ta t f t f t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．而若令2a u t=，22d a a a t f t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=22122a a u a f u du u a u ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰=21d a a xf u u u ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．于是证得左边=右边．2．证法1 由于()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b ba af x h x f x x h h +-⎰⎰． 令x h u +=，则1()d b a f x h x h +⎰=1()d b ha hf u u h ++⎰于是()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b h ba h af x x f x x h h ++-⎰⎰ =11()d ()d b h a hb af x x f x x h h ++-⎰⎰． 由积分中值定理与()f x 的连续性可知01lim ()d ()b h b h f x x f b h +→=⎰，01lim ()d ()a hah f x x f a h +→=⎰．原题得证． 证法2 0()()l i m d ba h f x h f x x h→+-⎰=0()d ()d lim b h ba h ah f x x f x x h ++→-⎰⎰ =[]0lim ()()h f b h f a h →+-+=0．即0()()lim d ()()ba h f x h f x x fb f a h→+-=-⎰．3．当1x ≥时，221'()0()f x x f x =>+．，故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加．又(1)1f =，则当1x ≥时，()1f x ≥．于是()(1)f x f -=1'()d x f x x ⎰=2211d ()xx x f x +⎰211d 1xx x ≤+⎰=arctan 4x π-24ππ≤-=4π， 得()14f x π≤+．由于()f x 在区间[1,)+∞上单调增加且()14f x π≤+，根据单调有界定理知lim ()x f x →+∞存在且有lim ()x f x →+∞14π≤+． 第六章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3.D ． 4.A. 5. B.322 二、 填空题 1．263-；23.2. 29100y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.3. 以原点为圆心，2为半径的圆周；以224x y +=为准线，母线平行于z 轴的圆柱面．4. 4370x y z --+=.5. 321421x y z -+-==-．三、8)-四、(,)3π=a b五、225400x y xy x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩；2252400x z xz x y ⎧+--=⎪⎨=⎪⎩；22200y z y z x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩六、8550x y z -++=七、21051,,333P ⎛⎫- ⎪⎝⎭八、θ=，174710,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭.九、20451330x y z --+=或20451190x y z ---=． 十、12212x y z -+==- B 级自测题一、选择题1．D ． 2.C ． 3.C ． 4.C ． 5.C ． 二、填空题1．2. 2.15-. 3.22221x z a c +=，z ；22221y z a c+=，z ．4.23435x y z -+==-. 5.0.x y z -+=． 三、13λ=±，23μ=±，148,,333⎛⎫=± ⎪⎝⎭d ．四、123121x y z -+-==-- 五、44133122y z x ++-==-；1d =. 六、952002590x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩七、过l 作平面1π垂直平面π，则1π过点(1,0,1)且法向量n 垂直于l 的方向向量(1,1,1)-及π的法向量(1,1,2).- 即111(1,3,2).112=-=---ij kn 1π的方程为(1)32(1)0x y z ----=，即3210.x y z --+=从而0l 的方程为210,3210.x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩ 消去z 得2x y =，消去x 得210.y z +-=0l 的对称式方程为12.1212z x y -==- 设0l 绕y 轴旋转所成的旋转面上323的点(,,)X Y Z 是由0l 上的点(,,)x y z 绕y 轴旋转而得到的，故2222,.Y y X Z x z =+=+又0l 上的点(,,)x y z 满足2,1(1),2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩故222214(1).4x z y y +=+-即曲面方程为 222214(1)4X Z Y Y +=+-，即2224174210.X Y Z Y -++-=仍用(,,)x y z 表示旋转面上的点，得方程为2224174210.x y z y -++-=八、解:设点M 的坐标为000(,,)x y z ,则曲面在点M 处的法向量000(2,4,6)x y z =n ,故过点M 的切平面方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321.x x y y z ++=由于切平面过直线6321212x y z ---==-,故直线的方向向量(2,1,1)=-s 与n 垂直,即0002230x y z +-=,①.且点16,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在切平面上,故000366212x y z ++=,②.又点M 在曲面上,即222002321x y z ++=,③.由①②③可得220002,29z x y =+=,所以,0001,2, 2.x y z === 故所求的切平面方程为4621.x y z ++=第七章A 级自测题一、选择题1．B ． 2.D ． 3. A ． 4. B ． 5.B ． 二、填空题1．{}(,)0,2(21),0,1,2,x y x n y n n ≥π≤≤+π=±±{}(,)0,(21)(22),0,1,2,x y x n y n n ≤+π≤≤+π=±±2.2(,)2x xy f x y -= 3．2{1,2,2}9- 4.22eπ 5.122211x y z -++==-三、1．11e z y z x -∂-=∂-，e 1e z y z yz y --∂-=∂- 2.34θπ=. 3．极大值,36z ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．2122222z f xg xyg g x y ∂'''''''=-+++∂∂.5．23250x y ++-=，2323x y --=. 四、因为u u x u y u z r x r y r z r ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂sin cos sin sin cos u u ux y zθϕθϕθ∂∂∂=++∂∂∂10uu u x y z r x y z ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭， 因此，u 与r 无关.五、． 六、1.3x y z ++=七、223()z xzx y y x z ∂=∂∂+ 八、221()yf x y - B 级自测题一、选择题1．B ． 2.C ． 3.D ． 4.B ． 5.B ． 二、填空题1．d d .z x y = 22-324 3.arctan 122ln x y y z y y yx y x x y -⎛⎫∂=+ ⎪∂+⎝⎭，arctan 22ln 1ln arctan xy yz x y x x x y y x yy y ⎛⎫∂-=++ ⎪∂+⎝⎭. 4．⎧⎪⎨⎪⎩ 5．0. 三、1． 1.-2．214u v x uv ∂-=∂+，114v y uv∂=∂+. 3.(3,4)125z -=，(3,4)75z -=-4．d d y x y z x x y y zf g f g h uf xg gh ''''''=-+'''5．在点(2,0,1)-取极小值1z =;在点168,0,77⎛⎫- ⎪⎝⎭取极大值87z =-.四、2u y yx x x ϕψψ∂''=-+-∂， 2222223422334322u y y y y y y y y x x x x x x x x x ϕϕψψψϕϕψ∂''''''''''''=+-++=++∂，(1) 2232232u y y y yx y x x x x x x x xϕψψϕϕψϕψ''''∂''''''''=--+--=---∂∂，(2) 1u y x ϕψ∂''=+∂，22211u y x x ϕψ∂''''=+∂ (3) 将22(1)(2)2(3)x xy y ⨯+⨯+⨯即得所证的等式. 五、5, 2.a b =-=-，七、设曲面上任一点(,,)M x y z 的法向量12122()(),,()f f f x a f y b z c z c z c ''''⎧⎫-+-=-⎨⎬---⎩⎭n ，这样，过任意点(,,)M x y z 的切平面方程为 12122()()()()()0()f f f x a f y b X x Y y Z z z c z c z c ''''-+--+---=---，即 1212()()()()[()()]()0z c f X x z c f Y y f x a f y b Z z ''''--+----+--=，这样，对曲面上任意点(,,)M x y z ，取(,,)(,,)X Y Z a b c =均能使上式恒满足，故切平面都通过定点(,,)a b c .八、令u tx =，v ty =，w tz =，则u x t ∂=∂，v y t ∂=∂，w z t∂=∂，将关系式 (,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =两边对t 求偏导，得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t-∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂，即 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 将上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z x y z ∂∂∂++=∂∂∂ ，即(,,)f f fu v w kf u v w x y z ∂∂∂++=∂∂∂将,,u v w 分别换写成,,x y z ，得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 第八章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3. D ． 4. A ． 5. C ． 二、填空题3251.202d (,)d d (,)d .a aa I x f x y y x x y y =+⎰⎰2. 132I I I <<．3.2sec 40d d (cos ,sin ,)d .f z z θρθρρρθρθπ⎰⎰⎰4. 8(,).25a a -5.()24222R I R R e π⎡⎤=-+-⎣⎦．三、1.1(1cos1)3- 2.11(1e )2--3.1)6π4.648a 5.4π四、412π．五、ln 22π．六、证明：先利用球面坐标计算(),F t 再求极限．222220()d d ()sin d 4()d ,t tF t f r r r f r r r θϕϕπππ==⎰⎰⎰⎰2222055400022004()()4()lim lim lim 54()4()44lim lim (0).5555tt t t t u f r r dr F t f t t t t t f t f u f t u +++++→→→→→ππ==ππππ'====⎰七、21()Gm R R μπ-八、以圆柱体与半球底面重合的平面为xOy 平面，底面圆心为原点建立空间直角坐标系（半球位于z 轴正向），则圆柱体可表示为：222,0x y R H z +≤-≤≤，半球体表示为：2222,0.x y z R z ++≤≥设此几何体的体密度为,ρ根据题意，其重心坐标中1d z z MρυΩ=⋅⎰⎰⎰02232023d d d d d sin cos d 023RRHz z r r r rR H R θϕθϕϕπππ-+==π+π⎰⎰⎰⎰⎰⎰整理可得224024R H R ππ-+=，即.H ．B 级自测题一、选择题1.C ．2.D ．3.C ．4.B ．5.A ． 二、填空题1.1320d (,)d .y I y f x y x -=⎰2.1sin1-.3.23202cos d d .p p θθπ⎰⎰4.sin 222sin 06d sin d ()d r f r r θφθφφπππ⎰⎰⎰． 5.2222(,)sin()1f x y x y π=++-π． 三、1.2.92.21)32π+．3.4.3 4.316a π.．四、3(2cos )3R π-．五、5123π． 六、49()4e e -．七、12cm ．八、ln 2210()()d d d ()d xye x D I t x t x y x x t y =-=-⎰⎰⎰⎰ 223121(e 1)e ,299t t =-+++由326 21()2(e 1)0,2I t t '=-+=得2e 1,4t +=由()20I t ''=>可知，2e 14t +=时()I t 最小． 第九章A 级自测题一、选择题1.D ．2.B ．3.C ．4.D ．5.A 二 、填空题1.π2.4π3.18π4.3π5.246++i j k三、1.212n a +π 2.44R π 3.3R π 4.33221()3x y xy x y C --++ 5.3-π四、8π．21)t t -．． 七、()e x f x =．八、证明 由高斯公式可知 2222d d d d (1)d d x yz y z xy z z x xyz z x y ∑-++⎰⎰(12)d d d 2d d d xyz x y z V xyz x y z ΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于Ω关于xOz 平面对称, xyz 是区域Ω上关于y 的奇函数, 故有d d d 0xyz x y z Ω=⎰⎰⎰．所以等式成立．B 级自测题一、选择题1.A ．2.D ．3.C ．4.A ．5.D 二、填空题1.12.a 2.32π．3.(,,)d Q x y z y S ∑⎰⎰4.3(2.R π5.23三、1.π 2.22a π 3.32222a a b ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 4.-π． 5.1:7:2．四、24-． 五、2π．六、ξηζ. 七、32π． 八、证明: (1) 由格林公式, 有sin sin sin sin d d ()d d y x y x LDxe y ye x e e x y ---=+⎰⎰⎰，sin sin sin sin d ed (e e )d d yxy x LD xey y x x y ---=+⎰⎰⎰，由轮换对称性, 有sin sin sin sin ed de d d ,e d d e d d yx y x DDDDx y x y x y x y --==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，因此sin sin sin sin ed ed e d e d yxy x LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰．(2) 由(1)知sin sin sin sin e d e d (e e )d d y x y x LDx y y x x y ---=+⎰⎰⎰sin sin (e e )d d 2d d x x DDx y x y -=+≥⎰⎰⎰⎰．327第十章A 级自测题一、选择题1. A ．2.B ．3.C ．4.D ． 二、填空题1.1a >2.R ， ()s x '．3.[2,2)-．4.22π 三、 1.收敛且其和为112． 2.当1p >时, 级数收敛; 当01p <≤时, 级数发散. 3.当2a >时, 级数收敛; 当02a <<时, 级数发散, 当2a =时, 级数可能收敛也可能发散. 4.绝对收敛．四、1.(2,0]-． 2.11ln(),(11)21xx x+-<<-.五、1.101(1)1(1),(02)32n n n n x x ∞+=⎡⎤--+-<<⎢⎥⎣⎦∑．2．11(1)!n n nx n ∞-=+∑，（x -∞<<+∞，0x ≠），11(1)!n nn ∞==+∑．3．20211(1)()cos 112cos 2n n n n a f x a nx nx nπ∞∞==-=+=++∑∑，x -∞<<+∞．六、证明 因为级数1n n a ∞=∑，1n n b ∞=∑都收敛，故级数1()n n n b a ∞=-∑收敛，又因为n n na ub ≤≤⇒0n n n n u a b a ≤-≤-，由比较审敛法可知正项级数1()n n n u a ∞=-∑收敛，而()n n n n u a u a =+-，故级数1n n u ∞=∑也收敛．B 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．B ． 5．C ． 二、填空题1.32a >．2.4R =．3.244(1)(1) ()x x x +-+--∞<<+∞．4.23π三、收敛． 四、条件收敛．五、231(3)11(1)x x x x ---++，（1x <）． 六、53ln 284-． 七、112S =，21ln 2S =-． 八、1011(1),132n n n n x x ∞+=⎡⎤+-<⎢⎥⎣⎦∑．九、2218121cos ,[0,2](21)2n n x x n ∞=--π∈π-∑．十、1．证明 记() 1.n n f x x nx =+-当0x >时，'1()0n n f x nx n -=+>，故()n f x 在[0,)+∞上单调增加．而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>，由连续函数的介值定理知10n x nx +-=存在唯一正实根n x ．由10nnn x nx +-=与0n x >，知110n n n x x n n -<=<．故当1α>时，10.n x n αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭而正项级数11n n α∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，所以当1α>时，级328 数1n n x α∞=∑收敛．2. 证法1 由0()lim0x f x x→=得(0)0,(0)0,()f f f x '==在0x =的邻域内可展开为21()(0)(0)(),01,[,]2f x f f x f x x x θθδδ'''=++<<∈-，故21()(),(01)2f x f x x θθ''=<<．()f x ''在0x =的邻域(,)δδ-内连续，故在闭区间[,](,)ααδδ-⊂-上连续，因而()f x ''有界，即存在0M >，使(),[,]f x M x αα''≤∈-，即2(),[,].2M f x x x αα<∈- 因此对于0,0N α>∃>，当n N >时，有10n α<<，从而可得211()2M f n n <，故1n Nf n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．证法2 由0()lim 0x f x x→=可得，(0)0,(0)0f f '==，由于()f x 在0x =的邻域内具有二阶连续导数，所以2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''===，从而20()1lim (0)2x f x f x →''=，由此得21()1lim(0)2n f nf n→+∞''=，因211n n∞=∑收敛，所以11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．第十一章A 级自测题一、选择题1.C ．2.B ．3.B ．4.D ． 二、填空题1.1阶．2.()d ()d e (()e d )g x x g x xy f x x C -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数． 3.2(12)e x y x =+．4.2121e 2x C C x x +--．三、1．1sin y x C=-+，此外还有解0.y =2.222(ln )y x x C =+．3.312x Cy y =+．此外，还有解0y =．4.12ln ||y C x C =+．5.12345()cos ()sin .y C C C x x C C x x =++++6.2121()e sin 28x y C C x x -=++．四、是全微分方程，方程通解为2(1e )C θρ+=．五、(03)y x <<．六、点(,())x f x 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，得截距Y y y x '=-，由题设得方程1()d x f t t y xy x '=-⎰，即20()d x f t t xy x y '=-⎰，两边对x 求导，得 2()2f x y xy xy x y ''''=+--，即0xy y '''+=，亦即()0xy ''=，1xy C '=，12()ln f x C x C =+即为所求的一般表达式．七、证明 把1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++代入原方程的右端得：1211223(1)()()()C C y x C y x C y x ''''''--+++1121()[(1)()P x C C y x '--1223()()]C y x C y x ''+++[]21211223()(1)()()()P x C C y x C y x C y x --++329又由于123(),(),()y x y x y x 为原方程的特解，故上式整理后等于()Q x ，因此，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++是原方程的解，下面来证明它是原方程的通解，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++ 可以写成[][]1212311()()()()()()y x C y x y x C y xy x y x =-+-+，由12(),(),y x y x 3()y x 为原方程的特解，因此, 2131()(),()()y x y x y x y x --便是相应齐次线性方程12()()0y P x y Px y '''++=的两特解，又2131()()()()y x y x y x y x -≠-常数，所以21()()y x y x -与31()()y x y x -线性无关，依据解的结构原理，原非齐次线性方程的通解为[][]1212311()()()()()y C y x y x C y x y x y x =-+-+1211223(1)()()()C C y x C y x C y x =--++ 证毕．八、证明 以21y f x x μ⎛⎫=⎪⎝⎭乘以方程的两边得21d d 0y y y f x f y x x xx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 记2d y y P f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1d y Q f y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则231P y y y Qf f y x x x x x ∂∂⎛⎫⎛⎫'=--=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭， 从而d d 0x y y x μμ-=为全微分方程， 故μ为原方程的一个积分因子．证毕．B 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．A ． 4．C ． 二、填空题1．0y y x ''--=． 2．331y x x =++．3．11ln 39y x x x =-． 4．12e (cos sin )e x x y C x C x =++．三、1．()22x y x C -+=， 2．322xy x y C --=． 3．25123e e e .x x x y C C C -=++4．2121(1)e 2x y x C x C =-++．5．121cos sin e sin 22x xy C x C x x =+++．6．4411e 4x x C y -=-++．四、()sin cos x x x ϕ=+．五、1e sin 2x y x x -=+．六、曲线()y y x =上点(,)P x y 的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，故它与x 轴的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭，由于()0y x '>，又(0)1y =，所以()0y x >，于是有21122y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭ ，又20()d xS y t t =⎰．由关系式1221S S -=，得20()d 1x y y t t y -='⎰，对该方程两边关于x 求导并整理得2()yy y '''=，此方程是不显含x 的可降阶的高阶微分方程，令p y '=，则有d d y y x '''==d d d d d d p y pp y x y=，代入方程2(')yy y ''=得2d d p ypp y =，由于0p y '=>，所以有d d p y p y =，分离变量有d d ,p yp y=两边积分得1p C y =，即有1d ,d y C y x =于是12e ,C x C y +=并注意到(0)1,y =在方程2()d 1x y y t t y -='⎰中令0x =，得另一初值条件(0)1y '=，由此可得330 121,0,C C ==故所求的曲线方程为e x y =．七、6ln3．八、证明 因()(1)f x f x '=-, 求导得：[]()(1)(1)(1)1(1)()f x f x f x f x f x ''''=--=--=---=-, 即()()0f x f x ''+=，解之得其通解为12()cos sin f x C x C x =+，又由于()(1)f x f x '=-，因此，1212sin cos cos(1)sin(1)C x C x C x C x -+=-+-， 令0x =得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-， 从而方程()(1)f x f x '=-的解为 11sin1()cos sin cos1f x C x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 证毕．九、证 （1）z f x ∂'=∂，z f y ∂'=∂,()222222zx f f x x y ⎫∂'''=+∂+⎝()2222x f f x y '''=++, 同理()222222zy f f y x y ∂'''=+∂+将22z x ∂∂与22z y ∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂中可得0f ''，即 ()()0f u f u u'''+=． （2）令()f u p '=，则d d p p u u =-，d d p u c p u=-+⎰⎰，ln ln p u c =-+，()c f u p u '== 因为(1)1f '=，1c =，2()ln ||f u u c =+，由(1)0f =得20c =，故()ln f u u =．。

高等数学A2教材附录附录一：数学符号表在高等数学中，有许多常用的符号和记号。

以下是一些常见数学符号及其含义的表格：符号含义π 圆周率e 自然对数的底数∑ 求和∫ 积分∂ 偏导数∞ 无穷大⇒导致/蕴含⊂包含于≅全等于附录二：常用函数表高等数学中，有一些常用的函数，它们在各种数学问题中具有重要的作用。

下面是一些常见函数及其定义和性质：函数定义性质幂函数 y = x^n n为常数，x为自变量指数函数 y = a^x a>0，a≠1，x为自变量对数函数y = logₐ(x) a>0，a≠1，x为自变量三角函数 sin, cos, tan 角度为自变量反三角函数 arcsin, arccos, arctan 以数值为自变量指数和对数函数、三角函数和反三角函数等在数学分析、微积分、微分方程等领域中广泛应用。

附录三：常用的数学公式1. 三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))2. 指数与对数函数的基本性质：a^x * a^y = a^(x+y)(a^x)^y = a^(xy)logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)3. 微积分中的基本公式：导数公式：（1）常数函数导数为0（2）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)（3）指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln(a)（4）对数函数的导数：(logₐ(x))' = 1 / (x * ln(a))积分公式：（1）幂函数的积分：∫(x^n)dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（2）指数函数的积分：∫a^xdx = (1/ln(a)) * a^x + C（3）对数函数的积分：∫(1/x)dx = ln|x| + C以上是高等数学中一些常见的函数和公式，希望对你的学习有所帮助。

2019年考研数学一高等数学考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。

高等数学教材附录附录一：数学符号在高等数学中，有许多特定的数学符号被广泛使用。

下面列举了一些常见的数学符号及其含义：1. 基本运算符号加法：$+$，减法：$-$，乘法：$\times$，除法：$\div$2. 常用运算符号等于：$=$，不等于：$\neq$，小于：$<$，大于：$>$，小于等于：$\leq$，大于等于：$\geq$3. 集合符号属于：$\in$，不属于：$\notin$，子集：$\subset$，包含：$\supset$，真子集：$\subsetneq$，真包含：$\supsetneq$，并集：$\cup$，交集：$\cap$，空集：$\emptyset$4. 指数和根号上标：$a^b$，下标：$a_b$，指数：$a^{bc}$，根号：$\sqrt{a}$5. 极限极限：$\lim$，导数：$\frac{d}{dx}$，偏导数：$\frac{\partial}{\partial x}$6. 微积分符号积分：$\int$，定积分：$\int_a^b$，不定积分：$\int dx$，微分：$dx$7. 求和求和：$\sum$，无穷求和：$\sum_{n=1}^{\infty}$，乘积符号：$\prod$8. 向量和矩阵符号向量：$\vec{a}$，矩阵：$\mathbf{A}$，转置：$^T$，内积：$\cdot$，叉乘：$\times$9. 特殊函数符号绝对值：$|x|$，自然对数：$\ln$，常用对数：$\log$，三角函数：$\sin, \cos, \tan$，反三角函数：$\arcsin, \arccos, \arctan$，指数函数：$e^x$此外，还有许多其他的数学符号和表达方式，在具体的数学领域中有特定的使用方法。

熟练运用这些数学符号，将有助于更好地理解和表达高等数学的概念和原理。

附录二：常用公式以下为一些常见的高等数学公式，在学习过程中可以作为参考和复习之用：1. 三角函数公式$\sin^2x + \cos^2x = 1$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$2. 指数与对数公式$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$(a^m)^n = a^{mn}$$\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$$\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$3. 微分与积分公式导数公式：$\frac{d(u \pm v)}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$$\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$\frac{d(e^x)}{dx} = e^x$$\frac{d(\ln x)}{dx} = \frac{1}{x}$$\frac{d(\sin x)}{dx} = \cos x$$\frac{d(\cos x)}{dx} = -\sin x$积分公式：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$\int e^x dx = e^x + C$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$\int \cos x dx = \sin x + C$$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$4. 三角函数的导数与积分公式$\frac{d(\sin x)}{dx} = \cos x$$\frac{d(\cos x)}{dx} = -\sin x$$\frac{d(\tan x)}{dx} = \sec^2 x$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$\int \cos x dx = \sin x + C$$\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C$附录三：参考书目以下是一些优秀的高等数学教材供您进一步学习和参考：1. 《高等数学》（同济大学版）作者：郭家著、刘畅、杨健编出版社：高等教育出版社2. 《高等数学》（科学出版社版）作者：郭家著、邓约威、史钟智编出版社：科学出版社3. 《高等数学》（清华大学版）作者：陈纪修、李荣华、李维善编出版社：高等教育出版社4. 《高等数学教程》（第7版）作者：冯震、陈建中、貌涌臣编出版社：高等教育出版社这些教材内容丰富、结构清晰，适合高等数学的学习和教学使用。

476 附录4 极 坐 标一、极坐标通常我们所使用的平面坐标系是直角坐标系，它是最简单和最常用的一种坐标系，但不是唯一的坐标系，有时利用别的坐标系比较方便，例如，炮兵射击时是以大炮为基点，利用目标的方位角及目标与大炮的距离来确定目标的位置的．在航空、航海中也常使用类似的方法．下面研究如何利用角和距离来建立坐标系．在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） （图1）．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段的OM 长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ就叫做点M 的极坐标．这样建立的坐标系叫做极坐标系．极坐标为,ρθ的点M ，可表示为(,)M ρθ． 当点M 在极点时，它的极坐标0ρ=，θ可以取任意值．如图2，在极坐标系中，,,,,,,A B C D E F G 各点的极坐标分别是 (4,0),π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,π3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,5π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭,()3.5,π,4π6,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,5π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 角也可以取负值，例如点,,B D F 的坐标也可以写作7π2,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,7π1,6⎛⎫- ⎪⎝⎭,2π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 在一般情况下，极径都是取正值．但是在某些必要的情况下，也允许取负值．当0ρ<时，点(,)M ρθ的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使xOP θ∠=，在OP 的反向延长线上取一点M ，使||||OM ρ=．点M 就是坐标为(,)ρθ的点（图3）.例如图4中，当极径取作负值时，点,,,,A B C D E 的坐标写作π3,6⎛⎫- ⎪⎝⎭,11π4,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,π5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,23π2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,5π1,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内确定唯一点M ；反过来，给定平面内一点，也可以找到它的极坐标(,)ρθ．但和直角坐标系不同的是，平面内一个点的极坐标可以有无数种表示法．这是因为(,)ρθ和(,π)ρθ-+是同一点的坐标，而且一个角加2πn （n 是任意整数）后都是和原角终边相同的角．比如π6,6⎛⎫ ⎪⎝⎭,π6,π6⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,以及π6,2π6⎛⎫+ ⎪⎝⎭, π6,2π6⎛⎫- ⎪⎝⎭,π6,3π6⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，π6,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭-等等，都是同一点的极坐标．一般地，如果(,)ρθ是一个点的极坐标，那么(,2π)n ρθ+、(,(21)π)n ρθ-++都可以作为它的极坐标（这里n 是任意整数）．但如果限定0ρ>，02πθ≤<或ππθ-<≤，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了．以下，在不作特殊说明时，认为0ρ≥．二、曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程(,)0ϕρθ=来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程．这时，图 2 π2G477以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线上的点．由于在极坐标平面中，曲线上每一个点的坐标都有无穷多个，它们可能不全满足方程，但其中应至少有一个坐标能够满足这个方程．这一点是曲线的极坐标方程和直角坐标方程的不同之处．求曲线的极坐标方程的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标ρ,θ的关系式(,)0ϕρθ=表示出来，就得到曲线的极坐标方程．例1 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程． 解 设(,)M ρθ为射线上任意一点（图5），则射线就是集合 π|4P M xOM ⎧⎫=∠=⎨⎬⎩⎭. 将已知条件用坐标表示，得 π4θ=，这就是所求的射线的极坐标方程，方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ，无论取任何正值，θ的对应值都是π4． 如果允许ρ取负取时，方程(1)所表示的是倾斜角为π4的一条直线．如果ρ不允许取负值，这条直线就要用两个方程π4θ=和5π4θ=来表示． 例2 求圆心是(,0)C a ，半径是a 的圆的极坐标方程．解 由已知条件，圆心在极轴上，圆经过极点O ．设圆和极轴的另一个交点是A （图6），那么||2OA a =设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM AM ⊥，可得||||cos OM OA θ=用极坐标表示已知条件可得方程2cos a ρθ=这就是所求的圆的极坐标方程．三、极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标; 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．如图7，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ．从点M 作M N O x ⊥，由三角函数定义，可以得出x 、y 与ρ、θ之间的关系：cos ,sin x y ρθρθ==(1)由关系式（1），可以得出下面的关系式：222,tan (0).y x y x xρθ=+=≠ 在一般情况下，由tan θ确定角θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角．例1 把点M 的极坐标π(5,)6-化成直角坐标． 解π5cos 6x =-=π55sin 62y =-=-．所以，点M的直角坐标是52⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例2 把点M的直角坐标()1-化成极坐标．解2ρ, tan θ478 因为点M 在第三象限，0ρ>,所以，最小正角7π6θ=.因此，点M 的极坐标是72,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例3 化圆的直角坐标方程2220x y ax +-=为极坐标方程．解 将（1）式代入原方程，得2222cos sin 2cos 0a ρθρθρθ+-=，就是2cos a ρθ=.例4 化圆锥曲线的极坐标方程e 1ecos p ρθ=-为直角坐标方程． 解 原方程化为e cos e p ρρθ=+．将cos ,x ρθρ=e()x p +，两边平方后，整理得222222(1e )2e e 0x y px p -+--=.e()x p +两边平方时，对于e 1>的情形， 方程产生增根，这时方程表示整个双曲线，它相当于原极坐标方程允许0ρ<的情形．。