“等时圆”模型 教师版

等时圆模型最GROUP systen. ofHce roon.GEIGEIHUA^H-GEIHUA GEIHU/栏等时模型的规律及应用一.等时圆模型（如图所示） B B 1、小球从圆的J 贝瑞沿比消弦轨道靜山渭卜，滑到弦轨道与圆的交点的时间相 等。

（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（〃）自由落体 的时间，即山=禺=黒=2耳 （式中R 为圆的半径。

）三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为圆的直径为〃图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运度为d = gsina,位移为s = 〃sina,所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

等时圆规 A A（如右动，加速四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上, 所以A正确。

例2：如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知0B二L。

求小环从A滑到B的时间。

【解析】：可以以0为圆心，以L为半径画一圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时等于从A点沿例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h, B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求0、P两点之间的葩离OPo解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

如图6所示，此时等时圆的半径为:所以OP = AR 2H(H+h)光滑），使 例4：如图7, AB 是一倾角为。

06“等时圆”模型1．如图所示，在竖直平面内有半径为R 和2R 的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A ，B 和C 分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB，AC长为．现沿AB 和AC 建立两条光滑轨道，自A 处由静止释放小球，已知小球沿AB 轨道运动到B 点所用时间为t 1，沿AC 轨道运动到C 点所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为()A．B ．1:2C．D ．1:3【答案】A 【详解】方法一：设AB 与竖直方向的夹角为θ，则：AB =2R cos θ，由牛顿第二定律得物体沿AB 下滑的加速度为：a =g cos θ，解得在AB上运动的时间为：1t同理设AB 与竖直方向的夹角为α，则：AC =4R cos α，由牛顿第二定律得物体沿AC 下滑的加速度为：a =g cos α，可知物体在AC上运动的时间为：2t．则12t t A 正确．方法二、令AC 和小圆的交点与D 点，物体沿AC 运动到D 的时间为1t ．则在小圆中物体沿AC 到D 点的时间和沿AB 到B点的时间相等，等于：1t 物体沿AC 运动到D 的时间为2t为：2t则12t t 【点睛】本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并能结合几何关系求解．2．如图所示，一个物体由A 点出发分别沿三条光滑轨道到达C 1，C 2，C 3，则()A ．物体到达C 1点时的速度最大B ．物体分别在三条轨道上的运动时间相同C ．物体到达C 3的时间最短D ．在C 3上运动的加速度最大【答案】C 【详解】在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度mgsin a gsin m斜面倾角越大，加速度越大，所以3C 上运动的加速度最大，根据几何知识可得：物体发生位移为hx sin，物体的初速度为零，所以212x at解得t倾角越大，时间越短，物体到达3C 的时间最短，根据22v ax 得，v 相等，故C 正确。

等时圆模型收集于网络，如有侵权请联系管理员删除等时圆模型一、 何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L =③ 由以上三式得，g Rt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。

由此题我们可以得出一个结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。

推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。

像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。

关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用1、可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定图2图1xymg θ AB C D M 图4图3 A收集于网络，如有侵权请联系管理员删除光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。

“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。

而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。

基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆”如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos①图1x ymg θ再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gR t 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。

由此题我们可以得出一个结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。

推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。

象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。

关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在图2图3 A同一“等时圆”上，所以A 正确。