五年级奥数一半模型教师版

比例模型1鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.ADD AE EB C B C即有关系式S ADE AD AES ABC AB AC∆∆⨯=⨯存在。

2、风筝模型 （蝶形定理）任意四边形中的比例关系：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 3相似模型GF E ABCD①AD AE DE AFAB AC BC AG===；A BCDO ba S 3S 2S 1S 4②22:ADE ABC S S AF AG =△△：正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系例1如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA答案 70平方厘米解析连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米例2 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA答案24平方厘米 解析:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米例3 如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．BB答案 2.7解析如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OEDS S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．例4 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG答案 40解析连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．例5 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDO答案 2:1解析∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==例6 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB答案 1:3:5解析设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份， 进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形A1如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =， 三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC E B A答案 12.5平方厘米解析由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份， 325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米2 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF答案 1/18解析连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCD EFGH S S ==．3如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF答案 5/12解析方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDFS =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．4 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B答案 6 1:3解析⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．5 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA答案 4 2/3解析⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． B6如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF GABCD EF G答案 72平方厘米 解析连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCDS S=V长方形，11::5:1210AG GF==，所以510AGD GDFS S==V V平方厘米，所以12AFDS=V平方厘米．因为16AFD ABCDS S=V长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．7 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA答案 1平方厘米解析因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1AGMS=△份，则123MCDS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．8 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF答案 12平方厘米解析连接DE，根据题意可知:1:2BE AD=，根据蝶形定理得2129S=+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．9 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB答案 21平方厘米 解析 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．10右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)阴影部分的面积是平方厘米．BB答案 6平方厘米解析 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCDS ∆=(平方厘米)．C11右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．1682ABCDO 1682ABCD答案 4平方厘米解析连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．12 在四边形ABCD 中，其对角线AC 、DB 交于E 点。

一、三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD 时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED ，DF=FC ，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE 时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：知识结构五年奥数一半模型【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

三、梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】【巩固练习】【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

24÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

6×4÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．例题精讲4【例3】如图,长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD,长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少？A BF ED C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方形的宽为几厘米？EA BFD G C【例4】【巩固】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少？A D325711B C【例4】如图所示，长方形ABCD内的阴影面积之和为65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是？【思考题】提示：构造一半模型（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。

一、 三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD 时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED ，DF=FC ，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE 时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构一半模型【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

三、梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】【巩固练习】【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．【例3】例题精讲4。

几何中的一半模型一、导入图形的变化是多种多样的，但是无论是怎么样的变化都有着它的基本模型，今天我们就来一起学习众多模型中的一个基本模型---------一半模型二、新课教学图1引导学生思考图中阴影部分的面积与长方形的关系。

此图中阴影部分的面积学生马上可以看出是长方形面积的一半。

图2 此图中阴影部分的面积与长方形又是怎样的关系呢？学生一眼看不出来，遮住其中的一部分，引导学生发现和图1的联系。

作一条辅助线后，分成了左右两个长方形，并且左边的一部分和图1相似，左边阴影部分的面积等于空白部分；右边的长方形中阴影部分也是等于空白部分，所以阴影部分的总面积是等于空白部分的总面积，是长方形的一半。

图3 此图中阴影部分的面积与长方形又是怎样的关系呢？有了图2做基础，学生很容易想到需要做辅助线来分析图形，可以让学生自己先尝试一下，然后请学生来回答分析过程。

横着做一条辅助线，把图形分成了上下两个长方形。

长方形的下半部分就和图2相似了，那么直接得出结论，阴影部分的面积是长方形的一半；上半部分也一样，所以所以阴影部分的总面积是等于空白部分的总面积，是长方形的一半。

总结：我们刚刚所分析的3个图形中，阴影部分的面积都等于长方形面积的一半。

练习：判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

（√）（X）（X）（√）（√）（X）小结：只有在长方形，正方形，平行四边形里面才存在一半模型现在我们已经清楚地了解了三个基本的一半模型，再一起来学习一半模型的综合运用。

例1.如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

24÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

练习：已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

6×4÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

例2：如图，正方形ABCD 的边长是4㎝，矩形DEFG 的长DG 为5㎝，求它的宽DE 等于多少厘米？4×4÷5=3.2（厘米）答：宽DE 等于3.2厘米。

一半模型知识结构一、三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2,决定于底和高的长度,所以我们有了等高模型和等底模型;在等高模型中,图1当BD=CD时,阴影部分,SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2,当BE=ED,DF=FC,阴影部分面积,SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中图3,当AE=DE时,阴影部分,SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2,平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半同时,长方形是特殊的平行四边行,再根据平行线间的等积变形,可以得到如下诸图,阴影部分面积是四边形面积的一半：巩固练习判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半;是打“√”,不是打“×”;三、梯形中的一半模型在梯形中,当三角形的底边是梯形的一个腰,顶点在另一个腰的中点处,那么三角形是梯形面积的一半;如图4,在梯形ABCD中,BE=CE,则SΔADE=SABCD÷2如图5,是它的变形,注意其中AF=DF,BE=CE;四、任意四边形中的一半模型如图6,在四边形ABCD中,AE=EB,DF=CF,则SEBFD=SABCD÷2能力提升巩固练习例题精讲例1如图,已知长方形ABCD的面积为24平方厘米,且线段EF,GH把它分成四个小长方形,求阴影部分的面积;24÷2=12平方厘米答：阴影部分的面积是12平方厘米;巩固已知大长方形的长是6厘米,宽是4厘米,求阴影部分的面积;46×4÷2=12平方厘米答：阴影部分的面积是12平方厘米;例2如图所示,平行四边形的面积是50 平方厘米,阴影部分面积是平方厘米．例3如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是多少A BF ED C巩固如图,正方形ABCD的边长为4,矩形EDFG的边EF过A点,G点在BC上,若DG=5, 则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G巩固如图所示,正方形 A B C D的边长为8厘米,长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米,那么长方形的宽为几厘米EA BFD G C例3A D3549E13B C巩固如右图所示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少A D325711B C例4如图所示,长方形ABCD内的阴影面积之和为65,AB=8,AD=15,四边形EFGD的面积是思考题提示：构造一半模型很多时候,需要我们构造一半模型来解决一些问题;1.如图7,已知正方形ABCD面积为50,求长方形DEFG面积;解析：通过连结AG,可以得到三角形ADG,分别是正方形ABCD和长方形DEFG面积的一半,所以长方形DEFG 与正方形ABCD面积相等,为50;2.如图8,已知长方形ABCD面积是50,梯形ABFE的腰上ED=DF,求梯形ABFE的面积;解析：连结BD,可以得到三角形ABD分别是长方形ABCD和梯形ABFE面积的一半,所以梯形ABFE与长方形ABCD面积相等,为50;3.如图9,长方形ABCD中,SΔEGH=5,SΔIBC=20,SΔIFGI=8,求阴影部分面积;解析：从图中我们可以找到一半模型,SΔEBC与SΔFCD都是长方形ABCD的一半,故SΔEBC=SΔFCD,S阴=20+5-8=1745如图所示,正方形ABCD的边长是10厘米,BO长8厘米,求ＡＥ的长enjoy the trust of 得到...的信任have / put trust in 信任in trust 受托的,代为保管的take ...on trust对...不加考察信以为真trust on 信赖give a new turn to对~~予以新的看法turn a round / round 转身,转过来,改变意见turn back折回,往回走turn …away 赶走……,辞退……,把……打发走,转脸不睬,使转变方向turn to…转向……,for help向……求助,查阅,变成；着手于think thr ough…思考……直到得出结论,想通think of想到,想起,认为,对……有看法/想法。

一、三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：知识结构一半模型【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

（）（）（）（）（）（）三、梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】【巩固练习】【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米．【例3】如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它部阴影部分的面积是多少？例题精讲4A BF ED C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方形的宽为几厘米？EA BFD G C【例4】如右图所示，在长方形画出一些直线，已知边上有三块面积分别是1 3，3 5，4 9．那么图中阴影部分的面积是多少A D3549E13B C【巩固】如右图所示，在长方形画出一些直线，已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少？A D325711B C【例5】如图所示，长方形ABCD的阴影面积之和为65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是？【思考题】提示：构造一半模型（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。

小学奥数一半模型
小学奥数一半模型：
一、数学/逻辑类：
1. 解决问题技巧：此技术首先要求学生根据问题的提示，归纳概括出正确的解决思路，并根据问题采取最优解策略。

2. 推理解决：这种技术需要利用已知信息，借助逻辑技术，求解出未知信息。

3. 抽象理解能力：需要根据学生对各种抽象图形的概念的理解程度，来决定解决问题的套路。

4. 计算能力：要求学生在解决问题中，在有限的时间内，必须计算出准确的答案，这需要加强小学生学习计算术知识的学习。

二、文学/想象能力：
1. 说故事能力：要求学生能够根据提供的资料，把它们结合起来，进行完整的说故事，来表达自己的想法。

2. 小说阅读：此技术要求学生熟练阅读书、研究典型的作文格式，用
自己的话重讲故事情节，牢记优秀小说的架构。

3. 观察分析能力：要求学生能够仔细观察事物，在观察到的特点中，
进行分析总结，以求找出其中的联系和规律。

4. 想象力：要求学生根据不同环境背景，运用小说想象力，进行情节
发展的创新，让小说塑造一个精彩的故事世界。

三、语言/求解能力：
1. 文字的理解和逻辑推断：此技术要求学生能够通过句法结构，把句
子分解成更小的单位，用自己的思想去辩证地思考，从而分析求解问题。

2. 口头表达能力：要求学生能够利用良好的语言和文字表达能力，让
列数更加清晰、简单、准确地叙述出一件事物的真实状态。

3. 单词拼写能力：本技术要求学生熟练掌握单词的正确拼写及其意义，并能准确地使用其表达自己的思想。

4. 语法：要求学生能够准确的使用语法，灵活处理句子，建立正确的
语言思维，以及使用不同的句式。

一半模型知识结构一、三角形当中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。

在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2二、平行四边形中的一半模型由于三角形的面积公式S=底×高÷2，平行四边行的面积公式S=底×高所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。

是打“√”，不是打“×”。

（）（）（）（）（）（）三、梯形中的一半模型在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。

如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2【能力提升】【巩固练习】例题精讲【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。

24÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

46×4÷2=12（平方厘米）答：阴影部分的面积是12平方厘米。

【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米．【例3】A BF ED C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；EA DFB C G【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方形的宽为几厘米？EA BFD G C【例3】A D3549E13B C【巩固】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中阴影部分的面积是多少？A D325711B C【例4】如图所示，长方形ABCD内的阴影面积之和为65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是？【思考题】提示：构造一半模型（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。

几何-直线型几何-一半模型-4星题课程目标知识提要一半模型•平行四边形的一半模型•梯形的一半模型•任意四边形一半模型精选例题一半模型1. 如图，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD都是长方形，点E在AB上，EC交FG于点M，假设AB=6，△ECF的面积是12，那么△BCM的面积是．【答案】6【分析】根据一半模型，S△EFM+S△BMG=S÷2,长方形AFBG÷2S△FMC+S△CMG=S长方形FDCG所以÷2=6×6÷2=18.S△ECF+S△BMC=S正方形所以S△BMC=18−12=6.2. 如下列图所示，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH．假设△PAC的面积为6，求平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大．【答案】12【分析】根据差不变原理，要求平行四边形PGDF的面积与平行四边形PEBH的面积差，相当于求平行四边形DAEF的面积与平行四边形ABHG的面积差．如下列图所示，连接BP、DP．根据一半模型．由于S△ADP+S△BCP=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12S ABCD,所以S△ADP−S△ABP=S△ACP.而S△ADP=12S DAEF,S△ABP=12S ABHG,所以S DAEF−S ABHG=2(S△ADP−S△ABP)=2S△ACP=12.即平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大12．3. 正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为64平方厘米．如下图，边BC 落在EH上．三角形ACG的面积为6.75平方厘米，那么三角形ABE的面积为平方厘米．【答案】 2.25【分析】连接EG，EG是正方形EFGH的对角线，∠GEH=45∘；AC是正方形ABCD的对角线，∠ACB=45∘．∠GEH=∠ACB，可以知道AC∥EG．所以△ACG与△AEC面积相等，都是6.75平方厘米，那么△ABE的面积是：6.75−9÷2= 2.25(平方厘米).4. 如下图，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12【分析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO 面积为矩形ABCD的面积的1，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以4三角形AMO与三角形BNO的面积之和是18−9−3=6(平方厘米)．又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影局部面积为18−6=12(平方厘米)．5. 长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点；三角形EFG的面积是平方厘米．【答案】5【分析】 三角形 EFG 的面积是三角形 AHD 的 14，三角形 AHD 的面积是长方形 ABCD 面积的 12，故三角形 EFG 的面积是长方形 ABCD 面积的 18，三角形 EFG 的面积为 40×18=5(平方厘米)．6. 如图，阴影局部四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，那么阴影局部四边形的面积是 cm 2．【答案】 48【分析】 如下图，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ，易知长方形 MNPQ 的面积为4×1=4(平方厘米).从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH 、BFME 、CGQF 、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ 的面积，为10×10+4=104(平方厘米),所以四个空白三角形的面积之和为104÷2=52(平方厘米),那么阴影四边形 EFGH 的面积为100−52=48(平方厘米).7. 四边形ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】21平方厘米【分析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3,根据梯形蝴蝶模型，S△COE:S△AOC:S△DOE:S△AOD=22:2×3:2×3:32=4:6:6:9,所以S△AOC=6(平方厘米),S△AOD=9(平方厘米),又S△ABC=S△ACD=6+9=15(平方厘米),阴影局部面积为6+15=21(平方厘米)．8. 如图，长方形ABCD中，AB=67，BC=30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BE+ BF=49．那么，三角形DEF面积的最小值是．【答案】717【分析】由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使△ADE、△BEF、△CDF的面积之和最大．由于△ADE、△BEF、△CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF，如下图．容易知道这三个矩形的面积之和等于△ADE、△BEF、△CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积．所以为使△ADE、△BEF、△CDF的面积之和最大，只需使长方形MDNO的面积最大．长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DM=AE，宽DN=CF，由题知AE+CF=(AB+BC)−(BE+BF)=67+30−49=48，根据〞两个数的和一定，差越小，积越大〞，所以当AE与CF的差为0，即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最小．当AE与CF相等时，AE=CF=48÷2=24，此时三角形DEF的面积为：67×30−(67×30+24×24)÷2=717．9. 下列图ABCD是一个长方形，其中有三块面积分别为12、47、33，那么图中阴影局部为．【答案】92【分析】如下列图所示，设阴影局部面积为S，其他未知局部的面积为a、b、x和y．那么÷2x+S+y=a+S+b=S长方形ABCD(a+S+b)+(x+S+y)=S长方形ABCD根据覆盖的方法，那么阴影局部S=33+47+12=92．10. 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC=3:2:1，BG:GH:AH=3:2:1，AD:BC=1:2，四边形ABCD的面积等于4，那么四边形EFHG的面积=．【答案】43【分析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,所以，在△ABC中，S△BCG=12S△ABC,在△ACD中，S△AED=12S△ACD,在△AEG中，S△AEH=12S△HEG,在△CEG中，S△CFG=12S△EFG.因为S△BCG+S△AED=12S△ABC+12S△ACD=12(S△ABC+S△ACD)=12S ABCD=2S△BCG.所以S AGCE=S ABCD−(S△BCG+S△AED)=4−2=2.又因为S AGCE=S△AEH+S△HEG+S△CFG+S△EFG=12S△HEG+S△HEG+12S△EFG+S△EFG=32(S△HEG+S△EFG)=32S EFGH,所以S EFGH=2÷32=43.11. 如下列图所示，梯形ABCD的面积是48，E是下底BC上的一点，F是腰CD的中点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，那么图中阴影局部的面积是．【答案】19.2【分析】因为三角形乙、丙的面积相等，且DF=FC，所以三角形乙、丙的高相等，于是AE∥DC，四边形AECD是平行四边形，易知S乙+S丙=S阴影=12S四边形AECD，因此，阴影局部的面积是48÷5×2=19.2．12. 正方形的边长为10，EC=3，BF=2，那么S四边形ABCD=．【答案】53【分析】如图，作BM⊥AE于M，CN⊥BM于N．那么四边形ABCD分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形ABCD周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为3×2=6，所以S四边形ABCD =10×10−3×22+3×2=53．13. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．14. 如图，正方形的边长为12，阴影局部的面积为60，那么四边形EFGH的面积是．【答案】6【分析】如下图，设AD上的两个点分别为M、N．连接CN．根据面积比例模型，△CMF与△CNF的面积是相等的，那么△CMF与△BNF的面积之和，等于△CNF与△BNF的面积之和，即等于△BCN的面积．而△BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为122×12=72．又△CMF与△BNF的面积之和与阴影局部的面积相比拟，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边形EFGH的面积为：(72−60)÷2=6．15. 下列图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影局部与右图中阴影局部的面积之比是最简分数mn，那么，(m+n)的值等于．【答案】5【分析】左、右两个图中的阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部的面积，再求阴影局部的面积．如下列图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．左图中AEGD为长方形，可知△AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为12×12×14=18．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影局部的面积为1−18×4=12．如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．可知EF∥AC且AC=2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF的面积为12×12×14=18，梯形AEFC的面积为12−18=38．在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四局部的面积比为：12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为38×11+2+2+4=124，那么四边形BENF的面积为18+124=16．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影局部的面积为1−16×4=13．那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为12:13=3:2，即mn=32，那么m+n=3+2=5．16. 如图，正方形ABCD的边长为10，AE＝2，CF＝3．长方形EFGH的面积为．【答案】94．【分析】连接DE，DF．在正方形ABCD中，S△DEF=S△ABCD−S△ADE−S△EBF−S△DFC,在长方形DEFG中，S△DEF=12S△EFGH,因为BE=10−2=8,BF=10−3=7,所以S△DEF=10×10−2×10÷2−8×7÷2−3×10÷2=47,所以S△EFGH=47×2=94.17. ABCD是边长为12的正方形，如下图，P是内部任意一点，BL=DM=4、BK=DN=5，那么阴影局部的面积是．【答案】34【分析】〔方法一〕特殊点法．由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合〔如下列图〕，那么阴影局部就是△AMN和△ALK．而△AMN的面积为(12−5)×4÷2=14，△ALK的面积为(12−4)×5÷2=20，所以阴影局部的面积为14+20=34．〔方法二〕寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得下列图所示：那么有：S△PDC+S△PAB=12S ABCD=12×122=72.同理可得：S△PAD+S△PBC=72;而S△PDM:S△PDC=DM:DC=4:12=1:3,即S△PDM=13S△PDC;同理：S△PBL=13S△PAB,S△PND=512S△PDA,S△PBK=512S△PBC;所以：(S△PDM+S△PBL)+(S△PND+S△PBK)=13(S△PDC+S△PAB)+512(S△PDA+S△PBC)而(S△PDM+S△PBL)+(S△PND+S△PBK)=(S△PNM+S△PLK)⏟阴影面积+(S△DNM+S△BLK);S△DNM=S△BLK=12×4×5=10;所以阴影局部的面积是：S△PNM+S△PLK=13(S△PDC+S△PAB)+512(S△PDA+S△PBC)−(S△DNM+S△BLK),即为：1 3×72+512×72−10×2=24+30−20=34.18. 下列图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，那么ABCD的面积是平方厘米．【答案】 180【分析】 解法一：蝴蝶模型与一半模型． 〔1〕E 是 CD 的中点，DE:AB =1:2，所以S △DEF :S △DAF :S △BEF :S △ABF =1:2:2:4.〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是 CD 的中点，所以 S △ABG 、S △ADG 、S △BEC 占平行四边形面积的 14，梯形 S ABED 占平行四边形面积的 34； 〔3〕所以S △DAF =34×21+2+2+4=16,S △GAF =14−16=112, 同理可知 S △GHB =112．〔4〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔5〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法二：相似模型、等积变形与一半模型．〔1〕E 是 CD 的中点，DE:AB =1:2，所以 DF:FB =1:2，而 DG =GB ，DF:FG =11+2:(12−11+2)=2:1;〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是 CD 的中点，所以 S △ABG 、S △ADG 占平行四边形面积的 14，所以S △GAF =14×12+1=112,同理可知 S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法三：燕尾模型与一半模型．〔1〕设平行四边形面积为“1〞．S △ADC =12．〔2〕E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC ，设 S △DEF 为 1 份，S △ECF 也为 1 份，根据燕尾 S △ADF 为 2 份，再根据燕尾 S △ACF 也为 2 份，根据按比例分配，S △AGF 、S △GCF 都为 1 份，所以S △GAF =12÷(2+1+1+1+1)=112,同理可知 S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法四：风筝模型与一半模型． 连接 EG 同样可解．19. 如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，边BC上有一点F，G是BE的中点，H是CE 的中点，如果正方形的边长是2，那么阴影局部的面积是．【答案】1【分析】2×2÷2÷2=1.20. 如下列图所示，在长方形内画出一些直线，边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影局部的面积是多少？【答案】97【分析】三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+(13+35+49) =长方形面积+阴影部分面积;又因为三角形ABC的面积=三角形CDE的面积=12长方形面积,所以可得：阴影部分面积=13+35+49=97.21. 如下列图所示长方形ADEH由上、中、下三个小长方形组成，AB+CD=BC，三角形ABI的面积为3，四边形GIJF的面积为12，求四边形CDEJ的面积．【答案】9【分析】因为AB+CD=BC，所以长方形BCFG的面积等于长方形ADEH面积的一半，即S梯形BCJI +S梯形IJFG=12S长方形ADEH，又S△ABI+S梯形BCJI+S梯形CDEJ=12S长方形ADEH，所以S△ABI+S梯形CDEJ =S梯形IJFG，故四边形CDEJ的面积是12−3=9．22. 如下图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】 318【分析】 由 S △AOD =4 可知 S △BCD =12×S 长方形ABCD =12×4×S △AOD =8．而 △CDF 与 △CDB 从 C 出发的高相同，那么 DF DB =S △CDF S △CDB=58．由于 EF ∥CD ，把线段的比例转移到 BC 上，那么有 CE BC =DF DB =38，从而得到 BE BC =1−38=58，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258.23. 如图，正六边形的面积为 120，P 是其内任意一点，求 △PBC 和 △PEF 的面积之和．【答案】 40【分析】 由一半模型，两个三角形面积和等于四边形 BCEF 面积的一半，而这个四边形的面积又是六边形面积的 23，所以所求面积和就是正六边形面积的 13，为 40．24. 如下图，E、H、F、G是四边形ABCD的AD、BC边上的三等分点，四边形ABCD的面积为18平方厘米，那么四边形EFGH的面积是平方厘米．【答案】6【分析】首先连接BE、DG、BD，如下列图所示：可以看出，三角形ABD的面积是三角形ABE面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形GCD 的面积的3倍，所以三角形ABE与三角形GCD的面积和是6平方厘米，那么四边形BGDE 的面积是12平方厘米．再利用不规那么四边形中的一半模型可得，EFGH的面积是BFDG的一半，也就是6平方厘米．25. 如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，BC边对应的高是6厘米，E、F分别为AB和AC 的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【答案】6【分析】S△ABC=8×6÷2=24(平方厘米)，因为F是中点，所以S△AFB=S△FBC=24÷2=12(平方厘米),因为E是中点，所以S△BEF=S△EFA=12÷2=6(平方厘米).26. 如下图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13请问：三角形PBD的面积是多少？【答案】8【分析】图1阴影局部的面积是整个长方形的一半，而图2阴影局部的面积也是整个长方形的一半，两个阴影局部有一块公共局部，那就是△APD．去掉这块公共局部之后，剩下的阴影局部仍然应该相等，因此就有S1=S2+S3．由题意，S1=13，S2=5，所以S3=13−5= 8．27. 一张面积为7.17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面，如下列图所示，得出A、C、B、D四个交点，并且AB∥EF，CD∥WX．问纸片EFGH的面积是多少平方厘米？说明理由．【答案】7.17【分析】连接AC、CB、BD、DA如下列图所示，因为AB∥EF∥GH，所以△ABC的面积是平行四边形AEFB面积的一半，△ABD的面积是平行四边形AHGB的面积的一半，因此四边形ACBD的面积是平行四边形EFGH面积的一半．同理可证，四边形ACBD的面积也是平行四边形WXYZ面积的一半．因此，平行四边形EFGH的面积=平行四边形WXYZ的面积=7.17平方厘米．28. 如下列图所示，在平行四边形ABCD中，三角形ABP、BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．【答案】27【分析】根据平行四边形的一半模型可知，S△APD+S△BPC=S△APD+S△APB+S△BPD=1 2S平行四边形ABCD，所以有S△BPC=S△APB+S△BPD，那么三角形BPD的面积等于100−73=27．29. 如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm，请问四边形PQRS 的面积为多少？【答案】23cm2【分析】〔法1〕由AB∥CD，有MP MN = PC DC,所以PC=2PM,又MQ QC = MB EC,所以MQ=QC=12 MC,所以PQ=12MC−13MC=16MC,所以S SPQR占S AMCF的16，得到S SPQR=16×1×(1+1+2)=23(cm2).〔法2〕如图，连结AE，那么S△ABE=12×4×4=8(cm2),而RB AB = ER EF,所以RB EF =ABEF=2,S△ABR=23S△ABE=23×8=163(cm2).而S△MBQ=S△ANS=12×3×4×12=3(cm2),因为MN DC = MP PC,所以MP=13 MC,那么S△MNP=12×2×4×13=43(cm2),阴影局部面积等于S△ABR−S△ANS−S△MBQ+S△MNP=163−3−3+43=23 (cm2).30. 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰△AOB的面积为16，等腰△DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影△AOC的面积是多少？【分析】 先算出长方形面积，再用其一半减去 △DOC 的面积〔长方形面积的 18%〕，再减去 △AOD 的面积，即可求出 △AOC 的面积．根据模型可知 S △COD +S △AOB =12S ABCD , 所以 S ABCD =16÷(12−18%)=50,又 △AOD 与 △BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 △AOD 的面积等于长方形面积的 14，所以 S △AOC=S △ACD −S △AOD −S △COD =12S ABCD −25%S ABCD −18%S ABCD =25−12.5−9=3.5.31. 如下列图所示，点 P 及点 Q 在正方形 ABCD 之内部，假设 △ABP 与 △DPC 的面积比为 3:2，△ADP 与 △BCP 的面积比为 3:7，△ABQ 与 △CDQ 的面积比为 3:5，并且 △ADQ 与 △BCQ 的面积比为 4:1．请问四边形 APCQ 的面积〔阴影局部〕与正方形 ABCD 的面积比是多少？【分析】根据一半模型，△ABP与△DPC的面积和为正方形面积的一半，△ADP与△BCP的面积和为正方形面积的一半，△ABQ与△CDQ的面积和为正方形面积的一半，△ADQ与△BCQ的面积和也为正方形面积的一半，那么△DPC的面积占整个图形的25×12=15，△ADP的面积占整个图形的310×12=320，△ABQ的面积占整个图形的38×12=316，△BCQ的面积占整个图形的15×12=110，那么阴影局部占正方形面积的1−15−320−316−110=2980．32. 如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形ABCD．在各边上取点E,F,G,H，再连接H,F的线上取点P，与点E和点G相连．当四边形AEPH的面积是5cm2时，求四边形PFCG的面积．【答案】8cm2．【分析】连结EH,EF,FG,GH，题目中的线段长度如右图所示．所求四边形的面积可以化为三角形FGP与FCG的面积和．易见中间的四边形EFGH是平行四边形．根据一半模型，S△EHP+S△FGP=12S EFGH.S平行四边形EFGH=4×6−2×3÷2×2−1×4÷2×2=14(cm2),那么S△EHP+S△FGP=14÷2=7(cm2).S△EHP=5−3=2(cm2),所以S△FGP=7−2=5(cm2).因此四边形PFCG的面积是5+2×3÷2=8(cm2)33. 在图中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形BDF的面积是多少？【答案】18【分析】连接FE，那么三角形BFO的面积与三角形DOE的面积相等．那么图中阴影局部的面积为正方形ABDE面积的一半，为6×6÷2=18．34. 如图，阴影局部四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，那么阴影局部四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【分析】如下图，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形MNPQ的面积为4×2=8平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为12×12+8=152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152÷2=76平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为144−76=68平方厘米．35. 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？【答案】60．【分析】由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半，所以绿占长方形面积的：12−15%=720，所以长方形的面积为：21÷720=60〔平方厘米〕．36. 如下图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，那么OG=厘米．【答案】4【分析】由于AD与FG平行，因此S△FDO+S△CFO=S△CEF=32(平方厘米).而S△CFD=12×8÷2=48(厘米),所以S△CDO=S△CFD−S△FDO−S△CFO=48−32=16(平方厘米),故OG=2S△CDO÷CD=2×16÷8=4(厘米).37. 图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27．那么阴影局部面积是多少？【答案】 4.8【分析】设△ADF的面积为“上〞，△BCF的面积为“下〞，△ABF的面积为“左〞，△DCF 的面积为“右〞．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3．△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，那么EF:DF=S△AEF:S△AED=1.2:3=0.4.△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，所以有\[ {S}_{\vartriangle {{ACE }}}=0.4\times{S}_{\vartriangle {{ACD}}} $ =0.4\times(3+9)=4.8. \]即阴影局部面积为4．8．38. 如图，ABCD是一个直角梯形．以AD为边长向外做一个长方形ADEF，其面积是10平方厘米，连结BE交AD于P，再连接PC，那么图中阴影局部的面积是多少平方厘米？【答案】5平方厘米【分析】连结BD，如下列图．因为AD∥BC，所以S△PCD=S△PBD，所以阴影局部的面积等于S△EBD，再根据FB∥ED，所以阴影的面积就是长方形AFED面积的一半，即10÷2=5(平方厘米)．39. 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影局部的面积？【答案】80cm2【分析】如下列图左所示，S阴①=4S1．S阴①=16×16÷2=128(cm2)如下列图中所示，此时斜放的正方形面积为128cm2，S=S阴②．S=S阴②=128÷2=64(cm2)如图右所示，此时外面正方形面积为64，图中S阴③=64÷2÷2=16(cm2)所以，图中阴影局部总面积为：S阴②+S阴③=64+16=80(cm2)40. 如图，四边形ABCD中，DE=4FC，EF=3FC，BG=4AH，GH=3AH，四边形ABCD 的面积等于24，那么四边形EFHG的面积=．【答案】9【分析】首先连接AE、CG、AC，由条件看出E、G分别为CD和AB的中点，那么根据所学的一半模型，四边形AECG的面积占ABCD的一半，也就是面积为12．接下来连结EG，又可看出HEG面积是HEA的3倍，以及FGE面积是FGC的3倍，所以推出四边形EFGH的面积是12÷(1+3)×3=9．41. 如图，长方形被其内的一些直线划分成了假设干块，边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影局部的面积是多少？【答案】97【分析】如下列图所示，为了方便表达，将局部区域标上序号，设阴影局部面积为“阴〞：(49+①+35)+(13+②)=12矩形的面积①+阴+②=12矩形的面积.比拟上面两个式子可得阴影局部的面积为97．42. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长一倍至点E，三角形BCE的面积是10平方厘米，阴影局部面积是多少平方厘米？【答案】10【分析】连接AC．因为DC=CE=AB，且AB∥CE，所以四边形ABEC是平行四边形．推知S△ABF=S△BEF，因为DC=CE，所以S△DCF=S△CEF，可得S△ABF+S△DCF=S△BEF+S△CEF．那么阴影局部的面积是10平方厘米．43. 如图，平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？【答案】10．−8=10．【分析】由根本一半模型知：三角形BOC的面积为36×1244. 如图，四边形ABCD中，DE=3FC，EF=2FC，BG=3AH，GH=2AH，四边形ABCD 的面积等于24，那么四边形EFGH的面积=．【答案】8．【分析】首先连接AE、CG、AC，由条件看出E、G分别为CD和AB的中点，那么根据所学的一半模型，四边形AECG的面积占四边形ABCD面积的一半，也就是面积为12．接下来连结EG，又可看出HEG面积是HEA的2倍，以及FGE面积是FGC的2倍，所以推出四边形EFGH的面积是12÷(1+2)×2=8．45. 如下列图，正方形ABCD的面积是20，正三角形△BPC的面积是15，求阴影△BPD的面积．【答案】10【分析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如上图所示，可得PO∥DC，所以△DPO与△CPO面积相等〔同底等高〕，所以有：S△BPO+S△CPO=S△BPO+S△PDO=S△BPD,因为S△BOC=14S ABCD=14×20=5,所以S△BPD=15−5=10.46. 如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影局部的面积是多少？【答案】23【分析】不妨设上底长2，那么下底长3，那么上面局部的三角形的高为10÷2×2=10，下面局部的三角形的高为12÷3×2=8，那么梯形的高为10+8=18．所以梯形的面积为1 2×(2+3)×18=45,所以余下阴影局部的面积为45−10−12=23.47. 如下图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是5平方厘米，△CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【答案】25厘米【分析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10×10÷5=20(平方厘米),所以长方形的面积为(20+10)×2=60(平方厘米),四边形ABEF的面积为60−5−10−20=25(平方厘米).48. 如图，正六边形ABCDEF的面积为1，那么阴影局部的面积是多少？【答案】14【分析】把三角形EGD移到三角形CHB的位置，那么长方形DHBG面积为六边形面积一半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为1÷2÷2=1 4 .49. 下列图中的大正方形ABCD的面积是1，其他点都是它所在的边的中点．请问：阴影三角形的面积是多少？【答案】 332【分析】 图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 12，所以小正方形面积是 14，将小正方形各顶点标上字母，如下列图所示，很容易看出 $\triangle JFG\text{面积}=\triangle IHG\text{面积}=\dfrac 1 4\times \text{正方形$ EFGH $面积}$，$\triangle EJI\text{面积}=\dfrac 1 4\times \triangle EFH\text{面积}=\dfrac 1 8\times \text{正方形$ EFGH $面积}$．所以阴影 △JGI 面积=(1−14−14−18)×小正方形面积=38×小正方形面积=332．50. 三角形 ABC 中，BD =CD ，三角形 ABD 的面积为 20 平方厘米，AD =8 厘米，求高 CE 的长是多少厘米？【答案】5【分析】因为三角形ACD的面积=20平方厘米，同时三角形ACD的面积=AD×CE÷2，所以CE=20×2÷8=5〔厘米〕．51. 平行四边形内有一个点N，连接这个点和平行四边形的四个顶点，把平行四边形分成几块，各块的面积如下图，那么阴影局部的面积应该是多少？【答案】6【分析】平行四边形中也有一半模型．8+2−4=6就是阴影的面积．52. 如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形〔阴影局部〕的周长是8，那么最大的正方形的边长是多少？【答案】8厘米【分析】最小正方形的面积是2×2=4(平方厘米)最大的正方形的面积是4×2×2×2×2=64(平方厘米)那么最大的正方形的边长是8厘米．53. 如图，长方形ABCD的边上有两点E、F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成假设干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影局部面积是多少平方米？【答案】97【分析】运用等积变换，S DFA+S FCB=12S ABCD,S BCE=12S ABCD=S DAF+S FCB,因此，阴影面积为15+36+46=97(平方米).54. 如图，正方形ABCD的边长为8，AE=2，CF=3．长方形EFGH的面积为．【答案】58【分析】连接DE，DF，正方形ABCD的面积为8×8=64，三角形AED的面积为8×2÷2=8,三角形DFC的面积为8×3÷2=12,三角形BEF的面积为(8−2)×(8−3)÷2=15,那么三角形DEF的面积为64−8−12−15=29,长方形EFGH的面积为29×2=58.55. 一个长方形分成4个不同的三角形，黄色的三角形面积是50平方厘米，绿色三角形的面积占长方形面积的20%，那么长方形的面积是多少平方厘米？【答案】5003【分析】由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半,所以绿占长方形面积的：1 2−20%=310,所以长方形的面积为：50÷310=5003(平方厘米).56. 如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2．长方形EFGH的面积是多少？【答案】33．【分析】连接DE，DF．在正方形ABCD中，S△DEF=S△ABCD−S△ADE−S△EBF−S△DFC,在长方形DEFG中，S△DEF=12S△EFGH,因为BE=6−1.5=4.5,BF=6−2=4,所以S△DEF=6×6−1.5×6÷2−2×6÷2−4.5×4÷2=16.5,。

第八讲 一半模型--感谢潘莹老师【知识点】一、本质：同底等高的三角形面积为平行四边形面积的一半二、常见一半模型1.平行四边形中的一半模型（同底）（1）顶点与顶点重合（2）顶点与底边重合（3）顶点在内部 相对△面积和（4）顶点在外部两对边之间 和一半两对边之外 差一半2.梯形中的一半模型模型底为一侧腰，顶点为另一侧腰中点【周周测】练习1 如图，长方形ABCD 中，长AB 为53厘米， 宽为38厘米，其中所有三角形的顶点均在长方形的边上，那么两个阴影三角形的面积之和是（ ）平方厘米.练习2 如图，ABCD 是长方形，EF 与宽平行，GH 与长平行，AB 的长是8厘米，BC 的长是6厘米，那么图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．练习3 如图，平行四边形的面积为100，阴影部分的面积为40，那么四边形EFGH 的面积是（ ）．练习4已知长方形ABCD ,四边形AEFG 是梯形，且GB BF ,已知长方形的面积是2014，梯形AEFG 的面积是（ ）练习5 如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF=FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米HF D BF E GFDC BA BC练习6 如图，长方形ABCD 的边上有两点E 、F ,线段 AF 、BF 、CE 、BE 把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是（ ）平方米练习7 如图所示，平行四边形 ABCD 的面积为36平方厘米．三角形 ADM 与三角形BCN 的面积之和为15平方厘米，则四边形 PMON 的面积是（ ）平方厘米．EA OB A N MC P D。