复合材料细观力学答案
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复合材料力学第11章单层复合材料的细观力学分析
24
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为
复合材料细观力学答案
复合材料细观力学答案一、知识部分1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。
解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。
（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。
（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有1.5个原子，所以其面密度为23a。
（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是223a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为c a 21；2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。
它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。
这些结果说明了什么？解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。
则10006.122333=-b bf a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=??? ???= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 42=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343==?==它们的相对变化为0311.019689.0-=-=-bfb r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为()()()1.83423422422333333-=-=-b b f b bf r r r a a a ％从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。
复合材料力学课后答案
复合材料力学课后答案复合材料是由两种或两种以上的材料组合而成的材料，它们的组合可以发挥出各自材料的优点，同时弥补各自材料的缺点。
复合材料力学作为复合材料的一门重要学科，研究复合材料的力学性能和行为，对于工程设计和材料应用具有重要意义。
下面是一些关于复合材料力学的课后答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一学科。
1. 什么是复合材料的弹性模量？复合材料的弹性模量是指在弹性阶段内，应力与应变之间的比值。
对于各向同性的复合材料，其弹性模量可以通过Hooke定律来计算，即弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值。
对于各向异性的复合材料，其弹性模量需要考虑不同方向上的应力和应变，可以通过各向异性弹性模量矩阵来计算。
2. 复合材料的弯曲强度受哪些因素影响？复合材料的弯曲强度受到很多因素的影响，主要包括纤维的类型和体积分数、基体的类型和性能、纤维和基体之间的界面结合情况、复合材料的制备工艺等。
其中，纤维的类型和体积分数对复合材料的弯曲强度影响较大，纤维的强度和刚度越高，体积分数越大，复合材料的弯曲强度也会相应增加。
3. 复合材料的疲劳行为有什么特点？复合材料的疲劳行为与金属材料有所不同，主要表现在以下几个方面，首先，复合材料的疲劳寿命较短，一般情况下比金属材料要短；其次，复合材料的疲劳裂纹扩展速度较快，裂纹扩展路径也较为复杂；最后，复合材料的疲劳性能受到温度、湿度等环境因素的影响较大，需要进行综合考虑。
4. 复合材料的层合板在受力时会出现哪些失效模式？复合材料的层合板在受力时可能会出现多种失效模式，主要包括纤维拉断、剪切破坏、压缩破坏、剪切压缩破坏等。
这些失效模式的出现与复合材料的层合板结构、受力方向、载荷类型等有关，需要根据具体情况进行分析和判断。
5. 复合材料的界面结合对其性能有何影响？复合材料的界面结合对其性能有着重要影响，良好的界面结合可以提高复合材料的强度、刚度和耐久性，同时也能有效防止裂纹扩展和层间剥离等失效现象的发生。
复合材料细观力学-1
是分片均匀的在体积体力有关它与比较材料内的分布称为应力极化张量根据最小势能原理任意给定位移边条应变情况下复合材料平均应变其中引入应变集中因子叠加上式jkij一均匀应变场须在近似应变场上叠加能够满足为使外部位移边界条件本征应变分布体力场下复合材料的应变确定在极化应力足够小否则那么恒有半正定足够大使klijjkiljlikklijijkl对于各向同性材料为约束张量其中恒等变换自洽理论其中根据比较maxmaxmax中最小等于复合材料各相材料同样则有等于各相材料最大值最大值等于各相材料对于各向同性材料若
按材料作用分类 结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能 可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工 工序
一般优点： 比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代
80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
2
配应变
在圆币型裂纹夹杂中 已知
**
)0
' S 1
*
2
S 2
**
将（4）是代入（1，3）式中
按材料作用分类 结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能 可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工 工序
一般优点： 比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代
80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 1997 Mura T. Micromechanics of defects in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 1995 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
2
配应变
在圆币型裂纹夹杂中 已知
**
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*
2
S 2
**
将（4）是代入（1，3）式中
--复合材料力学第六章细观力学基础
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
（二）纵向泊松比
21
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21 f V f mVm
（三）纵横（面内）剪切模量
G12
在剪应力作用下，RVE的剪应变有如下 关系：
12 f V f mVm
以
12
12
G12
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用 弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：
2
2Gm
E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为纤维间距，
l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1
2
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LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
此时，对L取：
RVE的要求： 1 、 RVE 的 尺 寸 << 整 体 尺 寸 ， 则宏观可看成一点；
2、RVE的尺寸>纤维直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积；
v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体积单元时，
复合材料的应力应变等才有意义。
并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效 弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通过 体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
具有界面效应的复合材料细观力学研究 -回复
具有界面效应的复合材料细观力学研究-回复在研究复合材料的细观力学时，界面效应是一个关键的研究方向。
界面效应是指由于复合材料中不同材料之间的界面区域存在具有特殊性质的界面，而导致复合材料整体力学性能发生变化的现象。
本文将逐步回答“具有界面效应的复合材料细观力学研究”的主题。
1. 引言（约200字）：介绍复合材料的定义和常见的应用领域，指出复合材料受到界面效应的影响，引出本文的主题。
2. 复合材料的界面结构（约400字）：解释复合材料的一般结构，包括基体和增强相。
介绍界面结构的特点，如原子间的接触、界面缺陷等。
解释为什么复合材料中的界面区域具有特殊性质。
3. 界面效应对复合材料性能影响的实验研究（约400字）：概述近年来在复合材料细观力学方向进行的实验研究。
包括力学性能测试、原位观察、断面分析等方法。
介绍实验结果，如界面强度、界面层厚度等参数对复合材料性能的影响。
4. 界面效应对复合材料性能影响的理论模型（约400字）：介绍目前用于描述界面效应的理论模型，如界面力模型、层理论等。
解释这些模型的基本原理和适用范围。
讨论这些模型对于理解复合材料中界面效应的重要性。
5. 界面效应对复合材料设计和应用的影响（约400字）：讨论界面效应对复合材料设计和应用的意义。
例如，在领域中，界面效应对于提高复合材料的强度、刚度和耐热性能具有重要作用。
提出未来可能的研究方向，如界面工程、纳米尺度界面等。
6. 结论（约200字）：总结界面效应对复合材料的细观力学研究的重要性和现有研究的进展。
强调界面效应的复杂性和多样性，以及对于复合材料性能的影响。
呼吁在未来的研究中，进一步深入理解和控制界面效应，以推动复合材料的发展和应用。
通过以上步骤，可以完成一篇关于具有界面效应的复合材料细观力学研究的文章，全面地回答了主题，并且提供了相关的实验和理论研究结果，以及对复合材料设计和应用的影响的讨论。
复合材料细观力学 2
? * ? ? (? CS1 ? C 0 )?1 ? C(? 0 ? ?~) ? ** ? ? (S2 ? I )?1(? 0 ? ?~)
其中? C ? C1 ? C 0 , K ? (S1 ? I )(? CS1 ? C 0 )?1 基体和纤维材料体平均 应力场分布
? m ? ? 0 ? ?~ ? C 0 (? 0 ? ?~) ? f ? ? 0 ? ?~ ? ? 1 ? C0 (? 0 ? ?~ ? ? 1 ? ? * )
基体材料断裂韧性为 Gc ,令Ga ? Gc得到基体开裂的临界条 件
? 损伤演化方程
Cijkl (n...) ? Cijkl (C1, C 0 , f1, f2,? ,? ) 当外载由? 0增加到? 0 ? d? 0时,微裂纹个数由n增加到n ? dn 1 [ C ?1(n...)? 02 ? C ?1(n ? dn...)(? 0 ? d? 0 )2 ] ? EAdn
? W1
?
?
1 2
? 0? *dV
V1
微裂纹夹杂引起的自由能变化
? ? W ? W ? W1 ? W0
?
?
1 2
?
V2
0? **dV
设裂纹厚度远小于其半径t / a ? 0,取单个圆币型裂纹体积? ? 4 ?a 2t 3
? ? W ? ? 2 ?a 2
3
? 0t(S2 ? I )?1(? 0 ? ?~)dV
? ? m ? C 0 (S1 ? I )? *
纤维与基体界面上应力 分布：
?
C ij
?
?
f ij
?
C0 ijkl
(?
C
? M n 0
*
pqmn mn kp q
第八章-复合材料细观力学基础(改)
* ij
* ij
即特征应变。
其中 S ijkl 为Eshelby张量； 为因夹杂的出现而 0 形成的干扰应变； kl 为无限远处的均匀应变；
c kl
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
* kl ：特征应变
; C
0 kl 0 kl
0 1 0 ijkl ij
而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij
I ij
ij
0 ij
则夹杂中的应力场可表示为
I 0 ) ij Cijkl ( kl kl
3
（为θ角的函数）
* ij
3、随机分布短纤维复合材料： * * 对不同的θ角，按前述方法求得其 ij ij ( ) 然后对其求对于θ得平均值： 2 1 2 * * ij d ij ( )d 0 2 0 * * 0 在 11 作用下可求得 11 和 22 ，进而求得 11 和 22 。最后可得：
0 T ( s ) 2）给定均匀应力边界条件 i ij n j 1 v 0 ij ij dv ij v 0
1 v 而 ij 0 ij dv v * 则由 ij Cijkl kl ，只需求得 ij ，即可求得
* Cijkl
此时，复合材料的应变能也为：
1、修正复合法则（修正混合定律）
E L L E f V f E mVm l tanh( ) 2 1 L l 2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
2 G m E r 2 ln( R ) f f r f
* ij
即特征应变。
其中 S ijkl 为Eshelby张量； 为因夹杂的出现而 0 形成的干扰应变； kl 为无限远处的均匀应变；
c kl
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
* kl ：特征应变
; C
0 kl 0 kl
0 1 0 ijkl ij
而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij
I ij
ij
0 ij
则夹杂中的应力场可表示为
I 0 ) ij Cijkl ( kl kl
3
（为θ角的函数）
* ij
3、随机分布短纤维复合材料： * * 对不同的θ角，按前述方法求得其 ij ij ( ) 然后对其求对于θ得平均值： 2 1 2 * * ij d ij ( )d 0 2 0 * * 0 在 11 作用下可求得 11 和 22 ，进而求得 11 和 22 。最后可得：
0 T ( s ) 2）给定均匀应力边界条件 i ij n j 1 v 0 ij ij dv ij v 0
1 v 而 ij 0 ij dv v * 则由 ij Cijkl kl ，只需求得 ij ，即可求得
* Cijkl
此时，复合材料的应变能也为：
1、修正复合法则（修正混合定律）
E L L E f V f E mVm l tanh( ) 2 1 L l 2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
2 G m E r 2 ln( R ) f f r f
工程力学 第17章 复合材料的力学行为 习题及解析
工程力学（静力学与材料力学）习题解答第17章 复合材料的力学行为17－1 图示结构中，两种材料的弹性模量分别为E a 和E b ，且已知E a >E b ，二杆的横截面面积均为bh ，长度为l ，两轮之间的间距为a ，试求： 1．二杆横截面上的正应力；2．杆的总伸长量及复合弹性模量；3．各轮所受的力。
知识点：静不定问题，复合弹性模量 难度：很难 解答：解：1．P Nb Na F F F =+ （1） b a l l ∆=∆ （2） bhE lF l a Na a =∆ （3） bhE lF l b b Nb =∆ （4）将（3）、（4）代入（2），得bNba Na E F E F =（5）（1）、（5）联立解得P b a a Na F E E E F +=，P b a bNb F E E E F +=bh F E E E bh F P b a a Na a +==σ，bh F E E E bh F Pb a b Nb b +==σ2．由（3）式 bhE E lF bh E l F l )(b a P a Na a +==∆ 设复合弹性模量E c)2(c P bh E lF l =∆，由于a l l ∆=∆，比较两式得2ba c E E E +=3．由于F Na >F Nb ，所以，轮C 、轮G 脱离接触面，所以受力为零。
0)(=∑F k M ，022R Nb Na =--a F hF h F H∴ b a b a P R 2E E E E a h F F H +-=，ba ba P R R 2E E E E a h F F F H D +-==17－2 玻璃纤维/环氧树脂单层复合材料由2.5kg 纤维与5kg 树脂组成。
已知玻璃纤维的弹性模量E f =85GPa ，密度f ρ= 2500kg/m 3，环氧树脂的弹性模量E m = 5GPa ，密度m ρ= 1200kg/m 3。
试求垂直于纤维方向和平行于纤维方向的弹性模量E y 和E x 。
8-第八章_复合材料细观力学
假设代表性体积单元长度为l，宽度为w，而且w=wf+wm(见图8.3)。当单 元体在1方向受到拉伸时，引起纤维和基体的横向应变（2方向）分别为
f 2 f f 1 f 1, m2 m m1 m1
式中，vf 和 vm分别是纤维和基体的泊松比。 单元的横向变形△w可以表示为
8.1 细观力学的基本假设
单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体） 可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主 体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材 料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强 度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之间的界面结合完好性 对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程 度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的 力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的基本假设： （1）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初 应力； （2）增强材料（纤维）是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或 横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则； （3）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计； （4）界面黏结完好，无缺陷。
图8.3 代表性体积单元体1方向 拉伸示意图
EL E f f Emm E f f Em 1 f
（8.6）
这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混 合律。EL与f具有线性关系，当f由0~1变化时， EL从Em~Ef按线性变化，如图8.4所示。
图8.4 EL和f的关系
w w f wm f 2 w f m 2 wm f w f m wm 1
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一、知识部分1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。
解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。
（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。
（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有1.5个原子，所以其面密度为23a。
（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是223a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为c a 21；2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。
它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。
这些结果说明了什么？解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。
则10006.122333=-b bf a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 42=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343=⨯⨯⨯=⨯==它们的相对变化为0311.019689.0-=-=-bfb r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为()()()1.83423422422333333-=-=-b b f b bf r r r a a a ％从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。
所以，同一种金属，不同结构的原子半径改变，尽量使其体积变化最小。
3、根据Fe-C 相图①计算)(C w 为0.1%以及1.2%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算共析体（珠光体）的相对量。
②计算)(C w 为 3.4%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算刚凝固完毕时初生γ相（奥氏体）和共晶体的相对量。
计算在共析温度下由全部γ相析出的渗碳体占总体（整个体系）量的百分数。
计算在共晶体中最后转变生成的共析体占总体（整个体系）量的百分数。
解：（1）在室温下铁-碳合金的平衡相是ɑ-Fe （碳的质量分数是0.008％）和Fe 3C （碳的质量分数为6.77％），则)(C w 为0.1％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对质量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为62.98008.067.61.067.6=--=αA ％ 62.9813-=C Fe A ％38.1=％ )(C w 为1.2％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为11.82008.067.62.167.6=--=αA ％ 11.8213-=C Fe A ％89.17=％ )(C w 为0.1％的合金在室温下平衡状态下的组织是ɑ-Fe 和共析体，其组织金可近似看作和共析转变时一样，在共析温度ɑ-Fe 中碳的成分是0.02％，共析的碳的成分是0.77％，则)(C w 为0.1％的合金在室温时组织中共析体的相对量P A 为 67.1002.077.002.01.0=--=P A ％ )(C w 为1.2％的合金在室温下平衡状态下的组织是Fe 3C 和共析体，在室温时组织中共析体的相对量P A 为71.9277.067.62.167.6=--=P A ％ （2）)(C w 为3.4％的铁碳合金在室温平衡相是ɑ-Fe （碳的成分是0.008％）和Fe 3C （碳的成分是6.67％），则)(C w 为3.4％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为08.49008.067.64.367.6=--=αA ％ 08.4913-=C Fe A ％92.50=％ 因为刚凝固完毕时，初生γ相和共晶碳的成分分别为2.11％和4.26％，所以刚凝固完毕时初生γ相的相对量γI A 及共晶的相对量G A 为4011.226.44.326.4=--=I γA ％ 401-=G A ％60=％ 在刚凝固完毕时，全部γ相（包括初生γ相和共晶中的γ相）的相对量γA 是 7.7111.267.64.367.6=--=γA ％ 碳的成分为2.11％的γ相从共晶温度冷却到共析温度后，它的成分变为0.77％，在冷却过程它析出Fe 3C 相，每份γ相析出Fe 3C 的量C Fe A 3*为 71.2277.077.677.011.23=--=*C Fe A ％ 现在γ相的量是71.7％，所以到共析温度析出的Fe 3C 相对于整体的相对量C Fe A 3*为71.227.713⨯=*C Fe A ％28.16=％因为合金中的γ相到共析温度析出Fe 3C ，总体的γ相的相对量减少16.28％，余下的γ相在共析温度都转变为共析体，所以共析体的相对量为7.71=P A ％28.16-％42.55=％4、说明面心立方结构的潜在滑移系有12个，体心立方结构的潜在滑移系有48个。
解：面心立方晶体的滑移系是{111}<011>，{111}有四个，每个{111}面上有三个<011>方向，所以共有12个潜在滑移系。
体心立方晶体的滑移系是{110}<111>,{211}<111>以及{312}<111>。
{110}面共有6个，每个{110}面上有两个<111>方向，这种滑移系12个潜在滑移系；{211}面共有12个，每个{211}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有12个潜在滑移系；{312}面共有24个，每个{312}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有24个潜在滑移系，因此，体心立方晶体的潜在滑移系共有48个。
5、单晶体铜受拉伸形变，拉伸轴是[001]，应力为104Pa 。
求作用在（111）面[101]方向的分切应力。
解：根据ϕλστcos cos =，τ是所求的分切应力，σ是拉伸应力，λ是[001]与[011]的夹角，ϕ是[001]与[111]的夹角。
根据立方系的晶向夹角公式211111c o s =+=λ 3111111c o s =++=ϕ 则 a 1008.410312134P Pa ⨯=⨯⨯=τ 6、面心立方系单晶体受拉伸形变，拉伸轴是[001]，求对b=a[101]/2及t 平行于[121]的位错在滑移和攀移方向所受的力。
已知点阵常数a=0.36mm.解：单位长度位错线在滑移面上所受的力F 是外加应力场在滑移面滑移方向的分切应力τ与柏氏矢量b 的乘积：b F g τ=。
在单向拉伸（应力为σ）的情况，ϕλστcos cos =。
因b=a[101]/2及t 平行于[121]，所以滑移面是{111}，因此，λ是[001]与[011]的夹角，ϕ是[001]与[111]的夹角。
由第5题的计算可知，;31cos ,21cos ==ϕλ则σστ408.06==。
而b 的模为m a 01-9-1055.2221036.022⨯=⨯⨯=，最后得m N b F g /1055.2408.010-στ⨯⨯==式中，σ的单位为Pa 。
单位长度位错线在攀移方向上所受的力c F 是外加应力场在刃型位错半原子面的正应力c σ与柏氏矢量b 的乘积：b F c c σ-=。
因为b 垂直于位错线，所以讨论的位错是刃型位错。
其半原子面的法线矢量是b ，即为[011]，则2'c o s 2σϕσσ==c 。
作用在单位长度位错线上的攀移力为m N m N F c /10275.1/1055.2210-10-σσσ⨯=⨯⨯=式中，σ的单位为Pa 。
7、在面心立方晶体中，把2个平行的同号螺位错从100nm 推近到8nm 作功多少？已知a=0.3nm ，G=7×1010Pa 。
解：两个同号的螺型位错（单位长度）间的作用力F 与它们之间的距离d的关系为 dGb F π22= 位错的柏氏矢量m a b 101012.222-⨯==，两螺型位错从100nm 推近到8nm 作功为m J d d Gb d d Gb W d d /10125.08100ln 210211.0107ln 2d 210-210-10122221⨯=⨯⨯⨯===⎰πππ）（8、若空位形成能为73kJ/mol ，晶体从1000K 淬火至室温（约300K ），b 约为0.3nm ，问刃位错能否攀移？解：存在不平衡空位浓度使单位长度刃型位错受的化学力为02ln c c b kT F s =，因为b F c c σ=，即刃型位错受到的攀移正应力为03ln c c b kT s =σ，这个应力达到足够大时位错会发生攀移。
在不同温度下空位的平衡浓度为kT G f ec -=，所以，在1000K 和在300K 下的空位浓度分别是k G f e 1000-和k G f e 300-。
这样，晶体从1000K 淬火和在300K 刃型位错受到的正应力s σ为Pa k G b k f s 921014.3)100013001(300⨯=-=σ9、轧制板材时，设弹性变形量从表面到中心是线性的。
①压下量不大时，表面仍处在弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布；②表面发生了塑性形变，但中心仍处于弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布。
解：（1）当压下量不大表面仍处在弹性范围时，因表面变形量最大，所以整个板处于弹性范围，加载时，应力与应变成正比，所以应力从表面到中心呈线性分布，如下图（a）所示。