用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.把方程3x2-6x-27=0的二次项系数化为1，可得方程()A.x2-2x-9=0B.x2-6x+27=0C.x2-2x-27=0D.x2-6x-9=02.方程2x2-4x-3=0配方后写成(x+m)2=b的形式应为()A.(x-2)2=7B.(x-1)2=C.(x-1)2=5D.(x-2)2=3.用配方法解方程2y2-5y+2=0.方程两边同除以2，并将常数项移项，得.方程两边同加上，得y2-y+=-1+，即=，解得y1=，y2=.4.(教材例6变式)用配方法解下列一元二次方程:(1)4x2+12x+9=0; (2)3x2+6x-1=0;(3)2x2-3x-3=0.知识点2配方法的运用5.填空:(1)3x2+12x+=3(x+)2;(2)x2-5x+=(x-)2.6.若二次三项式4x2+ax+1可化为(2x-b)2的形式，则ab=.7.先仔细阅读下列材料，再尝试解决问题.求多项式2x2+12x-4的最小值时，我们可以这样处理:解:原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.因为无论x取何值，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，此时x=-3.当x=-3时，2(x+3)2-22=-22，故原多项式的最小值是-22.解决问题:(1)请根据上面的解题思路，求多项式x2+4x+5的最小值，并写出此时x的值;(2)请根据上面的解题思路，求多项式-3x2-6x+12的最大值，并写出此时x的值.8.用配方法证明对于任何实数x，二次三项式x2-2x+5-的值恒大于零.9.因为(x-1)2≥0，所以x2-2x+1≥0，即x2+1≥2x，由此可得出结论:若x为实数，则x2+1≥2x.运用这个结论求代数式的最大值为()A.0B.C.1D.10.若(5x+6y)2+2(5x+6y)-4=0，则5x+6y的值为.11.若P=a-2，Q=a2+3a(a为实数)，则P，Q的大小关系为P Q(填“>”“<”或“=”).12.用配方法解下列一元二次方程:(1)x(2x+1)=5x+70;(2)0.4y2+0.8y-1=0;(3)x(2x-4)=5-6x.13.(教材例7变式)若9x2-(k+2)x+4是一个关于x的完全平方式，求常数k的值.14.若x2+y2+4x-6y+13=0，求2x+3y的值.15.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3，(x-2)2+2x，x-22+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)按照上面的例子，写出x2-4x+9的三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(写出两种不同形式的配方);(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值.详解详析1.A2.B[解析] 方程2x2-4x-3=0，变形，得x2-2x=，配方，得x2-2x+1=，即(x-1)2=.故选B.3.y2-y=-124.解:(1)(2x+3)2=0，解得x1=x2=-.(2)二次项系数化为1，得x2+2x-=0.移项，得x2+2x=.方程两边同时加上1，得x2+2x+1=+1，即(x+1)2=，开方，得x+1=±，解得x1=-1，x2=--1.(3)2x2-3x-3=0，二次项系数化为1，得x2-x-=0，移项，得x2-x=，方程两边同时加上2，得x2-x+2=2+，即=，开方，得x-=±，解得x1=，x2=.5.(1)122(2) 56.-47.解:(1)x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.因为无论x取何值，都有(x+2)2的值为非负数，所以(x+2)2的最小值为0，此时x=-2.当x=-2时，多项式x2+4x+5的最小值是1.(2)-3x2-6x+12=-3(x2+2x-4)=-3(x2+2x+1-1-4)=-3[(x+1)2-5]=-3(x+1)2+15.因为无论x取何值，都有-3(x+1)2的值为非正数，所以-3(x+1)2的最大值为0，此时x=-1.当x=-1时，多项式-3x2-6x+12的最大值是15.8.证明:x2-2x+5-=+3-.∵≥0，3->0，∴x2-2x+5-的值恒大于零.9.B[解析] ∵x2+1≥2x，要求代数式的最大值，∴x必须大于0，∴≤，即≤，∴的最大值为.故选B.10.-1±11.<[解析] ∵P=a-2，Q=a2+3a(a为实数)，∴Q-P=a2+3a-a+2=a2+2a+2=(a+1)2+1.∵(a+1)2≥0，∴(a+1)2+1≥1，∴Q-P≥1，∴Q>P，即P<Q.12.解:(1)x(2x+1)=5x+70.去括号，得2x2+x=5x+70.移项、合并同类项，得2x2-4x=70.两边同时除以2，得x2-2x=35.配方，得x2-2x+1=35+1，即(x-1)2=36.解得x1=7，x2=-5.(2)0.4y2+0.8y-1=0，0.4y2+0.8y=1，y2+2y=2.5，y2+2y+1=2.5+1，(y+1)2=，y+1=±，y=-1±，即y1=-1+，y2=-1-.(3)x(2x-4)=5-6x，整理，得2x2+2x=5，x2+x=，x2+x+=+，=，x+=±，即x1=，x2=.13.解:∵9x2-(k+2)x+4是一个完全平方式，∴9x2-(k+2)x+4=(3x+2)2或9x2-(k+2)x+4=(3x-2)2，∴-(k+2)=12或-(k+2)=-12，∴k=-14或k=10.14.解:由题意得(x+2)2+(y-3)2=0，∴x=-2，y=3，∴2x+3y=-4+9=5.15.解:(1)x2-4x+9的三种不同形式的配方分别为x2-4x+9=(x-2)2+5; x2-4x+9=(x-3)2+2x;x2-4x+9=x-32+x2.(2)答案不唯一，如a2+ab+b2=(a+b)2-ab;a2+ab+b2=a+b2+b2.(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，∴a2-ab+b2+(b2-4b+4)+c2-2c+1=0，∴a-b2+(b-2)2+(c-1)2=0，∴a-b=0，b-2=0，c-1=0，∴a=1，b=2，c=1，则a+b+c=4.。
