关于病态线性方程组解法的开题报告

对病态方程组的处理方法研究蓝醒龙（广西民族大学数学与计算机科学学院03数本2班，530006）摘 要： 对病态线性方程组解法研究是数值计算方法的一个重要研究课题。

本文分析了病态方程组的特点，介绍了几种有效的解法。

关键词： 病态线性方程组；条件数；预处理；迭代Studying The Algorithm For Solving Ill-conditionedSystem Of EquationsAbstract ： Studying the algorithm for solving ill-conditioned system of equations is an important issue. This paper analyses the equations characteristic, and introduces several effective algorithms.Key words ：ill-conditioned system of equations; condition number; pretreatment; iteration1 问题的提出一个线性方程组 A X b =，若右端向量b 或系数矩阵A 的微小变化就会引起方程组的解发生很大的变化，则称A X b =为病态方程组。

方程组的系数矩阵A 的条件数()1C o n d A AA -=刻画了方程组的性态，若()1C ond A ≥，则称A X b =为“病态”方程组；若()Cond A 相对较小，则称A X b =为“良态”方程组。

良态方程组用GAUSS 消去法和JACOBI 等简单的迭代法就可以得到比较好的计算解，而对于病态方程组，一般的直接法和迭代法会有较大的误差，甚至严重失真。

所以，在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算法，才能得到比较精确的计算解。

利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法。

开题报告线性方程组的求解方法及应用开题报告一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。

对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。

现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。

现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。

本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。

对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。

同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。

这就需要我们去根据相关问题去探究。

马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。

随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。

而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。

因而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。

若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。

对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。

设计题目线性方程组理论及其应用学生姓名陈彦语学号专业数学与应用数学（师范类）课题地目地意义：高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（' ）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组地方法，本文将更加系统地阐述求解线性方程组地几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中地应用.线性代数是代数学地一个重要组成部分，广泛应用于现代科学地许多分支，其核心问题之一就是线性方程组地求解问题.线性方程组地求解是数值计算领域十分活跃地研究课题之一，大量地科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组.因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化.可以说，线性方程组地求解在现代科学领域占有重要地位.二、近几年来研究现状：目前关于线性方程组地数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法.直接方法最基本地是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组地有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展.迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组地精确解，迭代法具有地优点是：需要计算机地存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度地问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组地重要方法，当前对迭代算法地研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好地性能加速还有待进一步研究..三、设计方案地可行性分析和预期目标：可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组地一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件地学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究地基础上，给出利用软件求解几类常见线性方程组地方法.通过广泛收集线性方程组应用方向地文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域地应用，并实现线性方程组地求解过程.预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高地角度来审视高等代数，对其中地线性方程组部分有一个更加深刻地理解和认识，锻炼自己地发散性思维和缜密地思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题地能力，从而达到对所学知识地融会贯通.四、所需要地仪器设备、材料：仪器设备：计算机，网络资源以及图书馆资料，打印机，纸材料：[]王萼芳,石生明.高等代数[].北京:高等教育出版社[]同济大学数学系.线性代数[].上海:高等教育出版社[]李庆扬,王超能,易大义.数值分析[].北京:清华大学出版[]王沫然与科学计算[].北京:清华大学出版社，[]《运筹学》教材编写组. 运筹学[]. 北京:清华大学出版社[]杨启帆,方道元. 数学建模[].杭州:浙江大学出版社，.[]姜启源.数学模型[].北京:高等教育出版社[]刘从义.线性方程组地求解及其应用[],考试周刊[]仝秋娟.几种特殊线性方程组解法研究[],陕西:西安电子科技大学，[]丁丽娟.数值计算方法[].北京:北京理工大学出版社[]谢金星,薛毅.优化模型与软件[],北京:清华大学出版社五、课题分阶段进度计划：序号起止日期工作内容阶段成果（第周）至查阅资料，填写开题报告，完成开题答辩材料.形成论文框架.（第周）至撰写论文初稿，翻译英文.完成初稿电子版及英文翻译电子版.（第周）至继续查找资料，修改完善论文内容和合适，修改译文；完成论文第二稿（第周）至进一步修改完善论文，最终定稿，打印论文；准备论文答辩提纲.正稿并答辩指导教师意见签字：年月日。

病态线性代数方程组的求解理论的分析表明，求解病态的线性代数方程组是困难的。

考虑方程组Hx = b的求解，其中H为Hilbert矩阵，H=(hij)n⨯n，hij=1，i,j=1,2,...,n i+j-11. 估计Hilbert矩阵2-条件数与阶数的关系；2. 选择问题的不同维数，分别用Gauss消去法，Jacobi迭代，GS迭代和SOR迭代求解，比较结果；3. 讨论病态问题求解的算法。

解：1、取Hilbert矩阵阶数最高分别为n=20和n=100。

采用Hilbert矩阵的2-条件数作为实验的比较对象，画出的曲线如下图所示：lg(cond(Hn))nlg(cond(Hn))~n关系图lg(cond(Hn))n从图中可以看出，在n≤13之前，图像接近直线，在n＞13之后，图像趋于平缓，在一定的范围内上下波动。

为了比较图像的线性部分，作出一条直线与已知曲线进行比较。

比较直线的关系式为：lg(cond(Hn))=1.519n-1.833，结果下图所示。

lg(cond(Hn))~n关系图lg(cond(Hn))n从图2中可以看出，当n较小时，lg(cond(Hn))~n之间近似满足线性关系。

当n 继续增大到100时，lg(cond(Hn))~n关系图下图所示：lg(cond(Hn))~n关系图lg(cond(Hn))n从图中可以看出，图像的走势符合在n=20时的猜想，在n大于一定的值之后，图像趋于平缓，且在一定范围内震荡，同时又有一定上升趋势，但上升速度很慢。

2、选择不同的阶数n，设方程组的精确解为xz=(1,1,…,1)T进行计算，用四种方法解x_Guass1、x_Jacobi1、x_GS1、x_SOR1对比表如下表所示。

Gauss消去法求解：选择问题的阶数为3~8时，用Gauss消去法求得的解与精确解一致，当阶数为9~14时，解开始出现偏差，而且n越大，偏差越大。

用迭代法求解：取初始向量为1.2(1,1,…,1)T.无论n为多少阶，用Jacobi迭代方法迭代出现发散的不稳定现象，无法求解；用GS迭代方法迭代不发散，能求得解，但收敛非常缓慢，当迭代次数取得相当大（20000次）时解仍在精确解附近波动；取w=1.5，用SOR迭代方法迭代不发散，能求得解，收敛速度较GS迭代快一些，但仍非常缓慢。

毕业论文开题报告信息与计算科学线性方程组解法的研究一、选题的意义线性代数是本专科高校中各类专业的一门公共基础课.。

由于线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域, 许多非线性问题在一条件下也可以转化为线性问题来处理，线性代数已成为应用最广泛的大学基础数学课程之一，它的重要性也已经成为我们的共识.。

通过对线性代数课程的学习，可以提高学生的数学素质和数学能力, 特别是培养逻辑推理、归纳判断、科学计算、用数学语言和符号进行表达的能力等，对提高学生的思维能力、开发学生智力等起到重要作用。

尤其是现在, 随着计算机的逐渐普及，作为一门基础理论课的线性代数, 能够很好的帮助学生对计算机知识的理解和学习, 提高培养学生综合素质的效率。

矩阵被作为许多高等代数教材中研究的重要工具, 然而, 线性方程组理论同样也是一个比较重要的研究工具。

线性方程组是线性代数的主要内容，只要恰当地运用线性方程组理论, 我们在研究一些问题时就可以使比较复杂的研究过程简单化。

线性方程组与矩阵、向量的内容密切相关, 它与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广。

求解线性方程组是线性代数的核心内容之一, 同时也是它的最重要的应用领域之一。

线性方程组的求解还能处理许多实际问题，在科学研究与生产实践中，许多问题都可以归结为线性方程组的求解。

线性方程组的解法有很多，不同的线性方程组，根据其性质和特征，应当选择适当的解法。

所以，寻找最有效最简便的求解方法就显得极其重要。

本文首先对线性方程组的定义和基本性质等作了一些简单阐述，然后通过例子介绍了一些方程组的解法和特征，对其加以延伸综合、归纳总结，进一步提高我们线性方程组及其解法的认识，接着介绍了行列式线性方程组及其解法在一些领域中的应用，本文最后做出了简单的总结，使文章更加完整，也更加巩固了我们所学的线性方程组的相关知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。

二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）本文研究的主要内容及解决的主要问题是线性方程组的多种解法研究及其有关应用。

数值实验3_3 病态的线性方程组求解
自动化系李琳琳 2004211068
1．选择问题的维数为6，分别用Gauss消去法、J迭代方法、GS迭代方法和SOR 迭代方法求解并与问题的解比较，所得结果见下表
2．逐步增大问题的维数，仍用上述方法求解，结果如下：
由上述计算结果可以看出：
病态方程组的数值求解必须小心进行，否则得不到所要求的准确度或不稳定。

由本题中所做的数值实验可以看出，对于系数矩阵为Hilbert矩阵的病态方程组，Guass(即LU分解)方法和J迭代法都是无效的，结果发散。

而GS迭代和SOR迭代方法则较有效的解决了这个问题，得到较为精确的结果。

另一方面，也可以说明GS方法和SOR方法在收敛性方面更有优势。

其中，当系数矩阵A对称正定时，GS法一定收敛，而J法却不一定；且采用最优松弛因子的SOR方法要比GS法和J法收敛快得多。

数值分析课程实验报告 实验名称 病态线性方程组的算法设计
班级
学号 姓名 序号
任课教师 评分 一、 实验目的
1、 初步病态线性方程组的判定。

2、 初步了解常规方法在求解病态线性方程组时遇到的困难。

3、 针对病态问题设计求解算法并验证算法的有效性。

二、用文字或图表记录实验过程和结果
1、Hilbert 矩阵如下：
11/21/1/21/31/(1)()1/1/(1)1/(21)n ij n
n H h n n n ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦L L M M M L 其中1(1)ij h i j =+-，它是一个对称正定矩阵，并且()n cond H 随着n 的增加迅速增加，利用Matlab 分析如下：
可以发现在阶数不断增大
Hilbert 矩阵的条件数不断增大，
这样使得求解Hilbert 病态方程
变得非常困难，即使A 或b 有微小
扰动时，即使求解过程是精确进
行的（即没有舍入误差），所得的
解相对于原方程的解也会有很大
的相对误差。

这就需要提出病态
线性方程组的求解方法，对于一
般的方程求解常用的有高斯（选
主元）消去算法、高斯—赛德尔迭代。

本试验先使用用列主元高斯消去算法和高斯-赛德尔迭代算法求解线性方程组：
n
H x b = 其中11(,,),(1,2,,)n T n i ij j b b b b h i n ====∑L L 。

2、高斯列主元消去算法
(1)设计流程图：。

实验一病态线性代数方程组的求解1.估计Hilbert矩阵2-条件数与阶数的关系运行tiaojianshu.m 输入m=10 可以得到如下表的结果2.选择不同维数，分别用Guass消去（LU分解），Jacobi迭代，GS 迭代，SOR迭代求解，比较结果。

说明：Hx=b，H矩阵可以由matlab直接给出，为了设定参考解，我们先设x为分量全1的向量，求出b,然后将H和b作为已知量，求x，与设定的参考解对比。

对于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，取迭代初值x0为0向量，迭代精度eps=1.0e-6，迭代次数<100000, SOR迭代中w=1.2和0.8分别计算。

a. n=5b. n=8c. n=10d. n=15取不同的n值，得到如下结果:对于Guass法，可以看出来，随着n的增大，求解结果误差变大，这是因为随着n增大，系数矩阵的条件数变大，微小的扰动就容易造成很大的误差。

最后得不到精确解。

对于Jacobi迭代，计算结果为Inf，说明是发散的。

对于GS迭代和SOR迭代，结果是收敛的，但是可以看出迭代次数比较多，并且对于不同维数GS和SOR收敛速度不一样，有时候GS快，有时SOR快。

对SOR取不同的w迭代速度也不一样，存在一个最优的松弛因子w。

并且可以知道，迭代次数多少跟初值x0也有关系。

3.讨论病态问题求解的算法。

通过上面的实验分析，可以看出，求解病态矩阵的时候要小心，否则可能得不到所要求的精确度。

可以采用高精度运算，用双倍多倍字长，使得由于误差放大而损失若干有效数字位之后，还能保留一些有效位。

另外可以通过对原方程作某些预处理，降低系数矩阵的条件数，因为cond(aA)=cond(A),所以不能通过将每一个方程乘上相同的常数来达到这个目标，可考虑将矩阵的每一行和每一列分别乘上不同的常数，亦即找到可逆的对角阵D1和D2将方程组化为D1AD2y=D1b，x=D2y这称为矩阵的平衡问题，但是这样计算量比原问题本身要多。