新编人教版高中数学必修二空间中的平行关系课后练习2含答案

课后导练基础达标1如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线…( )A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内的两相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交解析：设直线a∥平面α,过a作平面β使α∩β=b,则a∥b,由此可知,平面β内凡是与b平行的直线也都与a平行；凡是与b相交的直线都与a异面,从而可知A、B、C均错,只有D正确.答案：D2a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析：例如正方体ABCD-A′B′C′D′中取棱A′D′,B′C′, BC,AD的中点分别为E,F,G,H,则平面EFGH∥平面DCC′D′,AB,AA′,BB′与它们都平行,但AA′∥BB′,AA′∩AB=A,又AB∥面DCC′D′,CC′∥面EFGH,而AB与CC′异面,从而选择D.答案：D3在空间中,下列命题正确的是( )①平行于同一直线的两条直线平行②垂直于同一条直线的两条直线平行③平行于同一平面的两条直线平行④平行于同一条直线的两个平面平行A.①B.①③C.①④D.①②解析：由公理4知命题①正确；命题②中垂直于同一条直线的两线可平行,可相交也可异面；平行同一平面的两直线也可能平行、相交或异面,所以③错；而平行于同一直线的两个平面可相交,可平行,所以②③④错,只有①正确.答案：A4与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )A.都平行B.在这两个平面内C.都相交D.至少与其中一个平面平行解析：设平面α∩平面β=l,直线a∥l,①当a⊂β,时,a⊄α,l⊂α,∴a∥α,②当a⊂α时,同①可证a∥β,③当a⊄α,a⊄β时,因为l⊂α,l⊂β,a∥l,∴a∥β,a∥α,从而选D.答案：D5设有直线a、b,平面α、β,若a⊂α,b⊂β,α∥β,则直线a和b的位置关系是________.解析：∵α∥β,∴α与β无公共点,又∵a⊂α,b⊂β,∴a与b无公共点,因此a∥b或a,b异面.答案：平行或异面6设有不同的直线a、b、c和不同的平面α、β、γ,已知如下命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c ②若α∥β,β∥γ,则α∥γ ③若a∥α,b∥α,则a∥b ④若α∥a,β∥a,则α∥β.其中正确命题的序号是___________-.解析：由公理4以及面面平行的判定知①②正确；若a∥α,b∥α,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面；若a ∥α,a ∥β,则α∥β或α与β相交；所以③④错.答案：①②7若三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________.答案：两两相交且交于同一条直线或两个平面平行且与另一个面相交8已知:如图在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD 中,E,F 是PD 的三等分点,H 为PC 的中点.求证：①BE ∥平面ACF ；②BH ∥平面ACF.证明：①连BD,设BD∩AC=O ,连OF,∵F 为DE 的中点,O 为BD 中点,∴OF ∥BE,又OF ⊂面ACF,BE ⊄面ACF,∴BE ∥面ACF.②连HE,∵E 为PF 中点,H 为PC 中点,∴EH ∥FC,FC ⊂面ACFHE ⊄面ACF,∴HE ∥面ACF,又BE ∥面ACF,又BE ⊂面BHE,HE ⊂面BHE 且BE∩HE=E,∴面BHE ∥面ACF,又 BH ⊂面BHE,故BH ∥面ACF.综合应用9已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与α、β、γ相交于A 、B 、C 与D 、E 、F.已知AB ＝6,52=DF DE ,则AC ＝_____________. 解析：连结AF 交β于点H,∵α∥β∥γ,∴BH ∥CF,HF ∥AD, ∴DFDE AF AH AC AB ==, ∴526=AC , ∴AC=15.答案：1510如下图,在透明塑料制成的长方体形容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题：①水的部分始终是棱柱形 ②水面四边形EFGH 的面积不变 ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行 ④当容器倾斜到如图位置时,BE·BF 是定值.其中正确命题的序号是______________.解析：在倾斜过程中,容器内的水恒保持有两个面平行,其余面为平行四边形,由棱柱的定义和线面平行的判定及性质可知①与③正确；对于④由于水的体积和高BC 一定,所以BE·BF 是定值；只有②错.答案：①③④11已知:三棱柱ABC-A 1B 1C 1,E 、F 分别为AB,B 1C 1的中点.求证：EF ∥平面ACC 1A 1.证法一：如图,取A 1C 1中点H,连结FH,AH.∵F 为B 1C 1中点,∴HF 21A 1B 1. 又∵E 为AB 中点, ∴AE21A 1B 1,∴HF AE, ∴EF ∥AH,又∵AH ⊂平面ACC 1A 1,EF ⊄面ACC 1A 1,故EF ∥面ACC 1A 1.证法二：如图,取A 1B 1中点G,连结GF,GE,∵E,F 分别为AB,B 1C 1中点,∴GF ∥A 1C 1,GE ∥A 1A,∴平面GEF ∥面ACC 1A 1,又∵EF ⊂面GEF,故EF ∥平面ACC 1A 1.拓展探究12设平面α∥β,两条异面线段AC 和BD 分别在平面α、β内.设AC=6,BD=8,AB=CD=10,且AB 与CD 所成的角为60°,求AC 与BD 所成角的大小.解：连结AB,设AC与AB确定的平面为γ∩β=BE,∵α∥β,α∩γ=AC,∴AC∥BE,∴∠DBE或其补角为AC与BD所成的角,过C在γ内作CE∥AB交BE于点E,∴∠DCE=60°,知四边形ACEB为平行四边形,∴CE=AB=10,又CD=10,∴DE=10,又AC=BE=6,BD=8,∴DE2=BE2+BD2,∴∠DBE=90°.。

高中数学第一章立体几何初步1.2.2 空间中的平行关系（2）同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.2.2 空间中的平行关系（2）同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章立体几何初步1.2.2 空间中的平行关系（2）同步练习（含解析）新人教B 版必修2的全部内容。

空间中的平行关系(2）1．已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m α，n α，l 1β，l 2β，l 1l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ）．A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 22．平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 与α( ）．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系为( ）．A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定4．几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面棱AD 上的一点,3aAP ，过P 、M 、N 三点的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上，则PQ 等于________．5．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，给出下列六个命题:①a ∥c ，b ∥ca ∥b ；②a ∥γ，b ∥γa ∥b ；③c ∥α，c ∥βα∥β;④γ∥α，β∥αγ∥β；⑤a ∥c ,α∥c a ∥α；⑥a ∥γ，α∥γa ∥α。

人教版高中数学必修第二册8.5.2直线与平面平行第1课时直线与平面平行的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥αB.若直线a在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a平行于α内的无数条直线2.直线a,b为异面直线,则过直线a与直线b平行的平面()A.有且只有一个B.有无数个C.有且只有一个或不存在D.不存在3.如图L8-5-7所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在6条直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的有()图L8-5-7A.0条B.1条C.2条D.3条4.如图L8-5-8,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1C平行的直线是()图L8-5-8A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形B.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形C.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形D.HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形6.将一个正方体纸盒沿着几条棱剪开,得到如图L8-5-9所示的展开图,则在原正方体中()图L8-5-9A.AB∥CDB.AB∥平面CDC.CD∥GHD.AB∥GH7.如图L8-5-10,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,且该平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.其中正确说法的个数为()图L8-5-10A.1B.2C.3D.48.如图L8-5-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC1,BD的中点,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的平面个数为()图L8-5-11A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知l,m是两条直线,α是一个平面,若要得到“l∥α”,则需要在条件“m⊂α,l∥m”中另外添加的一个条件是.10.如图L8-5-12,在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系为.图L8-5-1211.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是.12.已知直线a,b和平面α,若a∥b,且直线b在平面α内,则a与α的位置关系是.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-13,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱AB,BC的中点.求证:AC∥平面B1DE.图L8-5-1314.(10分)如图L8-5-14,在圆锥中,S为顶点,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD;(2)求圆锥的表面积和体积.图L8-5-1415.(5分)如图L8-5-15,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件时,A1P∥平面BCD.(答案不唯一,填一个满足题意的条件即可)图L8-5-1516.(15分)如图L8-5-16,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.图L8-5-16参考答案与解析1.D[解析]直线l⊂α时也可以满足条件,但l不平行于α,所以选项A中说法错误;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B中说法错误;选项C中缺少a⊄α这一条件,故不能得到a∥α,所以选项C中说法错误;选项D中说法正确.2.A[解析]在直线a上任取一点A,则过点A与直线b平行的直线有且只有一条,设为b',∵a∩b'=A,∴直线a与直线b'确定一个平面α,平面α为过直线a与直线b平行的平面,可知它是唯一的.3.C[解析]取AD的中点H,连接EH,则EH∥AB,因为EH与平面α相交,所以AB与平面α相交.由题意知直线AC,DB,DC均与平面α相交.在△BCD中,由已知得EF∥BC,因为EF⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.同理AD∥α.所以在题中的6条直线中,与平面α平行的有2条.4.D[解析]易知A1B1∥DC,A1B1=DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C.∵A1D⊄平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,∴A1D∥平面AB1C.故选D.5.B[解析]因为AE∶EB=AF∶FD=1∶4,所以EF∥BD,EF=15BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,所以EF∥平面BCD.因为H,G分别为BC,CD的中点,所以HG∥BD,HG=12BD.则EF∥HG,EF ≠HG,所以四边形EFGH为梯形,故选B.6.C[解析]原正方体如图所示,由图可得,AB与CD相交,A错误;AB与平面CD相交,B错误;CD∥GH,C正确;AB与GH是异面直线,D错误.7.C[解析]连接PM,因为M,P分别为AB,CD的中点,所以PM∥AD且PM=AD,由题意知AD∥A1D1且AD=A1D1,所以PM∥A1D1且PM=A1D1,所以四边形PMA1D1为平行四边形,所以A1M∥D1P,故①正确;显然A1M与B1Q为异面直线,故②错误;由①知A1M∥D1P,因为D1P ⊂平面DCC1D1,D1P⊂平面D1PQB1,A1M⊄平面DCC1D1,A1M⊄平面D1PQB1,所以A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故③④正确.8.D[解析]连接C1D,AB1,∵E,F分别是BC1,BD的中点,∴EF∥C1D∥AB1,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的有平面CC1D1D,平面ABB1A1,平面A1C1D,平面ADC1B1,平面AB1D1,共5个,故选D.9.l⊄α[解析]∵l,m是两条直线,α是一个平面,m⊂α,l∥m,∴l⊂α或l∥α.若要得到“l∥α”,则需要在条件“m⊂α,l∥m”中另外添加的一个条件是“l⊄α”.10.平行[解析]连接AG并延长,交BC于点M,连接SM,则AG=2GM,又AE=2ES,所以EG∥SM.因为EG⊄平面SBC,SM⊂平面SBC,所以EG∥平面SBC.11.平行或异面[解析]∵AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,∴CD∥平面α,∴直线CD与平面α内的直线没有公共点,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.12.a∥α或a⊂α[解析]若a∥b,且直线b在平面α内,则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α.13.证明:在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,又DE⊂平面B1DE,AC⊄平面B1DE,所以AC∥平面B1DE.14.解:(1)证明:连接PO.∵P,O分别为SB,AB的中点,∴PO∥SA,又PO⊂平面PCD,SA⊄平面PCD,∴SA∥平面PCD.(2)∵SO=2,OB=2,SO为圆锥的高,OB为圆锥底面圆的半径,∴圆锥的体积V=13π×22×2=8π3.∵SB= 2+ 2=22,∴圆锥的表面积S=π×2×(2+22)=(4+42)π.15.P是CC1的中点[解析]当P是CC1的中点时,易得A1D∥PC,A1D=PC,所以四边形A1DCP 为平行四边形,所以A1P∥DC.因为A1P⊄平面BCD,DC⊂平面BCD,所以A1P∥平面BCD. 16.解:(1)证明:连接BD,设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点,又E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)当G为PC的中点时,FG∥平面AEC.证明如下:连接GE,因为E为PD的中点,G为PC的中点,所以GE∥CD且GE=12CD.因为F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,所以FA=12CD且FA∥CD,所以FA∥GE且FA=GE,所以四边形AFGE为平行四边形,所以FG∥AE.因为FG⊄平面AEC,AE⊂平面AEC,所以FG∥平面AEC.。

课后训练1．若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，那么直线a，b的位置关系是()．A．垂直B．平行C．异面D．不相交2．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()．A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3．下列结论正确的是()．①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行；②过平面外两点不能作平面与已知平面平行；③若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行；④平行于同一平面的两平面平行．A．①②④B．②③C．②④D．①④4．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥c a∥b；②a∥γ，b∥γa∥b；③c∥α，c∥βα∥β；④γ∥α，β∥αβ∥γ；⑤a∥c，c∥αa∥α；⑥a∥γ，α∥γa∥α.其中正确的命题是()．A．①④B．①④⑤C．①②③D．②④⑥5．夹在两个平面间的若干条线段，它们互相平行且相等，则这两个平面的位置关系为__________．6．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是__________．7．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′交于点O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为__________．8．如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA1BB1，CC1BB1，求证：平面ABC ∥平面A1B1C1.＝GD，AB与CD异面，如图所示．求证：EG∥平面α，EG∥平面β.参考答案1. 答案：D 直线a ，b 可以是平面α，β内的任意两条直线，它们可以平行，也可以异面，即只能判断出它们是不相交的，故选D.2. 答案：D 由于α∥β，a α，B ∈β，所以由直线a 与点B 确定一个平面，这个平面与这两个平行平面分别相交，并且这两条交线平行，故选D.3. 答案：D ②中当平面外两点的连线与已知平面平行时，过此两点能作一个平面与已知平面平行．③中若一直线与一平面平行，那么经过这条直线的平面中只有一个与已知平面平行．4. 答案：A ①根据平行线的传递性，可得①正确；②和同一平面平行的两直线可相交、平行或异面，故②不正确；③若α∩β＝l ，c ∥l ，也可满足条件，故③不正确；④由平面平行的传递性知④正确；⑤也可能是a α，故⑤不正确；⑥也可能是a α，故不正确．故选A.5. 答案：平行或相交6. 答案：1或7 β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离等于7；β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离等于1.7.可证明AB ∥A ′B ′，同理BC ∥B ′C ′，CA ∥C ′A ′，且方向相反，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.∴△ABC 和△A ′B ′C ′的对应内角相等． ∴23A B OA AB OA '''==.∴49A B C ABC S S ∆'''∆=.又1212ABC S ∆=⨯⨯=，∴49A B C S ∆'''==. 8. 答案：证明：∵AA 1BB 1，∴四边形ABB 1A 1是平行四边形．∴A 1B 1∥AB .∴A 1B 1∥平面ABC .同理可证B 1C 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1C 1，B 1C 1平面A 1B 1C 1，A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.9. 答案：证明：过点A 作AH ∥CD 交平面β于H ，设F 是AH 的中点，连接EF ，FG 和BH ，HD.∵E ，F 分别是AB ，AH 的中点，∴EF∥BH，且BH平面β，∴EF∥β.∵平面ACDH与α，β交于AC，HD，∴AC∥HD.又F，G分别是AH，CD的中点，∴FG∥HD.∴FG∥β.∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥β.又α∥β，∴平面EFG∥α.∵EG平面EFG，∴EG∥α，EG∥β.。

人教版高中数学必修第二册8.5.2直线与平面平行第2课时直线与平面平行的性质同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交,若所得的交线分别为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交但不一定交于同一点C.都相交且一定交于同一点D.都平行或都交于同一点2.给出以下说法(其中a,b表示直线,α表示平面):①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.33.若直线a平行于平面α,则下列说法中错误的是()A.直线a与平面α无公共点B.直线a平行于平面α内的所有直线C.平面α内有无数条直线与直线a平行D.设过直线a的平面为β,则平面α内存在直线l,满足l∥β4.如图L8-5-17,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为PC上一点,则当PA∥平面BEF时, =()图L8-5-17A.23B.14C.13D.125.如图L8-5-18,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC,AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是()图L8-5-18A.平行B.相交C.异面D.不确定6.若一条直线同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.重合7.如图L8-5-19,E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的点(不与端点重合),BD1∥平面B1CE,则()图L8-5-19A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC18.如图L8-5-20,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是棱AA1上的动点,且 1=m,若AE ∥平面DB1C,则m的值为()图L8-5-20A.12B.1C.32D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若一条直线与一个平面平行,则该直线与平面内的任意一条直线的位置关系是.10.如图L8-5-21所示,a∥α,A是α另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=.图L8-5-2111.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面的面积为.12.如图L8-5-22,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,则当SE∶SA=时,SC∥平面EBD.图L8-5-22三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-5-23,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱PC上的点(不与端点重合),平面ABE与棱PD交于点F.求证:(1)AB∥平面PCD;(2)AB∥EF.图L8-5-2314.(10分)如图L8-5-24所示,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E ∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.图L8-5-2415.(5分)如图L8-5-25所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,则过C1,E,F的截面的周长为.图L8-5-2516.(15分)如图L8-5-26,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点.(1)求证:QN∥平面PAD;(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.图L8-5-26参考答案与解析1.D[解析]当l与α相交时,记交点为A,则易知这些交线都相交,且交点为A.当l∥α时,由直线与平面平行的性质定理知a∥l,b∥l,c∥l,…,则由基本事实4可知这些交线都平行.2.A[解析]若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故①错误;若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交或异面,故②错误;若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,故③错误;若a∥α,b⊂α,则a∥b或a,b异面,故④错误.故选A.3.B[解析]由直线a平行于平面α,得直线a与平面α内的所有直线平行或异面,故B中说法错误.易知选项A,C,D中说法正确.故选B.4.D[解析]连接AC,交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以 = .因为AD∥BC,E为AD的中点,所以 = =12,即 =12.故选D.5.A[解析]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1BB1,∵E,F分别为AA1,BB1的中点,∴AE BF,∴四边形ABFE为平行四边形,∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴EF ∥平面ABCD,又EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,∴GH∥AB.故选A.6.C[解析]如图所示,设α∩β=l,a∥α,a∥β,过直线a作与α,β都相交的平面γ,记α∩γ=b,β∩γ=c,则a∥b且a∥c,∴b∥c.∵b⊂α,c⊄α,∴c∥α,又c⊂β,α∩β=l,∴c∥l,∴a∥l.故选C.7.D[解析]连接BC1,设B1C∩BC1=O,则O为BC1的中点,连接OE.∵BD1∥平面B1CE,BD1⊂平面BC1D1,平面BC1D1∩平面B1CE=OE,∴BD1∥OE.∵O为BC1的中点,∴E为C1D1的中点,故C错误,D正确.由异面直线的定义知BD1与CE是异面直线,故A错误.连接AD1,则在矩形ABC1D1中,AC1与BD1不垂直,故B错误.故选D.8.B[解析]取B1C的中点F,连接DF,EF.因为E,F分别是BC,B1C的中点,所以EF∥BB1,且EF=12BB1.因为AA1∥BB1,所以AA1∥EF,即AD∥EF,所以AD,EF确定平面ADFE.因为AE⊂平面ADFE,AE∥平面DB1C,平面DB1C∩平面ADFE=DF,所以AE∥DF,又AD∥EF,所以四边形AEFD 是平行四边形,所以AD=EF=12BB1,所以AD=12AA1,即D为AA1的中点,因此m=1.故选B.9.平行或异面10.209[解析]∵BD∥α,BD⊂平面ABD,平面α∩平面ABD=EG,∴BD∥EG,∴ = = ,∴ + = = ,∴EG= ·=5×45+4=209.11[解析]如图,连接BD,与AC交于O.设截面与DD1的交点为E,连接OE,则由BD1∥平面AEC,BD1⊂平面BD1D,平面AEC∩平面BD1D=OE,可得OE∥BD1.因为O为BD的中点,所以E为DD1的中点,所以OE=12BD1AC=2,所以截面的面积为12×2×12.1∶2[解析]连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.因为SC∥平面EBD,平面EBD∩平面SAC=EO,SC⊂平面SAC,所以SC ∥EO,所以点E是SA的中点,此时SE∶SA=1∶2.13.证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD,又AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.(2)由(1)可知AB∥平面PCD,因为AB⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面PCD=EF,所以AB∥EF.14.解:点D为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF.设EF与BC'交于点O,连接DO.易知点O为EF的中点,且AA'∥EF,AA'=EF,则四边形A'EFA为平行四边形.因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA,平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.因为点O是EF的中点,所以点D为AA'的中点.15.45+62[解析]连接BF,BC1.由题意可知EF∥平面BCC1B1,进而可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,则平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面的周长为EF+FB+BC1+C1E=45+62.16.解:(1)证明:因为Q,N分别为PC,PB的中点,所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD.因为QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直线l与平面PBD平行.证明如下.因为N,M分别为PB,PD的中点,所以MN∥BD,又BD⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l,MN⊂平面CMN,所以MN∥l,所以BD∥l.因为BD⊂平面PBD,l⊄平面PBD,所以直线l∥平面PBD.。

千思兔在线教育平面与平面平行的判断【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判断定理的含义． 2．能运用平面与平面平行的判断定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥ β，直线a?α，则a与β的地点关系为 ________．2．下边的命题在“ ________处”缺乏一个条件，补上这个条件，使其组成真命题(M ， n 为直线，α，β为平面 )，则此条件应为________．m? αn? αm∥ β? α∥ βn∥ β一、选择题1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，能够作出( )A．0 个B．1 个C．0个或 1个D．1个或 2个2．α和β是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断α∥ β的是 ( )A ．α内有无数条直线平行于βB．α内不共线三点到β的距离相等C．l 、M 是平面α内的直线，且 l ∥ α， M∥ βD． l 、M 是异面直线且 l ∥ α， M∥ α， l∥ β， M∥ β3．给出以下结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不可以作一个平面与已知平面平行；④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个4．若不在同向来线上的三点A、 B、 C 到平面α的距离相等，且AD/∈ α，则 ( )A ．α∥平面 ABCB．△ ABC 中起码有一边平行于αC．△ ABC 中至多有两边平行于αD．△ ABC 中只可能有一边与α订交5．正方体 EFGH — E1F1G1H1中，以下四对截面中，相互平行的一对截面是( ) A ．平面 E1FG 1与平面 EGH1B．平面 FHG 1与平面 F1H 1GC．平面 F1H1H 与平面 FHE 1D．平面 E1HG 1与平面 EH 1G6．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、 b，平面α、β，且 a∥ b， a∥ α，α∥β，则直线 b 与平面β的地点关系为______ ．8．有以下几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；② α∩ γ＝ a，α∩ β＝ b，且 a∥ b(α，β，γ分别表示平面，a， b 表示直线 )，则γ∥ β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥ β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥ β．此中正确的有 ________． (填序号 )9．如下图，在正方体 ABCD — A1B1C1D 1中， E、F 、G、H 分别是棱 CC1、C1D 1、D1D 、CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足 ________时，有 MN ∥平面 B1BDD 1．三、解答题10．如下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1中，S 是 B1D 1的中点，E、 F、G 分别是 BC、 DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG∥平面BDD 1B1．11．如下图， B 为△ ACD 所在平面外一点， M，N，G 分别为△ ABC，△ ABD，△ BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面 ACD ；(2)求 S△MNG∶S△ADC．能力提高12．三棱柱ABC－A1B1C1， D 是 BC 上一点，且A1B∥平面 AC1D ，D 1是 B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面 AC1D ．13．如下图，在正方体 ABCD —A1B1C1D1中， O 为底面ABCD 的中心， P 是 DD 1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ∥平面 PAO?判断或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．2．2 平面与平面平行的判断答案知识梳理1．无a∥ β2． M， n 订交作业设计1．C 2．D 3．B 4． B 5． A 6． C 7． b∥β或b? β8．③分析① 不正确，当两平面订交时，在一个平面双侧分别有无数点知足条件；②不正确，当平面β与γ订交时也可知足条件；③ 正确，知足平面平行的判断定理；④ 不正确，当两平面订交时，也可知足条件．9． M ∈线段 FH分析∵ HN ∥ BD ，HF∥ DD 1，HN∩HF＝H，BD ∩DD1＝D，∴平面 NHF ∥平面 B 1BDD 1，故线段 FH 上随意点M 与 N 连结，有 MN ∥平面 B1BDD1．10．证明如下图，连结 SB， SD，∵ F、 G 分别是 DC 、 SC 的中点，∴ FG∥ SD．又∵ SD? 平面 BDD 1 B1， FG?平面 BDD 1B1，∴直线 FG∥平面 BDD 1B 1．同理可证 EG∥平面 BDD 1B1，又∵ EG? 平面 EFG，FG? 平面 EFG，EG∩ FG＝ G，∴平面 EFG∥平面 BDD 1B1．11． (1)证明 (1)连结 BM ， BN ，BG 并延伸分别交AC ，AD ，CD 于 P，F， H．∵M，N，G 分别为△ ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝ 2，且 P，H ，F 分别为 AC ， CD ， AD 的中点．连结 PF， FH， PH，有 MN ∥PF．又 PF? 平面 ACD ， MN ?平面 ACD ，∴MN ∥平面 ACD ．同理 MG ∥平面 ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面 MNG ∥平面 ACD ．千思兔在线教育MG ＝ BG ＝2，(2)解 由(1)可知 PH BH 32∴MG ＝ PH ．31 1AD ． 又 PH ＝ AD ，∴MG ＝32同理 NG ＝ 1AC ，MN ＝ 1CD ．3 3 ∴△ MNG ∽△ ACD ，其相像比为 1∶3． ∴ S △ MNG ∶ S △ACD ＝ 1∶ 9． 12．证明连结 A 1C 交 AC 1于点 E ，∵ 四边形 A 1ACC 1 是平行四边形， ∴ E 是 A 1C 的中点，连结 ED ，∵ A 1B ∥平面 AC 1D ，ED? 平面 AC 1D ， ∴ A 1B 与 ED 没有交点，又 ∵ ED? 平面 A 1BC ，A 1B? 平面 A 1BC ， ∴ ED ∥ A 1B ．∵ E 是 A 1C 的中点， ∴D 是 BC 的中点．又 ∵ D 1 是 B 1C 1 的中点，∴ BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥ AD ，∴ BD 1∥ 平面 AC 1D ，A 1D 1∥ 平面 AC 1D ．又 A 1D 1∩ BD 1＝D 1，∴平面 A 1BD 1∥平面 AC 1D ．13． 解 当 Q 为 CC 1 的中点时， 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．∵Q 为 CC 1的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥PA ．∵ P 、O 为 DD 1、 DB 的中点， ∴ D 1B ∥ PO ．又 PO ∩ PA ＝ P ， D 1B ∩ QB ＝ B ， D 1B ∥ 平面 PAO ，QB ∥ 平面 PAO ，∴ 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．。

学科：数学专题：空间中的平行关系题1对于不重合的两直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是( )．A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nC ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交D ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n题2α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ．如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )．A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．只有②题3如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．题4ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH ．题5如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．题6如图所示，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．题7如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B ．题8如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．题9如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．课后练习详解题1答案：B ．详解：如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线AB ⊂平面AC ，直线CC 1⊄平面AC ，直线AB 和直线CC 1是异面直线，但是直线CC 1∩平面AC ＝C ，排除A ；直线AB ⊂平面AC ，直线B 1C 1⊄平面AC ，直线AB 和直线B 1C 1是异面直线，但是直线B 1C 1∥平面AC ，排除C ；直线A 1B 1∥平面AC ，直线B 1C 1∥平面AC ，直线A 1B 1和直线B 1C 1共面，但是直线A 1B 1∩直线B 1C 1＝B 1，排除D ．题2答案：C ．详解：若填入①，则由a ∥γ，b ⊂β，b ⊂γ，b ＝β∩γ，又a ⊂β，则a ∥b ；若填入③，则由a ⊂γ，a ＝α∩β，则a 是三个平面α、β、γ的交线，又b ∥β，b ⊂γ，则b ∥a ；若填入②，不能推出a ∥b ，可以举出反例，例如使β∥γ，b ⊂γ，画一草图可知，此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b ，有可能异面．从而A 、B 、D 都不正确，只有C 正确．题3证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．题4答案：见详解详解：如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH ．题5答案：见详解．详解：（Ⅰ） 因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体，所以1111B C ABB A ⊥面；因为111A B ABB A ⊂面，所以111B C A B ⊥．又因为11A B AB ⊥，1111B C AB B ⋂=，所以111A B ADC B ⊥面．因为11A B A BE ⊂面,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE ．（Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1．以下证明之：易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D 所以EF //1B O 且EF 1=B O ， 所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F //OE ．又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．则F B 1//平面BE A 1题6答案：见详解．详解：当F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ． ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，∴FM ∥平面AEC ，由EM ＝12PE ＝ED ，得E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 是BD 的中点，所以BM ∥OE ．∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴BM ∥平面AEC ，∵FM ∩BM ＝M ，∴平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC ．题7答案：见详解．详解：证法一：如图，作ME ∥BC ，交B 1B 于E ，作NF ∥AD 交AB 于F ，连接EF ，则EF ⊂平面AA 1B 1B ．∴ME BC ＝B 1M B 1C ，NF AD ＝BN BD． ∵在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CM ＝DN ，∴B 1M ＝BN ．又∵B 1C ＝BD ，∴ME BC ＝BN BD ＝NF AD． ∴ME ＝NF ．又ME ∥BC ∥AD ∥NF ．∴四边形MEFN 为平行四边形．∴MN ∥EF ，∴MN ∥平面AA 1B 1B ．证法二：如图，连接CN 并延长交BA 所在直线于点P ，连接B 1P ，则B 1P ⊂平面AA 1B 1B ．∵△NDC ∽△NBP ，∴DN NB ＝CN NP． 又CM ＝DN ，B 1C ＝BD ，∴CM MB 1＝DN NB ＝CN NP． ∴MN ∥B 1P ．∵B 1P ⊂平面AA 1B 1B ，∴MN ∥平面AA 1B 1B ．题8答案：见详解．详解: (1)如图．(2)在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′．因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′．又EG ⊂平面EFG ，BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG ．题9答案：见详解．详解：已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交， 则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b ab a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．。

课后导练基础达标1若两个平面内分别有一条直线，这两条直线相互平行，则这两个平面的公共点的个数是（）A. 有限个B.无穷个C.没有D.没有或无穷个分析：知足条件的两平面平行或订交.答案： D2 以下命题正确的个数是（）①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行②垂直于同向来线的两个平面平行③平行于同向来线的两个平面平行④平行于同一平面的两个平面平行A.1B.2C.3D.4分析：由定义知①正确，由判断定理可知②④正确，③错误.答案： C3 以下表达不正确的选项是（）A. 若α∥ β，则α内全部直线都平行于βB.若α∥ β，则α内的直线与β内的直线可平行或异面C.若α与β订交，则α内必存在直线与β平行D.若α与β订交，则α内全部直线与β订交分析：若α∥ β，则α内全部直线与β无公共点，因此平行， A 项对， B 项也对；若α与β订交，则在α内与平行于交线的直线与β平行，因此 C 项正确 .答案： D4α、β是两个不重合的平面，在以下条件中，可确立α∥ β的是（）A. α、β都平行于直线l 、 mB. α内有三个不共线的点到β距离相等C.l 、 m 是α内两直线且 m∥ β， l∥ βD.l 、 m 是两异面直线，且l ∥β ,m∥ β ,l∥ α ,m∥ α分析： A 中若 l 与 m 订交或异面时，α∥ β，若 l∥ m，则α与β可能订交； B 中若这三点在β的同侧，则α∥ β，若这三点在β的异侧，则α与β订交； C 中若 m 与 l 订交，则α∥ β，若 m∥ l ，则α与β有可能订交 .答案： D5 经过平面外的两点作该平面的平行于平面,能够作（）A.0 个B.1个C.0个或 1个D.1个或 2个分析：若两点连线平行于平面，则可作 1 个，若两点连线与平面订交，则0 个 .答案： C6 空间中两个平面的地点关系有_____________.答案：平行与订交7假如在一个平面内，有无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面的地点关系是___________.答案：平行或订交8 已知：平面 ABCD∩平面 ABEF=AB ，且 AB ⊥ BC,AB ⊥BE,AB ⊥ AD,AB ⊥AF ，求证：平面 ADF ∥平面 BCE （如图） .1证明：在平面 ABCD 中， AB ⊥ BC,AB ⊥ AD, ∴ AD ∥ BC.又 AD 面 ADF,BC 面 ADF，∴BC ∥面 ADF.同理可证 BE ∥面 ADF, 又 BC 面 BCE ， BE 面 BCE 且 BC∩BE=B, 故平面 BCE∥平面 ADF.综合应用9 过平面外一点有______条直线与已知平面平行，过平面外一点有______ 个平面与已知平面平行 .答案：无数有且只有一10 若一条直线与两个平行平面中的一个订交，则该直线与另一个平面______.答案：也订交11 已知： E、 F、 G、 H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD、DA 的中点，求证：(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ;(2)AC ∥平面 EFGH ， BD ∥平面 EFGH.证明：（1）∵ E、 F、G、 H 分别为 AB 、 BC、 CD 、DA 的中点，∴E 11GH, 故四边形 EFGH 为平行四边形 .AC,GH AC, ∴ EF22（2）由（ 1）知，EF∥ AC,EF平面 EFGH,AC面 EFGH ，∴ AC ∥平面 EFGH，同理可证，BD ∥平面 EFGH.拓展研究12 如右图，空间图形中， ABCD 与 ABEF 均为正方形， M ， N 分别是对角线 AC ，BF 上的一点，且 AM=FN ，请过 MN 作一平面∥ BCE.作法：过M 作 MO ∥BC 交 AB 于点 O，连接 NO，∵MO ∥BC ，∴AO AM.OB MC又知 AM=FN ， AC=BF ，∴ MC=BN.则AM FN,MC BNAO FNOB BN∴ON ∥ AF ∥ BE.又 BE 面 BCE,NO 面 BCE.∴ON ∥面 BCE.同理可证 OM ∥面 BCE ，又 MO∩ON=O,∴面 MON ∥面 BCE ，则面 MON 为所作平面 .。

2. 2.2平面与平面平行的判定练习3.如图所示,设E, F, Ei ，Fi 分别是长方体ABCD-A {B {C {D {的棱M, CD, A X B V CQ 的中点，则平面EFDS\与平面BCF 、E\的位置关系是（）平行 B. 经过平面G 外两点，作与a 平行的平面，则这样的平面可以作（ 1个或2个 B. 0个或1个 C. 1个 己知直线/, m,平面a,卩,下列命题正确的是（ ）/〃“，B ・ /〃0,加〃0, lUa, l//m, /Ua,加U”=>a 〃” D. 1〃卩,m 〃卩,lUa,如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是 _____________ . 如图，在正方体4BCD 如B 、C\D\中，E, F, G, H 分别是棱CC|,CQ, DQ, CD 时，有D\N A B8. 如图是正方体的平血展开图，在这个正方体中，®BM 〃平面 DE ；② CN 〃平而/F ；1.直线/〃平面a,直线加〃平面a,直线/与加相交于点P,且/与〃2确定的平面为 0,则a 与0的位置关系是（）相交B.平行 在长方体ABCD-A' B' C D'中， 平面肋CD 〃平而初夕A'平面ABCD 〃平面CDD' CA. 2.A. C. C. 异面 下列正确的是（）B.平面〃平面伽丁 A r D. 平面/BCD 〃平面B‘ C' D' D.不确定 A. 4. A. 5. A.C. 6. 7.D.不确定）D. 0个 的中点，"是3C 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 MN 〃平面 B\BDD\.③平面〃平面AFN；④平面3DE〃平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是___________在正方体4BCD ■右B'CQi 屮，S 是BQi 的屮点，E, F, G 分别是3G 求证：平面EFG 〃平面BDD\B\.10.如图，E, F, G, H 分别是正方体ABCD ・A\B\C\D\的棱BC, CC P CQi ，的中 点，求证：⑴GE 〃平面 BB\D\D ；(2)平面 3DF 〃平面 B\D\H.参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A4. 答案：B5. 答案：D6. 答案：平行7. 答案：MW 线段8. 答案：①②③④9. 答案：证明：如图所示，连接SB, SD.、：F, G 分别是DC, SC 的中点，:.FG//SD,51TSZX 二平面 BDD 、B\, FGC 才平面 BDD 、B\,・•・直线FG 〃平面BDD\B\.同理可证EG 〃平面BDD\B\・又•・•直线EGU 平面EFG,直线FGU 平面EFG, 直线EGC1直线FG=G, ・•・平面EFG 〃平面BDD\B\. 9.如图所示， DC和SC 的中点. 4k10.答案：证明：(1)取的中点O,连接GO, OB,易证O G〃丄BiCi,且O G=-B l Ci1 BE//-B}C Xl且BE=-B X C X. 2 2 2 2・・・OG//BE且OG=BE,・・・四边形BEGO为平行四边形，：.OB//GE,0BU平面BDD、B\, GEC才平面BDD\B\,・・・GE〃平面BBQQ.(2)由正方体的性质，易知B\D\//BD,且易证BF//D}H.、：B\Dp平面BDF, BDU平面BDF,:・B\D\〃平面BDF.、：HD0平面BDF, BFU平面BDF,:.HD"平面BDF.又・.・BQ] A HD} =D},・・・平面BDF〃平面BQ\H.。

人教版高中数学必修第二册空间中的平行关系课后练习1.下列选项中，一定能得出直线m 与平面α平行的是()A．直线m 在平面α外B．直线m 与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m 与平面内的一条直线平行D．直线m 与平面α内的一条直线平行2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对3.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5.①若直线a 在平面α外，则a ∥α；②若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；③若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．36.已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________．7.平面α∥平面β，直线l ∥α，则直线l 与平面β的位置关系是________．8.已知平面α，β和直线a ，b ，c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，则α与β的关系是________．9.设a ，b 是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b ；②若α∥β，a ∥α，a ⊄β，则a ∥β；③若α∥β，A ∈α，过点A 作直线l ∥β，则l ⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．10.如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC .11.如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点，求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．12.已知如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求的值．答案1.C2.C3.B4.B5.B6.α⊄l7.ββ⊂l l 或//8.相交或平行9.②③④．10.证明:如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，则MO 为△BDP 的中位线，∴PD ∥MO .∵PD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD ∥平面MAC .11.证明：（Ⅰ）取BD 中点O ．连接OE ，OD1，则OE DC ，∴OE ∥D 1G∴四边形OEGD 1是平行四边形∴GE ∥D 1O ，又D 1O ⊂平面BDD 1B 1，且EG ⊄平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1，（4分）（Ⅱ）取BB 1中点M ，连接HM 、C 1M ，则HM ∥AB ∥C 1D 1，∴HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1，又MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面HB 1D 1．（8分）12.解：（1）如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1．由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1．又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．∴＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1，（2）由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ．因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1．∴＝，＝．又∵＝1，∴＝1，即＝1．。

高中数学学习材料唐玲出品1.2.2空间中的平行关系【目标要求】1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题.2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系.3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理.【巩固教材——稳扎马步】1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，α表示平面）( )①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b⊂α，则a∥bA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.一定垂直3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）A.平行B.相交C.平行或相交D. AB⊂α4.当α∥β时，必须满足的条件（）A.平面α内有无数条直线平行于平面βB.平面α与平面β同平行于一条直线C.平面α内有两条直线平行于平面βD.平面α内有两条相交直线与β平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.；其中可能成立的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（）A.只有一条，但不一定在平面α内B.只有一条，且在平面α内C.有无数条，但都不在平面α内D.有无数条，且都在平面α内7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）A.空集B.两条平行直线C.一条直线D.一个平面8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（）A.0个B.1个C.无数个D.以上都有可能9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（）A.l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB.l⊂α，m⊂β，且l∥mC.l⊥α，m⊥β，且l∥mD.l∥α，m∥β，且l∥m10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（）①a⊂α，b⊂β，a∥b；②a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β.A.①B.②C.③D.均不能11.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么直线a，b的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交D.不相交12.梯形ABCD中AB∥CD，AB⊂平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（）A.平行B.平行或相交C.相交D. CD平行平面α或CD⊂α【巩固提高——登峰揽月】13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点求证：平面EBD//平面FGA.14.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.【课外拓展——超越自我】15.设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心.如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B.（2）求线段PQ的长.1.2.2空间中的平行关系【巩固教材——稳扎马步】 1.A 2.C 3.C 4.D 【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.B8.D9.C 10.C 11.D 12.D 【巩固提高——登峰揽月】 13.证明: 连结EF 、B 1D 1∵E 、F 分别是B 1C 1、A 1D 1的中点 ∴EF ∥AB,EF ＝AB ∴AF ∥BE ∵G 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点 ∴EF ∥B 1D 1， BD ∥B 1D 1∴EF ∥BD ,EFFG F BD BE B ==且,EF FG F BD BE B ==∴平面EBD//平面FGA 14.已知：αβ＝l ，a ∥α，a ∥β。

8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行课后·训练提升1.已知a,b,c,d均为直线,且a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.不确定答案：A解析：∵a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊂平面A1B1C1D1,且直线l与直线B1C1不平行,则下列关系一定不可能成立的是( )A.l与AD平行B.l与AD不平行C.l与AC平行D.l与BD平行答案：A解析：假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与直线l与直线B1C1不平行矛盾,所以直线l与直线AD不平行.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是.答案：平行解析：在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.4.如图,已知E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.证明：如图,在DD1上取DM=AE,连接CM,EM,因为AA1∥DD1,所以四边形ADME是平行四边形,所以EM AD.又AD BC,所以EM BC,所以四边形BCME是平行四边形,所以BE CM.同理CM D1F.所以BE D1F,所以四边形EBFD1是平行四边形.5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.证明：如图,连接CB1,CD1.∵CD A1B1,∴四边形A1B1CD是平行四边形,∴A1D∥B1C.∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.同理,MP∥BA1.∴∠NMP与∠BA1D的两边分别平行且方向相反,∴∠NMP=∠BA1D.6.如图,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心.求证:DE∥AC,且DE=13AC.证明：如图,连接PD,PE并延长,分别交AB于点G,交BC于点H,则G,H分别是AB,BC的中点,连接GH,则GH∥AC,且GH=12AC.在△PHG中,由题意可知PEPH =PDPG=23,所以DE∥GH,且DE=23GH.所以DE∥AC,且DE=13AC.7.如图,四边形ABED为正方形,四边形EFGD与四边形ADGC均为直角梯形,AC∥DG∥EF,DA=DE=DG,AC=EF=12DG.求证:BF∥CG.证明：如图,取DG的中点M,连接AM,FM,∵EF∥DG,EF=12DG,∴EF∥DM,EF=DM,∴四边形EFMD 为平行四边形, ∴FM ∥ED,FM=ED. ∵四边形ABED 为正方形, ∴AB ∥FM,AB=FM,∴四边形ABFM 为平行四边形, ∴AM ∥BF.∵AC=12DG,MG=12DG,AC ∥DG,∴四边形ACGM 为平行四边形, ∴AM ∥CG. ∴BF ∥CG.。

高中数学人教新课标A版必修二2.2.1直线与平面平行的判定同步训练2一、单选题1.下列命题正确的是( )A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行2.使平面α∥平面β的一个条件是( )A. 存在一条直线a，a∥α，a∥βB. 存在一条直线a，，a∥βC. 存在两条平行直线a，b，，，a∥β，b∥αD. α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线3.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )A. 平面E1FG1与平面EGH1B. 平面FHG1与平面F1H1GC. 平面F1H1E与平面FHE1D. 平面E1HG1与平面EH1G4.已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )A. 0个B. 1个C. 无数个D. 以上都有可能5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A. 不存在B. 有1条C. 有2条D. 有无数条6.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则( )A. BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形B. EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C. HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D. EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形二、填空题7.如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．8.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．9.已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．10.如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)三、解答题11.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．12.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C.（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.13.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N－BCM的体积．14.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：（1）BE∥平面DMF；（2）平面BDE∥平面MNG．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】D【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质【解析】【解答】A.平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，故A不符合题意；B.平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B不符合题意；C.与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内，故C不符合题意；D.设故做一平面，则，又故答案为D【分析】本题1.注意平行于平面的直线还存在该直线与平面内的直线平行或异面；2.注意举反例，能举出反例的就不正确。

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点， 求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。

2.2.4 平面与平面平行的性质练习1．平面α∥平面β，平面r ∩α＝m ，平面r ∩β＝n ，则m 与n 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能2．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，平面α∩平面AC ＝EF ，平面α∩平面A ′C ′＝E ′F ′，则EF 与E ′F ′的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定3．平面α∥平面β，直线l ∥α，则( )A ．l ∥βB ．l βC ．l ∥β或l βD ．l ，β相交4．已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b αa ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a α，b αα∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b a ∥b5．(能力拔高题)四棱锥P -ABCD 的底面四边形的对边不平行，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个6．如图所示，平面四边形ABCD 所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD 在平面α内的平行投影A 1B 1C 1D 1是一个平行四边形，则四边形ABCD 的形状一定是__________．7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝3a ，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝__________.8．已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝__________；(2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝__________.9．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′.若PA A A ''＝23，求A B C ABCS S '''∆∆的值．10．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?参考答案1. 答案：A2. 答案：A3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：D6. 答案：平行四边形7.a 8. 答案：(1)16 (2)2729. 解：∵平面α∥平面ABC ，平面P AB ∩平面α＝A ′B ′，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB ．同理可证B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ．∴∠B ′A ′C ′＝∠BAC ，∠A ′B ′C ′＝∠ABC ，∠A ′C ′B ′＝∠ACB ，∴△A ′B ′C ′∽△ABC ．又∵P A ′∶A ′A ＝2∶3，∴P A ′∶P A ＝2∶5，∴A ′B ′∶AB ＝2∶5.∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25，即425A B C ABC S S '''∆∆=. 10. 解：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE.∵EC ＝2FB ＝2，∴PE BF ，∴四边形BPEF 为平行四边形，∴PB ∥EF .又AE 平面AEF ，EF 平面AEF ，PQ 平面AEF ，PB 平面AEF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF .又BQ 平面PBQ ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。