初中平面几何一题多变

放飞思维，培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。

”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。

同样,对于一道数学试题而言,“一题多解”是从不同角度、通过不同方法去思考问题、分析问题和解决问题，把数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来,培养学生的创造性思维。

郝老师点评：方法一至方法四通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“三线八角”模型，灵活运用平行线的性质与判定，对于所学的知识融会贯通，重视建构知识间的纵横联系，形成了系统的数学知识网络。

郝老师点评：方法五通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“拐点”模型，抓住了数学问题的个性特征，寻找它与其他熟悉知识的联系,找到出人意料的新奇解法,视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化逐渐形成，而这常常是创新能力的起点。

郝老师点评：方法七与方法八，灵活运用知识，灵活转换角度，综合运用平行线的性质与判定和三角形的内角和为180°的知识解题，敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大体现了学生的创造性思维，它是数学解题的魅力所在。

同学们通过用多种方法解决一道题,感受颇多!初中数学，特别是几何部分，往往不只有一种解法。

一题多解，也就由此产生。

有人会说，一道题能解出来就好了，为什么还要研究其他的解法呢？这不是浪费时间吗？是的，从不同的思维角度探索一道题其他的解法，确实会消耗我们的时间。

但我们在思考一题多解的过程中，可以获得新的解题思路，锻炼自己的思维，是自己的思维具有开拓性，也有助于理解与运用多个知识点，达到了复习与巩固的目的。

七年级1班崔宸豪，七年级3班张文皓，孟凡博“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，自从学习了平面几何证明，我更加体会到了这句诗的真正意义。

一题多解，顾名思义，就是一道题可以有好几种做出答案的方法。

这样做有什么好处呢？最直观的，如果用两种以上方法解出同一个答案，那证明这道题你一定百分之百正确率了，增强了自信心。

初中几何的习题一题多解与一题多变数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。

使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法。

数学中“一题多解”和“一题多变”，被普遍看作是培养学生能力，以及开发学生智力，最佳途径之一，能够培养出学生的发散性思维，以及创造性思维，提高学生对几何的学习兴趣。

一、初中几何“一题多解”和“一题多变”的相关问题初中生在学习几何的过程中，鉴于其概念和定理繁多，又要求学生需要具有较强的综合性能力，且巧妙多变的解题方法，导致学生学习的时候，有一种困难的感觉，提高了教师实施教学的难度。

在教学过程中，不仅要帮助学生理清概念和定理的条件、结论，而且有效将其系统化、条理化，进而建立较为完整的、独立的知识结构体系。

其中，为之重要的是要牢固掌握课本习题灵活多变的解题方法，比较各种方法，更深刻的领悟相关的概念与定理，归纳各种习题的解决方法，灵动的掌握各种题型，以至于可以轻巧熟练地运用相关的概念和定理来推理论证，提升学生的解题能力。

通过课本习题，多角度思考问题，寻求解题的一般规律，从而引领学生入门。

二、“一题多解”和“一题多变”需注重学生“猜测”能力“一题多解”和“一题多变”在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中，将学生从已知的彼岸，渡到未知的彼岸。

教师在教学生平面几何的过程中，不仅要教会学生怎么证明，而且重点是教会学生猜测和思考。

因为猜测可以导致发现，所有证题者在解决数学问题时，都要猜测，都是先猜测后证明的。

这就要求教师教学时要创立一个激发学生积极性思维、主动猜测的意境，提高学生自主探索的能力。

为了调动学生思维的主动性，形成有益的思维方式，教师要鼓励和引导学生去猜，千万不要制止，哪怕是不合理的猜测，更不要把全部的秘密立即说出来，由学生自己猜测出来不仅可以开阔他们的证题的思路，而且对培养学生探究以及深究问题能力有很大的帮助。

初三下期数学习题课教学的尝试初三下期的数学总复习是对初中三年的数学学习内容系统、完善和深化,是学生系统掌握知识、完善知识结构、培养数学素养的关键阶段。

做好初三数学总复习,不仅有利于学生巩固、消化、归纳数学基础知识,而且能够提高学生分析问题、解决问题的能力。

因此做好初三数学的复习就显得至关重要了。

在初三复习时,我通过例题、习题的变式教学来达到系统知识、深化知识、提高能力的目的。

下面是我的一些尝试,不当之处,请各位斧正。

一、一题多解,培养学生思维的敏捷性在教学中,我引导学生对同一问题从不同角度加以思考,探求不同的解题方案,从而拓广思路,培养思维的敏捷性。

例1.解方程组x+y=17,(1)x2+y2=169。

(2)解法1:由(1)得:y=17-x(3)把(3)代入(2),得:x2+(17-x)2=169整理,得x2-17x+60=0解这个方程,得x1=5,x2=12把x1=5代入(3),得y1=12把x2=12代入(3),得y2=5原方程组的解是x1=5,y1=12x1=12,y1=5。

解法2:(1)2-(2)=120即2xy=120∴xy=60由(1),可以把x,y看作一元二次方程z2-17z+60=0的两个根,解这个方程,得:z=5或z=12。

∴原方程组的解是x1=5,y1=12x1=12,y1=5。

显然,解法2优于解法1。

解法2把知识、技能、思想和方法连成了一条纽带,不但能启迪思维、开阔思路,而且能激励创新、培养能力。

例2.化简-+解法1:原式=-+==0如果只按上述解法给学生讲解,无疑会让学生感到毫无兴趣,甚至厌烦。

我们不妨引导学生观察式子特点,不难发现:每一项分母的两个因式差值的绝对值等于该项的分子,由此启发学生探究式子和-的关系,并得到如下的解法:解法2:原式=--(-)+-=0比较这两种解法,相信同学们对解法2更青睐,在此基础上要及时引导学生养成一题多解的学习习惯。

在复习到平面几何时,我让同学们探究下面这个题目的证明方法:如图1,已知ab切圆o于点b,bc⊥ao于点c.求证:∠1=∠2。

初中数学一题多解例题篇一:初中数学一题多解题初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得:x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有:x-323/x=2解方程得:x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为:2x-1,2x+11(2x-1)(2x+1)=323即4x -1=323x =81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x -1=323x =324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元;如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱,解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则2根据题意，得??13x?5y?9z?9.25?2x?4y?3z?3.20?1??2?分析:此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x?y?z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法?1???2?，得5x?3y?4z?415.3?2???3?，得7(x?y?z)?7.35?x?y?z?105. 解1:?3?答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为??13(x?y?z)?4(2y?z)?9.25 ?2(x?y?z)?(2y?z)?3.20解之得:x?y?z?105.2. 主元法解3:视x、y为主元，视z为常数，解<1、<2得x?05.?05.z .?05.z，y?055?x?y?z?055.?05.?z?z?105.解4:视y、z为主元，视x为常数，解<1、<2得y?0.05?x，z?1?2x?x?y?z?105.?x?2x?x?105.3解5:视z、x为主元，视y为常数，解<1、<2.?2y 得x?y?0.05，z?11?x?y?z?y?0.05?y?11.?2y?105.3. “消元”法解6:令x?0，则原方程组可化为?5y?9z?9.25?y?0.05?? ? 4y?3z?3.2z?1???x?y?z?105.解7:令y?0，则原方程组可化为?13x?9z?9.25?x??0.05?? ? 2x?3z?3.20z?11.???x?y?z?105.解8:令z?0，则原方程组可化为?13x?5y?9.25?x?0.5?? ? 2x?4y?3.20y?0.55???x?y?z?105.4. 参数法解9:设x?y?z?k，则?1??13x?5y?9z?9.25??2? ?2x?4y?3z?3.20?x?y?z?k?3????1???2??3，得x?y??0.05?4??3??3??2?，得x?y?3k?32.?由<4、<5得3k?32.??005.?k?105.即x?y?z?105.45. 待定系数法解10. 设?5? x?y?z?a(13x?5y?9z)?b(2x?4y?3z)?(13a?2b)x?(5a?4b)y?(9a?3b)z?1?则比较两边对应项系数，得?13a?2b?1?a?1???21 ?5a?4b?1?? 4?9a?3b?1?b???21?将其代入<1中，得x?y?z?141?9.25??32.??22.05?105. 212121附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面几何是初中数学至关重要的部分，无论是平时学习还是中考，对学生来讲都是难点。

平面几何的不在于知识，几何知识常常是一句话，一个公式，所有同学都可以看懂；然而，几何题目却是千变万化的，特别是辅助线相关的题型，对很多同学来讲非常头痛。

当然，若能快速提升的话同学们也就不会心痛了，几何能力提升并不如代数那样简单，更不是多做题可以达到效果的，常常题目做了很多，但效果并不明显。

很多同学确实找不到方法，题目也做了，也非常努力了，但就是提升不了。

其实，最好的方法在于做经典题，经典题不仅包含了各类辅助线的题型，还包含了各种几何知识，如三角形全等，相似，正方形的性质，平行的性质，比例，共圆，射影定理等；同时常常这类题方法不唯一，通过对不同方法的思考，可以加深对几何知识的理解。

所以对经典题进行反复训练，对学生的能力会有较大的提升。

如何解决部分学生在几何学习中的困难一、初中学生几何学习现状学生在学习平面几何时普遍感到困难，一是脱离实际，不容易想象；二是解题无思路，难入门；三是定义、定理，会背不会用；四是题会做了，也不容易拿满分。

这使学生学得费劲，老师教起来也不轻松。

中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面：（一）几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学。

而且专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言表述的障碍。

本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了。

（二）害怕几何证明题。

对证明无从下手，不知道要做什么事，对基本的逻辑常识欠缺，不知道做到哪一步就算证出来了，对逆命题、反证法等理解不了。

（三）数学问题解决”的意识淡薄，停留在模仿做现成题的水平，遇到需要作辅助线的题目束手无策。

不会画图、看图、用图。

课本上的图形没有充分利用，反成障碍。

不善于与周围实际生活联系起来去丰富想象。

二、造成学生几何学习困难的原因（一）教材的原因：对于刚刚进入初中的学生而言，他们之前很接触的只是一些图形知识，而且只是停留在代公式进行数字计算上。

而从六年级开始的初中几何，所学习的内容是需要抽象提炼后才能认识到的“点”、“线”、“面”，要学习和探讨它们之间的位置关系及大小关系，通过计算和思考，形成一定的图形概念。

也就是说，初中几何把学生从数、式的学习进入一个新的、陌生的、以图形研究为主的领域。

学生在开始时，对这个转变很不适应。

另一方面，初中几何入门阶段基础知识多，概念集中，此外，接踵而来的各种几何术语，虽然难度不大，但多数在小学阶段没有接触过。

（二）教师的原因：第一，没有很好地引导学生人门。

一开始就过分强调严密、抽象、困难，过分强调演绎推理，几何教材的过分“数学化”，把学生吓退在几何的门外。

第二，不善于联系实际，漠视周围丰富的几何素材，从书本到书本，枯燥无味，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，使学生的空间观念、空间想象能力的形成和培养受到相当大的限制，让学生对于几何始终亲不起来，爱不起来。

２０２４年１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一题多解和一题多变:一道有关抛物线焦半径问题的探究∗◉江苏省新沂市第一中学㊀吴玉章㊀苗庆硕㊀㊀抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型,其可以联系起抛物线的定义(问题的本质)㊁几何性质( 数 的属性)与几何特征( 形 的特征)㊁焦半径公式(三角形式)等, 串联 起平面解析几何㊁平面几何㊁函数与方程㊁三角函数等众多相关知识,为问题的切入与解决提供较多的思维视角,给问题的解决提供更多的方案与技巧方法,是有效发散数学思维,考查学生 四基 ㊁数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体,备受各方关注．１问题呈现问题㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝．此题以抛物线为问题场景,通过设置过准线与x 轴交点的直线l与抛物线交于两点,利用两个角相等来创设定交点问题,进而求解相应焦半径的长度．涉及抛物线的焦半径问题,可以从解析几何的实质入手,利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理;也可以从平面几何的图形入手,利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理;还可以从焦半径的公式入手,利用三角函数思维来合理数学运算㊁逻辑推理与综合应用等．不同思维视角的切入,都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法,实现问题的巧妙解决．２问题破解２．１解析几何思维解法１:设线法．依题意可得p＝４,则F(２,０),C(－２,０)．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图１所示．设直线l的方程为x＝m y－２,其中m＞０．设A(x１,y１),B(x２,y２),y１＞y２＞０．图１联立x＝m y－２,y２＝８x,{消去参数x并整理,可得y２－８m y＋１６＝０．利用韦达定理,可得y１＋y２＝８m,y１y２＝１６,则|A B|＝１＋m２|y１－y２|＝１＋m２ ６４m２－６４＝８m４－１,|B C|＝１＋m２|y２|＝１＋m２ y２．由抛物线的定义,可得|A F|＝x１＋p２＝m y１－２＋２＝m y１．由于øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线．由三角形内角平分线定理,得|C F||A F|＝|B C||A B|,即４m y１＝１＋m２ y２８m４－１．整理并化简,可得m y１y２＝３２m２－１,即１６m＝３２m２－１,则m２＝４３,解得m＝２３３．所以y１＋y２＝８m＝１６３３,又y１y２＝１６,解得y１＝４３,则|A F|＝m y１＝２３３ˑ４３＝８．解后反思:设线法是借助解析几何思维处理问题的一种 通性通法 ,成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法．２．２平面几何思维解法２:几何法．依题意可得,p＝４．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图２所示．过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为D,３８∗课题信息:江苏省教育科学 十四五 规划普教重点课题 指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究 ,课题编号为B/２０２１/０２/３４;江苏省教研室第十一期立项课题 差异教学在课程基地中应用的实践研究 ,课题编号为２０１５J K１１ＧL O４２．解法探究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀图２E,延长E B交A F于点G．由于E GʊC F,因此øG B F＝øC F B,又øA F B＝øC F B,所以øA F B＝øG B F,可得|B G|＝|F G|．由øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线,利用三角形内角平分线定理可得|A B||B C|＝|A F||C F|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,可得|A B||C F|＝|B C| |A D|．由于E GʊC FʊD A,因此|B G||C F|＝|A B||A C|,|B E||A D|＝|B C||A C|．所以有|B G| |A C|＝|B E| |A C|,可得|B G|＝|B E|,又结合抛物线的定义有|B E|＝|B F|,故|B G|＝|F G|＝|B F|,即әB F G是正三角形,从而øB F G＝６０ʎ,可得øA F x＝６０ʎ．利用抛物线的焦半径公式,可得|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:平面解析几何侧重 数 与 形 的结合与转化,借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等,实现问题的突破与应用．２．３三角函数思维解法３:性质法．依题意可得,p＝４．图３根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图３所示,过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E．设øA F x＝θ,其中θ为锐角．结合øA F B＝øC F B,利用抛物线的焦半径公式可得|A F|＝p１－c o sθ＝p２s i n２θ２,|B F|＝p１－c o s(θ＋π－θ２)＝p１＋s i nθ２．由øA F B＝øC F B知,F B是øA F C的角平分线,则利用三角形内角平分线定理可得|C F||A F|＝|B C||A B|．结合比例性质,可得|C F||A F|＋|C F|＝|B C||A B|＋|B C|＝|B C||A C|．而由E BʊD A,可得|B E||A D|＝|B C||A C|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,|B E|＝|B F|,即|B C||A C|＝|B E||A D|＝|B F||A F|,所以|C F||A F|＋|C F|＝|B F||A F|,即pp２s i n２θ２＋p＝p１＋s i nθ２p２s i n２θ２,整理可得s i nθ２－２s i n２θ２＝０．解得s i nθ２＝１２,或s i nθ２＝０(舍去),结合θ为锐角,解得θ＝６０ʎ．所以|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:抛物线的焦半径三角公式|A F|＝p１－c o sθ(θ为直线A F的倾斜角),是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论．借助三角函数思维,结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用．３变式拓展３．１同源变式变式１㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|B F|＝．在此基础上,可以对问题进行一般化的归纳与总结．结论:已知抛物线y２＝２p x(p＞０)的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝２p,|B F|＝２p３．变式２㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A B|＝．３．２同阶变式变式３㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则直线A F的斜率为．变式１,２,３的参考答案分别为:８３,８７３,ʃ３．４教学启示此类涉及抛物线的焦半径问题,往往是多知识点交汇与融合的产物,这样的创设契合高考数学命题精神,而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角,给各层面的学生提供了更多的机会,从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性．在数学学习中,针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题,要深刻体会并加以系统学习,把握问题的实质与内涵,构建知识体系,理解技巧方法,形成解题习惯,培养数学品质．Z４８。

“一题多解”在几何学习中的体现浅谈作者：熊考庆来源：《读写算》2019年第28期摘要中考复习期间，我们在梳理《圆》这一章的作业题时，发现了许多题型都有一些共同之处——以三角形作为基本图形载体进行题型的变化。

就此，我准备了一次教学展示课，课题是《圆背景下求线段的长度》。

关键词一题多解;几何学习;体现;反思中图分类号：G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章编号：1002-7661（2019）28-0181-01课前，我设置了一道前测题，设计与课堂内容相关的、可以为教学目标作铺垫的测试题目，目的是为了让学生熟练和归纳一些使得教学目标达成所需要的数学思想及方法，更有效地帮助学生在课堂上达成本节课的学习目标。

并且，在设计前测时，需要注意题目要有可选择性、符合课堂需要、难易程度适中、学生可操作性等要点。

一、“一题多解”几何图形的规律和解题方法的多样性在进行几何教学时，要突出“一题多解”对学生思维的碰撞，让学生进一步体会几何图形的规律性和解题方法的多样性。

本节课在实现“一题多解”过程中，以三角形作为基本图形载体，在三角形的基础上进行拓展和变化。

并要让学生确信，不管题型如何改变、几何图形如何变化，都应该抓住三角形这一基本图形载体，理解等腰三角形的对称性，最终问题都可以逐一解决。

课堂前测：已知如图1，在△ABC中，AB=AC。

以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、点E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的长。

合作学习：已知如图2，AB是半圆O的直径，点C是弧BD的中点，且AB=5，若AD=3，试求线段AC的长。

（你还有其它方法来求解吗？）反思一：几何学习中的“一题多解”，源于以不同的视角看问题。

平面几何学习方法与技巧作为初中数学老师，我认为初中数学中最需要让人费脑思考的就是平面几何相关的内容了。

其主要原因就是初中平面几何知识所涉及的知识面广从普通的点线面到平面几何图形的相关内容，平面几何知识的题型丰富从普通的计算到复杂的证明，变化多端。

而学生们又是首次接触到这一部分内容，对于变化多端的图形以及让人摸不着头脑的题型，很多学生对此没有学习兴趣。

除此之外，初中平面几何还涉及到各种各样的定理、定义、公理、公设，各种特殊的三角形的特殊定理与在实际平面几何中的应用……这些都是初中平面几何的重难点之所在。

也正是因为如此，学生们都是叫苦连天。

而且还有不少的学生大呼:学了三年的初中平面几何知识就像是没有学一样。

拿到平面几何的题目就不知道应该从何下手，有的数学基础相对而言好一点的学生则是知道题目所考查的知识点是什么，但是依然是不知道如何作辅助线来帮助自己更好的解决问题，或者根本就不知道有简便的方法来解决问题。

那么就会有不少的同学迫不及待的想要问了，初中阶段的学生们究竟应该怎么样才能学好初中平面几何呢?接下来我就将为同学们娓娓道来。

一、减少负面情绪，培养学习平面几何的兴趣众所周知，初中平面几何内容比较复杂，所涉及到的知识点多，题型多样，由此导致了许多学生出现了焦躁、害怕甚至是厌学的负面的情绪，很多学生都对学习初中平面几何没有任何的兴趣。

我们知道“兴趣才是学习的最好的老师”。

只有培养起了学生们的学习平面几何的兴趣，这样才能够从根本上解决问题，否则学生们以及老师所做的一切努力都将会是竹篮打水一场空。

那么应该如何将学生们学习平面的学习兴趣培养起来呢?这就需要学生们和老师一起配合，通过老师的专业指导以及学生们自身的积极学习，培养起学习兴趣绝非一件难事。

首先，学生们要跟着老师的脚步，一步一个脚印地向前走，切不可心慌神乱，否则就会导致学习的基础打不扎实，以至于所做的努力都将是无用功。

我强烈建议学生们在上理论基础课时，准备一个随堂笔记本，将老师所讲的所有知识要点全部一字不漏的写下，并且老师在上理论知识课时一般都会举一些非书本上的例题，学生们也一定要一并写下，同一知识点对应同一例题。

初中数学关于平面几何的基础与难点讲解在初中数学的学习中，平面几何是一个重要的组成部分。

它不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础。

接下来，咱们就一起来深入了解一下初中数学平面几何的基础和难点。

一、平面几何的基础1、点、线、面、体点是最基本的几何元素，没有大小和形状。

线是由无数个点组成的，有直线和曲线之分。

面则是由线围成的，比如三角形、四边形等。

体是由面围成的，像长方体、正方体等。

理解这些基本概念是学习平面几何的第一步。

2、线段与角线段有两个端点，可以测量其长度。

角是由两条有公共端点的射线组成的图形，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。

3、平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行线的性质和判定定理是解决相关问题的重要依据。

4、三角形三角形是平面几何中最基本的图形之一。

它有三条边和三个角，三角形的内角和为 180 度。

三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

5、四边形常见的四边形有平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。

它们各自有着独特的性质和判定方法。

二、平面几何的难点1、证明题证明题是平面几何中的一个难点，需要我们熟练运用各种定理和性质，通过严密的逻辑推理来证明结论的正确性。

例如，证明三角形全等、相似，或者证明平行四边形的性质等。

这要求我们对定理和性质有深入的理解，并且能够灵活运用。

2、辅助线的添加在解决一些复杂的平面几何问题时，往往需要添加辅助线来帮助我们解题。

但是辅助线的添加没有固定的方法，需要我们根据题目条件和图形特点进行分析和尝试。

这需要我们有较强的观察力和创新思维能力。

3、图形的变换图形的平移、旋转和轴对称等变换也是平面几何中的难点之一。

在这些变换中，图形的形状和大小不变，但是位置发生了变化。

我们需要通过分析变换前后图形的关系来解决问题。

4、综合运用很多平面几何问题需要综合运用多个知识点来解决，这就要求我们能够将所学的知识融会贯通，形成一个完整的知识体系。

试谈几何命题一题多解能力的培养能力的培养是数学教学的首要任务之一，而能力的培养又是多方面的。

如“一题多解”的能力培养就是其中的一个重要方面，几何命题的思维与证明能力的培养就显得更重要了，有关这方面的论述已屡见不鲜。

下面，是我听了九年级一堂几何复习课的感想和教学实践的体会。

一、明确几何命题的“一题多解”对培养和提高学生的推理论证能力的作用众所周知，数学中的“一题多解”普遍认为是培养学生能力和开发学生智力的有效途径之一，对培养学生的发散性思维和创造性思维更见特效，还可以培养学生对学习数学的兴趣。

二、教会学生猜测猜测可导致发现。

事实上，解数学问题，人们总是猜测然后加以证明的，换句话说：所有证题者都要猜。

为此，教师在平面几何教学中，特别是在证题过程中不但要教会学生证明，更重要的是教会学生猜测，教会学生思考。

要达到这个目的，教师在教学过程中就应创设使学生积极思维、引发猜测的意境，点燃学生主动探索之火。

为此，教师在教学中不应立即把自己全部秘密都说出来，而是让学生去猜，让学生把各种的想法都说出来，哪怕是不合理的猜测也要鼓励和引导，不要制止，这样不仅能调动学生思维的主动性，还可以教会学生这种有益的思维方式。

进而开阔了学生的证题思路，培养了学生对问题进行探索、深究的能力。

三、教学程序的实施（一）教学时间的安排应得当本文开头已述，“一题多解”的教学确实有其优点，它不仅使学生开阔视野，培养学生从多条途径用多种方法去思考问题的能力，而且加强知识的纵向发展和横向联系。

但教学过程中应注意时间的安排，教学课时所限，不可能每一节课都是“一题多解”的教学。

在平常的教学中应着力抓好双基训练及定向思维能力的培养，笔者认为，在讲授完一章内容后，小结或期末复习开设“一题多解”的专题课较为适宜。

（二）范例的选择应恰到好处作为“一题多解”教学的例题，除了应具有一般例题的共性外，还应具有自身的独特之处：多线索、多头绪、知识点呈现丰富，灵活多变等特点而且深浅程度要适中。

数学课堂巧用一题多变数学课堂中，老师经常通过设置一些巧妙的题目来激发学生的兴趣，锻炼学生的思维能力。

而一题多变是指通过变化题目背景、条件或者问法，使得原本看似相同的问题变得不同，从而引出不同的解题思路和方法。

本文将介绍一些数学课堂中常见的巧用一题多变的情景，来展示数学的多样性和灵活性。

第一个情景是关于平面几何中的线段划分问题。

在平面上给出一个固定长度的线段AB，要求将其分割成n段，其中每一段的长度都要等于 m（m是一个整数）。

许多学生可能会采用均分法来解决这个问题，即线段AB的长度除以n。

我们可以通过改变题目的背景条件来引出其他解题思路。

如果题目给出了一个长度更长的线段AC，并要求将其分割成n段，而且每一段的长都要等于线段AB的长度m。

那么学生可能会想到利用相似三角形的性质来解决问题。

这样一来，相同的问题通过改变题目的条件，就变成了不同的解题思路和方法。

第二个情景是关于概率问题中的抽样问题。

在概率课上，老师通常会给出一个抽取球的问题，要求计算某个事件发生的概率。

从一个装有20个红球和30个蓝球的盒子中，随机抽取3个球，要求计算抽到3个红球的概率。

学生可能会采用组合数的方法来解决这个问题。

我们可以通过改变题目的条件来引出其他解题思路。

如果题目改成从一个装有n个红球和m个蓝球的盒子中，随机抽取k个球，要求计算抽到r个红球的概率。

那么学生可能会发现这是一个概率分布问题，可以利用二项分布的公式来计算概率。

通过改变题目的条件，就引出了不同的解题思路和方法。

第三个情景是关于函数的问题。

在函数课上，老师经常会给出一些函数的性质或者定义，要求学生应用这些性质或定义来解决问题。

给定一个函数f(x)，已知f(3)=7，要求计算f(6)、f(9)等。

学生可能会采用函数的图像或者定义进行计算。

我们可以通过改变题目的形式来引出其他解题思路。

如果题目改成给定一个函数f(x)，已知f(x)=x^2-2x+1，要求计算f(3)、f(4)等。

浅谈“一题多解”与“多题一解”作者：喻秋叶来源：《创新时代》2016年第09期在新一轮数学课程改革从理念渗透到内容实施的过程中，教师在观念和意识上有了很大的变化。

在章节复习课的教学中，需要设计科学、合理的解题教学环节，并且设置适量而贴切的解题训练，这也是培养学生形成数学思维、掌握基本技能的重要途径。

无论是教学实际的需要，还是素质教育的诉求，教师都必须面对各种蜂拥而至的数学问题，选择合适的切入点，引导学生从“题海”中解脱。

针对这种教学要求，教师可以采用“一题多解”与“多题一解”的变式教学方式，帮助学生逐步地提升思维能力，掌握解题技能。

根据复习课的特点，在学生已经掌握了一定的基础知识和基本技能的前提下，教师需要进一步提升学生的逻辑推理、发散思维、归纳迁移等数学能力。

笔者通过教学实践，将从三个方面，简单剖析“一题多解”与“多题一解”是如何在复习课的教学中发挥其特有的教学功能的。

一、一题多解，发散思维对于复习课而言，典型例题的选取与讲解至关重要，为了提高例题的使用价值，教师需要引导学生利用多种方法，从多种角度去思考问题，并通过多角度、多层次的探索，来提升学生思维的广阔性，提高他们的解题能力。

【案例1】已知，，求。

解法1：三角公式求解，再联立解得，，。

解析①：根据公式，运用同角三角函数关系中平方关系，直接求出，再求解。

解法2：公式正、逆用，两边平方得解析②：直接利用公式展开，平方后公式的逆用得值。

解法3：转换与方程思想求解因为，；由得，；解析③：直接法，利用化归思想先求出，再结合方程求出；再代入公式求解。

解法4：转化与化归思想求解因为，解析④：关键找到与之间的联系，主要从和、差、倍角三类关系去找已知角和未知角之间的联系。

【评析】在本例题的讲评过程中，充分发挥了“一题多解”的教学优势，前两种解法巩固了学生的基础知识，后两种解法拓展了学生的思维空间，这正是符合了张奠宙先生所提出的“在打好学生‘双基’的基础之上，谋求发展”的教育教学理念。

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。

19、（增加题1 的条件）AE 平分∠BAC 交BC 于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1 的条件）CE 平分∠BCD，AF 平分∠BAC 交BC 于F求证：（1）BF·CE= BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE 与CD 交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以CD 为直径的圆交AC、BC 于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16 题有无联系）22、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以AD 为直径的圆交AC 于E，以BD 为直径的圆交BC 于F，求证：EF 是⊙O1 和⊙O2 的一条外公切线23、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，和以CD 为弦的圆O2，求证：点A 到圆O2 的切线长和AC 相等（AT=AC）24、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，E 为ACD 的中点，连ED 并延长交CB 的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1 与⊙O2 外切与点D，内公切线DO 交外公切线EF 于点O，求证：OD 是两圆半径的比例中项。

题14 解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215 题解答：因为M 为AB 的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，FG‖AB 交BC 于点G，求证：CE=BG27、（在19 题基础上增加一条平行线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，FG‖BC 交AB 于点G，连结EG，求证：四边形CEGF 是菱形28、（对19 题增加一个结论）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E、交CD 于F，求证：CE=CF29、（在23 题中去掉一个圆）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，求证：过点D 的圆O1 的切线平分BC30、（在19 题中增加一个圆）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交BC 于E，交CD 于F，求证：⊙CED 平分线段AF31、（在题1 中增加一个条件）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，∠A=30 度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117 页第3 题）32、（在18 题基础上增加一条直线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作∠BCE=∠BCDP 为AC 上任意一点，直线PQ 交CD 于Q，交CB 于M，交CE 于N求证：PQ/PN=QM/MN32 题证明：作NS‖CD 交直线AC 与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB 到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE题33 证明CB^2= BD·AB因EB=CB∴EB^2= BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB= AE·BE题34（在19 题基础上增加一条垂线）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分CD 于F，EG⊥AB 交AB 于点G，求证：EG^2= BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG= BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2= BE·EC题35（在题19 中增加点F）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BCA 交BC 于点E，交CD 于F，求证：2CF·FD = AF·EF题36、（在题16 中，减弱条件，删除∠ACB=90 度这个条件）已知，△ABC 中，CD⊥AB，D 为垂足，DE⊥AC 于E，DF⊥BC 于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17 中，删除∠ACB=90 度和CD⊥AB，D 为垂足这两个条件，增加D 是AB 上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC 中，D 是AB 上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE 平分∠BCD求证：AE^2= AD·AB题38已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，PC 为⊙ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD题39（在题19 中点E“该为E 为BC 上任意一点”）已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，E 为BC 上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F 为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC 中，CD⊥AB，D 为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB 的度数。

一题多解，妙处自现— - 根号 2 倍关系的几何证明摘要：老师在讲授或学生在解一道几何证明题时，经常会得到结论就结束了解题，而可能会忽视继续去发现、深入挖掘更多的方法，这样就浪费了宝贵的思维财富。

为了有利于培养学生的发散思维、创新思维，为了避免学生在解几何题时偏执的钻牛角尖，解题更加游刃有余。

在高效解题背景要求下，我们需在解题能力多元化、方法多样化方面下功夫，这样有利于提升学生的解题水平。

关键词：平面几何题；倍关系；辅助线；几何、代数方法波利亚说“掌握数学就意味着善于解题”。

这里的“掌握”包括关于数学的知识意蕴、思考方式、思想方法、思维倾向等。

特别需要指出的是，题目只是载体，因此更需要深入思考方法才能达到真正意义上的“掌握”。

一、呈现题目如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F是AE上一点，FC⊥CD，且FC=CD，连接BF并延长交AD于点G.求证：①△AEB≌△CEF；②DG＝ BF本题是在听本校年轻教师上汇报课时记录的题目，未查出处。

但可以肯定，它是近几年来中考热点、经典代表之一。

解析：本题第一问，由平行四边形的性质可知，AB=CD=CF，∠BAD=∠BCD，又因为AD∥BC且AE⊥BC，所以∠AEB=∠CEF=∠EAD=90°，由FC⊥CD，所以∠FCD=90°，可得∠BAE=∠FCE，从而证得△AEB≌△CEF。

此时，估计有部分同学就会马上联系第二问进行思考，证明全等会给我们带来些什么有用结论呢?1.由△AEB≌△CEF，可以得到BE=EF，AE=CE；2.易证△BEF和△AFG为等腰直角三角形；(3)由AD=BC，AG=AF，EF=BE，所以：DG=AD-AG=AD-AF，BE=BC-EC=BC-AE=BC-EF-AF，所以：DG=2BE，这样就为解决第二问带来便利。

二、几何方法解决第二问的方法探索（一）方法①：不添辅助线，直接证明第二问是非常典型的倍模型，需要构建等腰直角三角形，而△BEF就是等腰直角三角形，所以易解决。

1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB证明：过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线）于P',A'两点。

由M'N'平行BC得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM'由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM所以：AC/AB=MP'/AM由三角形MP'P相似三角形ANP得：MP'/AN=MP/PN而AN=AM所以：MP'/AM=MP/PN所以：AC/AB=MP/PN1题图2题图2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边证明：过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。

则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F.又因为：四边形AFDC是梯形所以：AC=DF=FE+DE而AC=BD+DE所以：BD=FE又因为：AD=AE,∠BDA=∠FEA所以：三角形ABD和三角形AFE全等所以：∠B=∠F所以：∠B=∠BCD=∠BDC=60°所以：三角形BCD是等边三角形。

3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切), A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E, X的范围是？解：如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。