专题3.22平面直角坐标系背景下的几何问题（分层练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，点C 坐标为()3,2，则点A 的坐标为（）A ．()2,2-B ．()2,3-C ．()3,2-D ．()3,3-2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图在平而直角坐标系中，点(1,3)A --，点(3,1)B -，点(2,2)C ，则三角形ABC 的面积是（）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.53．（2023春·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，线段AB 经过原点O ，点C 在y 轴上，D 为线段AB 上一动点，若点()2,A m -，()4,B n ，()0,3C -，且12AB =，则CD 长度的最小值为（）A ．1B ．32C ．23D ．434．（2023·河南周口·统考三模）如图，已知点()()6,0,0,8A B ，点P 在y 轴负半轴上，若将PAB 沿直线AP 折叠，使点B 的对应点恰好落在x 轴正半轴上的点B '处，则点P 的坐标是（）A ．()0,10-B ．()0,12-C ．()0,14-D ．()0,16-5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在PMN 中，,,(0,2),(2,2)PM PN PM PN P N =⊥-，则M 的坐标是（）A ．()-B ．(-C ．(-D ．(4,0)-6．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知Rt OAB ，60OAB ∠=︒，90AOB ∠=︒，O 点与坐标系原点重合，若点P 在x 轴上，且APB △是等腰三角形，则点P 的坐标可能有（）个.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2023春·北京大兴·七年级统考期末）(),0A a ，()3,4B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，当线段AB 的长度最小时，a 的值为（）A ．4-B ．3-C ．4D ．38．（2023春·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标()0,4A ，()1,B b -，()2,C c ，BC 经过原点O ，且CD AB ⊥，垂足为点D ，则AB CD ⋅的值为（）．A ．10B ．11C ．12D ．149．（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知(),0A a ，()0,10B ，()5,0C 三点，且三角形ABC 的面积等于20，则a 的值为（）A ．1或9-B ．9C ．1或9D ．9或9-10．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在直角坐标系的x 轴负半轴和y 轴正半轴上分别截取OA OB ，，使OA OB =，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N ，若点N 的坐标为()226n n --，，则n 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，()0,3A ，()1,0C -，AC BC =，AC BC ⊥，则B 点坐标为．12．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,0A ，()0,3B ，若有一个直角三角形与Rt AOB △全等，且与其共OB 边，A '点是A 点的对应点，试写出所有满足条件的A '点的坐标13．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，点P 在x 轴上，直线CP 平分四边形ABCD 的面积，则PD 的长为．14．（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，2OA =，5OB =，以A 点为直角顶点作Rt ABC △，90BAC ∠=︒，AB AC =，则C 点的坐标为．15．（2022秋·江苏南通·八年级统考阶段练习）如图，等腰Rt ABC △中，90ABC AB BC ∠=︒=，．点A 、B 分别在坐标轴上，且x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过C 点作CD x ⊥轴于点D ，交AB 的延长线于点E ，测得AM 的长度为6，则点C 的纵坐标为．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点B 的坐标为()3,0，点C 、D 分别在y 轴、AB 上运动，连接BC CD 、，则BC CD +的最小值为．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A ，点B ，点C 的坐标分别是(4,4)-，(2,4)--，(4,2)-，点D 与点A 关于y 轴对称，顺次连接A ，B ，C ，D 四点得到四边形ABCD ，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，连接PB ，若PB 将四边形ABCD 的面积分为1：4的两部分，则点P 的坐标为．18．（2022春·上海·九年级统考自主招生）如图，在平面直角坐标系中，(6,0)A -、(2,2)B -，动点P 在直线y x =-上，动点Q 在x 轴上，则AP PQ QB ++的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，ABC 的三个顶点的坐标分别为()5,0A -，()4,0B ，()2,5C ．（1）求ABC 的面积；（2）画出ABC 关于y 轴对称的图形．20．（8分）（2023春·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，点()0A a ，，()2B b ，，()40C ，，且0a >．（1）若2(2)40a b --=，求点A ，点B 的坐标；（2）如图，在（1）的条件下，过点B 作BD 平行y 轴，交AC 于点D ，求点D 的坐标；21．（10分）（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图（1），已知()3,0A ，()0,1B -，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，BA BC =．（1）如图，求C 点坐标；（2）如图（2），点P 为x 正半轴上一点，作等腰直角BPQ V ，其中90PBQ ∠=︒，BP BQ =，求证：PA CQ =．22．（10分）（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，点(,)A a b ，(,)B c d 是平面直角坐标系中的两个点，且AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ．（1）||DC =__________，||||CA DB -=__________．（用含a ，b ，c ，d 的式子表示）（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算A ，B 两点之间距离的平方为__________．（用含a ，b ，c ，d 的式子表示）（3）若(3,5)E -，5(2,)F -，求E 、F 两点之间的距离．23．（10分）（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）如图，已知()3,0A ，()0,1B -，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA BC =，连接AC ．（1）如图1，求C 点坐标；（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ V ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA CQ =．24．（12分）（2023春·广东东莞·七年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别是(,0)a 、(,4)c ，且满足2(4)40a c ++-=，连接AC ，交y 轴于点Q ，并过点C 作CB x ⊥轴于点B ．（1）求ABC 的面积；（2）当Q 的坐标为(0,2)，若y 轴上有一动点P ，使得ABC QCP S S =△△，求出点P 的坐标；（3）如图2，过点B 作BD AC ∥交y 轴于点D ，当AE ，DE 分别平分CAB ∠和ODB ∠时，写出AED ∠与CAB ∠，ODB ∠的数量关系，并写出证明过程．参考答案1．B【分析】如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，根据正方形的性质，可证Rt Rt (ASA)AOD OCE △≌△，可得DO EC =，AD OE =，根据点C 的坐标可确定,OE CE 的长，由此即可求解．解：如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E，∵四边形OABC 是正方形，∴OA AB BC OC ===，=90AOC ∠︒，∴90AOD EOC ∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，∴OAD EOC ∠=∠，在Rt ,Rt AOD OCE △△中，90OAD COE AO CO ADO OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt (ASA)AOD OCE △≌△，∴DO EC =，AD OE =，∵()3,2C ，∴3OE =，2CE =，∴2,3OD AD ==，且点A 在第二象限，∴(2,3)A -，故选：B ．【点拨】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键．2．A【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．解：如图所示，过点C 作DE x ∥轴，过点,A B 分别作,AE BD 垂直于ED ，垂足为点,E D ，∵()1,3A --，()3,1B -，()2,2C ，∴()1,2E -，()3,2D ，则5,4,3AE ED BD ===∴三角形ABC 的面积是()1115345331167.5 1.57222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=故选：A ．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．B【分析】分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，得出2AE =，4BF =，3OC =，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题．解：如图，分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，∵点()2,A m -，()4,B n ，()0,3C -，∴2AE =，4BF =，3OC =，∵垂线段最短，∴当CD AB ⊥时CD 有最小值，∵ABC AOC BOC S S S =+ ，∴11324391222AB CD ⋅=⨯⨯+⨯⨯=∵12AB =，∴32CD =，∴CD 长度的最小值为32，故选：B ．【点拨】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理求得AB ，设()0,P t ，0t <，根据折叠的性质得出10AB AB '==，8PB PB t '==-，在Rt POB '△中，勾股定理即可求解．解：∵点()()6,0,0,8A B ，∴6,8OA OB ==，∴10AB ==，∵将PAB 沿直线AP 折叠，使点B 的对应点恰好落在x 轴正半轴上的点B '处，∴10AB AB '==∴10616OB OA AB ''=+=+=，设()0,P t ，0t <，∴8PB PB t'==-在Rt POB '△中，OP t =-，∴()()222168t t -+=-解得：12t =-，∴P 的坐标为()0,12-故选B.【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．D【分析】过点N 作ND ⊥y 轴于点D ，利用P （0，2），N （2，−2），得出OP ＝2，OD ＝2，DN ＝2，根据“AAS”证明△MOP ≌△PDN ，OM ＝PD ，即可得出答案．解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，−2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO＋∠DPN＝90°，又∵∠DPN＋∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（−4，0），故D正确．故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标，作出辅助线，证明△MOP≌△PDN是解题的关键．6．D【分析】只要是x轴上的点且满足APB△为等腰三角形即可．解：如图，则在x轴上共有4个这样的P点．故选：D ．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的形状以及坐标与图形的简单结合，能够熟练掌握．7．D【分析】点A 在x 轴上的动点，根据垂线段最短，AB 长度的最小值即为点B 到x 轴的最短距离，此时点A 为从B 向x 轴作垂线的垂足，最短距离即为点B 的纵坐标．解：如图，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，此AB 的长度最小，∵(),0A a ，()3,4B ，即当3a =时，线段AB 长度的值最小，此时线段AB 长度的最小值为4，故选：D ．【点拨】本题考查坐标与图形，垂线段最短，确定点A 的位置是解题的关键．8．C【分析】根据ABC 的面积等于AOB 的面积与AOC 的面积之和即可得．解：()0,4A ，()1,B b -，()2,C c ，BC 经过原点O ，AOB ∴ 的OA 边上的高为1，AOC 的OA 边上的高为2，4OA =，ABC AOB AOC S S S =+ ，且CD AB ⊥，1114142222AB CD ∴⋅=⨯⨯+⨯⨯，解得12AB CD ⋅=，故选：C ．【点拨】本题考查了点坐标与图形，正确找出ABC AOB AOC S S S =+△△△是解题关键．9．C【分析】根据已知可得：5CA a =-，10BO =，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．解：∵(),0A a ，()0,10B ，()5,0C ，∴5CA a =-，10BO =，∵三角形ABC 的面积等于20，∴1202AC BO ⋅=，即0151022a -⋅=⨯，∴54a -=，∴54a -=或54a -=-，∴9a =或1a =，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．10．D【分析】由作图可知，点N 在AOB ∠的角平分线上，推出点N 的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．解：由作图可知，点N 在AOB ∠的角平分线上，两弧交于第二象限的点N ，∴点N 的横坐标与纵坐标互为相反数，∴2260n n -+-=，∴4n =，故选：D ．【点拨】本题考查作图-基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．()2,1-【分析】过B 点作BD x ⊥轴于点D ，证明BDC COA ≌△△即可作答．解：过B 点作BD x ⊥轴于点D ，如图，∵AC BC ⊥，∴90ACB ACO DCB ∠=︒=∠+∠，∵90ACO CAO ∠+∠=︒，∴DCB CAO ∠=∠，∵BD x ⊥轴，∴90BDC COA ∠=︒=∠，∵CAO DCB AOC CDB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴BDC COA ≌△△，∴DC OA =，BD CO =，∵()0,3A ，()1,0C -，∴3DC OA ==，1BD CO ==，∴2OD DC CO =-=，∴结合图形有：()2,1B -，故答案为：()2,1-．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识，作出辅助线，证明BDC COA ≌△△是解答本题的关键．12．()4,3或()4,0-或()4,3-【分析】根据全等三角形的性质画出满足条件的Rt OBC △，然后写出对应顶点的坐标即可．解：如图，A '的坐标为：(4,3)或(4,0)-或(4,3)-．故答案为：(4,3)或(4,0)-或(4,3)-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．13．3【分析】作CE x ⊥轴，根据四边形ABCD 的面积AOB CDE OBCE S S S =++ 梯形求得四边形的面积，设点(0),P x ，则3PD x =-，由直线CP 平分四边形ABCD 的面积列出方程求解可得．解：过点C 作CE x ⊥轴于点E ，∵(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，∴,,,24,321AO OB OE CE DE =====，∴四边形ABCD 的面积AOB CDEOBCE S S S =++ 梯形()1112334214222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯12=，设点(0),P x ，则3PD x =-，∵直线CP 平分四边形ABCD 的面积，∴11262PCD S =⨯= ，∴()13462x -⨯=，∴0x =，∴3PD =．故答案为：3．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．14．(7,2)--【分析】过C 作CM x ⊥轴于M 点，证明(AAS)MAC OBA △≌△，得到2CM OA ==，5MA OB ==，从而可得坐标．解：如图，过C 作CM x ⊥轴于M 点，CM OA ⊥Q ，AC AB ⊥，90MAC OAB ∴∠+∠=︒，90OAB OBA ∠+∠=︒，则MAC OBA ∠=∠，在MAC △和OBA △中，90CMA AOB MAC OBA AC BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)MAC OBA ∴△≌△，2CM OA ∴==，5MA OB ==，∴点C 的坐标为(7,2)--，故答案为：(7,2)--．【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．3-【分析】根据已知条件分别证明()ASA ABM CBE ≌△△和()ASA ADE ADC ≌，进而得AM CE =，12DE DC CE ==，即可求解．解：90ABC ∠=︒ ，18090CBE ABC ∴∠=︒-∠=︒，在EBC 中，90E ECB ∠+∠=︒，又CD x ⊥轴，90ADE ADC ∴∠=∠=︒，在AED △中，90EAD E ∠+∠=︒，ECB EAD ∴∠=∠，在ABM 和CBE △中，EAD ECB AB CB ABC CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABM CBE ≌△△，6AM CE ∴==，又AD 平分EAC ∠，EAD CAD ∴∠=∠，在ADE V 和ADC △中，EAD CAD AD AD ADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADE ADC ≌，132DE DC ∴===，∴点C 的纵坐标为3-．故答案为：3-．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．16．245/4.8/445【分析】先找出线段AB 关于y 轴的对称线段，再过点B 作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位BC CD +的最小值．解：如下图所示，先找出点B 关于y 轴对称的对称点B '，截取AD =AD '，此时点D 与点D ¢关于y 轴对称，从而可知BC CD B C D C +=+'．再根据垂线段最短可知，当BD '是线段AB '的垂线段，BD '与y 轴交于点C 时，BC CD +即BC D C +'有最小值BD '．∵点A 的坐标为()0,4，点B 的坐标为()3,0∴点B '的坐标为()3,0-，BB '=6．AB '=5，AO =4，∴1122ABB S BB AO AB BD ''''=⨯⨯=⨯⨯△即1164522ABB S BD ''=⨯⨯=⨯⨯△∴245BD '=∴BC CD +的最小值为245故答案为：245．【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段AB 关于y 轴的对称线段时解题的关键．17．3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先根据各坐标求出四边形ABCD 的面积，再分情况讨论当点P 在AD 上和CD 上的点P 坐标．解：作BH AD ⊥于H ，点D 与点A 关于y 轴对称，点(4,4)A -，∴点D 坐标为(4,4)，点B ，点C 的坐标分别是(2,4)--，(4,2)-，2AH ∴=，6HD =，8BH =，6CD =，1128822ABH S AH BH =⋅⋅=⨯⨯=△，()()116864222CDHB S CD BH DH =⋅+⋅=⨯+⨯=梯形，42850ABCD S =+=四边形，如图1，当点P 在AD 上时，:1:4ABP CDPB S S = △四边形，10ABP S ∴=△，∴1102AP BH ⋅⋅=，52AP ∴=，53422-= ，∴点P 坐标为：3(2-，4)；如图2，当点P 在CD 上时，:1:4ACP CDPB S S = △四边形，10ACP S ∴=△，∴1102CP DH ⋅⋅=，103CP ∴=， 104233-=，∴点P 坐标为：4(4,)3综上，点P 坐标为3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点P 的位置是解题关键．18．217【分析】作B 点关于x 轴的对称点B '，作A 点关于直线y x =-的对称点A '，连接A B ''交x 轴于点Q ，交直线y x =-于点P ，连接BQ ，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时AP PQ QB ++最短，AP PQ QB ++最小值A B ''=，由勾股定理求出A B ''，即可求解．解：作B 点关于x 轴的对称点B '，作A 点关于直线y x =-的对称点A '，连接A B ''交x 轴于点Q ，交直线y x =-于点P ，连接BQ ，如图，∵B 点关于x 轴的对称点B '，(2,2)B -∴()2,2B '--，BQ B Q '=，∵A 点关于直线y x =-的对称点A '，(6,0)A -，∴()0,6A '，PA PA ='，∴AP PQ QB PA PQ B Q A B ++=+'='+''，此时，AP PQ QB ++值最小，最小值A B ''=，∵()0,6A '，()2,2B '--，∴A B ''=∴AP PQ QB ++最小值为．故答案为：【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键．19．（1）452；（2）见分析【分析】（1）结合点的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可；（2）分别确定A ，B ，C 关于y 轴对称的A '，B '，C '，再顺次连接即可．（1）解：∵()5,0A -，()4,0B ，∴9AB =，又∵()2,5C ，∴1459522ABC S =⨯⨯=△；（2）如图，A B C ''' 即为所求作的三角形．．【点拨】本题考查的是坐标与图形，求解网格三角形的面积，画关于y 轴对称的三角形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．20．（1）()02A ，，()24B ，；（2）()21D ，【分析】（1）由非负性质得出20a -=，40b -=，得出2a =，4b =，即可得出答案；（2）延长BD 交OC 于M ，由题意得出点D 的横坐标为2，可得点D 是AC 的中点，即可得出答案．（1）解：2(2)0a -= ，20a ∴-=，且40b -=，2a ∴=，4b =，∴点()02A ，，()24B ，；（2）解：延长BD 交OC 于M ，如图所示：，BD x ∥轴，DM OC ∴⊥，点D 的横坐标为2，()02A ，，()40C ，，∴点D 是AC 的中点，()21D ∴，．【点拨】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．21．（1）()1,4C -；（2）见分析【分析】（1）构造出()AAS AOB BDC ≌△△,得出OA BD =，OB CD =，再求出3OA =，1OB =，即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质判断出PBA QBC ∠=∠，进而得出()SAS ABP CBQ △≌△，即可得证．（1）解：过点C 作CD OB ⊥于点D ，则90CDB ∠=︒，∴90BCD DBC ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90ABO DBC ∠+∠=︒，∴ABO BCD ∠=∠，在AOB 和BDC 中，90AOB BDC ABO BCD BA BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AOB BDC ≌△△，∴OA BD =，OB CD =，又∵(30)A ，，(0)B ，-1，∴3BD OA ==，1CD OB ==，∴134OD OB BD =+=+=，∴()1,4C -；（2）证明：∵90PBQ ∠=︒，∴90PBA ABQ ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90QBC ABQ ∠+∠=︒，∴PBA QBC ∠=∠，在ABP 和CBQ △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABP CBQ △≌△，∴PA CQ =．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．22．（1）c a -，bd -；（2）()()22c ad b -+-；（3）【分析】（1）CD 的长为A B 、两点的横坐标之差的绝对值；DB AC -为B A 、两点的纵坐标绝对值之差；（2）根据勾股定理可求A B 、两点之间的距离的平方；（3）利用两点间的距离公式计算．（1）解：,CD c a CA DB d b =--=-.故答案为：,c a d b --；（2）解：如图，过B 点作BE AC ⊥于E ，则A B 、两点之间的距离的平方为()()22c ad b -+-．故答案为：()()22c ad b -+-；（3）解：()2222355125EF ⎡⎤=--+--=⎣⎦（），所以EF =【点拨】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式：设有两点1122A x y B x y （，），（，），则这两点间的距离为AB 23．（1）(1,4)-；（2）证明过程见详解【分析】（1）如图所示（见详解），过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明(AAS)OAB DBC ≌△△，根据()3,0A ，()0,1B -，可求出OD ，DC 的长，由此即可求出C 点坐标；（2）90PBQ ABC ∠=∠=︒，可知PBA QBC ∠=∠，证明(SAS)PBA QBC ≌△△，即可求证．（1）解：如图所示，过点C 作CD y ⊥轴于D ，∵90AOB BDC ∠=∠=︒，AB BC ⊥，∴90OAB ABO ABO DBC ∠+∠=∠+∠=︒，∴OAB DBC ∠=∠，且BA BC =，∴(AAS)OAB DBC ≌△△，且()3,0A ，()0,1B -，∴3OA BD ==，1DC OB ==，∴4(0,)D -，(1,4)-C ．故C 点坐标为：(1,4)-．（2）证明：∵90PBQ ABC ∠=∠=︒，∴PBQ ABQ ABC ABQ ∠-∠=∠-∠，∴PBA QBC ∠=∠，在PBA △和QBC △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)PBA QBC ≌△△，∴PA CQ =．【点拨】本题主要考查三角形在平面直角坐标系的变换，三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定和性质是解题的关键．24．（1）16；（2）(0,10)或(0,6)-；（3）1()2AED CAB ODB ∠=∠+∠，理由见分析．【分析】（1）根据2(4)40a c ++-=，可求得a 和c 的值，确定点A ，B ，C 的坐标，进而求得AB 和BC 的长度，根据三角形面积公式计算即可求得答案．（2）先求得PQ 的长度，点P 的位置有两种情况：在点Q 上方或在点Q 下方，分情况写出点P 的坐标即可．（3）过点E 作EF AC ∥，根据平行线的性质可得到AED ∠与CAE ∠，BDE ∠的数量关系，根据角平分线的定义，进而求得AED ∠与CAB ∠，ODB ∠的数量关系．解：（1）∵2(4)40a c ++-=，∴40a +=，40c -=．∴4a =-，4c =．∴点A ，B ，C 的坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(4,4)．∴8AB =，4BC =．∴11841622ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△．（2）∵QCP ABC S S =△△，∴16QCP S =△．∴1162c PQ x ⋅=，即216PQ =．∴8PQ =．∵点Q 的坐标为(0,2)，∴当点P 在点Q 上方时，点P 的坐标为(0,10)，当点P 在点Q 下方时，点P 的坐标为(0,6)-．∴点P 的坐标为(0,10)或(0,6)-．（3）1()2AED CAB ODB ∠=∠+∠．理由如下：如图，过点E 作EF AC ∥．∵AE ，DE 分别平分CAB ∠和ODB ∠，∴12CAE CAB ∠=∠，12BDE ODB ∠=∠．∵EF AC ∥，∴AEF CAE ∠=∠．∵EF AC ∥，BD AC ∥，∴EF BD ∥．∴DEF BDE ∠=∠．又AED AEF DEF ∠=∠+，∴111()222AED CAE BDE CAB ODB CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、角平分线的定义，牢记平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．。
