华师大版数学八上《平方根和立方根》(第3课时)word导学案

12.1平方根与立方根(3)一、导学目标1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式)0(33>-=-a a a ，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．二、重点与难点1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；3.会用计算器求数的立方根．三、轻松课堂(一) 想一想计算下列各题：．　，　，　，，３3333)4.0(4.00)2(2--(二)探究归纳问题 现有一只体积为216 cm 3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？让学生考虑:这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？并归纳总结出:1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）．2.立方根的表示方法：3.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．(三)学一学例1 求下列各数的立方根：(1)278； (2)-125； (3)-0.008； (4)0． 根据上述练习提问：(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？(四)试一试(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？(3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．(五)学一学例2 用计算器求下列各数的立方根：(1)1331； (2)－343； (3)9.263．(六)练一练求下列各数的立方根0.125 -81 1728 -343(七)谈一谈你本节课的收获与困惑是什么?请思考下面的问题：1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．(八)比一比求下列各数的立方根：(1)27 (2)125； (3)+0.008； (4)0.343（九）评一评教师以小组为单位汇总学生参与学习的情况，并将小组达标检测成绩进行量化、记录，评出优胜小组。

新课标华东师大版八年级上册数学导学案
--11.1平方根与立方根第3课时
课标要求：了解立方根的概念，开方与乘方互为逆运算。

导学目标：
1、知识与技能：
（1）了解立方根和开立方的概念。

（2）会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算。

（3）会用计算器求一个数的立方根。

2、过程与方法：类比分析法
3、情感、态度与价值观：培养学生用类比思想方法解决求立方根的运算问题。

导学核心点：
1.导学重点：立方根的概念和性质
2.导学难点：会求一个数的立方根
3.导学关键：用根号表示数的立方根。

4.导学用具：教师：计算器、小黑板学生：计算器
导学过程。

【学习课题】 第3课时 立方根 【学习目标】1、理解立方根的概念。

2、会表示一个数的立方根，并学会求一个数的立方根。

3、理解立方根的意义，并会正确区分立方根与平方根。

【学习重点】了解立方根的概念，会求一个数的立方根 【学习难点】正确区分平方根与立方根。

【候课朗读】1.算术平方根的概念及其性质。

2.10以内数的立方： 113= 823= 2733= 6443=12553=【学习过程】 一、学习准备1.计算：2x+3x= ；5x-2x= ； 8y ×x=_______; 8xy ÷x= ；22= ；4= ；23= ；若x 3=8，则x= 。

观察这些算式之后我们发现：我们可以采用探究的形式，利用类比平方根的方法来展开本节知识的学习。

二、解读教材 2、立方根的概念：一般地，若一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，则这个数x 就叫a 的 （也叫三次方根），如2是8的立方根，－32是 的立方根，0是 的立方根。

即时练习：3.立方根的符号表达：每个数a 都只有一个．．．．立方根，表示为 3a 。

如：x 3= 7 ，x 是7的立方根，即：x=37，而（－2）3=－8 ，所以－2是－8的立方根，即38-=－24、立方根的性质：23=8，43= ； (－3)3=－27，(－5)3= ； 0 3=0。

有没有其他的数的立方也等于8，等于64，等于－27，等于－125正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0本身。

5、立方根的三种表达形式： （1）定义：x 3=a （2）文字叙述：立方根 （3）符号语言：3a例1：求下列各式中的x① x 3=27 ②x 3－64=0 ③ x 3= -0.008 ④x 3= 216125解：x 3=27x=327∴x=3例2：求22710的立方根。

解：22710=2764 ∵(34)3=2764=27102 ∴27102的立方根为34即327102=34求下列各数的立方根 ①－0.008 ② －343 ③0.512 例3：38= 364-= 3125343= -3827-=三．挖掘教材 6、开立方的定义：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数，表示为：3a （a 为任何数），开立方与立方互为逆运算。

华东师大版八年级上册数的开方第三课时学案学习课题：§12.1平方根与立方根（2.立方根）学习目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；2、能用立方根求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算；3、了解立方根的性质.4、区分立方根与平方根的不同5、会用计算器求一个数的立方根学习重点：求已知数的立方根．学习难点：立方根与算数立方根的区别．学习过程：一、自主学习（一）、自学课文（二）、导学练习[活动一]基础知识填空1、现有一只体积为216平方厘米的正方体盒子（如图所示），它的棱长是多少？2、解方程3x=216，x= 。

[活动二]自主学习练习1、如果2x=a(a≥0)，那么把求x的运算叫做开平方运算，x叫做a的平方根，用符号可以表示为x=a上述问题可以用方程描述为“3x=a”，类比平方根的定义，你能用语言和符号描述求x的过程和结果吗？这里a的取值有限制吗？2、已知立方运算的结果，求底数的运算叫做开立方运算，开立方运算的结果叫做立方根3、如果3x=a，那么把求x的运算叫做开立方运算，开立方运算用符号“3”，表示（读作三次根号），开立方的结果用符号“3a”表示，（读作三次根号a。

），把3a叫做a的立方根，即x=3a开立方运算与立方运算互为逆运算二、合作探究1、（1）27的立方根是什么？ （2）－27的立方根是什么？ （3）0的立方根是什么？ 立方根的性质：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是个负数，零的立方根是零，另外还可以得出33a a --=-(对平方根没此结论)2、求下列各数的立方根： (1)278; (2)-125; (3)-0.0083、用计算器求下列各数的立方根：（1） 1 331； （2） －343； （3） 9.263．三、展示提升每个同学自主完成合作探究中的练习后先在小组内交流讨论，并根据老师布置的任务由小组代表上黑板展示讲解，其他同学提出问题，加以补充，师生共评。

12.1.2 平方根与立方根教学目标知识与技能：1、使学生进一步理解平方根的概念，并能熟练地进行求一个数的平方根的运算.2、会用计算器求一个非负数的算术平方根.3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.过程与方法：通过探究用有理数估计一个开方开不尽数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力.情感、态度与价值观：1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研意识.2.鼓励学生大胆质疑，发展合情推理能力.学情分析教学重点、难点重点：用有理数估计一个无理数的大致范围难点：运用计算器探求数学规律教法与学法导航教学方法：本节课主要让学生利用计算器求一些数的平方根，并在基础上探究被开方数小数数位左移（或右移）一定数位后，其算术平方根变化规律，宜采用探究式、启发式教学法.学习方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学准备教师的准备：课件、投影，长方形纸板学生的准备：计算器，剪刀，长方形纸板教学过程一、创设情境，感受数学某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上，再把多余部分FECD剪下，如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2，又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.•请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米．F E D CBA将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积，正方形纸片的面积为90—40＝50cm2，而正方形的面积为边长的平方，要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50，但我们知道72＝49，82＝64，50这个数既不是72，也不是82，由于49＜50＜64，故此正方形的边长应大于7而小于8．到底是为多少呢？它是一个小数吗？你有什么办法确定这个值呢？这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题．二、师生共同参与教学活动（一）提出问题，引发讨论在实际问题中，往往会遇到像上述情形中的问题，如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数，我们该怎么表示所给数的算术平方根呢？我们知道，若有正数x，使x2＝a（a≥0），则x为a的算术平方根，记作x，•于是若x2＝50时（x为正数），则x72＜50＜82，因此有78，现在我（二）导入知识，解释疑难1.教材内容讲解在七年级有理数的乘方运算中，我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法，现在我们要确定一个数的平方根，也可借助这种方法进行，我们不妨用计算器验证7.12，7.12＝50.41，而50.41>507.1，再验证7.092＝50.27>50，故7＜7.09，而7.082＝50.12，7.072＝49.98，故7.077.08，接着继续增加小数点后一位小数，如7.071，计算7.0712＝49.99，而7.0722＝50.013，故7.0717.072，……如此继续进行下去，可以发现将小数点后的小数位继续增加下去，一直不能穷尽，都只能使7.07……的平方值无•只能化为无限不循环小数，这样我们就可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢？但不同的计算器的按键顺序不相同，只要按计算器的使用方法去按键，就可求出任意正数的算术平方根了．例1 用计算器求下列各数的算术平方根．（1）529 （2）1225 （3）44.81师：选用的计算器不同，按键的顺序也不相同，例如求100的算术平方根，有的计算器因此，应该仔细阅读计算器说明书，按照要求操作.的值在计算器上显示1.414213562，可以看出计算器上显示的数都是位数有限的，需要我们根据题目要求取近似值.因此通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值，运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.学生分组探究，教师指导学生自主完成.2、自主探究，体验数学问题：（1）求下列各数的算术平方根．0.000001，0.0001，0.01，1，100，10000，1000000（2）利用计算器计算下列各式的值：你能找到其中的规律吗？把你的发现用自己的语言叙述出来.（3≈1.732），的值吗？解：（1）∵0.0012＝0.000001 ＝0.001＝0.01，＝0.1，＝1，10，100，1000 分析：从中发现被开方数在逐渐扩大，并且每次扩大100倍，•其算术平方根也在逐渐扩大，但只扩大10倍，于是猜测两个正数之间如果满足b＝100a＝，（或者：•被开方数每扩大100倍时，其算术平方根相应地扩大10倍）（2）0.250.79057 7.905725 ，≈79.057 0…比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根，同样可验证在题（1）中的规律，而10倍，它们的算术平方根之间没有规律可循.•≈1.732≈0.1732，17.32，≈173.2，但不能.四、课堂练习：课本第4页练习题第2小题.五、归纳小结：通过本节课的学习可知，并不是所有的正数的算术平方根都是有理数，这时我们既可以的值接近的有理数替代．板书展示课堂作业1、课本第7页习题12.1第4题.2、求下列各式的值，并根据这些值写出各被开方数的平方根．（1）（2（33、某矩形的面积为13200平方米，若其长是宽的3倍，试求出此矩形的长与宽分别是多少米？4、对于正数x 和y ，有下列命题：①若x ＋y ＝21；②x ＋y ＝332；③若x ＋y ＝6 3.根据以上三个命题所提供的规律猜想：（1）若x ＋y ＝9_______．（2）若对于任意正数a 、b _____．答案：2、解：（1）因为1.22＝1.44， 1.2，1.44的平方根为±1.2，＝±1.2．（2）因为92＝819，81的平方根为±99．（3）因为（3100）2＝91003100，它正是9100的平方根． 3、解：设宽为x 米，则长为3x 米，其面积为3x 2平方米.故3x 2＝13200 ，x 2＝4400 ，解得x 66.33但x 为矩形的边长应大于0，故x ＝66.33米，3x ＝198.99米，即此矩形的长为198.99米，宽为66.33米．4、解：（1）当x ＋y ＝332，从中发现分母为2，分子为x 、y 的和，再验证其它的等式：x ＋y ＝222＝1．当x ＋y ＝6时， 62＝3．与已知相吻合，故有结论m>0，n>0，且m ＋n ＝a 时，•2a 2m n +∴x ＋y ＝992，（22a b + 教学反思本课时设计拟通过学生的探究、发现、释疑、解疑完成教学任务，充分体现“做数学”念；学生用动手观察、分析、合作、交流等手段“做数学”，获得“做数学”的体验，并通过分析、归纳、抽象，帮助学生逐渐形成自己的数学知识.。

华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》（第3课时）教学设计一. 教材分析《平方根和立方根》是华师大版数学八年级上册第11.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数、实数等知识的基础上，进一步引导学生学习平方根和立方根的概念，理解平方根和立方根的性质，以及掌握求平方根和立方根的方法。

教材通过例题和练习，使学生能够熟练运用平方根和立方根解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的实数知识，对于新知识的学习有一定的接受能力。

但学生在学习过程中，可能对平方根和立方根的概念和性质理解不够深入，需要在教学中加以引导和巩固。

此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高，需要通过实例讲解和练习，使学生能够将理论知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方根和立方根的概念，理解平方根和立方根的性质，能够熟练运用平方根和立方根解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生运用平方根和立方根解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习平方根和立方根的兴趣，培养学生的耐心和毅力，提高学生解决问题的自信心。

四. 教学重难点1.重点：平方根和立方根的概念，平方根和立方根的性质。

2.难点：平方根和立方根在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例导入，激发学生的学习兴趣，使学生能够直观地理解平方根和立方根的概念。

2.启发式教学法：在讲解过程中，引导学生思考，激发学生的思维能力，帮助学生理解平方根和立方根的性质。

3.练习法：通过布置课堂练习和课后作业，使学生巩固所学知识，提高实际问题解决能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括平方根和立方根的概念、性质、实例讲解和练习题。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，如计算墙壁的高度、计算物体的体积等，引导学生思考如何利用平方根和立方根解决这些问题。

11.1.2立方根【学习目标】1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根；2．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．【学习重难点】1.立方根的概念和求法。

2.立方根与平方根的区别【学习过程】一、课前准备1、什么是平方根？什么是开平方？二者之间有怎样的关系？2、正数有几个平方根？零有几个平方根？负数呢？二、学习新知自主学习：任务一：了解立方根的概念阅读课本第49——50页，解决下列问题．（自主完成后小组交流）1．什么叫做a的立方根？用式子如何描述a的立方根？2．什么叫开立方？它与立方有何关系？任务二：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为328=，所以8的立方根是（ ）；因为（ ）3=0.125，所以0.125的立方根是（ ）；因为（ ）3=0，所以0的立方根是（ ）；因为（ ）3=－8，所以－8的立方根是（ ）；因为（ ）3=－278，所以－278的立方根是（ ）． 思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______．（2）你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？实例分析：例1、求下列各数的立方根： (1)278 (2)-125 (3)-0.008例2、用计算器求下列各数的立方根：(1)1331； (2)9.263(精确到0.01)【随堂练习】1．-81的立方根是 ，125的立方根是 。

2的立方根是 .3．3112561-=_____. 4．-3是 的平方根，-3是 的立方根.55=______=【中考连线】10.若81-x +x -81有意义，则3x 的值是( ) A.0 B.21 C. 81 D. 161【参考答案】随堂练习 1. -21,5解析：本题直接根据立方根的概念求解.2.2 8的立方根,即2.3.54-54125643-=-.4.9,-27解析：逆用平方根,立方根的概念求解.5.0.05 解析：开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.中考连线B。

华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》（第3课时）说课稿一. 教材分析本次说课的内容是华师大版数学八年级上册第11.1节《平方根和立方根》的第三课时。

这部分内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方根和立方根的定义以及性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是平方根和立方根的运算以及它们在实际问题中的应用。

教材通过例题和练习题的形式，使学生能够进一步理解和掌握平方根和立方根的运算方法，提高解决问题的能力。

二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习本节课的内容时，已经具备了以下基础：一是掌握了有理数的乘方，能够理解平方根和立方根的定义；二是具备一定的数学运算能力，能够进行简单的数学计算。

然而，学生在学习过程中，对于平方根和立方根的运算规则，可能还存在一定的困惑，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 说教学目标根据教材内容和学生的实际情况，我设定了以下教学目标：一是让学生理解和掌握平方根和立方根的运算方法；二是培养学生运用平方根和立方根解决实际问题的能力；三是通过教学，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。

四. 说教学重难点本节课的教学重难点是平方根和立方根的运算方法以及它们在实际问题中的应用。

学生在学习过程中，可能会对平方根和立方根的运算规则产生困惑，需要通过教师的引导和讲解，帮助学生理解和掌握。

五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我采用了以下教学方法与手段：一是采用讲练结合的方式，通过例题和练习题，使学生理解和掌握平方根和立方根的运算方法；二是运用多媒体教学手段，通过动画和图片，直观地展示平方根和立方根的运算过程，提高学生的学习兴趣；三是学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 说教学过程本节课的教学过程分为以下几个环节：一是导入新课，通过复习有理数的乘方，引出平方根和立方根的概念；二是讲解平方根和立方根的运算方法，通过例题和练习题，使学生理解和掌握；三是应用练习，让学生运用平方根和立方根解决实际问题；四是课堂小结，总结本节课的学习内容；五是布置作业，巩固所学知识。

数学：12.1《平方根与立方根（3）》学案（华师大版八年级上） 年级：八年级上期 科目：数学 执笔：张杰 审核：张书亚、乔永存课题：12.1.2立方根（1） 课型：新授 时间：2011、8学习目标：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

2、能用立方运算求某些数的立方根，在此基础上，理解立方根的性质。

重点：立方根的概念及性质。

难点：能用分类讨论的方法总结立方根的性质。

学法指导：读议展练相结合。

学习过程：一、自主学习：自探（一）：1、请你试一试：（1）现有一只体积为2163cm 的正方体纸盒，它的棱长是多少？（2）如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？2、针对上述两个问题，若把所求的结果设为x,把已知数216、8抽象为a,请你运用方程的思想概括这两个问题： ，请你参阅课本把所求的数x 起一个名字： 。

3、由此你理解立方根的概念吗？请写出这个概念：。

自探（二）：1、填空：①∵( )3=1, ∴1的立方根是 。

②∵( )3=64， ∴ 64的立方根是 。

③∵( )3=8125 ，∴ 8125的立方根是 。

2、思考：-2是8的立方根吗？-0.1是0.001的立方根吗？3、由此你能总结出检验或寻找一个数的立方根的办法吗？答： 。

自探（三）： 1、求下列各数的立方根：27，0，5121（写出解答过程）2、思考：下列各数：-8，-27，-0.001有没有立方根？若有，请分别求出; 若没有，请说明理由。

3、由此你能总结出立方根的性质吗？（按先分类再总述的方式回答） 。

自探（四）：请同学们参阅课本回答下列问题：1、数a 的立方根如何记作？如何读作？a ，3分别叫做什么？，a 的取值范围是什么？答：。

试一试：216的立方根记作 ；-8的立方根是-2记作 。

2、3a 是 。

A.正数 B.零 C.负数 D.任意数二、合作交流：1、下列说法：（1）8有立方根，是2，但没有平方根；（2）-16没有平方根，但有立方根；（3）一个数只有一个立方根；（4）-64的立方根是-4，记作4643-=-.其中不正确的有 个。

平方根与立方根学习目标、重点、难点【学习目标】1、 平方根的定义、表示方法、性质；2、 算术平方根的定义和表示方法；3、 立方根的定义、表示方法、性质；【重点难点】1、平方根的定义、表示方法、性质；2、算术平方根的定义和表示方法；3、立方根的定义、表示方法、性质知识概览图a ，那么这个数叫做a 的平方根a a ≥0)性质：(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0有一个平方根，是它本身；(3)负数没有平方根定义：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根表示方法：a a ＞0) 定义:如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根立方根 3a 性质：(1)正数有一个正的立方根；(2)负数有一个负的立方根；(3)0的立 方根是0新课导引右图所示的是一个正方形菜地，其面积为81m 2，你能说出这个正方形的边长吗？【问题探究】 要想求正方形的边长，需要知道正方形的面积公式，即边长2＝正方形的面积，那么平方得81的数是多少呢？又如何求正方形的边长呢？【解析】因为（±9）2＝81，所以平方得81的数有两个，分别是9和－9，结合实际问题，该正方形的边长为9m.教材精华知识点1 平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根或二次方根.由x 2＝a 可知a 为正数或零，即a 只能为非负数.拓展 理解平方根的定义要注意以下两点：平方根 平方根与立方根 算术平方根（1）x2＝a中，x叫做a的平方根，而a叫做x的平方.（2）可以说x是a的平方根，但是不能说a的平方根是x，正确的说法为a的平方根是±x.知识点2 平方根的表示方法一个正数a a的正的平方根，a的负的平方根，因此正数a2省略不写.例如：0.25的平方根为±0.50.5.拓展对于平方根的表示方法要注意：正数a a0.知识点3平方根的性质我们知道02＝0，所以0的平方根是0，而非零的并且互为相反数的两个数的平方相等.例如：234⎛⎫⎪⎝⎭＝916，239416⎛⎫-=⎪⎝⎭.所以一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.由于没有一个数的平方等于负数，所以负数没有平方根.如－9没有平方根.由此得到以下结论：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根.拓展理解平方根的性质应注意以下三点：（1）平方后得正数的数有两个，它们互为相反数，因此一个正数有两个平方根.（2）平方后得0的数只有0，因此0有一个平方根是0.（3）平方后得负数的数不存在，因此负数没有平方根.知识点4算术平方根正数a的正的平方根，叫做a a”.0的算术平方根为0.由于一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，因此只要求出算术平方根，另一个平方根自然就得到了.1）a≥0；（20；（32＝a.例如：16的算术平方根为4 4.拓展理解算术平方根应注意以下两点：（1）正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. （2）算术平方根具有双重非负性，即只有非负数才有算术平方根，而且其值也为非负数.知识点5开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.例如：求100的平方根，就是将100进行＝±10，表示100的平方根是＋10和－10.开平方是一种运算，而平方根是开平方运算的结果，开平方运算与平方运算是互逆的.例如：（±7）2＝49中，±7叫做底数，2叫做指数，49叫做幂.而49＝±7中，492省略不写，±7叫做49的平方根，而＋7叫做49的算术平方根，－7是49的算术平方根的相反数.拓展我们以前学过有理数的加、减、乘、除、乘方运算，它们的计算结果是唯一的，而开平方运算的结果不一定唯一．一个正数开平方的结果有两个，它们互为相反数；0开平方的结果唯一，是0；负数不能开平方．知识点6 平方根与算术平方根的区别与联系区别．(1)定义不同；(2)个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；(3)表示方法不同：正数a a的算术平方(4)取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负．联系．(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；(3)0的平方根与算术平方根都是0．拓展对平方根与算术平方根的区别与联系的理解要注意平方根的符号的三种形式的意义及关系：(1)a的平方根．(2) a的算术平方根或非负数a的正的平方根．(3)－a的算术平方根的相反数或非负数a的负的平方根，特别注意的是知识点7 30以内部分正整数的平方112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，202＝400，212＝441，222＝484，232＝529，242＝576，252＝625，262＝676，272＝729，282＝784，292＝841．知识点8用计算器直接求一个非负数的算术平方根用计算器求一个非负数的算术平方根，要先熟悉计算器的常用键，如(清除)键，要关机按?例如：求169的算术13，所以169的算术平方根为13，＝13．又如：显示1．414213562，可按要求取近似值．知识点9算术平方根的两个重要性质|a|，即当a≥0a；当a＜0a．2＝a(a≥0)．拓展理解算术平方根的这两个性质要注意：(1) a．(2)a的一个平方根，所以有2＝a．知识点10立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根．例如：∵33＝27，∴27的立方根为3．∵(－5)3＝－125，∴－125的立方根为－5．如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根或三次方根．拓展理解立方根的概念应注意x3＝a中x与a的关系，即a是x的立方，x是a的立方根．a”，其中a是被开方数，3是根指数．例27的三次方根，结果为3．拓展理解立方根的表示方法应注意；在数a的三次方根的表示方法中，根指数3容易丢掉．如果32727的算术平方根．知识点12立方根的性质由立方根的定义可以得到立方根的性质：(1)正数有一个正的立方根；(2)负数有一个负的立方根；(3)0的立方根是0．拓展理解立方根的性质应注意以下两点：(1)立方根的性质与平方根的性质不同，负数有立方根，但没有平方根．如－64的立方根为－4，但－64没有平方根．(2)求带分数的立方根时，要将带分数先化成假分数；求负数的立方根时，不要丢掉负号．知识点13开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．由性质可知开立方的结果是唯一的，这与开平方是不同的．例如：－827的立方根是－23，而－827没有平方根；64的立方根为4，64的平方根为±8；0的立方根是0，平方根也是0．开立方与开平方一样，也是一种运算．拓展对于开立方的理解应该注意：开立方即求一个数的立方根的运算，就如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．知识点14平方根与立方根的区别与联系区别．(1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如：－8没有平方根，但有立方根－2；(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如：2联系．(1)都与相应的乘方运算互为逆运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根(3)0的平方根和立方根都是0.拓展一个非负数的偶次方根与平方根是类似的，一个数的奇次方根与立方根是类似的．知识点1510以内正整数的立方13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729．拓展因为立方与开立方互为逆运算，所以牢记它们对开立方、化简非常重要，尤其是求较大数的立方根时，会给计算带来极大方便．知识点16用计算器求一个数的立方根用计算器求一个数的立方根，只需直接按一定顺序按键．例如，求1331的立方根，在1111．求一个负数的立方根，例如：求－729的立方根，可采取两种方法．方法1，在计算器99．方法2，先求729为99．如果求0．385040．727503828，可按要求取近似值．如果0．7275．如果用计算器计算其结果要求精确到0．01，2．100151161 2.10．以上操作方法采用的是由上海中小学教材改革委员会办公室推荐的计算器，如果用其他的计算器，可按其说明操作．知识点17立方根的两个重要性质(1) 3．(2)( 3a，如3＝8．拓展立方根的性质与平方根的性质相比较，正数有两个平方根，它们互为相反数，而正数只有一个立方根，负数没有平方根，而负数有一个负的立方根，0的立方根与平方根相同，都是0．|规律方法小结|在学习平方根与立方根时，应相应地把结论进行联系、比较，并分析结论不同的原因．两者的联系：都与相应的乘方互为逆运算．两者的区别：在用符号表示平方根时，根指数2可省略；表示立方根时，根指数3不能省略．平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有．探究交流1、16的平方根是，的平方根是.解析由平方根的定义及性质可知一个正数有两个平方根，它们互为相反数，所以16的平方根是±48199 3.2、(1)平方根等于本身的数是；(2)算术平方根等于本身的数是．解析(1)正数的平方根是互为相反数的两个数，负数没有平方根，只有0的平方根是0．(2)由算术平方根的定义可知算术平方根是正的平方根，所以只有0和1符合条件．课堂检测基本概念题1、求下列各数的算术平方根.（1）144；（2）－（－3.61）；（3）（－7）2；（4）8＋（－16）2.2、求下列各数的立方根.（1）343；（2）－0.729；（3）－21027；（4）±125；（5）－x3.基础知识应用题3、化简|3－π|＝.4、（110.2，则x＝；（2 2.431=，＝.综合应用题5、(1)当x有意义?(2)已知：|x－1|＋(y＋3)20，求x，y，z的值．探索创新题6、已知△ABC的三边分别是a，b，c，b2－4b＋4＝0，求c的取值范围. 体验中考1( )A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和52、4的算术平方根是．3(y＋3)2＝0，则x－y的值为( )A．1 B．－1 C. 7 D．－7学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查算术平方根的定义，正数的平方根有两个，它们互为相反数，而正的为算术平方根，因此本题只要求出正数的正的平方根即可.解：（1）∵122＝144，∴144的算术平方根为12＝12.（2）∵―（―3.61）＝3.61，而1.92＝3.61，∴―（―3.61）的算术平方根为1.9＝1.9. （3）∵（－7）2＝49，而72＝49，∴（－7）2的算术平方根为77.（4）∵8＋（－16）2＝8136＝28936，而（176）2＝28936，∴8＋（－16）2的算术平方根为176176.【解题策略】（3）题易出现（－7）2的算术平方根为－7的错误；（4）题要先计算，再化成假分数，最后求算术平方根.＝12＝±12的错误.2、分析本题考查立方根的定义，求一个数的立方根与一个非负数的平方根的方法是相同的，也就是用立方运算求一个数的立方根.同时要注意立方根与平方根的性质不同，负数的立方根为负数，而负数没有平方根.解：（1）∵73＝343，∴343的立方根为77.（2）∵－0.93＝－0.729，∴―0.729的立方根为―0.90.9.（3）∵－21027＝－6427，又（－43）3＝－6427，∴－21027的立方根为－4343.（4）∵53＝125，∴125的立方根为5 5.∵（－5）3＝－125，∴－125的立方根为－5 5.（5）∵－x3＝（－x）3，∴－x3的立方根为－x x.【解题策略】解此类型题的关键是熟记10以内数的立方.|规律·方法| 要熟练地计算一个数的立方根，最好熟记1~10的数的立方.求一个负数43-，用字=3、分析化简该式的关键在于去掉绝对值符号及根号.因为3－π＜0，所以|3－π|＝π－3|π－4|＝4－π.所以|3－π|π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.故填1.【解题策略】π－4，即应注意π－4的符号，因为π－4＜0|π－4|＝4－π.4、分析 （1）比较算术平方根的值：若已知算术平方根的小数点向左移动一位，则被开方数的小数点向相同方向移动两位.（2）比较被开方数的值：若已知被开方数的小数点向左移动三位，则立方根的小数点向左移动一位.答案：（1）104.04 （2）0.24315、分析 (1)题中，①表示x ＋1的算术平方根．根据平方根的性质，只有非负数才有x ＋1≥0．②在①的基础上还要满足x ≥01≠0．(2)题中，由于绝对值、完全平方数、算术平方根都是非负数，而几个非负数的和为0，则每一个加数都是0，由此得到关于x ，y ，z 的三元一次方程组，从而求出x ，y ，z 的值.解：(1)①由平方根的定义可得x ＋1≥0，∴x ≥－l ，∴当x ≥－1②由①，得x ≥－1，又由x ≥01≠0，得x ≥0，且x ≠1，∴当x ≥0，且x ≠1有意义．(2)∵|x －1|≥0，(y ＋3)2≥00，又|x －1|＋(y ＋3)20，∴x －1＝0，y ＋3＝0，x ＋y ＋z ＝0， x －1＝0， x ＝1，即 y ＋3＝0， 解得 y ＝－3，x ＋y ＋z ＝0， z ＝2.【解题策略】 2220,||||0,||||0a b a b b b a =+=+==+=”的等式，都有a ＝b ＝0．|规律·方法| 算术平方根中被开方数大于等于0这一性质不可忽略，在解题中经常用到这一性质．6、分析 可先把b 2－4b ＋4变形为（b －2）2，利用算术平方根、完全平方数都具有非负性，从而求出a ，b 的值，再确定c 的取值范围.考查的知识点是算术平方根的性质、完全平方数的非负性、三角形的三边关系.221440,2)0.a b b b -+-+=-=解： (0，(b －2)2≥0，0，(b －2)2＝0，∴a ＝1，b ＝2.由三角形的三边关系可知1＜c ＜3.【解题策略】 此题是含有两个未知数的等式，所以应考查平方数和算术平方根的非负性，而b 2－4b ＋4恰好为（b －2）2y 2＝0”的形式解决问题.|规律·方法| 本题是利用算术平方根中、完全平方数、绝对值的非负性求值的类型题，200||||00||0+=+===22，( )( )， ( ) …… 体验中考1、分析 由32＝9，42＝16＝34，而9＜10＜1634．故选C ．2、分析 由于22＝4，故4的算术平方根为2＝2．故填2．【解题策略】 正数的平方根有两个，其中正的平方根为其算术平方根．|规律·方法| 0的算术平方根为0，不要忽略．3、分析 0，(y ＋3)2≥0，(y ＋3)2＝00，(y ＋3)2＝0，即x ＋y －1＝0，y ＋3＝0，从而得到x ＝4，y ＝－3，则x —y ＝4－(－3)=4＋3＝7．故选C.【解题策略】 a ≥00．|规律·方法| 几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0．。