南海中学2004-2005学年度高三2月统测数学试题
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南海中学2004-2005学年度高三2月统测试题数 学 （2005.2.20）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
本卷考试时间为120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项：1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1、已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （ ） （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .2、下面四个图形中，与函数y = 2+1og 2x （1x ≥）的图象关于直线y = x 对称的是（ ）3、已知()22 1.f z i z z i -=+--则3()f i =（ ）A ．21i - B.21i -- C.1i - D.1i --参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A •B )=P (A )•P (B )如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径4、系统抽样又称为等距抽样．从N 个个体中抽取n 个个体为样本，先将总体中的N 个个体编号1，2，3，…，N ，再确定抽样间隔，即抽样距][n N k =（][n N 表示nN的整数部分）．从第一段1，2，…，k 个号码中随机抽取一个入样号码0i ，则0i ，k i +0，…，k n i )1(0-+号码均入样构成样本．依此抽样，则每个个体的入样概率（ ）． A ．相等 B ．不相等 C ．与0i 有关 D ．与编号有关5、已知函数()f x 在定义域R 内是增函数，且()0f x <，则()()2g x x f x =的单调情况一定是（ ）A ．在(),0-∞上递增B ．在(),0-∞上递减C ．在R 上递减D ．在R 上递增6、已知命题P ：函数y=log a （ax+2a ）（a ＞0且1a ≠）的图象必过定点（– 1，1）；命题q ：如果函数y = f (x – 3)的图象关于原点对称，那么函数y = f (x ) 的图象关于（3，0）点对称．则（ C ）A.“p 且q ”为真B.“p 或q ”为假C. p 真q 假D.p 假q 真7、若(,)2παπ∈ ，则不等式2sin log (1)2x α->的解集是（ ）{}{}{}{}()cos cos ()cos ,cos ()1cos ,cos 1()1cos ,cos 1A x x B x x x C x x x D x x x αααααααα-<<<->-<<-<<-<<<<或或或-8、设函数10()0010x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值应为（ ） （A ）a （B ）b （C ） ,a b 中较小者 （D ）,a b 中较大者9、ABC 内有任意三点不共线的2002个点，加上,,A B C 三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） A ．4000 B.4002 C. 4005 D. 400710、新区新建有5个住宅小区（A 、B 、C 、D 、E ），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：A. 13B. 14C. 15D. 17第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11、设函数f (x )在x ＝1处连续，且1()lim1x f x x →-＝2，则f (1)=____________； 12、若1(,,)ni m m n i m a a a a m n m n Z +==+++≤∈∑ ，且1p q +=则0ni i n in i iC p q -==∑___________；13___________.14、,,P Q R 为正方体表面上三点，PQR ∆在正方体三个两两垂直的面上的射影如下图：则关于过,,P Q R 三点的截面的论断①是三角形；②是四边形；③是五边形；④是六边形.其中正确的论断有___________________（写出你认为正确的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、已知21,:(2)10,:(1)(2) 1.a P a x Q x a x >-+>->-+试寻求使得,P Q 都成立的x 的集合.(12分)16、已知,i j分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量,1211,10,3(2,3,)n n n n OA j OA j A A A A n -+====且,在射线(0)y x x =≥上从下到上依次有点(1,2,)i B i =，1133||2,3,)n n OB i j B B n -=+==且（Ⅰ）求45A A；（4分） （Ⅱ）求,n n OA OB ；（8分）17、某校高三年级与高二年级进行篮球比赛，采用7场4胜制，若高三年级获胜概率为23，高二年级获胜的概率为13，若用随机变量ξ表示高三年级队的比赛场次.（1）求高三年级以4：1获胜的概率；(5分)（2）试求ξ的分布列及E ξ.（9分）18、如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝900，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ；(4分)（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的大小；（5分） （Ⅲ）求点F 到平面ABD 的距离.（5分） 19．（1）试证明：当0x >时，ln(1)1xx x<++；（4分） （2）试求函数ln(1)()x f x x+=的单调递减区间；（5分） （3）若0m n <<，试证(1)(1)n m m n +>+（5分） 20、已知数列}{n x 满足：141++=+n n n x x x ，11=x . （1）问是否存在*N m ∈，使2=m x ，并证明你的结论；（4分）（2）试比较n x 与2的大小关系；（5分）（3）设|2|-=n n x a ，求证：当2≥n 时，∑=--≤ni n n a 1122.(5分)南海中学2004-2005学年度高三考试试题数 学 答题卡（2005.02.20）二、填空题：每小题5分，共20分11、_______________________ 12、_________________________13、_______________________ 14、_________________________ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、【解】16、【解】17、【解】18、【解】19、【解】20、【解】南海中学2004-2005学年度高三2月统测试题数 学参考解答及评分标准 （2005.2.20）一、答案提示1、D. ,l n 可以平行，相交（垂直），异面2、B 原函数过点(1,2)且单调递增，则关于y x =对称的图像过点(2,1)也单调递增，符合条件的图像为B.3、B ．令3,z i i i -==-则0,0.z z ==故3()2 1.f i i =--4、A. 抽样要保证每个个体被等可能地抽到.5、A ．()()'2'2()g x xf x x f x =+，因为'()0,()0f x f x ><，则当(),0x ∈-∞时，()'0g x >.6、C. 对于命题q ，函数y = f (x –3)的图象关于原点对称，则有(3)(3),f x f x --=--()(6)(2(3))f x f x f x =---=-⨯--，从而函数y = f (x ) 的图象关于(3,0)-点对称．7、D. (,)2παπ∈，0sin 1,cos 0αα∴<<<，则s i n lo g y x α=为减函数，所以2201sin x α<-<，解之得1cos ,cos 1x x αα-<<<<或-.8、D. 当a b >时，值为a ；当a b <时，值为.b9、C. 三角形内部每增加一个点，可比原来多出2个三角形，则由分析可知12n n a a +=+，其中n a 表示三角形内部有n 个点时形成互不重叠的小三角形的个数.且13a =，从而20023(20021)24005a =+-⨯=.10、B. :5,:2,:3,:4A B B E B C E D ↔↔↔↔，所以最短的管线总长为523414+++=.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分20分．11、0 由条件可知()(1)(),(1)2f x x g x g =-=，则(1)0f =； 12、np11(1)(1)1101()nnii n ii i n i n nn i i iCp qnp C p qnp p q np --------====+=∑∑13、3π r =所以243S r ππ==14、④ 记正方体111A B C D A B C D -的棱11111,,,,,A B B C C C C D D A A A 的中点为,,,,,E P F Q G R ，则它们是一个六边形的六个顶点，PQR 在三个两两垂直的面上的射影恰如题设所示.其它图形皆不符.三、解答题：本大题共6小题，15-16题每题12分，17-20每题14分15、本小题主要考查简易逻辑的基本概念和含参不等的运算能力和逻辑推理能力.满分12分.解：由题意，要使,P Q 都成立，须且只需不等式组2(2)10(1)(2)1a x x a x -+>⎧⎨->-+⎩成立. 不等式组等价于12()(2)0x ax a x ⎧>-⎪⎨⎪-->⎩ …2分 ①当12a <<时，则有122x a x x a ⎧>-⎪⎨⎪><⎩或，而111(2)20,2a a a a a a --=+->∴>-，所以122x x a a>-<<或 …6分②当2a =时，322x x >≠且 …8分③当2a >时，则有122x a x x a ⎧>-⎪⎨⎪<>⎩或，所以122x a x a >-<<或 …10分综上，①当12a <<时，使,P Q 都成立的x 的集合是122x x x a a ⎧⎫>-<<⎨⎬⎩⎭或；②当2a =时，使,P Q 都成立的x 的集合是322x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且；③当2a >时，使,P Q 都成立的x 的集合是122x x a x a ⎧⎫>-<<⎨⎬⎩⎭或； …12分16、、本小题主要考查向量的基本概念和等差等比数列的基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力.满分12分.解：（Ⅰ）1111133n n n n n n n n A A A A A A A A -++-=⇒=23453423122111111()()().333273A A A A A A A A OA OA j ====-=…4分 （II ）由（1）知1121311,33n n n n A A A A j +--==1121121n n n n n OA OA A A A A j A A A A --=++=+++143119[1()]29()13393.13213n n n j j j j j j j -----=++++=+=- …8分11||,n n n n B B B B --= 均在射线(0)y x x =≥上，122n n B B i j -∴=+ 11223133(1)(22)(21)(21).n n n OB OB B B B B B B i j n i j n i n j -∴=++++=++-+=+++…12分17、本小题主要考查概率统计的基本概念和基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力.满分14分.解：（1）高三年级以4：1获胜的概率，则意味着第五场高三必胜，在前四场中有三场获胜，故获胜的概率33421264()333243P C == …5分（2）ξ的可能取值为4,5,6,7. …6分所以4ξ=表示高三年级队连胜四场或连负四场则4444442117(4)()();3381P C C ξ==+= 从而，相应地有333344332332553333336621212172(5)()();333333243212121200(6)()()()();333333729212121160(7)()()()();333333729P C C P C C P C C ξξξ==+===+===+=所以ξ的分布列为：分177220016040124567 5.581243729729729E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …14分注：以上各概率表达式含义须明确，否则每一个扣1分.若只写出分布列则扣4分. 18、本小题主要考查空间线面关系和空间角的概念，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.满分14分.（Ⅰ）解：取AB 的中点G ，连CG ，FG ，则FG ∥BE ，且FG ＝12BE ，∴ FG ∥CD 且FG ＝CD ， …3分 ∴ 四边形FGCD 是平行四边形，∴ DF ∥CG ， 又∵ CG ⊂平面ABC ，∴ DF ∥平面ABC .…6分（Ⅱ）解法一：设A 到平面BDF 的距离为h ，由 A BDF D ABF V V --=得 ABF BDFS CBh S ∆∆⋅=． …8分在△BDF 中，BF ＝BD ＝DF BDF S ∆＝23，又12ABF ABE S S ∆∆=＝1，且CB ＝2．∴ 43h =． …12分又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则423sin 23h AB θ===，故AB 与平面BDF 所成的角为2arcsin 3. …14分解法二：以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为 x 、y 、z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B （0，0，0）， A （2，0，0），C （0，2，0），D （0，2，1），E （0，0，2），F （1，0，1）.∴ BD ＝（0，2，1），DF＝（1，－2，0） …8分设平面BDF 的一个法向量为n＝（2，a ，b ），∵ n ⊥DF ，n ⊥BD ，∴ 00n DF n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， …10分 即(2,,)(1,2,0)0(2,,)(0,2,1)0a b a b ⋅-=⎧⎨⋅=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴ (2,1,2)n =- …12分 又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法线n 与BA 所成的角为2πθ-，∴ cos()2πθ-＝||||BA nBA n ⋅⋅＝(2,0,0)(2,1,2)2233⋅-=⋅， 即 2sin 3θ=，故AB 与平面BDF 所成的角为2arcsin 3. …14分19、本小题主要考查导数的基础知识及综合运用导数证明不等式的能力，考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.（1）证明：构造函数()ln(1)1x x x x ϕ=-++，则()'2()1x x x ϕ-=+ …2分 在(0,)+∞上，'()0x ϕ<，函数单调递减.所以()(0)0x ϕϕ<=，即ln(1)1xx x<++ …4分 （2）解：已知函数定义域为(1,0)(0,)-+∞ ，由2'l n (1)1()xx x f x x-++=， …5分由（1）可知()ln(1)1x x x x ϕ=-++，且()'2()1x x x ϕ-=+，从而当(1,0)x ∈-时，'()0x ϕ>函数单调递增，且在(0,)+∞上，'()0x ϕ<，函数单调递减， …7分 故函数()x ϕ在0x =处取得最大值，从而()(0)0x ϕϕ<=，也即在(1,)-+∞上，()0x ϕ<，从而'()0f x <，故函数()f x 的单调递减区间是(1,0),(0,)-+∞. …9分（3）将(1)(1)n m m n +>+变形为ln(1)ln(1)m n m n ++>，构造函数ln(1)()x f x x+=， …12分 由（2）可知函数在(0,)+∞上单调递减.又0,m n <<所以()()f m f n >， 即ln(1)ln(1)m n m n++>，从而(1)(1)n m m n +>+. …14分 20、本小题主要考查综合运用数列与不等式的知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.解：（1）假设存在*N m ∈，使2=m x ，则2142111=⇒++=---m m m x x x ，同理可得22=-m x ，以此类推有21=x ，这与11=x 矛盾。
