广东省广东实验中学南海学校2018-2019学年高二下学期期中数学(理)试题

高二数学期中考试试题2018-2019（下）(理)一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 2．若要证明“a ＞b ”，用反证法证明时应假设( ) A.a ＞b B.a ＜b C.a ≤b D.a ＝b 3.若复数，则在复平面内对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4. 下列求导数运算正确的是A.（x +x 1)′=1+21xB. (log 2x )′=2ln 1xC. (3x)′=3xlog 3e D. (x 2cos x )′= －2x sin x 5.下列结论中正确的是( )A 导数为零的点一定是极值点B 如果在x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D 如果在x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值6. 在用数学归纳法证明不等式)2(2413212111≥≥+++++n n n n 的过 程中,当由k n =推到1+=k n 时,不等式左边应( )A.增加了)1(21+k B.增加了221121+++k k C.增加了221121+++k k ,但减少了11+k D. 以上都不对 7．2212-=x y 在点)23,1(-处的切线倾斜角为（ ）Ａ．4πＢ．1 Ｃ．45π Ｄ．4π-8．=∆-∆+→∆xf x f x 3)1()1(lim 0（ ） Ａ．)1(f ' Ｂ．)1(3f ' Ｃ．)1(31f ' Ｄ．)3(f '9. 函数y=2x 3－3x 2－12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A ．5 , －15 B ．5 , 4 C ．－4 , －15 D ．5 , －16 10. 曲线y ＝cosx(0≤x ≤)与两坐标轴所围成的图形的面积为 ( )A B 4 C 2 D 311．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）12．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2eＤ．22eABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 曲线322+=x y 在点1-=x 处的切线方程为_________14、设1Z = i 4 + i 5+ i 6+…+ i 12 ,2Z = i 4 · i 5·i 6·…· i 12，则Z 1 = 2Z = 15由曲线与直线及，所围成的平面图形的面积16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5(2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 . 三、解答题 17.计算（12分） (1)求导数1）xxe y = ；2）x x y ln ⋅= 3）xxy cos 1-= 4)5)13(-=x y(2)求定积分dx x ⎰π20sin(3)计算复数2(12)34i i +-18．（10分）已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---19.（12分）用数学归纳法证明：-1+3-5+…+(-1)n (2n-1)=(-1)n n20.(12分)已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点0 2p y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13.（1）曲线在P 点处的切线方程；（2）求函数()f x 的极大值和极小值21.（12分） 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x=+（元）。

高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．复数43i1+2i+的实部是（ ）A. 2-B. 2C. 3D. 4 2．函数，已知在时取得极值，则= （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=没有实数根”时，要做的假设是A. 方程20x ax b ++=至多有一个实根B. 方程20x ax b ++=至少有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 4．函数()f x =的定义域为A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C.()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D. ][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A. 1433AD AB AC =-+B. 1433AD AB AC =-C. 4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =- 6．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数（ ）A. -56B. 56C. -336D. 3367．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点()2,4P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A.163 B. 83 C. 43 D. 238．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为( )A. B. C. D.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>则C 的渐近线方程为（ ）A. 14y x =±B. 13y x =±C. 12y x =± D. y x =±10．观察下列各式：2233441,3,4,7a b a b a b a b +=+=+=+=， 5511,a b +=，则1010a b +=11．已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.12．()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-<时， a 的取值范围是 （ ）A. ()0,4B. 50,2⎛⎫⎪⎝⎭C.15,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题 13．如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =________.14．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为_________. 15．已知正弦函数sin y x =具有如下性质: 若()12,,...0,n x x x π∈,则1212sin sin ...sin ...sin n n x x x x x x n n ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(其中当12...n x x x ===时等号成立).根据上述结论可知,在ABC ∆中,16．下列几个命题：①方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；②1y x =+和y =表示相同函数;③ 函数()f x =是非奇非偶函数;④方程1x a a -=有两解，则01a << 其中正确的有___________________.三、解答题17．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,22x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =， 22b =， q d =， 10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， 135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ， 90BAP ∠=， 2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．21．已知椭圆∑： 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，且经过点(P ．（Ⅰ）求椭圆∑的方程；（Ⅱ）A 、B 是椭圆∑上两点，线段AB 的垂直平分线l 经过()0,1M ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．22．已知函数()2ln ,f x x ax x a R =++∈.(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在点(1， ()1f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB AN λλ=≤≤求证().f u k '<高二下学期期中考试数学（理）试题【解析】一、选择题1．复数43i1+2i+的实部是（）A. 2-B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】因为43i1+2i+()()()()4312105212125i i iii i+--===-+-，所以43i1+2i+的实部是2，应选答案B。

广东实验中学2023－2024学年（下）高二期中考试数 学命题：高二数学备课组审定：本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知12i +是关于复数z 的方程()20,z mz n m n R −+=∈的一根，则m n +=A ．5B ．6C ．7D ．82． ()()()1,1,2,0,1,1,3,5,a b c k =−=−=− ，若,,a b c 共面，则实数k 为A ．1B ．2C ．3D ．43． 622x x−展开式中的常数项为A ．15B ．60C ．160−D ．2404．若tan 24tan 04παα++=，则sin 2α=A ．45−B ．25−C ．25D ．455． 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为 A ．121B ．321C ．521D ．7216． 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 A． B． C． D．7． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A 、B 两点，点C 在x 轴上，24CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线C 的离心率为 ABCD8． 函数()f x 在定义域R 上处处可导，其导函数为()f x ′．已知()()1f x f x =−，()10f =，且当12x >时，()()021f x f x x ′−>−．若()ln 2a f =，2ln 5b f= ，52c f = ，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c <<二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9． 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是A ．()111n n a +=−+B ．()11nn a =−+C ．2sin2n n a π= D ．1122n n a a a += =−10．为响应政府部门疫情防控号召，某校安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴海珠、白云、番禺三个区参加防控工作，则下列说法正确的是 A ．不同的安排方法共有64种B ．若恰有一个区无人去，则不同的安排方法共有42种C ．若甲必须去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有12种D ．若甲、乙两人都不能去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有14种11．如图，在ABC ∆中，2B π∠=，AB =，1BC =，过AC 中点M 的直线l 与线段AB 交于点N ．将AMN ∆沿直线l 翻折至A MN ′∆，且点A ′在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，连接AH 交l 于点O ，D 是直线l 上异于O 的任意一点，则A ．点O 的轨迹的长度为6πB ．A DH A OH ′′∠≤∠C ．A DH A DC ′′∠≥∠D ．直线A O ′与平面BCMN 所成角的余弦值的最小值为13三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆221:4C x y +=和圆222:402C x y x y +−=+，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．13．在ABC ∆中，1BC =，2AC AB =，则ABC ∆面积的最大值为 ．14．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]1.21=，[]1.32−=−．已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=+，则202412202412222a a a a a a ++…+= +++ ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知()ln f x ax x =−，a R ∈．（1）当2a =时，求()f x 的图像在()()1,1f 处的切线方程； （2）若当[]1,x e ∈时，()0f x >，求a 的取值范围．16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 1b c b B C c+=． （1）证明：2c ab =；（2）若ABC ∆外接圆的面积为π，且2224si 2n a C b −=，求ABC ∆的面积．17．（15分）已知各项均不为0的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，114n n n a a S ++=；2n nn ab =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n T ；（3）若对于任意*n N ∈，822n n T λ−⋅+≥成立，求实数λ的取值范围．18．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点)．直线y kx m =+与椭圆C 相切于点P （P 在第一象限），直线1y kx =−与椭圆C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线OP 的斜率为0k ，求证：0k k ⋅为定值； （3）求PAB ∆面积的最大值．19．（17分）拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数()f x 在区间[],a b 连续，在区间(),a b 上可导，则存在()0,x a b ∈，使得()()()0f b f a f x b a−′=−，我们将0x 称为函数()f x 在[],a b 上的“中值点”． 已知函数()x f x e =，()21g x x tx =−+，()()()F x f x g x =−． （1）求()F x 在()0,1上的中值点的个数；（2）若对于区间()0,1内任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()1212f x f x g x g x −>−成立，求实数t 的取值范围．（3）当0t >且1t ≠时，证明：1ln 22ln 2ln t t t−−≥−．广东实验中学2023－2024学年（下）高二中段考试数学 参考答案与评分标准【选择题、填空题答案】【部分试题解析】7．【解析】如图，因为24CB F A =，所以2//CB F A ，且114F B F A =，即13AB F A =．又2BF 平分1F BC ∠，所以1222FBF F BC BF A ∠=∠=∠（内错角），所以213F A AB F A ==， 因为212F A F A a −=，所以1F A a =，23F A AB a ==， 所以14F B a =，22F B a =，所以2121cos 23F B F BF AB ∠==， 在12BF F ∆中，由余弦定理有222121212122cos F F F B F B F B F B F BF =+−⋅∠， 即()()()222214424224233c a a a a a =+−⋅⋅⋅=，所以222113c e a ==，e =． 8．【解析】记()g x =12x >，则()0g x ′=>．从而()g x 在1,2+∞ 上单调递增，且当112x <<时()()10g x g <=，故()0f x <；当1x >时()()10g x g >=，故()0f x >，此时()(f xg x =单调递增． 所以()ln 20af <，25ln 1ln 52b f f==+，因为5511ln22<+<，所以()55011ln 22f f f=<+<，即0b c <<，综上，a b c <<．11．【解析】依题意，将AMN ∆沿直线l 翻折至AMN ∆，连接AA ′， 由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分， 故AA MN ′⊥，又A ′在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上， 所以A H ′⊥平面BCMN ，MN ⊂平面BCMN ，所以A H MN ′⊥，AA AH A ′=′ ，AA ′⊂平面A AH ′，AH ⊂平面A AH ′，所以MN ⊥平面A AH ′．AO ⊂平面A AH ′，A O ′⊂平面AAH ，A H ′⊂平面A AH ′，AO MN ⊥，A O MN ′⊥，A H MN ′⊥，90AOM ∴∠=°，且A OH ∠′即为二面角A MN B ′−−的平面角．图1 图2对于A 选项，MN AO ⊥ 恒成立，故O 的轨迹为以AM 为直径的圆弧夹在ABC ∆内的部分， 易知其长度为1236ππ×=，故C 正确；对于B 选项，A OH ∠′ 即为二面角A MN B ′−−的平面角， 故由二面角最大可知A DH A OH ∠′∠′ ，故B 正确；对于C 选项，由题意可知，A DH ∠′为A D ′与平面BCMN 所成的线面角， 故由线面角最小可知A DH A DC ∠′∠′ ，故A 错误；对于D 选项，如图2所示，设(,)32AMN ππθ∠=∈，在AOM ∆中，90AOM ∠=° ，sin sin AO AM θθ∴==， 在ABH ∆中，,2cos AB BAHBAH π∠===∠，所以sin OH AH AO θ=−=，设直线A O ′与平面BCMN 所成角为α，则cos 11113OH AO α==−==−， 当且仅当523212πππθθ−=⇒=时取等号，故D 正确．14．【解析】11a = ，2112n n n a a a +=+，∴()1111222n n n n n a a a a a +==−++，即11112n n n a a a +=−+， 又1222n n n a a a =−++，则22024121212202420411120242222222a a a a a a a a a ++…+=−++…+ ++++++ ，122320242025202520251111112202422024220222a a a a a a a a −−+−+…+−=−+=+， 2112n n n n a a a a +=+> ，且232a =，32128a =>，∴20252a >，()20250,12a ∈， ∴2025202220222a+= ，即2022204241122022222a a a a a a ++…+= +++ ．15．【解析】解：（1）当2a =时，()2ln f x x x =−，0x >，()12f x x′=−，（2分） ()12f =，()11f ′=，（4分） 所以()f x 的图像在()()1,1f 处的切线方程为21y x −=−，即1y x =+．（6分） （2）法一：[]1,x e ∈，()11ax f x a x x−′=−=，（7分） 当1a e≤时，()0f x ′≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，()10f e ae =−≤，不合题意；（9分）当1a ≥时，()0f x ′≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，()()10f x f a ≥=>，符合题意；（10分） 当11a e<<时，11e a <<，在11,a 上()0f x ′<，()f x 单调递减，在1,e a上()0f x ′>，()f x 单调递增， ()f x 在1x a =处取得极小值，()f x ≥11ln 0f a a=+>，符合题意；（12分）综上所述，实数a 的取值范围是1,e+∞ ．（13分） 法二：因为0x >，所以()0f x >等价于ln xa x>，[]1,x e ∈．（8分） 设()ln xg x x=，[]1,x e ∈，则()21ln 0x g x x −′=≥，所以()g x 在[]1,e 上单调递增，（11分） ()g x 在x e =处取得最大值()max1g g e e ==，所以实数a 的取值范围是1,e +∞．（13分） 16．【解析】（1）证：法一：因为22cos cos 1b b B C c c+=，所以有22cos cos bc B b C c +=， 由正弦定理可得()sin cos sin cos sin b C B B C c C +=，即()sin sin b B C c C +=， 因为B C A π+=−，所以()sin sin B C A +=，所以有sin sin b A c C =， 再由正弦定理可得2c ab =．（4分）法二：将余弦定理代入cos 1bB C c +=，可得22222222122b a c b b a b c c ac c ab+−+−⋅+⋅=， 即()222222212b a c b a b c ac⋅+−++−=，整理得2c ab =．（4分） （2）解：由题意知外接圆的半径1R =， 由正弦定理得2sin 2sin cR C C =，所以2222a b c −=．（6分）由（1）知2c ab =，所以2220a ab b −−=，即()()20a b a b −+=，因为0a >，0b >，所以2a b =，222cab b ==．（9分） 由余弦定理得2222222423cos 244a b c b b b C ab b +−+−===，（11分）所以sin C =2sin c C=（13分）所以31sin 244abc c S ab C ====（15分）17．【解析】解：（1）当1n =时，12114a a S +=，2114a +=，23a =．（1分） 当2n ≥时，1114n nn n n n n a a a a a S S +−−−=−=，（2分） 因为0n a ≠，所以114n n a a +−−=，2n ≥，（3分） 故{}n a 的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列， 当n 为奇数时，11212n n a a d n −=+=−；当n 为偶数时，22212n n a a d n −=+=−． 所以对*n N ∈，21n a n =−．（5分） （2）法一：2122n n n na nb −==，（6分） 21321...222nn n T −=+++，12311321 (2222)n n n T +−=+++，（7分） 123111111111222211213121221...12222222222212n n n n n n n n n n T −++−+− −−− −=++++−=+−=−− −，（8分） 所以21212333222n nnn n n T −−+=−−=−．（9分） 法二：12121232222n n n nn na n n nb −−++===−，（7分） 所以213557212323...31222222n n nn n n n T −+++=−+−++−=−．（9分） （3）由（28232232n nn λ−+⋅+≥−， 等价于828231223222n n n n n n λ−−+−−−≥=，*n N ∀∈．（10分） 记282232n n n n c −−−=，则11262822522322n n n n n n n n c c ++−−−−−−−=− ()()1126262254223672=22n n n n n n n n ++−−−−−−−+−=，（12分） 当1,2,3n =时10n n c c +−>，当4n ≥时10n n c c +−<，故当4n =时n c 取得最大值45c =，（14分） 所以实数λ的取值范围是[)5,+∞．（15分）18．【解析】（1）解：因为e =，所以a =，2222b a c c =−=， 又因为椭圆C过点)，所以222112c c+=，解得22c =，所以24a =，22b =，椭圆22:142x y C +=．（3分）（2）证：联立2224y kx m x y =+ += 得()()222214240k x kmx m +++−=，（4分） ()228420k m ∆=+−=，设()00,P x y ，则02221kmx k =−+，0221m y k =+．（6分） 所以00012y k x k ==−，所以012k k ⋅=−．（7分） （0∆=是关键步骤，用点差法或直接使用切线公式不给分，阅卷时要注意学生是否“骗分”．） （3）解：在（2）中令1m =−，则可得()2221420k x kx +−−=，()2841k ∆=+， 设()()1122,,,A x y B x y ，则有122421kx x k +=+，122221x x k =−+，（8分）从而()()()()22212121222841421k x x x x x x k +−=+−=+，2AB x =−=，（10分）点P 到直线AB的距离d 11分）由（2）知22422m k =+>，且由题意知0k <，0m >，所以m >（12分）12PAB S AB d∆=⋅=（13分）法一：设()()()3411x x fx x−+=，x >，则()()()25212x x f x x+−′=−，当)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 所以()f x 在2x =处取得极大值()27216f =，（15分）故当且仅当2m =，即2k =−，)P 时，（答其一即可，未声明扣1分） PAB S ∆（17分） 法二：PABS ∆=≤（15分）当且仅当()311m m −=+，即2m =，k =，)P 时，（未声明扣1分） PAB S ∆（17分）19．【解析】（1）解：()21x F x e x tx =−+−，()2x F x e x t ′=−+．（1分） 因为()00F =，()12F e t =+−， 所以()()()010210F F F x e t −′==+−−，即0022x e x e −=−，()00,1x ∈．（2分） 令()22x h x e x e =−−+，则()2x h x e ′=−，在()0,ln 2上，()0h x ′<，()h x 单调递减；在()ln 2,1上，()0h x ′>，()h x 单调递增，（3分） 因为()ln 222ln 220h e =−−+<，()030h e =−>，()10h =， 所以()h x 在()0,ln 2上存在唯一零点，在()ln 2,1上无零点，（4分）即0022x e x e −=−在()0,1上存在唯一解，所以()F x 在()0,1上的中值点有且仅有1个．（5分） （2）解：不妨设12x x >，则()()12f x f x >，故有()()()()1212f x f x g x g x −>−， 即()()()()()()211212f x f x g x g x f x f x −<−<−，即()()()()()()()()11221222f x g x f x g x f x g x f x g x +>+ −>−，因为上式对任意()120,1,x x ∈都成立，所以函数()()()F x f x g x =−和()()()G x f x g x =+在()0,1上均单调递增， 等价于()20x F x e x t ′−+≥，()20x G x e x t ′+−≥，()0,1x ∀∈，（8分） ()2x F x e ′′=−，当()0,ln 2x ∈时，()0F x ′′<，()F x ′单调递减；当()ln 2,1x ∈时，()0F x ′′>，()F x ′′单调递增．所以()()ln 222ln 20F x F t ′′≥=−+≥，从而2ln 22t ≥−．（10分）()20x G x e ′′=+>，()G x ′在()0,1上单调递增，所以()()010G x G t ′′>=−≥，从而1t ≤．（11分） 综上所述，实数t 的取值范围是[]2ln 22,1−．（12分）（3）证：()2ln ln ln 1F t t t t t =−+−，()00F =，()2x F x e x t ′=−+，（13分） 由拉格朗日中值定理知，在()()0,ln 1t t >或()()ln ,001t t <<上总存在0x ， 使得()()()0ln 0ln 0F t F F x t −′=−，即0012ln ln x t e x t t−−=−．（15分） 由（2）知()122ln 22x p x x e =−≤−，所以00222ln 2x e x −≥−， 所以1ln 22ln 2ln t t t−−≥−．（17分） 【注】此问也可直接求导证明，或者令ln 0x t =≠转而证明122ln 2x e x x−−≥−，但都会遇到1t =或0x =处无定义的情况，需要谨慎讨论，可用洛必达法则求得极限；当然也可去分母再作差构造函数证明，此时需要分类讨论不等号方向；还可进一步利用“对数单向狗，指数找朋友”作变形构造，但都相对繁琐．阅卷时此类解法也可酌情给分．。

广东实验中学南海学校2018~2019学年第二学期高二年级期中考试理科数学试题命题人：陈培添 审题人：丁阗 校对人：黄映珊全卷满分150分。

考试时间20分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷非选择题两部分。

答题前考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试题卷无效。

4.考试结束，相关试题卷和答题卷一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题；共60分）1.设i 为虚数单位，复数(2i)1i z -=+，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ） A.都不是一等品B.恰有一件一等品C.至少有一件一等品D.至多有一件一等品3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<等于（ ） A.0.6B.0.4C.0.3D.0.24.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，则ξ的分布列为（ ）A.012771151515pξB.177151352511Pξ C.101212163PξD.177151251510Pξ5.函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ） A.0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B.0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< C.0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D.0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<6.已知函数2(1),10()1x x f x g x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A.3812π- B.4312π+ C.44π+ D.4312π-+7.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A.16B.18C.24D.328.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则(0)P ξ=等于（ ） A.0B.13C.12D.239.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(,2]-∞-B.(,1]-∞-C.[2,)+∞D.[1,)+∞10.已知~(,)X B n p ，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与P 的值分别是（ ） A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.811.已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）1350.40.1P xξA.3.56C.3.212.由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到的回归直线方程为ˆybx a =+，那么下面说法不正确是（ ）A.直线ˆybx a =+必经过点(,)x y B 直线ˆybx a =+至少经过点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 中的一个 C 直线ˆybx a =+的斜率为2121ni i i i n i y nxy xx x n ==--∑∑D.直线ˆybx a =+和各点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 的总偏差()21n i i i y bx a =-+⎡⎤⎣⎦∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题；共20分） 13.曲线cos y x =在点,42M π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程为________. 14.已知2nx ⎛+ ⎝的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.15.某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：则至少有________的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关.（请用百分数表示）. 注：独立性检验界值表()20.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828P kx k ≥16.高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.三、解答题（共6小题；共70分）17.某市春节期间7家超市的广告费支出i x （万元）和销售额i y （万元）数据如下：参数数据及公式：8x =，42y =，712794i i i x y ==∑，712708i i x ==∑，1221ˆni i ni i i y n x y b nxx x ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，ln 20.7≈.（1）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：ˆ12ln 22yx =+，经计算得出线性回归模型和对数模型的2R 分别约为0.75和0.97，请用2R 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额.18.我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制；求数学、化学在同一天考的概率是多少？19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望.20.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“＋”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.（1）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）；（2）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；（3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”.从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 2l.语文成绩服从正态分布()2100,17.5N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x 人，求x 的分布列和数学期望.（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. ①若()2~,x N μσ，则()0.68P x μσμσ-<≤+=，(22)0.96P x μσμσ-<≤+=.②22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++③()2000.500.400.0100.0050.0010.4550.708 6.6357.87910.828P k k k ≥L L22.设函数()(1)xf x e a x =--.f x的单调区间和极值；（1）求函数()f x在区间(0,2]上存在唯一零点，求a的取值范围.（2）若函数()。

2018-2019学年第二学期高二6月月考数学（理）试题考试时长：120分钟一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为(1,2)A ，(1,3)B -，则12z z 的虚部为( ) A ．1B ．12i -C ．iD ．12-2．若曲线n x x y e =在点1(1,)e 处的切线的斜率为4e，则(n = )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知函数()x f x e lnx =g ，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为( ) A ．0B ．1C ．1eD ．e4．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()1f x gx =是对数函数；②对数函数log (1)a y x a =>是增函数；③函数()f x lgx =是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( ) A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①5．曲线344y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒6．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为( ) A ．152B ．154C ．15424ln - D ．15822ln - 7．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( ) A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种8．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A ．34 B ．58C ．716D ．9169．现有甲班A ，B ，C ，D 四名学生，乙班E ，F ，G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有( ) A ．10种B ．15种C ．18种D ．19种10．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( ) A ． 0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.4811．3481(3)(2)x x x+-展开式中2x 的系数为( )A ．1280-B ．4864C ．4864-D ．128012．已知函数2()35f x x x =-+，()g x ax lnx =-，若对(0,)x e ∀∈，1x ∃，2(0,)x e ∈且12x x ≠，使得()()(1i f x g x i ==，2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．16(,)e eB ．741[,)e eC ．746[,)e eD ．7416(0,][,)e e eU二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a R ∈，i 为虚数单位，复数112z i =-，22z a i =+，若21z z 是纯虚数，则a 的值为 ． 14．已知函数2()522f x x x ln x =-+，则()f x 的单调递增区间为 ．15．已知随机变量X 服从正态分布(2,1)N ，若(2)(23)P X a P X a -=+剠，则a = ． 16．某县精准扶贫攻坚力公室决定派遣8名干部(5男3女）分成两个小组，到该县甲、乙两个贫困村去参加扶贫工作，若要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，则不同的派遣方案共有 种．三．解答题（共6小题，其中第17题10分，其余每题各12分）17．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过三小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．18．在n 的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含2x -的项的系数．19．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率．()i 设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为1ξ、2ξ，求1ξ、2ξ的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？()ii 按()i 中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．20．已知*n N ∈，12323192n n n n n C C C nC +++⋯+=，且2012(32)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+．求：（1）展开式中各项的二项式系数之和； （2）0246a a a a +++； （3）01||||||n a a a ++⋯+．21．已知函数()kx f x xe =．（1）若函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间(0,1)上存在单调递减区间，求实数k 的取值范围．22．设函数()(1)f x lnx a x =-+，()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有最大值且最大值大于31a -时，求a 的取值范围．6月月考高二理科数学试题参考答案一．选择题（共12小题）1．D ； 2．D ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．D ； 8．B ； 9．D ； 10．A ； 11．A ； 12．C ；二．填空题（共4小题）13．4； 14．（0，），（2，+∞）； 15．1； 16．180； 三．解答题（共6小题）17、解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率1111428P =⨯=， 都付4元的概率2111248P =⨯=，都付6元的概率31114416P =⨯=，∴所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=． （Ⅱ）设两人费用之和8、10、12的事件分别为A 、B 、C ，P （A ）111111544242416=⨯+⨯+⨯=，P （B ）11113442416=⨯+⨯=，P （C ）1114416=⨯=，设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W A B C =++，∴两人费用之和大于或等于8的概率：()P W P =（A ）P +（B ）P +（C ）531916161616=++=． 18、解：（Ⅰ）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0n C ，112n C g ，214n C g ，10211224n n n C C C ∴=+g g g ，即2980n n -+=，1n ∴=（舍去），或8n =． （Ⅱ）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44458358T C x ==．（Ⅲ）Q 二项展开式的通项公式：344181()2r r r r T C x -+=g g ，令3424r -=-，求得8r =，可得所以含x 的项的系数为88811()2256C =g19、解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为1145152604515453059118C C p C ⨯===⨯． （3分） （2）1()i ξ的分布列为11511()510152*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， （6分）2ξ的分布列为2241441164()481216415153151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=， 12()()E E ξξ<Q ，∴公司应选培训方式一．（9分） ()ii 按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为1533124p =+=，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为12333(1)448p C =⨯⨯-=．（12分） 20、解：Q 11!(1,2,,)!()!i i n n n iC i nC i n i n i --===⋯-g g ，∴1230111611123()232192n n n n n n n n n n C C C nC n C C C n -----+++⋯+=++⋯+==⨯=g， 6n ∴=．（1）展开式中各项的二项式系数之和为6264=．（2）在2012(32)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+ 中，令1x =，得0161a a a ++⋯+=①，令1x =-，得601265a a a a -+⋯+=②， 两式相加得02467813a a a a +++=．（3）在2012(32)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+ 中，令1x =-，得601||||||5n a a a ++⋯+=．21、解：由()kx f x xe =，得()(1)kx kx kx f x e x e k e kx '=+=+g g ． （1）()f x Q 在区间(1,1)-上单调递增， ()0f x ∴'…在(1,1)-上恒成立，0kx e >Q ，10kx ∴+…在(1,1)-上恒成立， 则1010k k +⎧⎨-+⎩……，即11k -剟．∴实数k 的取值范围是[1-，1]；（2）()f x Q 在区间(0,1)上存在单调递减区间， ()0f x ∴'„在(0,1)上有解，0kx e >Q ，10kx ∴+„在(0,1)上有解，1kx ∴-…在(0,1)上有解，(0,1)x ∈Q ，1k x ∴-…有解，Q1(1,)x∈+∞，1k ∴-…，即1k -„． 经检验，1k =-时不合题意．∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-．22、解：（Ⅰ）函数()(1)()f x lnx a x a R =-+∈的定义域为(0,)+∞， 11(1)()(1)a xf x a x x-+'=-+=，（2分） ①当10a +„，即1a -„时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（3分） ②当10a +>时，令()0f x '=，解得11x a =+， )i 当101x a <<+时，()0f x '>，函数单调递增，)ii 当11x a >+时，()0f x '<，函数单调递减．（5分） 综上所述：当1a -„时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当1a >-时，函数()f x 在1(0,)1a +上单调递增，在1(1a +，)+∞上单调递减．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11()()111max f x f ln a a ==-++， Q 当函数()f x 有最大值且最大值大于31a -，1a ∴-…，（7分） 此时11311lna a ->-+，即(1)30ln a a ++<， 令g （a ）(1)3ln a a =++，（9分）(0)0g =Q 且g （a ）在(1,)-+∞上单调递增， g ∴（a ）(0)g <，10a ∴-<<，故a 的取值范围为(1,0)-．（12分）。

广东省广东实验中学南海学校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．设i 为虚数单位，复数(2)1i z i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】复数()()()()()13i2i 1i,2i 2i 2i 1+i ,5z z z +-=+∴+-=+∴=，则z 的共轭平面复数13i 55z =-在复平面中对应的点13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限，故选D. 2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品【答案】C【解析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案． 【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ）．A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B【解析】∵随机变量x 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，即对称轴是2，(4)0.8P ξ<=，∴(4)(0)0.2P P ξξ≥=<=， ∴(04)0.6P ξ<<=， ∴(02)0.3P ξ<<=． 故选B ．4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，则ξ的分布列为（ ）A ．012771151515p ξB ．177151352511P ξ C ．101212163P ξD ．177151251510Pξ【答案】A【解析】根据超几何分布概率公式可分别求解得到ξ每个取值对应的概率，从而得到分布列. 【详解】ξ所有可能的取值为：0,1,2，则()383107015C P C ξ===；()21823107115C C P C ξ===，()12823101215C C P C ξ===，ξ∴的分布列为：ξ12P715715115故选：A . 【点睛】本题考查服从于超几何分布的离散型随机变量的分布列的求解，属于基础题. 5．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 【答案】B【解析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果. 【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-Q ，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.6．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+【答案】B【解析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()1211014313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.7．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．16 B ．18C ．24D ．32【答案】C【解析】把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解. 【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则（ ）A ．0B ．C ．D ．【答案】C【解析】设某项试验的失败率为，则可以求出某项试验的成功率为，根据概率的性质，可以求出值，直接可以求出的值.【详解】设某项试验的失败率为，则可以求出某项试验的成功率为，根据概率的性质可知：，，故本题选C.【点睛】本题考查了概率的性质，考查了数学运算能力.9．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ． 【考点】利用导数研究函数的单调性.10．已知X ～B （n ，p ），EX=8，DX=1.6，则n 与p 的值分别是（ ） A ．100，0.08 B ．20，0.4C ．10，0.2D ．10，0.8【答案】D【解析】由已知(,),8, 1.6X B n p EX DX ~==，根据二项分布的期望与分差的公式，求得,n p 的值，即可得到答案． 【详解】由题意知(,)X B n p :，且8, 1.6EX DX ==，则8,(1) 1.6np np p =-=，解得0.8,10p n ==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与分差的公式及其应用，其中解答中熟记二项分布的概念，以及二项分布的期望与方程的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）A ．3.56BC ．3.2D 【答案】D【解析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.12．由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到的回归直线方程为ˆybx a =+，那么下面说法不正确是（ ）A ．直线ˆybx a =+必经过点(,)x y B ．直线ˆybx a =+至少经过点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 中的一个 C ．直线ˆybx a =+的斜率为2121ni i i i n iy nxy xx x n ==--∑∑D ．直线ˆybx a =+和各点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 的总偏差()21ni i i y bx a =-+⎡⎤⎣⎦∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线【答案】B【解析】根据最小二乘法和回归直线的意义可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，回归直线必过样本中心点，即ˆybx a =+必过(),x y ，A 正确； 对于B ，回归直线描述样本点的变化趋势和相关关系，未必经过样本点，B 错误；对于C ，由最小二乘法知：1221ˆni i i i ni y nx x n b y xx ===--∑∑，C 正确；对于D ，回归直线是所有直线中与样本点离散度最低的，由此可知回归直线的总偏差()21n i i i y bx a =-+⎡⎤⎣⎦∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的，D 正确.故选：B . 【点睛】本题考查回归直线部分相关命题的辨析，关键是充分理解回归直线的意义，掌握最小二乘法求解回归直线的方法.二、填空题13．曲线cos y x =在点4M π⎛ ⎝⎭处的切线方程为________.【答案】440x π+--=【解析】根据导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】由题意得：sin y x '=-，∴在4x π=处的切线斜率4sin sin42x k xππ==-=-=-， ∴所求切线方程为224y x π⎫-=--⎪⎝⎭，即440x π+--=.故答案为：440x π+--=. 【点睛】本题考查在曲线上某一点处的切线方程的求解，关键是熟练掌握导数的几何意义，属于基础题.14．已知2⎛+ ⎝nx 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________. 【答案】80【解析】根据二项式系数和可求得n ，根据二项展开式通项公式可求得r 的值，代入可求得结果. 【详解】2nx ⎛ ⎝Q 展开式二项式系数和为32，232n∴=，解得：5n =，522nx x ⎛⎛∴= ⎝⎝展开式通项公式为：51010221552rr r r r r r T C xC x--+=⋅=. 令51002r -=，解得：4r =，∴展开式中常数为445216580C =⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求解问题，关键是熟练掌握二项式系数和的性质和二项展开式通项公式的形式.15．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：则至少有________的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关.（请用百分数表示）.注：独立性检验界值表【答案】99.9%【解析】根据22⨯列联表计算可得2K，由210.828K>可得结果.【详解】由题意得：()225018197611.53810.82825252426K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴至少有10.1%99.9%-=的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关. 故答案为：99.9%.【点睛】本题考查独立性检验问题的求解，考查基础公式的应用.16．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.【答案】210【解析】依次计算出从后排抽取2个不相邻的同学、两名同学相邻、插入前排的方法种数，根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121+++++=种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222A =种方法；第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155C =种方法，由分步乘法计数原理可知，共有2125210⨯⨯=种调整方法. 故答案为：210. 【点睛】本题考查排列组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理、捆绑法和插空法等知识的应用.三、解答题17．某市春节期间7家超市的广告费支出i x （万元）和销售额i y （万元）数据如下：参数数据及公式：8x =，42y =，712794i i i x y ==∑，712708i i x ==∑，1221ˆn i i n i i i y n x y b nxx x ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，ln 20.7≈. （1）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：ˆ12ln 22yx =+，经计算得出线性回归模型和对数模型的2R 分别约为0.75和0.97，请用2R 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额.【答案】（1） 1.7284ˆ.y x =+；（2）对数模型更合适；47.2万元.【解析】（1）利用最小二乘法计算可得回归直线；（2）根据2R 的值，可确定对数模型更合适；将8x =代入模型求得y 即为所求结果. 【详解】（1）7121227727947842ˆ 1.7708787i i i i i y xyx x b x ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑Q ，ˆˆ42 1.7828.4ay bx ∴=-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程为： 1.7284ˆ.y x =+.（2）0.970.75>Q ，∴对数模型更合适.∴当广告费支出为8万元，即8x =时，销售额预测值12ln82236ln 222360.72247.2y =+=+≈⨯+=（万元）. 【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线、相关指数的意义和预测值的求解问题；考查学生的计算和求解能力.18．我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制；求数学、化学在同一天考的概率是多少？ 【答案】（1）120960；（2）211. 【解析】（1）分布计算出语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场和其余7门学科的安排方法，根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分别计算出所有安排方法和数学、化学在同一天考的安排方法的种数，根据古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场，共有4424A =种排法； 其余7门学科共有775040A =种排法，∴“考试日程安排表”共有504024120960⨯=种不同的安排方法.（2）各科考试顺序不受限制时，共有1111A 种安排方法；数学和化学在同一天考共有：2912929339A A C A A +种安排方法，∴数学、化学在同一天考的概率291292933911112362111011A A C A A P A ++⨯===⨯. 【点睛】本题考查排列组合计数问题、古典概型概率问题的求解，涉及到分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查学生的分析和解决问题的能力.19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的概率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列．【答案】（1）0.05；（2）详见解析.【解析】（1）利用已知条件及频率之和为1，即可求出；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，列出分布列即可．【详解】(1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85)内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x ＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75]内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝0C×0.60×0.43＝0.064，3P(X＝1)＝1C×0.61×0.42＝0.288，3P(X＝2)＝2C×0.62×0.41＝0.432，3P(X＝3)＝3C×0.63×0.40＝0.216，3所以X的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216【点睛】本题考查了频率分布直方图及分布列的知识，是中档题．20．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率； （III ）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 【答案】（Ⅰ）m n <（Ⅱ）2938（III ）见解析. 【解析】（Ⅰ）m n <；（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，利用古典概型及排列组合能求出从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率；（III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望． 【详解】 （Ⅰ）m n <．（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则()1121010102202938C C C P M C +==．所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则()119811*********C C P C C ξ===； ()1111189211101013150C C C C P C C ξ+===； ()11121110101250C C P C C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望18131301225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=．即310E ξ=． 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值21．语文成绩服从正态分布()2100,17.5N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. ①若()2~,X Nμσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=.②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++③()2P K k ≥ 0.0500.040 … 0.010 0.005 0.001 k0.4550.708…6.6357.87910.828【答案】（1）语文成绩特别优秀的有10人，数学成绩特别优秀的有12人；（2）分布列见解析；()98E X =；（3）有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. 【解析】（1）由正态分布曲线对称性可求得()135P X >，进而计算得到语文特别优秀的频数；由频率分布直方图计算可得数学特别优秀对应的频率，进而计算得到对应频数； （2）根据超几何分布概率公式计算可得X 所有可能取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得结果；（3）由已知数据得到22⨯列联表，计算可得2 6.635K >，进而得到结论. 【详解】（1）设语文成绩为X ，由()2100,17.5X N :可知：100μ=，17.5σ=，1352μσ∴=+，()()16513510.961350.0222X X P P -<≤-∴>===，∴这500名学生中，本次考试中语文成绩特别优秀的有5000.0210⨯=人.由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为150.0016200.02420⨯⨯=， ∴这500名学生中，本次考试中数学成绩特别优秀的有5000.02412⨯=人.（2）由（1）知，语文和数学只有一科特别优秀的有10人.X 所有可能的取值为：0,1,2,3，()3103163014C P X C ∴===；()1261031627156C C P X C ===；()2161031615256C C P X C ===；()363161328C P X C ===； X ∴的分布列为：∴数学期望()32715190123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意可得22⨯列联表如下：()22500649064144.5 6.6351248810490K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.【点睛】本题考查概率统计部分知识的综合应用，涉及到正态分布和频率分布直方图的应用、独立性检验解决实际问题、超几何分布的分布列和数学期望的求解问题，是对于概率和统计部分知识的综合考查.22．设函数()(1)x f x e a x =--. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数()f x 在区间(0,2]上存在唯一零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）())2,1,e ⎡-∞-+∞⎣U .【解析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下根据导函数的正负得到()f x 单调性，根据极值的定义可求得对应的极值；（2）当0a ≤时，分别在()0,2上存在唯一零点和2x =为零点两种情况下，结合零点存在定理得到a 的范围；当0a >时，结合函数的单调性，可知()min 2ln f x a a a =-，通过讨论ln a 的位置确定对应端点值的符号，从而得到不等式组，解不等式组求得结果；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）由题意得：()xf x e a '=-.①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，此时()f x 无极值； ②当0a >时，令()0f x '=，解得：ln x a =，∴当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，()f x ∴在ln x a =处取得极小值，极小值为()()ln ln ln 12ln a f a e a a a a a =--=-，无极大值.综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间，无极值； 当0a >时，()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞，极小值为2ln a a a -，无极大值.（2）①当0a ≤时，由（1）知，()f x 在R 上单调递增，若()f x 在()0,2上存在唯一零点，则()()020f f ⋅<，即()()210a e a +-<，解得：1a <-.若2x =是()f x 在(]0,2上的唯一零点，则()220f e a =-=，解得：2a e =（舍）.②当0a >时，由（1）知，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，()()min ln 2ln f x f a a a a ∴==-. ()010f a =+>Q ，∴若()f x 在(]0,2上存在唯一零点，则2ln 00ln 2a a a a -=⎧⎨<≤⎩或()202ln 00ln 2f a a a a ⎧<⎪-<⎨⎪<<⎩或()20ln 2f a ⎧≤⎨≥⎩， 解得：2a e ≥.综上所述：a 的取值范围为())2,1,e ⎡-∞-+∞⎣U .【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调区间和极值、根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题；解决零点问题的关键是能够根据函数的单调性，确定最值的位置和函数值的取值范围，从而构造不等关系.。

姓名，年级：时间：2018—2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差211()n i i s x x n ==-∑2，其中11=n i i x x n =∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积，h 是高.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则A C U = ▲ ． 2．已知i 是虚数单位,复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3。

已知幂函数f （x ）＝k ·x α的图象过点(4,2），则k ＋α＝▲ ．4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的方差为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3,且两人下成和棋的概率为0。

5,则乙不输的概率为▲ ．6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ 。

1S ←For I From 1 To 5 Step 2 S S I ←+ End For Print S End7 98 4 4 4 6 7 9 3（第4题图）7．已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b -=>>）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为,则双曲线C 的焦距为▲ ．8．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．9．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ ．10。

三棱锥BCD A -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为 ▲ ．11。

已知四边形ABCD 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．12．若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6απ+=▲ ． 13. 某细胞集团，每小时有2个死亡,余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞 ▲ 个. 14. 若正数m ，n 满足121122n m n m m n +++=++，则36m n+的最小值是 ▲ ．二、解答题15。

广东省实验中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数21(1)z a a i =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. -1和1B. 1C. -1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数概念,即可求得a 的值.【详解】因为复数21(1)z a a i =-++是纯虚数所以实部为0,即210a -= 解得1±=a又因为纯虚数10a +≠ ,即1a ≠- 所以1a = 所以选B【点睛】本题考查了复数的基本概念，纯虚数的定义，属于基础题。

2.“(1)(3)0x x -->”是“1x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由()()130x x -->，解得x ＜1或x ＞3，此时不等式x ＜1不成立，即充分性不成立，若x ＜1，则x ＜1或x ＞3成立，即必要性成立，故“()()130x x -->”是“1x <”的必要不充分条件， 故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．3.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0>b ）的焦距为10，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213664x y -=B. 1366422=-y xC. 116922=-y xD. 221169x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据焦距和虚轴长，即可求得a 的值，即可求得双曲线方程。

【详解】因为双曲线焦距为10，所以5c = 虚轴长为8，所以4b =所以3a =所以双曲线方程为116922=-y x所以选C【点睛】本题考查了根据c b a 、、的值求双曲线的标准方程，属于基础题。

广东省实验中学高二数学下学期期中试卷理理科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =（ ）A ．18B ．12C ．D ．3. 若b a ,是任意实数,且b a >,则下列不等式成立的是 （ ）A ．22b a > B ．1<a b C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(< 4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。

已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是（ ）A ．0.7B ．6C ．4.2D ．0.425．设函数f (x )＝x e x，则 ( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点6．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ( )A ．18B ．14C ．25D ．127．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为()8．如图1所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A ．11260B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．9．532)2(xx -展开式中的常数项为 10．若等比数列{ n a }的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于_____________。

佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 2C. iD. 2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，可得出复数z 的虚部. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+，因此，复数z 的虚部为1，故选：A.【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根，那么a 、b 、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A. 假设a 、b 、c 都是偶数 B. 假设a 、b 、c 都不是偶数 C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。

【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B 。

【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3.一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+，则a =（ ） A. 2.15- B. 1.15-C. 0.08D. 2.15【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】由题意可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.4.===⋅⋅⋅=m、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A. 40B. 41C. 42D. 43【答案】B 【解析】 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】==，==，==)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=， 故选：B.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.5.甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A.12B. 1C.56D.1112【答案】D 【解析】 【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选：D. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题. 6.定积分22x e dx =⎰（ ）A. 2eB. 1e -C. 22e -D.1122e - 【答案】C【分析】找出函数2x y e =的原函数，然后微积分定理可求出22x e dx ⎰的值.【详解】2212x xe e '⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，22220222x x e dx ee ==-⎰，故选：C.【点睛】本题考查简单复合函数定积分的计算，解题的关键就是要找到被积函数的原函数，考查计算能力，属于中等题.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种【答案】A 【解析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三； 分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．8.()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ）A. 10B. 20C. 30D. 60【答案】B 【解析】将二项式表示为()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525rr r C x x y -⋅+，可得出3r =，再利用完全平方公式计算出()22x x +展开式中3x 的系数，乘以35C 可得出结果.【详解】()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，其展开式通项为()525rr r C x x y -⋅+，由题意可得3r =，此时所求项为()()222334323552C x xy C x x x y ⋅+=⋅++，因此，()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为35221020C =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元；发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元，这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元．（已知40.90.6561=，50.90.5905=） A. 3.4736 B. 3 C. 2.2805 D. 1.231【答案】C 【解析】 【分析】设获利为随机变量X ，可得出X 的可能取值有1-、0、4，列出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望EX .【详解】设获利为随机变量X ，则随机变量X 的可能取值有4、0、1-，由题意可得()()5410.10.5905P X ==-=，()14500.10.90.32805P X C ==⨯⨯=，则()110.59050.328050.08145P X =-=--=. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，随机变量X 的数学期望为40.590500.3280510.08145 2.28055EX =⨯+⨯-⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.10.已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A. (2，＋∞) B. (－∞，－2) C. (1，＋∞) D. (－∞，－1) 【答案】B 【解析】 【分析】求导后讨论0a =、0a >、0a <时的单调性，结合函数只有一个零点，求出参量取值范围 【详解】函数()3231f x ax x =-+则()()23632f x ax x x ax =='--，令()0f x '=则()320x ax -=⑴当0a =时，()2310f x x =-+=，存在两个零点，不符合题意，故0a ≠⑵当0a >时，20a >，()f x ∴在()0，-∞，2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减 2x a∴=是()f x 的极小值点，0x =是()f x 的极大值点，且()010f =>， 当x 趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷∴此时函数()f x 必有一负零点，不符合题意⑶当0a <时，20a <，()f x ∴在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0+∞，上单调递减，在20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 2x a∴=是()f x 的极小值点，0x =是()f x 的极大值点， 要使函数()f x 仅有一正零点，结合函数图像，可知20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 代入可得：22410f a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得2a <- 综上，则a 的取值范围为()2-∞-，故选B【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数单调区间和零点，在计算过程中需要对参量进行分类讨论，有一定的计算量，属于中档题。

广东实验中学2018-2019学度高二下学期模块考试题数学理理科 数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页、总分值为150分。

考试用时120分钟、 本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上、3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、第一部分 基础检测(共100分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1.用数学归纳法证明33n n ≥(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A. n =1B. n =2C. n =3D. n =42、假如复数2()(1)m i mi ++是实数，那么实数m =( )A 、1B 、1- CD 、 3、函数()21f x x =+，关于任意正数a ，12x x a-<是()()12f x f x a-<成立的( )A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、假设n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为〔 〕 A10 B.20 C.30 D.1205、假设抛物线2ay x =的离心率a e 2=，那么该抛物线准线方程是 〔 〕 A 、1-=x B 、21-=x C 、 41-=x D 、 81-=x 6、假如双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线互相垂直，那么离心率e 等于 A 2 B 2 C 3 D 22 7、某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，假如要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为〔 〕 A 、16种 B 、18种 C 、24种 D 、32种8、点(1,0,0),(0,1,1)A B -,向量66OC OA OB=-，那么向量OB 与OC 的夹角是〔 〕A. 23π B. 2π C. 3π D. 6π9.不等式①233x x +>,②2baa b+≥,其中恒成立的是〔 〕 A 、① B 、② C 、①② D 、都不对10. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，那么曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为〔 〕 Ａ、15-Ｂ、0Ｃ、15Ｄ、5【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、 11、假设)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，那么以ba ,为邻边的平行四边形的面积为12. 假设函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，那么实数m 的取值范围是 13.=+⎰-11)2(dx x e x、14.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的0-1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 、 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【三】解答题：本大题共3小题，共30分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、计算：222004()1i ++16.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X 的概率分布列。